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Full text of "Preclarissimũ opus elemento[rum]"

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; G/£rbardus ratdo!t 3Uiguftenlis imp:eflb:.©eremlTtmo 
alme vrbis vcnete l|8:incipi 3f oanm Zlboccnico.S. 

Solebam antca fercitiffimc p:fnceps mecnm ipfe cogitans admirari 
quidcaufecffctq?inbac tna p:epotenti? fauftavrbecumvariaau/ 
cto:um veterumnouo:umqivo!timina quottidie imp:imcrent. 3« 
bacmatbcmatica fkultatevelreltquarum oifciplinarum nobiliflima 
autnibil atitparuaqiiedametfriuolaintanta imp:elfo:u copiaqui 
in tua Vrbe agunt: vtdercntur imp:elTa.Bcc cum m"cum fepius Difcu- 
tcrem inuentcbam idoifticultateoperis accidtffe. iRonenimadbuc 
quo pacto fcbemata geometrica:quibus matbcmatica volumina fca/ 
tcnt-.ac ftne quibus ntbtl t bis Dilcipltnis fere inrclltgi optime poteft 
excogitaucrant.^taqictimboctpfitm tantumodo comuni onmium 
vtilitati que eje bts pcrcipitur.obftaret mca induftria no line majeimo 
labo:ecffeci.vtqua-ftcuitate Ittterarum elemeiita imp:imuntur .ea 
etiam geomctrtee ftgure conficerentur. £5uamobrcm vt fpero/boc 
noftro iiiuenro be Dtfciplineqiias matbemaia greci appellant volu / 
minum copia ftcutt relique fcicntie b:eui tlluftrabuntur.gDe quarum 
laudibusi vtilitatepoffem multa im p:cleiisaddticereab illuffribus 
collecta aucto:ibus:ntft ftudiofts tam omntbus bcc nota eflet. 31 Uud 
etiam planecognitum eftceterasfcientias ftnematbematibustmper / 
fectas ac vcluti mancas ee. lRcq> boc p:ofecto negabunt® talectici 
neqj l£bilofopbi abnuent:iu quoy lto:is multa reperiunmn qtie It' 
ne matbematica rattone mtmme intclligi polfunt. ifcSuam oiuiu^ tlle 
Ifblato me:e veritatisarcanu.vt adtptfcerctur cyraiasad.Zbco/ 
do:um fummum eo tempo:e marbematicu^ i ad cgtptios facerdotes 
enauigauit.iQuid cp fine bac vna facultate viuendt ratto no perfccte 
confta t. lRam vt oe m uftce taceam : que nobis m uncri ab ipfa nattira 
ad perfcrendos factlius labo:cs conceffa videtur :vt aftrologia p:e/ 
teream quaejccnlticelum ipfum velutifcalis macbtnilqj qutbufdam 
confcendentes verum ipfms nature argumcntum cognofctnms: ftne 
aritbmetica i geometria:quarum altera nnmeros altcra mefuras Do' 
cetciuiliter:comodcq5 viucre cjpoflum*: ©cd quid egoibts mo/ 
ro:quciamommbusvt Diximotio:a funtq^vt ame otcatitur.i£u/ 
clidcsigiturmegarenfis feremflimep:tnccpsqui.]cv.lib:i8 omnein 
geomctrie rationem confummatiflime complejcus eft:qucm cgo fum- 
ma i cura i Dtligentia nttllo p:etermifl'o fcbcmate imp:tmcndum cu/ 
raui.lub tuo nnmtne tutus fclixq? p:odeat. 



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WiMM^UgQSUPB"* "* 




llbzeclanflimu cpus elcmentcr /£uclidis mcgarcfis vna cu co/ 
m entisCampant pjptca ciflimi in artc geomcrrieincipit feltctt. 
— ^fnctus eftcuius ps ntfe eft .G Jlinea eft 
longitudofmelarirudte. Lrtnee-vero e;e/ 
tremitates funt otto puncta.Gl£wea recta 
e ab vno pucto ad altum ^quilfima ejrten 
fio in ejrtremirares faas vrruqs eoiz reci/ 
ptcne.C&ugftctcs c/q logitudine i latttu- 
dinj tm babet:cut 9 termini qutdc fut linee. 
GSuperficies plana e ab vna linea ad ali 
am cjrtmftoincjrrremitatesfuas redpies. 
CSnguIus planus e ouarum lineay alte/ ° 
^Urtus cotactus-.qua^ ejcpanfto eft fuper ftt / 

flficte appitcatioqjnooirecta.C/Quadoaurcanguliicotinentoue t 
inee rccte rect iline" angulus noiatur. G &\\ rccta linea fug recta **' 
ftererir ouoq5 angult vrrobiq5 mertnt eqles co% vtcrqj rccr'* erit. orcmus 
C£ineaq5 linee fupcrftans et cut fupftar ppcdicularis vocaf .C2Uf •£ 
gnlns vcro qui recro maio: eftobrufus oieif .GSn^uP vcro mto: 
recto/acur* appellaf.GZermin? c qo vniufcniufq^ finis e.Cf tgu / 
ra e q rermino vel tcrmints ptinef .G£ircul? e ftgura plana vna cf / 
de Unea corenra:q circufereria noiaf-.i cui^mcdto puct^ea quo oes 
linee recte ad circu ferentia e?eu tes ftbiinuicc funt equales.<£t bic 
quide punct* cet? circttli oicit. G «£>iameter circuli e linca recta q 
litp eP centp tranfies ejctrcmitatesq^ fuas circu ferentte applicans 
circulu in ouo media oiuidir.C ©emicirculus e ftgura plana oia/ <r • 
merro circult i medictarecircufcrenriecorcnra. G 1^»o:rto circult <«*" 
cft ftgura plana recta linea i partecircuferentie cotenta: femicircii- «. 
loquidemautmjto:autmtnor.Gllvectilineefigurefut;que recris l ?$ 
lineis cotincnf ^uap qncda rrilatere/q trib^ recris lineis :qucdam Jr" d 
quadrilatcre q quatuo: rectis lineis:qda multtlatcrc q plurtbus q5 fc 
quatuo: rectis lineiscontinentur.Gf iguray trilaterarum:alia eft " 
triangulus babens tria latera equalia&lia triangulus ouo babes 
cqnalia larera.Slia rrtangulus triu inequaltu lareru. IKtaru irertt^ Jbri S onuw 
alia eft oJtbogoniu :vnu.fTrectu angulum babcns.Stlia eft ambli/ 
gonium aliquem obtufum anguJnm babens. 3Uia eftojcigonium: r- 
in qna tres anguli fttnt acuti.Gf igurarum autcm quadrilateraru . jj? 
3Uia eft quadratu quod e equilatern? atq5 recrangulu .Slia eftal/ \- 
reta^re longusrque cft fignra recr>ngula:fcd cquilarera non eft 
aiia ertlidTnous :: que eft equilatera: fed rectangula non eft. 



]•« L, tfata \?<jc--T>rffimUrf rit^mt- '■ . 

mia -Tcfiinitia ■ 

l^ J Tiunauo 

' Xmea • 

3- ; ■ — . . 

Xinca curua 



fUEficiCBplana. 





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triafcqliulatcp 



•itbesontuo amWigoitius 



Ictrag6'l6s' 



qdratu» I 









- AlrTSa.. 






LIBER 



•pxralclic. 



TJelmilaripba 



-be tfmihv--*-0 • 



SiXitbelmo, 





G3Uia eft fimilis belmuavm qne oppolita latera babet eqnalia atq^ 
oppofttos angulos cqualcs:idem tame nec rectis angults nec equis 
lateribus cotinetur.l|b2eter bas ailt omnes quadrilatcre ftgure b& 
muaripbe nominantur.G£quidifrantcs linee funt q in eadem fuper / 
firiecollocateatqiinalterutram partempjotractenoconueniut eri' 
am ft irt infinitum p:otrabantur. $/>#ftffp&~~ 

jStitiones fnnt qninq^.GSquolibetpunctoiquemlibj 
pnnctil rectS lincam oncercatq^lineam oefiniram incon 
tinuum rectuq? quatulityt p2o'traber..G£>uper centru 
quodUbetqudtuUbetoccupandolpacium:circulumoefi/ 
gnare: G/^mnes rcctos angulos libi inuicem effe equa/ 
es.GSi linea recta liiper ouas lineas rectas cecident ouoqi anguli 
cj: vna parte ouobus r cctis angulis mino:es fiierint iftas ouas Une/ 
as iu eandem partein pJotractas p:oculdubio coniuncti ire.Ci£>uas 
lineas rectas fuperficiem nullam concludere. c >tr M 'Cicrfmnrj— 
■0n\ munes animi coceptioes funt bee CjQue vni i eidej 
limt equalia i ftbiinuice funt equalia. C£t ft equalib? eq 
lia addant tota quoq? ficnt equalia.G/£t li ab cqlibus eq 
liaauferantur querelinquut erutequalia.C(£tfiabine 
qlibus cqlia oemas q relinquunt erut incqlia.Cj£t fi ine 
qlibusequaliaaddasipfa quoq^ fient ineqlia.C£>ifiierintt>ucres 
vni equales ipfe ftbiinuice erunt cquales.Cgn fiterint oue res qua^ 
vtraqj vnius eiufde fuerit oimidium Vtraq^ erit cqualis alteri. C£n 
aliqua res alicui fupcrponatur applicerq? ei nec ejrxedat altera alte/ 
ram:illefibiinuicem eruntequales.G/Cmuetotum eft maius fuagte 






1 Xicndu c(T aiit q> p:ctcr bas animi 9ceptiones:fiuc coes fcias mnl/ 
! tasaliasqucnumcrofunt inc6p:cbenfibiles p:ctermifit £uclides: 
quarfi bcc c v»a .G5i oue quantitates equalcs ad qualibct tertiaj 
eiufdcm gencris comparcntm fimul erunt ambe illa tcrtta aut eque 
maiojes:aut cque minojcsJaut fimulcqlcs.CBtematia .Quanta 
cftaliquaqnantitasadqiulibcraliamciufdcmgcneris tantameffc qualibctter/ 
tiam ad aliqnam quartam ciufdcm gcncris iu quantitatibus contiuuis: boc vni/* 
ucrfaltter verum cft fiuc aurecedentcs maio:cs fucrint confequentibus fiuc miuo 
rcs.magnitudo enim occrefat in infinitum.in numeris autem nou fir.fed fi fuerit 
pjimns fubmultiplejc fccundi:crit quilibet teriius eque fubmulriplejc alicui 9 quar/ 
ti»|uonia numcrus crefcit in infinitu:ficut mag nitudo in infinitu minuitur. 

Ifbzopolitio .1. ei>< - 
IrXiangulum cquiiaterum fup:a oatam lineam rcctam col 
locare. 

CEfto oata linca rccta.a.b.volo fupcr ipfam triangulil equilateru 
coftitucrejfupcr altcra cius cxtremitate.f.in puncto.a. ponam pedc 
circintimmobilcm:? altcru pcdem;mobilcm cxtendam vfq^ ad.b. t 
oefcribam frn quantitatc ipfius lince oatc pcr fecunda petttione arculu,. c.b.d.f. 



rurfus altcra eius cxtremitatc.f.punctii.b.fatia ccntru:? pcr candc pctitioncm et 
tm ciufdem qtiantitatem lineabo circulum.c.a.d.b.qui ctrculi interfecabunt fc in 
tmobus puuctis que fint.c.d.caltera ouarum fcctionii:ficut fcctionem.d. cotinua 
bo cum ambabns crtrcmitatibus oatc linee pjotractis lincis.d.a.d.b.pcr piima 
pctitioncnr.quia ergo a puncto.a.quod cft ccntrum circuli.c.b.d.pjotracte funt li 
nce.a.d.c.a.b. vf 5 5 d cius circufcrcntiam ipfe cruiu equslcs pcr oifTinitione cir 
cu!i.5imiliterjquoq5:quia a puncto.b.quod eft cetrum circuli.c.a.d. piotracte fut 
litice.b.a.-z.a.d.vfqs ad cius circufercntia ipfc erunt ctia^ cquslcs .quia crgo vtra 
q? ouar lineaE.a.d.fc^Lequalis eft linca.a.b. vt piobstu efcMpfc erut equales in/ 
tcr fc pcr piima coceptione:ergo fupefoatam lincam collocauimus triangulu cqui 
latcrurmquodcftpiopofitum.CSiautcm fupercandemlincam libcat collocare 
reliquas ouas triangulo?: fpecies.fc^ triangulu ouu cqualiu latcru 1 triaiigulil tri/ 
um inequaliu latcrum.^ptrabar linca.a.b. in vtraq3 ffc vfcpquo occurret circufe/ 
rentie amboy circuloi;:fuper ouo punccs.f.s.b.s pofito ccntro in puncto.a. lincc 
rur circulus.c.b.g.frn quatitatc linee.a.b.^teq? pofiro centro in puncto.b .iineet 
circulus.c.f.g.fmi quatitate linee.b.f.bi aute circuli intcrfccabunt fe in ouob 9 pun 
ttis qui funt.c.g.£6iunganr igif ejttrcmitatcs oatc lince cum altcra otcta^ fccrio/ 
num p ouas lincas rcctas q funr.a.g.b.g.tqi beclince.a.b.c.a .f. cxcunt a cetro 

circuli.c.d.f.adeiuscircuferentiaipfeeruntcquaIes.Sirrquoq5.a.b.c.b.b.quia 
cyeunt a cetro circuli.c.a.Ub.vfq; ad ipfiuscircufercntia ipfc crut equales. Ouia 
ergo vtraq; otiai; linca^.a.f.cb.b.equalis e Ijiee.a.b.ipfc crunt iiiter fe equales 
crgo pofito.a.b.coi crit.b.f.cqualis .a.b.fed.b.f.eft cqualis.b.g.qj ambo ereunt 
9 ccntro circuli.c.f.g.ad cius circufcrentia.Sitr quoq^.a.b.eequalis.a.g.t vtraq; 
ca? cft maioi.a.b.co cp vtraq; oua? lineay.b.f.t.a.b.maioj cft.a.b.quarefupcr 
oatam lincam collocauimus triangulum ouojum cqualium late£. Clriangulum 
etia trium incqualium latqz fuper cande linca collocauim 9 :» aliqb punctii cr.ifres 
in circufcrcntia altcrutrius ouoj; maioz; circuloi; qb no fit in altcra oua^ fectionu 
* cui 116 obuict.f.b.cu in vtralibct ptem .ptracta fucrit in cotinuu 1 oircctfi-.coiur» 
yerimus g ouas lincas rcctas c5 ambabus ertremiraribus eatc lincc.Sit.n.pun/ 
ctus.k.fign arus in circufcrcntia circuli.e.f.g.? 116 fit in altera fectionu nec occur/ 
rat ei.f.b.cu ^ptraberet in cotinuu % oircctu vfq; ad cius circufcrcntia. ;prraba cr/ 
go lineas.a.k.f.b.fc.? fecabit linea.a.k.circuferentia circuli.e. b.g. fecct crgo t pu 
cto.l.cfitq^.b.fc.cqualis.a.l.qj.b.k.ceqiialis.b.g.c.a.l.cqualis.a.g.quarc.a.fc.e 
maioi.b.k.fedc.b.k.cftmaioz.a.b.triangtiluscrgo.s.b. fc.eftrrium incqualium 
latcrum.Sic igitur fupcr oatam lincam omncs triangulo? fpccies collocauimus. 
l(b:opofitio .2. 

*&ato puncro cutlibet lirtce recte p:opoftte equamre/ 

ctam lineam ouccre. 

CSit.a.punctus oat 9 t.b.c.linc3 03ta.VoIo 3 pucto.a. oucereline 
am vna equale lince .b.c. tn quacuq; ptem cotingattonitwga crgo 
punctum.a.cu altcra cxtrcmitatc linee.b.c.cum qua volucro.s con/ 
iungam ipfum.a.cu cxtrcmitate .c.p lincam.a.c.fup qua pftitua triangulu eqta/ 
tcrfi Pm ooctrina pcedcntis qui fit.a.c.d.i: in illa errrcmitatc lincc oataKcum qua 
coniuntf punctii oatu.f.in ertrcmitatc.c.pona pede circini imobile 1 oefcriba fup 
tpfum circulum frn quantitatem ipfius oate linee qui fit circul 9 .e.b. % lat 9 triaguli 

9 J 






LIBER 






equilateri qtfopponif puncto oatofC5latus.d.c.;pfrabap.ccnt?2rircuU ocfcripti 
vfcj5 ad ci°circufercntia:« fit tota linca fic .ptracta.d.c.e.fw cuij quatitatc linca/ 
bo circulu pofito centro in.d.qui fit circulus.c.f.c poftea .ptraba latus .d.a. vfq5 
ad circuferentia buius vltimi circuli * occurrat circufercntie ipfiue in puncto. f .oi 
co igif qna.f.e equalis.b.c.na.b.cJ.c.e.funt cquales q: ejccunt a ccntro circuli .e. 
b.ad cius circuferenria.Sitr quoq^.d.f.l.d.c.f unt cquales q: cjreunt a cetro circu 
li.e.f.ad circufcreutiam fed.d.a.i.d.c.funt equalee q: funt latera triangnli cquila 
tcri.crgo fi.d.a.c.d.c.oemanf oc.d.c-r.d.f.que funt eqles-.ernnt rcfidna q funt a 
f.s.c.cequalia.q: ergo vtraq^ ouay linea^.a.f.j.c.b.cft ccmalis.c.cipfe fut cqua 
les intcr fc:quare a puncto.3.p:otr8tfmu8*nca.a.f.cquale'.b.c. quod cft p:opo/ 
fitum. Ijbiopofitio .5. . ; 

nifsopofitts Ouabus Uneis inequalibus ©e longtoji earum 
bzeuio:! equalem abfcindcre. 

GSint ouelinee.a.b.i.c.d.': fit.a.b.mino: volo ct.c.d. abfcindcre 
vna q fit equalis .a.b.ouco pmo a puncto .c.vna linea cquale .a.b. 
_i ftn qt> oocuit pcedes q fir.c.c.pofito ergo centro in puncto.c.ocfcri 
bam circulu fro quantitatcc.e.qui fecabit linca.c.d.fit ergo vt fccet ea in puncto 
.eritq5 linea.c.f.equalis lince.c.c.q: ambo cxcunt a centro ciufde circuli ad circu/ 
fercnriam:t quiavtraq^ ouarumUneay.a.b.T.fc.cftequalis.c.e.ipfc funtintcr 
fe eqnalcs:quo d eft piopofitum. Ijbzopofttio .4- 

Xlfcniu ouo£ triangulo^ quoy ouo latera vnius ouob/ 
lateribus alterius equalia fuerumouoq? angult eoy tllis 
equilateribns contenti equales fueriut alter altcri-.latera 
quoqj illoy reliqua fe fe refpicientia equalia ireliqui Ve/ 
ro angult vnius rcliquis angulis alterius equales erunti 
actomstriangulustotitrianguloequalis.GSintouotriangulu.b.c.d. 
e.f.fitq^latus.a.b.cqualclateri.d.crlatus.a.c.cqualelatcrt.d.f.^angulus.a.eq 
lis angulo.d.tunc oico cp bafis.b.c.cft cqualis bafi.cf.? angulus.b. eqlis angu/ 
lo.e.3tcanguIu8.c.equa!isangulo.f.q6 l pbatur: fupponam triangulum .a.b.c. 
triangulo.d.e.f.itacpangulus.a.cadatfupangulu.d.clatus.a.b.futjlatus.d.c. 
■z latus.a.c.fug latus.d.f.t P5 pcr penut.coccptionc ep ncc aflguli ncc latcra fe fe 
ejccedent eo cp angulus.a.e eqnalis angulo.d.s latcra ftippofita bis quibus fuper 
ponuncperypotbefim.punctacrgo.b.c.cadcntfupcrpuncta.c.f.fiergolinca.b.c 
cadit fupcr linca.cf.parct p:opofitum:quia cum linca.b.c.fuperpofita lincc.c.f. 
non cwedat ca nec ejcccdatur ab ca eft ci equalis per c5uerftoncm pcnultime con / 
ccptionisieadem ronc erit angulus.b.cqualisangulo.cc angulus.c. eqlis anglo 
f.fi aute linca.b.c.no cadit fiip linea.cf. fcd cadit inter triangulu ficut linca. e.g.f 
aut cjtra ficut linea.e.b.f.tunc oue linee recte condudunr fupcrficicm:quod e con 
travltim ampctitioncm. IfbJOpoiitio .?. 

■GDnes trianguli ouum equalium laterum angulos qui fu 
p:a baftmfuntcqualcs effcneceffc ccpfteiusouoequa 
fialatcraoircctep:otrabantur fientquoqsfub bafiouo 

anguli inuiccm equales. 

GSittriangulus.a.b.c.cuiusIarus.a.b.fitequalcIateri.a.c.eicoq? 

angutas.a.b-.c.e equalis angulo.a.cb.q; fi .ptrabanf .a.b.t.a.c. vfqj ad.d. ?.c. 





I 




fietartgulud.d.b.c.cqualisangulo.c.c.b.qtf ficpjobaf:,ptractie.a.b.«. a.c.pona 

per tertiatanea.a.d.equalem liiice.a.c? p:otraba liiieas.cb.d.cc intclliga ouos 
triangulos.a.b.e.s.a.cd.quos,pbabo eecquales? equilareross equiangulos. 
Suiueniouolatera.a.b.t.a.e.trignguli.a.b.c.cqualisouobuslareribus.a.ct.a 
d.trianguli.a.cd.? angulus.a.e cois vtricp crgo p p:cmifla bafis.b.e.cft equalis 
bafi.cd.cangulus.e.cftequalisangulo.d.tangulus.a.b.e.cqualisangulo.a.c.d 
3tem intcllige ouos triangulcs.d.b.cc.ccb.quos fimilircr piobabo effe equila 
teros « cquiangulos.ncm ouo latera.d.b.c.d.ctrianguli.b.d.cfunt equalia ouo 
buslatcribus.e.ci.&b.trianguli.e.b.cfangulus.d.eft equalis anguto. ccrgo 
pcrpjemiffam bafis bafii-i rcliqui ar'guli rcliquis angulis ergo angulus.d.b.ccft 
equalis angulo.ccb.i bc: cft fc6m piopofitum fc^ q> anguli fub bafi cqnales fut 
z angulus.b.cd.cft equalis angulo.e.b.c.fcd totus.a.b.e.e cqualis. a.cd. vt p/ 
batum fuit fup:a:crgo angulus.a.b.crcfiduuscft equalis.angulo. a.c.b. refiduo 
quo:um vtcrqj eft fuper bafim:quod p:imnm p:opofitum. 
Ijbjopofitio .6. 
3f ouo anguli ahcuius trtanguli cquales fueriut ouoqs to 
tera angulos illos refpicientia cqualia eruttt. 
Cbec e couerfa p:cmiffe quantu ad prima cius pte. Sit eni triangn 
Ins.a.b.ccuius ouo anguli.b.?.cfunt cqualcs.oico cp latus.a .b.e 
cqualis latcri.a.c.Si cni 116 funt equalcs erit altc^ altcro maius:fit/ 
qj.a.b.maius quod refecetur adcquatitatc.a.cpcr tcrtiam pwpofitioncm.vt fu/ 
pei rluum fit a partc.a.i refe cctur in puncto.d.fitq5 .b.d .cqualis.9:c 1 oucat li/ 
nea.d.c3ntcltigoergoouostri9ngulo3.a.b.c?.d.b.c.quosp:obabo effecqni/ 
btcrcs «cquiangulcs:funtcnim ouo litcra.d.b.c b. c trtanguli. d. b.ccqualia 
ouobus latciibus.a.ci .b.ctriaugnli.a.b.c^ angulus.b.cquatis angulo.c .totali 
per vpotlxfim ergo bafis.d.ce equalis bafi.b.a.? angulus.d.cb.cqualis angulo 
a.cb.pars vidclicct toti quod eft impoffibilc 

1fc»:opofitio .?. 
% aouobuspunctts aliqna hnea terminantibusoueli/ 
mc ad punctu vnum cocurrentes erierint ab eildem pun/ 
ctisalias lineas fingulas liuo conterminalibus equalcs 
! que ad aliu concurrant in eandem parte Ouct e ipol libile. 
Msitlinca.a.b.acuiusejtrcmitatibDs.ptrabant ouc lince inpar/ 
tcm vnam que ccncurrant in eodem puncto vt f mt .a.ci.b.c. quc cocurrant i pun 
cto.c oico cp in eandcm partem non p:otrabentur alic ouc ab cifdcm ejtrcmita/ 
ribusqreconcuuantadaliud punctumatacpillaquc cgrcdictur a puncto. a.fit 
equalis lincc.a. ct quc cgredictur a puncto.b.fit cqualis lincc.b c. Qoci (i fuerit 
poffibitc p:otra bantur alic oue iinee in eandem partcm que concurranr in puncto 
d.«fittine3.a.d.cqualislinec.a.c«linca.b.d. cqualis. b.c antcrgopunctiis.d. 
cadet intra rriarrgulum aut ejctra :uam in altera latcrum.a. ci.b.cuou cadet quia 
tunc pars effet cc, lalis fuo toti.Si autem cadat cctra aut altcra linearum.a .d.et 
b.d.fccabit altcram lincatum .a.ct.b.caut ucutra ncutram.s fccet p:imo altcra 
altcranupiotrabattirtiiica.cd.qtiiacrgotmngir.i.a.c.d.ouolatcra.a.cr.a.d. 
funt equalia.erit angulus.g.cd.cqlis gngulo.a.d.cpcr quintam. Similiter quia 
iu triangulo.b.cd.onolatcra.b.ci.b.d.funt cqualia eriit anguli.b.cd.c.b.d.c 

a 4 








LIBER 






Similiter eqnales per candem:f quia angulus.b.d.ccft maiojangulo.a.d. cfc/ 
quitur gngulum.b.cd.cfle maio:em anguloia.cd.parrem fcj toto quod eli im/ 
polTibile.Si aure.d.cadit ejctra triangulum.a.b.cira q> lince non fc feccnt p:otra 
bam lincam.d.c« pwducam.b.d.c.b.cfub bafi vfq^ ad.f.i ad.e.s quia lince.a. 
d.f.a.cfunt equalcs: crunt anguli.a.cd.s.a.d.cequalcs pcr quinta. Similiter 
quia:b.c.i.b.d. fuut cqualcs.erunt anguli fub bafi qui funt.cd.f.s.d.cc.equales 
per fccundam parte ciufdeimquia ergo angulus.e.cd. mino: e angulo. a.c.d .fe/ 
quitur angulum.f.d.ccflemino:e angulo.a.d.cquod cft impoffibile:? codc" mo/ 
do ocducetur aducrfarius ad tnconueniens:fi.d.punctus c?dat intra triangulum 
a.b.c.«. • 

1(b:opofitio .8- 
Zlfbmam Onoytriauguloy quojumOuoIateraVm^ouo/ 
bus latcribus alterius fuerint equalia: bafifqj vnius bali 
alterius equaUs:onos angulos equis lateribuscontetos 
equales efle necelle cfh 

GSint ouo trianguli.a.b.c.d.c.f.fitcij.a.cequalis.d.f.c.b.e. equa 
lis:e.f.?.a.b.cqualis.d.e.oico cp angulus.c.e cqualis angulo.f.c angulus.a .an/ 
gulo.d.c angulus.b.angulo.e.fuperponam bafim.a.b.bafi. d.e. quc cu fint equa 
les ncutra excedct altcra pcr penultima conccptioncaut crgo punctus.c.cadct fu/ 
pcr punctum.f.aut non.Si fic.tunc quia angulus.c.fuperpofitus crit angulo.f.ct 
ncutcr eo:um cxcedit alterum:ipfi funt equalcs pcr couucrfioncm conccptionis p/ 
dicte.Similitcr arguc rdiquos angulos cffc cqualcs.Si autem punctus.c.non ca/ 
dit fnpcr.f.fcd fuperquemlibet alium qui fit punctus.g.quia.c.g.cft equalis.b.c. 
immo eadcm:itcmq5.d. g.cqualis.a.cerit.e.g.cqualis.e.f.t.d.g.equalis. d. f.qo' 
eft im poffibilc pcr p:eccdentcm. 

Ijbzopofitio .9. 
3(mtn anguluir; per equalia lccare. 
GSit oatus angulus qucm opo:tct oiuidcre:9nguIus. 9.b.c. liners 
ipfum contincnrcs quc funt.ab.f.b.cponam equalcs per tcrtiam 
z p:oducam lincam.a.c.fupcr quam conltituam triangulum equila/ 
terum.a.d.c.c p:otrabam lineam.b.d.oico cp ipfa oiuidit oatu an/ 
gutinn pcr cqualia.3ntelligo ouos triangulos.a.b.d.c.cb.d.c quia 0110 latcra.a 
b.f.b.d.trianguli.a.b.d.funt cqu^lia ouobus lateribus.cb.s.b.d.trianguli.cb. 
d.« bafi8.9.d.bafi.c.d.crgo pcr p:ecedcntem angulus.a.b.d.e equalis angulo.c 
b.d.quod cft p:opefitum facere. 

l^JOpofittO .10. 
iRopofita recta linea cam per equalia oiuidere. 
GSir p:opofit9 linca qua opo:tct ciuidcre pcr cqualia.linca.a. b.fu 
pcr ipfam conftituam triaugulum equilaterum.a.b.c? angulum.c 
ciuido pcr equalia Pm ooctrinam p:eccdentis pcr lincam.c d.oico 
qplinca.cd.oiuiditoatamlincam.9.b.percquali9.3ntelligocnim 
cuos triangulos.9.cd.«.b.cd..« 9rguo fic ouo latera.a.c^.cd.trignguli, a.cd. 
funtequaliaouobuslateribus.b.cc.cd.trianguIi.b.cd.Tangulus.cvniusan/ 
gulo.calrerius ergo per quartam bafis.a.d.bau.d.b.quod eft pwpofitum. 







2Ua Unea rccta a pnncto in ea fignat o ppcdiculare ejrtra / 
bere t»uob 9 quidc angulis cqltb^ ac rectis Vtriq^ fubnijca 

GSit oata liuea.a.b.m qua fit oat 9 piicf.c.a quo opoitj ppcdicu/ 
larc ejctraberc.facia g p, tcrtia linca.b.c.cqle lince.a.ci fog tota.a.b 
pftitno triangtin cqlatC2,a.b.d.i ( ptra u o linca.c.d.oe q oico g> ipa 
egpendlcularis fug tinea.a.b.^ntdligo ouos triangtbs.a.c. d.c .b.c. d.v q: ouo 
latera.a.c.?.c.d.trian3uli.a,.c.d.futeqliaouob 9 latenb^.c.b.cc.d.trianguli.c.b. 
d.«bafis.a.d.bafi.b.d.cnt p.s.angulus.s.c.d.cqlissngiib.b.cd.circVtcrqsco 
ru crit rcct 9 p oione anguli rccri:-r lir^a.c.b.ppcndiculari3 fup, linea.a.b.p oiffuti 
tionelinccppendicularisqoe^ppofitij. "ilbJOpofttio .12. 

| Ijbuncto ertra fignato ad oatam lineam tndefinite quan/ 

j titatisperpendicularem 0educere.GSir.a.punctusfignatu3 

qctralineam:b.c.3 quo ad ipfa opouct ocducerc ppcudiculare:p:o/ 

j bam crgo linea.b.c.in vrraq^ partc quantu Ubocrit.t fup punctii.a. 

SjOcfcriba circulu.b.cfic vr fccct linea oata m punctis.bc c ^ptrabaj 

lineae.a.bw.a.cc oiuida augulii.b.s.c p, cqlia g Iinca.a.d.p.9. oico cp.a. d.cft 
ppcndicularisfuplinca.b.c.3ntclligoou08triangulos.a.b. d.i.a.c.d.iqiouo 
latera.3.b.c.a.d.triangiili.3.b.d.futeqIiaouob 9 l3teribus.3. c.t. a:d. trianguli 
a.cd.c angulus.a. vni 9 cqlis angulo.a.altcrius:crtt £.4 - bafis. b.d. cqualis bafi 
d.c.tangulus.a.d.b.cqualisaiigulo.d^e.qrcvtcrq^eoyrcctusilincs.a.d.p/ « 
pcndicularis fnpcr linca.b.cp oiffwitione anguli recti 1 linec pcrpendicularis:qd 
cftp:opofitum. I^Jopoiitio .13. 

■Olbnis rccte linee fuper rectam lincam frantis ouo vtro/ 

biq^ anguli aut funt rccti aut Ouob" rcctis Cqles.G Sit vt li 

nc3.3.b.fupftct lincccd.q fi fucrit fup ca ppedia%ris fsciet ouos 

| angfos rcctos p couerfione oionis.fi aiit no fucrit fpg ca ;ppedicula 

!(ri3 a piicto.b.oucaf.b.e.ppendicularis fup_. c.d.p.i i.crutq^ ouo ait 

Sott.cb.c.T.e.b.d.rccti g coucrfionc oifnnitioisrqj crgo 0110 anguli.d.b.a. f.a.b 
t.adequant anguto.d.b.cipfe cii anguto.cb.c crunt eqtes ouobus rcctisi quare 
tres angutiqm funt.d.b.a.a.b.c.-j.cb.e.fut cqles ouobus rcctis: fcd angul 9 .cb. 
fl.eeqli8 0uob 9 3ngut'.cb.CT.c.b.a.crgoouoagnti.c.b.a.?.a.b.d.futcq!csouo 
b 9 rcctis.qo e ^pofitu ■£.%■ quo p, cp totti fpaciu qo in qual.bct fugficic f lana pun 
ttuq6lib5Circ5ftatqtuonectisangut'eccqlc ilbJOpOUtio .14. 

"Hl % tme linec a pucto vni^ Itncc i oiuerfas pt cs ejrierit Ou / 
olqjcircafeangulosrectosaut ouob^rectis eqlesfece/ 
rint:tlle oue linee libi oirecte coniuncte funt 1 linea vna. 
G Stt vt a piicto.b.Uneca.b.ereat oue lincc i oppofitaf ptes q fint 
Jb.cs.b.d.sfaciutouosangfosquifut.cb.a.s.d.b.a. eqlesouob 9 
rcctis:t5c oico cp oue lineccb.?.d. b.fut fibiiuice oirecte piiicte 1 linea Vna 1 bec 
e qft puerfa poji8:q> fi no fucrit linca vna tuc ,prrabaf .c.b.in cotinuu 1 oircctu q 
qj no e linea vna cu.d.b.trafibit fup eS vt.b.e.aut ifra ca vt.b.f.qj crgo fug linca 
recta q ccb.e.cadit linea.a.b.crut anguli.cb.3.c.e.b.a. cqles onob 9 rcctis pcr 
pcedente «qi oes rccti fiit adiuice eqles p.J.pctitione aguli quoqj.cb.a.^.d.b.a 
fut eqles ouob 9 angufrectis p fpotbefim erut ouo aguli.cb.a.s.cb.a. eqlcs ooo 
bu8agult3.c.b.a.7.d.b.9.Soeptoc6iangt'o.cb.a.eritangl's.e.b.a.eqIisangt'o 

a* 






c b 





LIBER 







d.b.a.ps toti:q6 eft impo(Tibi"e:fit'r linca.cb.,ptract3 .pbabis angulu. d.b.a.ce 
eqnalcm angulo.f.b.a.ft fonc oiccret aducrfarius lincam.cb. p:orractam cadere 
infm.b.d. IJbJOpofttio .if. 

IJZJDninm buaE lineay fe inuice fecatiu:oesanguli contra 
fe poftti fut eqles:vncfe manifeftu eft op cu oue linee recte 
fe muice fecat qtuo: qui fiutanglbs qtuoj rectis ee eqles 
GSint oue lince.a.b.ccd.fcinuicc fecatcs i pucto.e.oico cp angls 
d.c.b.ceqttsangfo.a.c.czansu^.b.c.c.ceqlisangulo.a.e.d.crut 
eni p.i 3-ouo anguli.a.ccz.ccb.cqualcs r^iob 9 rectis:itcq5 ouo anguli.c .e.b.« 
d.e.b.equatcs ouobtis rcctis p cande :quarc ouo pmi fut eqles ouob 9 poftrcmis 
eo cp ocs rccti fut admuicc eqles p.4.petitione :oepto ergo coi angulo q* c. c.c.b. 
crit angulus.a.cccqlis angu!o.d.c.b.£odc mo .pbabit angulu.c. e.b. cc eqlcm 
Bngulo.a.e.d.qblefr.ppofitu. 1(b20pofltto .\6. 

1 5 quotlibet latey trianguli otrccte .ptrabat faciet angu / 
|lu ejctrinfecu vtroq? angulo trianguli libi intrinfecus op/ 
pofito maioje.GSit vt trianguli.a.b.c.tatus.a.b. ,ptrabaf vfqj 
ad.d.oico gp angulus.d.b.cmaio: e vtroqj ouor angulo^ intrinfe 
coyfibioppofito^quifunt.b.a.c.cb.c.a.oiuidacnip^io.linedcb 
P cqualia in puncto.e.c ^ptraba.a.e. vfq^ ad.f.ita vt.e.f .f iat cqualis.a.c? ^tra/ 
bam linea.f.b.intclligo ouos triangulos.c.ca.f.b.e.f.cq: ono latcra.a.c ccc 
trianguli.a.e.cfutcqualia ouobus latcrib^.f.c.ce.b.trianguli.f.c.b.t angulus 
c vuius e eqlis angnto.e.alteri 9 p pjcmiffaircq: fur anguli ppofiti:crit p.4.angu/ 
tos.e.ca.eqlisangulo.e.b.f.ctoangul^.cb.d.maiojeritangulo.b.ca. Stmili/ 
ter quoq^ .pbabit cp eft maiot angulo .c.a.b.nam oiuida.a.b.pcr cqlia in puucto 
g.pcr.io.ipwtrabalinca.g.b.cqualelinccc.g.B.j.poltca^ptraba.b.b.k. erutqs 
onojztriangutoyquifut.a.g.ccbig.b.ouolatera.a.g.cg.cpjimi cqliaouob 9 
"atcribus.b.g.?.b.b.fcbi:i angutus.g.vnius augulo.g. alteri 9 per. i f .crgo pcr.4. 
anguius.b.c.a.e cqualis augulo.g.b.b.quare p. 1 $ .1 angtilo.k.*b.d. % q: angulus 
c.b.d.e maio: angulo.k.b.d.crit etiam maio: angulo.b;3.cquod eft p:opofitunt 

Ijbzopofitio .ir. 

jlXlCS nis triaguli Cno qlibet aguli Ouob 9 rectis fu t mto:es 

I GSit triangnlus.a.b.c.oico q> ouo quitib^ci^anguli ouob°rcctis 

funt mino:es. ( ptrabat eni vnit latus eius vt.b.cvfq^ ad.d.erttqj p 

pcedcnte angulus.cextrinfecus maioj.a.c maioj.b.fcd.c.cxtrinfec 9 

cnm.cintrinfeco eequalis ouobus rectis t g.i j.crgo angnli.b.cc.m/ 





trinfeci fiue anguli.a.i.cintrinfcci fut mino:es ouob 9 rectis:filr ft .ptrabaf larus 

b.a.piobabitur <j> ouo anguli.a.cb.funt mino:cs onobus rectis quod eft p:opo 

fitnm; ^JOpolitio .is. 

[jXlknfs triangulilonginatusmaiouangulo oppolitue ; 
hGSit vt i triangtb.a.b.c.sngfs.a.fit maiot angto.coko g» lat^.c 
j b.maio: crit latcre.a.b.fi cni fit eqle ctir p.j.angfs.a.ecilts angto.c 
I q6epfpotbcfim:fiaut.a.b.fitmai 9 rcfccef adeqlttatccb.p.J.fit/ 
Jq^.d.b.eqle.cb.critergop.j.angnlns.d.c.b.eqlt8angulo,b.d.c.fed 

b.d.c.eltmato:angnlo.b.a.cp.itf.ergo.b.c.d.cmaioi.b.a.cqrcmultofo:ti 9 ma 

toj.i.cb.ps toto:q6cipolTibJlc •^bzopolitio .19. 







QDnistriangulimaioJtanguto longi^latus oppolitue. 
G5it vt in triangnlo.a.b.c.latus.b.c.fit maius latcrc. a. b.oico cp 
angulus.a.erit maio: angtb.cz c pucrfa pccdctis: fi eni fit cqualis 
tunc p.<s.lat 9 .a.b.c eqiialc Uteri.b.cq6 c p ypotbcfim.fi autem.cfit 

jJ "aioi tunc pcr pcedcnte latus.a.b.cft maius latere.b.c q6 eft ptra 

yporbeiim qu irc aftruif piopofitu. "Ijbjopofttio .20. 

^ flfbnis trianguli t>uo quelibj latera limul inncta rcliqno 

luntlongtoja.GSit.rriangulus.a.b.coicoo.JOuolatera.a.b.s 

,i a.cfnnt longio:a lates.b.cp:otrabarur linea.b.a.vfq^ ad.d.ita vt 

a.d.fitcqualis.a.c cp:otrabatur.cd.perqnintamcrit angulus.a. 

llcd.equalis angulo.d.qre angulus.b. cd.e maioj angnlo .d. crgo p_ 

iS.Iatus.b.d.eftmaiuslatere.b.cfcd.b.d.efteqnale.a.b.t.a.cquarc.b.a.t.a.c 
fimuliuncta!funtmaio:a.b.c IfbJOpofitiO .21. 

il 3J t»e ouobus punctte tcrminaltbus vnius [atcris triagu'i 
J ouelince cxeuntcsintratrianguluipfumad punctuvuu? 
■ conucniant eedctn Ouabus quide reliquis trianguli Imeis 
b jcuiojcs crunt 1 maiojcm angulum continebunt. 
— liGSit vt in triangulo.a.b.cab extrctniratibus lateris. b.c .concur / 
rant ouc lince.b.d.f.cd.ad puuctum d.intra trianguki.a.b.c oico cp ipfe fimul 
iunctclfunt b:euio:es ouabus lincis.a.b.T.a.cfimul iunctis 1 q> angulus. d.emtu 
iiojanguIo.afpTottabamcni.b.d.vfq^quofecetlatue.a.cinpuncto.e.cruntcpB^,,!' M"> \' yt *"f' 
ao.b.a.T.a.e.ffmul mncte maiOKS.b.e.crgo^b.a.^.a.c. funt maio:es. b.t.i x.c' w«a*>*-«Wi' 
atvero.d.c.c.c.cfimuliuuctepereandcmfutmaiOKs.d.cquarc.b.e.^.c.cfiit 
maio^es.b.d.^.d.ccquia.b.a.t.a.cfuntmaioKs.b.c.i.e.cvtpwbatum ep:i 
nsrcmnr multo fo:tins tnaiojcs.b.d.c.d.cqo clt p:imum p:opofitum.Sr qm an 
gulus.b.d.ccft maio: angulo.d.c.cper.ics.s angnlus.d.c.ce maio: angulo.e.a. 
b.per eandem erit augnlns.b.d.cmulto fo:tius maio: angulo .b.a.cquod eft fe/ 
curtdumpjopofitum. IJbJopofttio .22. 

plfAopolttis tribus linets rectis quarui Pue quelibet fttnul 
Uuncte reliquaftnt logiojes,oe trib 9 altjs lincis ftbi equa/ 
• libus trtangulum confTinterc. 
§3?®$ jGSint tres lince rccte p:opofirc.a.b.c? fiut quclibct one fimnl iun 
. ■SfefaJ» ] cte longio:cs rcliqua :aliter enim c* i'li3 tribus cqualibus triangulus 
noit poffet conftttut pcr.20.cum crgo cx lllis tribus p:cdictis volo conftitucre tri/ 
angu!um:fummo lineam rectam que fit.d.c.cui non pono a ptc.c. octcrminatum 
finein:oequauiinop.5.d.f.cqnaIcm.a.c.f.g.cqua(cm.b.c.g.b.cqua!em.cfacto/ 
q> puncto.f.ccntro oefcribo ftn quantitatcnt iiucc.f.d.circuliim.d.k.itcmq$ facto 
g.ccntro eefctibo frn quantitate linec.g.b.circulum.k.b.qui circult intcrfecabut fe 
tn ouobus ptinctis qnojum vnum ftt.k.atioquin fequcrcf vna oictazi lincaru effc 
equalcm alijs ouabus iimctis aat maio:cm eis: q6 eft contrarium poni: ouco er/ 
go lincam.k.f.t.k.g.critq^triangulus.k f.g.conftitutusexrnbuslincis cquali/ 
btis lincis.a.b.c.oatisifunt enim.f.d.c.f.k.cquales qm funt a ccntro ad circum/ 
fcrcnriam quare.f.k.eft cqualis.a.fimiliterq5.g.b.?.g.k.funt cqualcs :quta ejceut 
a centro ad circumfcrcnriam:quare.g.k.eft eqnalis.cz qnia.g.f.fumpta futt eqna 
lis.b.pj^ppofitamanifcfte. IfbJOpofitio .23. 





mf 



/1 muiumftti 









LIBER 

l&rarcctalineafup terminuCius cuilibet angulo ,ppoli/ 
to cquii angnlu Oeiignarc.G 5tt oata lrne3.f.cque e i fupio:i 
f gura:t fint linecb.a.ptineiJtes sngulii oatii cui fubtcnda bafim.c 
fup. pnctu.f.lmee.cf.iubcrc facere cquale agulii agulo cato ad linca 
^cXadiungo.f.d.cquBle lincc.a.i oc.f.cfumo.f.g.equalcb.? qc.g.e 
fummo.g.b.cqualcc? fuper puncra.f.t.g.oefcribo ouos circutos.d.k.ck.b.t?m 
quatitatc euaiz lineay.f.d.i.g.b.s mterfccautcs fe in puncto.k.ftcut oocnit p:e/ 
cedensouctifq^lmcis.k.f.c.k.g.cruntequaUaouolatera.k.i.c.f.g.trianguli.k.f 
g.ouobus larcribus.a.cb.trisnguli.s.b.c.^bafts.g.k.cqualis bafi.c.crgo p octa 
uam angulus.k.f.s.equalts crit angulo contcnto 3b.3.ca.b.quodeft p:opofttu. 

Ifojopofttio .14- 




css2H^!.£]fcniu ouoz triangulojz quo? ouo (atcra vmus Ouob* 
1^^^ latcrib9altcn9fiierintcqlia:fifueritan5uloJum fub tllis 

i ($s8§a ikauie latcribus cotcntor altcr altcro itiato: bafts quoqj 



■equis lateribus cotcntoy alter altero matoJ baits quoq? 

J ,C; 

f.s 

vnuqoqj fuo co::clatiuo octfru fc, oci:tro:finiftruq5 finiftrotfitqj angulus.a. ma 
io: angulo.d.oato:oico g> bafis.b.c.maio: erit bafi.e.f.facia cni myta oortrinarr» 
pcedcntis.cd.g.cqualc angulo.a.critq^ augulus.cd.f.ps eius z pona.d.g ,eqle 
a.c.i .ptraba.c.g.q aut tranfibit fup:a.cf. vt fccet linea.d.f.aut fup.c f.vt fit fe/ 
cu linca vna:aut infra.Irsnfcat ergo pmo fup:3 1 q:.3.b.ca.c.l3tcr3 trisnguli.a 
b.c.ftit cqlia.c.d.cd.g.lstcribus trianguli.cd.g.c angulus. a. angulo. d.totali: 
crit p.s.bafts.b.c.eqlis bafue.g.at vcr q:.d.g.cd.f.funt cqlcs.na vtraqj e eq/ 
!is.a.c.evitp.5.aijgulus.d.f.g.equal'angro.d.g.f.circ.d.f.g.maio:crit.f.g.c.s-.c 
f.g.multofo:ti 9 maio: e eodc.f.g.e.gp.i8.latus.c.g:maius e I3tere.cf.qre cb.c 
n!3io: ccf.qo' e ^ppofitu.Si Vero.e.g.trafcat fup.e.f.t fit fccu linc3 vna tunc.cf 
crit ps.cg.p vltima crgo pccptione p3 .ppofitu.fi vcro.cg.trafesJ ifra.cf.^ptra 
banf ouc linecd.f.f.d.g.q fiit eqlcs vt ^batu e vfqj sd.k.c ad.b.ficntqj g fc03$ 
Etequitifubbafi.f.g.anguU.k.f.g.cf.g.b.cqlcsquarcagul 9 .c.f.g.maio:eritan 
gnlo.f.g.c.crgop.i8.l3t 9 .c.g.m3t 9 clatcrcc.f.qrcb.c.in3iojc.cf.q6efl:^pofi/ 
tum.^ftud vltimu mcb:u poffct ctia probari p.zi.p ipfa cni crut i oifpone tcrtia 
eue linccd.g.^.cg.maio^es ouabus Itncis.d.f.i.f.c.c q::d.g.e equalis.d .f.p:o 
pter boc cp ambc funt eqles.a.c.crit.g.c.nJ3io:.e. f.qrc s.b.c.maio: q6 cft p:opo 
fitum:mcliu8tamceftoemonftrarep:io:imcdovtin omni oifpofttione arguac 
pcrquintam. IJbJOpofttio a.%* 

-QDniu Ouor triangulo? qucjr ©uo latcra vnr ouob^ la 
tenb 9 altcri? fuerint eqlia-.baiis vcro vui? bali alteri? fuc 
rit maioi erit quoqjangul 9 tnanguli maio:is illis equis 
lateribus cotentus angulo alterius fe refpiciente mato:. 
jCStiJtDuotriagtt.a.b.c.d.cf.fintq^ouolatcra.a.b.ca.c.pmieq 




lia cuob 9 larerib 9 .d.c c.d.f.fcci vnQq6q5 fuo co::clatio:fitq5 bafis.b.c.mato: ba 
fi.c.f.oico cp angt's.a.maio:erit angfo.d.bcc c pucrk pccdetis.£qlis quide non 
crit:fic eni ect p.4.b3fi8.b.c.cqli8 b3fi.cf.q6 cft p ypoibcftm:fcd ncc mino: q: fic 
effet.d.maio::? ira p pcedcnte bsfis.cf.crit msio: b3fi.b.c.q6 e prifj .ppofittoni 
qre maio: erit ficqj ^pofitu altraif . 1{b:opofitio -2tf. 




I 

■Qfcnium ouo? trianguloy quof ouo anguli Vnius ouo/ 
busangulisalteriustvtcrq^fe refpicienttequales fuc/ 
rint latus quoq? vnius lateri alterius equalefueritqj lat* 
tllud ititcr ouos angulos cqlcs aut vni co^ oppolitu erut 
Jquoq>ouovniusrcliqua lateraouob^reliquis altcrius 
tnanguli laterib^ vnuqoqs fe rcfpicienti equalia: angulufq^reliquus 
vniusangulo reliquo alcertus cqualis. CSmt ouo rrianguii.a.b.c.d.e.f. 
firqsangulus.b.cqualisangulo.c.taiigulus.c.cqlisangulo.f.fitqjlatus.b.c.cqlc 
latcri.e.f.aut altcy ouoy latcy.a.b.?.a.c.equ3lc altcri ouo?2 latc?. d.c.c.d. f.ita 
q>.a.b.fit eqiialc.d.e.ant.a.c.d.f.oito cp reliqua ouo latcra vmus erunt equalia: 
reliquts ouobus latcrib 9 alteri 9 1 rcliqu" angulus rcliquo angulo cqualis:angulus 
vidclicct.a.angulo.d.^ona crgo pmo vt latus.b.c.fup, q6 iaccut anguli.b.c.fit cq 
Ic lateri.c.f.fuE> qrj iacet anguluc.f.qui pofiti fut cqlcs angnlis.b.c.tuc oico cp la/ 
tus.a.b.eeqlcIatcri.d.e.-ilatus.a.c.lateri.d.f.tangulus.a.anguIo.d.Sicnila/ 
tus.a.b.no fit cqualc latcri.d.c.altcy crit maius:fit crgo nnius. d.e. qo refccabo 
adequalitate.a.b.fitqj.g.e.cqualc.a.b.tpioducalinca.g.f.cntq^p.^.angulus.j 
f.e.cqua!i8anguIo.a.c.b.quarc ? angulo.d.f.e.ps toti qb efr impoffibilc:crit crgo 
d.e.equaIe.a.b.crgop.4.d.f.eqna!c.a.c.'zangulus.d.eqlisanguIo.a.q6cpmuin 
meb:u omifiois .ppoftrc.Siut rurfus vt p:i 9 ,ouo anguli b.?.c.eqles ouobus an/ 
gnlis.c.c.f.fttq^latus.a.b.qo opponitur angulo.c.eqle lateri.d. c.qbopponitur 
angulo.f.cuipofitusccqlisaugulus.c.okocplatus.b.c.eriteqlelatcri.e.f.tlat 9 
a.c.lateri.d.f.iangulus.a.angulo.d.ficnilatus.e.f.nonfueritequalel9teri.b.c. 
erit alte?m9ius:fiiergo.c.f.maius:ponat itaq5.c.g.cq'Ie.b.c.c p:oducam linea 
d.g. eritq^ p.4.anguliis.d.g.e.cqualis angulo.a.c.b.quarc t angulo.d.f.e. cxtriu 
fccus vidcliccc intrinfeco qr3 c impofl'ibi!c:p. itf.crit crgo.c.f.cqualc.b.c. crgo p.4. 
lat 9 .d.f .cqlc latcri.a.c.f angulus.d.totalis angulo.a.qb e fcom rncmb^z oiuifio/ 
nfe;ppofite:quaretotumauifcftcp5. l|b:opofitio .27. 

ii3f rectalincafupcr ouas liucas rcctasceciderit Onofq^ 
! angulos coaltcrnos ubiinuicem equalcs fecerit ille oue 
■ lineecruntcquidiftantcs. 
CSit Vt iinca.a.b.cadat fuper ouas lincas.c.d.i.c.f.c faet linca; 

liC-d-inpuncto.g.Tlinca.e.f.inpiincto.b.fitq^angnlus.d.g.b.equa 

lis angulo.c.b.g.otco q> lincc.c.d.t.c.f.funt cquidiflantes.Si eni 116 concurrant 
aut ad pte.ce.fup_ punctu.k. aut a pte.d.f.fup punctu.U qualircrcuq^ fucrit acci 
dct impoffibile p. is.viddicet angulfj ejitrinfccu ce cquale inrrinfccoma vn 9 oicto/ 
ru anguloy coaltcrnoij qui pofiii fuut ecjles crit ertrinfccus 1 rcliqu 9 intrinfcc 9 qi 
igif ipoffibilc c cas cocurrcre i altcrutra ptc ptractas ipfc o oiffiuirione cmt equi/ 
diftanres:q uod eft pwpofitnm. Ifbiopolitio .26. 

]3iinearecta0uabu8lincis rcctis fuperuenerit faerirq^ 
angulus eius tnmnfecus angulo ejetrmfeco fibi oppofito 
eqnalis aut Ouo anguli tntrinfect ej; vna pte ouobus angu 
hs rectis cquales ille oue linec cquidiftantcs crunt. 

jCSit vt linca.a.b.fccet ouaslineas.c.d.^.e-f.iit puncto .g.s .b.fit 

<J5 angulus.g.ejctrinfecus cqlisangulo.b.intrinfccocjceadcm partefumpto:aut 
euoanguli.g.i.b.intrinfccteycadempartcfijmptifint equalcs ouobus angulis 






i t b 




LIBER 




• f 



1 




rcctistoico cp ouc lincc.c.d .c.cf.funt cqnidiftantes.Sit ergo pmo angulus.d.g 
B.cqlisangnlo.f.b.g.critqjpcr.ij.angulus.c.g.b.cqualiscidcangulo.f.b.g.qre 
pcrpmiffamfd.i.c.f.funtcquidirtantcs.SintrurfusOiioanguli.d.g.b.^.f.b.g. 
equalcs ouobus rectis:? q: p.r. i j.ouo gnguli.d.g.b.t.c.g.b.funt fiVr cqles ouo/ 
bus recris crir angulus.c.g.b.equalis angulo.f.b.g.quare pcr pKmiffa.cd.?. e.f 
crnnt eq uidiftantcs:quod cft .ppofini. 1(bjopofltio .29. 

"\% Ouab 9 lincts equidtfrantibus linea fupuenettt Ouo an/ 
I goli coalterni cqua lee enmt:angulufq5 ertrinfec? agulo 
I intrinfccoftbtoppolitoecjualis Ifteqj buoanguli mtrife 
ci ejcaltemtrapteconftitutiouob^rectis angulis cqles. 
IjGSintouclince.a.b.c.cd.cquidiftantesfupquas cadatlinca .e.f 
fecans cas in punctis.g.c.b.oico q> angnli.g.-z.b.coalrerni funt cqualcs:c a> an/ 
gulus.g.ettrinfcc 9 c equalis angulo.b.ittinfcco fibi oppofiro et cade ptc futnpto: 
* q> anguli.g.s.b.in trinfca cr eade pte fumpti funt eqlcs ouobus rcctis. 1 bec cft 
coucrfa ouay picccdentiii.pjimu ficp^.Si cni angul 9 .b.g. b.116 e cqualis angtb 
c.b.g.altcr coz? erit maior.fit ergo maio: angulus.c.b.g.c q: ouo anguli.c. b.g z 
g.b.d.funtecj[csouobnsrcctiscrgop.i?.cruntouoangult.b.g.b.«.d.b.g.mino 
rcs ouobus rcctis ergo p quarta pcritione ouc lincca. b:«.c d.fi ^ptrabant con/ 
currcnrinpartc.b.cd.adpniictuaIiqucvtad.k.nocrgo funt equidiftantcs pcr 
oionem qo e ?tra jpotbcfim:^ q: boc e impofl'ibile:ernnt igit ouo anguli coaltcr/ 
ni.b.g. b.c.cb.g.eqlcs q6 eft p:imu .ppofttu.fy boc pj fcomteft eni p. 1 f.angu/ 
lus.b.g.b.cqna!isangulo.a.g.cergoangulus.a.g.c.eriteqlisanguIo.c.b.g.e)c/ 
trinfecus videlicct tntrinfeco:qo e fcbm ^pofitum.£j: boc rurfus P5 tertifi. Sunt 
enig.ij.ouoangult.a.g.c.c.a.g.b.cqualcsoucb^rectisrergoouoanguli.a.g.b. 
t.c.b.g.erunt etia equalcs ouob" rcctis qui funt ouo intrinfcci tf. cade parte fum/ 
pti'quodcfttertiiip:opofituin. IJbJOpofitio .jo. 

Yj$ fuerintouelincevniequidiftantes eedem fibiinuiccm 
jequidtfrantescnmt. 

I GSinroucItneca.b.z.c.d.quaizvrraq^cquidiftct linece.f.oico il 
I lasouasvidclicet.a.b.c.c.d.ecequtdiftantes.bocaut evniucrfali/ 
'Jrcr vcy ftuc ouc lineca.b.-r.c.d.fint in Vha fupficie cfj line3.e.f.fiuc 
no:bic tame no intdligir nififtn ep oes funt iu fnpficic vna:fctim eni cp funt i oi/ 
uerfis fupficieb 9 .pbaf in nona ltb:i. 1 i.<j> funt cquidiftatcs.Sint crgo in oes fup/ 
ftcieVnat.ptrabaautlinca.g.b.fccanteliiieas.a.b.c.c.d.inpunctis.lt.l.m.cquia 
a.b.equidtftat.cf.crit angulus. b . k. I cqualis angulo.cl.k.pcr p:ima pte pccdcn 
tis cnm tlli fint coalrernuatqj.c.d.equidiftat.cf.erit angulus.k.l.e.cjctrinfcc cq/ 
t'3 angnlo.l.m.c.intrinfeco p fcoam ptcm pccdcntis crgo angulus.b.k. l.c cqua/ 
lis angulo.c.m.I.qui cum fint coaltcrni cruut per.27.linec.9.b.?.c.d. equidiftatt 
tes:quod eft p iopofitnm. 1£>2opofttio .ji. 

Ifbunctoertralineam oatolincepjopolite cquidiftante 
oucere. 

G£>nnctusertr9lineamoatu8intclligitur cum linca vtriuqjpto/ 
trabgtur per fpfn no tranfit.Sit crgo punctus.a.oatus extra lineaj 
[,b.c.aquoopo«ct p:otr9bcre lineam cquidtftantcm. b.c. pwtia/ 
botineam.a.d.qualitcrcunqj contingat sfuper punctum. 3. qui cft cxttcmitas 






I 

Itnee.a.d.pftituo agulu.e.a.d.(> ooctua-2?.'cqle agulo.b.d.a.fibi coalmo-.eritq^ 
e.a.eqdiftans .b.cg.i7.g6 e ypofitu. llbjopofitio 32. 

■GDnis trianguli agulusejcmnfecusouobusintrinfecis 
libi oppofitis eft equalis ./©mnes aute tres agulos eius 
ouobus rectis angulis equos efle necefTe efr. 
G6it triangulus.a.b.ccuius latus.b.c,ptrabatur vfq^ ad.d. oico 
qp angulus. cerJrinfecus eft cqualis ouobus angulis.a.f.b.intrin/ 
fccis fibi oppofttis fifiunctis:? cp tres anguli crianguli.a.b.cnTinncri funt eqles 
©uobusrcctis.apuncto.c^ptraba.cf.equidiftanrc. a. b.frn ooctrinapccdcntis: 
eritcp angulus.f.ca.equalis angulo.tt.q: fut coalterni p pma parte. 19.7 angutus 
f.cd.extrinfcc 9 equalis angulo.b.intrinfcco p fc6am gtc eiufde:quare tot 9 . a.c.d. 
extrinfecus e equalis ouob 9 angulis.a.i.b.intrinfecis fibi oppofitis:q6 c p:imu5 
« q: ouo angult.a.cb.c.a.cd.funt cquales ouobus rcctis p. 1 j.crunr trcs anguli 
a.b.c.cintrinfeci cqles ouob 9 rectis:q6 e fc6m .ppofttu.Cer. bac aut P5 q> ois fi 
gure poligonie oes anguli fif fumpti tot rcctis angulis fun t eqlcs quot" e numer 9 
quo a piima ocftitcritoupIicat 9 :vcrbi gfa.poligonia? figura^ c triangnla pma: 
q: fi eet oua? linea^ cu figura fit claufio linca?:tunc oue linee rccte includcret fup 
ficie qo c impoffibilc p.vltima pctitione.Ouadrilatera fc6a:pcnfagona tcrtia. fitr 
aiit qlibct tota erit i o:dine quot 9 erit numer 9 iatc^ aut angulo^ ci 9 inde octripto 
binario.Dico g cp triangukquc e p:ima oes anguli funt eqles ouob 9 rcctis.Qua 
drilatere q e fc6a erut cqlis qtuojrcctis:* pcntagonc q e tertia erunt eqles k% rc/ 
ctis.boc aut inde manifeftu e qm cu qlibet talis figura fit in tot triangulos refolu 
bilis quota ipfa fuerit a pma ouctis rcctilineis a quouis angulo? ei 9 ad oes angu 
los oppofitos-.fintcp oes anguli ois trianguli ouob" rectis eqles crut oes latcrate 
figure oe"s anguli bis tot rectis equales quota tpfa fuerit a pma: q6 cft .ppofitutn. 
Sit.n.er.cp!i gfa.pentagonus.a.b.cd.e.a cui 9 angulo.a.ouca lineas ad angtbs 
e.d.fibi oppofitostcritqj totus pctbagonus rcfolutus in triangulos.a.b.ca.cd. 
c.a.d.c.quo^ cu cuiuflibet fint anguli equales ouobus rectis erut pentagont au / 
guli equales fex rectis:q6 e ouplu eius numcri quo a pma oiftat:fiue ouplu numc 
ri angulo? ant.late? eius ihdc oempto.Cpoffumus quoq^ 1 fic ide .pponere ot/ 
tcntes cp ois figurc poligonic oes anguli paritcr acccpti fiit tot rectis angulis eq / 
(C3 quantus eft numerus que eius anguli ouplicant inde ocmptis quatuo:: pticto 
eui quolibet intra figura fignato 1 ab co ad fingulos angulos lineis .ptractis erit 
ipfa figura in tot angulos refoluta quati fuctit ci 9 angnliiioq? oes anguli omniu^ 
Illoy triangulo? piter accepti tot rectis angulis crut cqualcs quatus c numer 9 que 
ouplicat anguli ^ppofite figure:cu itaq^ fmt oes anguli triangulomm i quos ipfa 
«foluta e punrtu mediu circuftautes quatuo: rcctis cqualcs per. 1 3 .manifeftu ca/ 
ftat .ppofitu.CSitr quoq^ p^ cj> ots figure poligonie anguli oes ertrinfeci qtuoi 
rectis angulis funt equales:fut enim intrinfcci z cjctrinfcci 1 bis tot rectis cquales 
qttot babuerint angfos p.i j.3"fmfeci aut fut bis tot rectis cqles quot babuerit 
angulos oeptis inde quatno::g cxtrinfeci fu t qtuo: rectis cqualesiq6 c .ppofitum 
£*empli gfa^pofiti pentbagoni latcra .ptrabant vt fiant anguli ejctrinfcci. a.b. 
quide ,ptrabat vfq^ ad.f.b.cvfq^ ad.g.cd. vfqj ad.b.d.c.vfq^ ad.k.e.a.vfq5 ^ 
l.cruntqs pcr trcdecimam ouo anguli.a.intrinfccus ^.a.extrinfecus equalcs ouo 
bus rectis:cadem autem ratione ooo anguli.b.intrinfecus z .b. extrinfccus. fic et 




LIBER 










cctcri:quare.a.b.cd.c.anguli intrinfcci i crtrinfeci oece rcctis. ocptis igit intrin 
feris qui funt cqlcs fer rcctis crut ertrifcci videlj.b.a.l.c.b.f.d.cg.e.d.b.f.a.c.k 
eqles qtuo: rcctis.Gpatct etia q> ois pcntagoni cui 9 vnuqoqj Iat 9 ouo fecat er re 
liqs b3. 5. angulos ouob 9 rcctis cqles.fit qlis ^ponit pentagon 9 . a.b.c.d.c. « fc/ 
cct lat^.a.clat^.b.e.in pucto.g.?lat 9 .a.d.ide !at 9 .b.c.i pucto.f.crirq, angul 9 .a. 
f.g.eqlis ouob 9 angulis.b.t.d.cu fit cttrinfcc 9 ad ipfos i triangtb.f.d.b. 3tcmq5 
angulus.f.g.a.crit equalis ouobus angulis.cce.cu fit crtrinfccus ad ipfos i tri/ 
angulo.g.cc.fcdouoanguli.a.f.g.i.f.g.a.cuangulo.a.funtcqualcsouobusre/ 
ctis:ergoquaruo:anguli.b.d.«.ce.funtcumangulo.a.equalcsouobusrectis:q6 
eftpjopofitum. 1|b20{5bfitio :*?• 

j| ^ifumitatib^&ua^ ImeayeqdiiMtiu seqUsquaritatis 
lialieouc linee piugai: ipfcquoqieqles-zcqdiftateserut 
G6int oue lince. a.s.b.cd. cqlcs 1 equidiftares qru ertrcmitates 
piunga p lincas.a.c.l.b.d.qs oico effceqles z cquidiftantcs:,ptra 
Jba cni linca .a.d.s q: lincc.a.b.s.cd.fut equidiftantcs crit ogulus 
b.a.d.cquaIisangulo.a.d.c.ppjimapte.29.ergocrutouoIa:era.a.b.c.a. d.tri/ 
anguli.a.b.d.eqlia ouob^lareribus.d.c.f.d.a.rrianguli.d.ca.t anguluspmt cq 
lis angulo.d.fcoircrgo p> .4. bafis.b.d.pjimi cft cqualis bafi.a.c.fc6i 1 angulus.a 
d.b.pjimi cqualis angulo.d.a.c.fcbi.a t quia ipfi funt coaltemt crunt Iuice.b.d.c 
a.c.cquidiftantcs pcr.2r.c quia p:ius p:obatum cft ipfas cffc cqualcs: patet p:o 
pofitumv trunqy Ijbzopontio .34. 

iBnisfuperficieseqtudtftantibus contcnta laterib^U/ 
neas atqjansuloseraduerfocollocatosbabct equales 
Oiametro-JOmidentc eampermedium. 
GSitfuperficics.a.b.c.d. equidiftantiu latqziita q> linea.a.b.equi 
Sjdiftct.cd.?.a.cb.d.oicoouaslineas.3.b. c.cd.itemouaslmeas 
a.ct.b.d.effcequales.fitr 1 oicoangulu.a.cffccquale sngulo.d.f angulij.b. an/ 
gulo.c^ptraba oiametru.a.d.quc etia oiuidct fupficie illa g mcdiu cum.a.b.c.cd 
fintequidiftantcs:eruntauguli.b.a.d.«.c.d.a.quifuntcoaltcrni cqlcspcr.29.at 
quiactia.a.c.^.d.b.fuutequidiftaiitcsicruntanguli.c.a.d.^.b.d.a.quifuntcoal 
tcrni equalcs p cande.^ntclligo eni ouos triangulos.a.d.b.i.d.a.c. 1 q: ouo an 
guli.a/r.d.trianguli.a.d.b.funtequalcs ouobus angulis.d.c.a.trianguli.d. a.c. 
1 latus.a.d.fup q6 iacent illi anguli in vtroqj triangulo e coe: erit p.2<(.lat 9 .3.b. 
equaklateri.c.d.ilatus.s.c.latcri.b.d.tangulus.b.angulo.c.cquiaangulum.a 
totalem patct cffc equale angulo.d.totali g fcoam c6ceptione:totu .ppofitum cum 
co::elarioliquct. IfbJOpofltlO .37. 

Gdnee fuperfictes equidtftantiu lateru fup vna baftm at 
q^in eifdc alterntsltneisccftituteeqleseflepjobantur. 

CSintouelince.a.b.?.c.d.cquidtftanresinrcrquasfiat.a.cf.e.fu 
pficies cquidiftantiu latei? fup bafim.ce.? fup eande bafim 1 ihter 
eafdc Uncas fiat alia fupficics.g.cb.e.filr cquidiftautiu latei; :oico 

ouas pdictas fupficics ce cqlcs:q6 fic .pbat.aut eni linca.c.g.fcrabit lineam.a.b. 
in aliquo puncto linee.a.f.aut in puncto.f.aut in aliquo puncto lincc.b.f.fccct cr/ 

go pmo in aliquo puncto Imee.a.f.vt i pma figuraiioc apparet.? q: vtraq, ouaz? 

lincaii.a.f .« .g.b.c cqualis lincc.c.e.per p:ecedente vna carum crit equalis altcrt 





I 

«wnpta ergo linea.f.g.coi remaucbit.a.g.equalis f.b.q: per pjecedentc itei/.e.a. 
c.equalis.f.e.c angulus.b.f.e.angulo.g.a.c.p. fcoam gte.29.videlicct ejctrinfecus 
intrinfcco erit p.4.triangulus.a.c.g.cqualis triangulo.f.e.b.ergo irregulari figu 
ra quadrilateta que eft.g.c.f.c.addita vtriqj erit fupjicies.a.c.f.c.equalis fuper/ 
fkici.g.c.b.c.q6eftp!opofitu.Secetcrgomodolinea.c.g.linea:n.a.b.inpuncto 
f. vt in fecunda figuratione apparet.eruntq^ fiti argumcntationc pjioji ouo trian 
guli.a.-c.f.-r.f.c.b.equalcsjquare vtrobiq^ addito triangulo.f.c.c.pj pjopofitum 
Secet tertio modo linea.c.g.linea.a.b.inter ouo puncta.f.b.ut in tcrtia figuratio 
ne appsrer.fecabirqjlinea.f.e.fic vt inpuncto.fc.* qj fimili argumcntatione pjio 
rilinea.a.f.eequalislinee.g.b.factaccMnunilinca.g.f.erit.a.g.cqualis.f.b.^tti 
angulus.a.g.c.cqualis tnangulo.f.c.b.addito crgo vtriqj triangulo.c. k.c.t oe/ 
tracto ab vtroqj triangulo.f.b.g.erit fuperiicies.a.c.f.c.equalis fuperficici.g.c.b 
e.quodcftpjopofitum. Kbzopofitio -}<f. 

ilknia paralellograma in bafibus cqualibus atq^ in eif/ 
dcmUtteis couftituta equaliaefTeneceffeeft. 
Cparalcllogramu oicif fupficies cqdiftatiu latcr.Sint oue fupcr/ 
ficies.a.b.c.d.c.e.f.g.b.equidiftantiijlate^conftituteinterouaslt 
neas equidiftantes que funt.a.fa.c.b.z fupcr cqualcs bafcs q funt 
c.d.f.g.b.oico casce cqualcs.ua pjotrabamousslineas.c.cz.d.f. eritq5p.33. 
foperficies.c.d.e.f.equidiftanttu tatcru ,ppter boc cp.e.f.eft cquali3 1 equidiftans 
c.d.nam vtraq5 caycft equalis.g.b.quia crgopcr pjemiffam vtraq^ oua^ fuper/ 
ficicrum.a.b.c.d.i.e.f.g.b.cft cqualis fupcrficici.c. d.e.f. ipfi crunt fibi inuiccm 
cquaIes:quodeftp:opofitum. IfirtOpofitio .37. 

jQualesfuinfibicunctitrianguuquilupeande baftmat/ 
q> inter ouas lineas equidiftantes funt conftituti. 
CSint ouo trtaguli .a.b.c.^.d.b.c.coltitutc fupcr bafim.b.c.iutcr 
ouas lineas.a.c.i.b.f.que fint cquidiftantcs oico cas effe equales 
^trabaeni.c.g.cquidiftante.a.b.i.c.b.cquidiftante.d.b.p.ji.crut 
q5 oue fuperficies .a. b.c.g .iA. b.c. fo.cqualcs per.3 j.t quia oicti trianguli funt 
earu oimidia pcr cojJcV.34.ipfe crut cqualcs pcr cocni fci3m:quc e quoy tota fufji 
equa!i3COimidia:ficq5 patet ppofitu. IJbzopolittO .38. 

3Jf ouo trianguli fuper bafcs equales atq> tter ouaslinc/ 
asequtdiftantesceciderintequaleseos elleSneceirc eft. 
dSintouotrianguli.a.b.c.c.d.e.f.pftitutifuEbafcs.b.c.T.c.f.ccj 
les 1 intcrlineas .a.g.?.b.b.equidi(tatcs:oico co3 ce eqlcs.^traba 
cni.c.k.cquidiftante.a.b.t.f.l.equidiftate.c.d. crutq^ ouc fupficics 
a.b.c.k.z.d.c.f. I cqlcspcr.je.tqjoicri trianguli fuutcaj; 0tmidtap.c0jjcf.34. 
tpfieruteqlesgantcdictacdemfciain. 1f£>20pofttio -39- 

S6nes cmo triangult equales li in eande bafim 1 ep eade 
ptececiderint :intcr onas lincas equtdiftantcs erunt. 
CSint ouo trianguli .a.b.c.-z.d.e.f.pftituti fup bafi.b.c.qc vna ca 
dcmq5 p.te:fintq5 cquales :oico cas ce itcr lincas equidtftdrce:? bcc 
lj eftconuerfa.37.3puncto.a.^)trabam lincacqtiidiftantcm lince .b. 
c.que fi pertranfierit p. punctnin.d.liquct pjopofitum.Si autem pertranficrit fu/ 
pja aut infra uranfeat pjimo fupjaffit.a.e. pjoducamqj.b.d. vfqucquo fccct 








LIBER 

linea.a.c.in pn!icto.c*#trabalincj.c.c.c <li triangulus.cb.ee cqualistriatigti 

lo.a.b.e.p.. 3 ?.t triangul 9 .d b.c.pofit 9 e cqualis triouguio.a.b.c.crit trianguf d. 

b.c.ccjlis triangulo.c.b.c.pars rotiqocft impoffibilc.Tlo igif ptranfibit lincaq a 

ptmcto a oucif cquidiftautcr.b.e.fup:a.d.tr3iifeat ergo infra % fir.a.f.fecas linca 

d.b.in puucro.f.^ptraba crgo lincam.f.cz q: pcr. j7.triangulus.f.b.c.cft cqualis 

triangulo.a.b.c.ipfc ctiacrit equaiis triangulo.d.b.c.pars toti qb cft impolTibilc 

Qym. ergo linca a puncto.a.equidilrantcr.b.c.no tranfit uifi pcr pnnctum .d .pj 

pjopofitum.Cfj: bac aut i p:cmilTa nota cp fi aliqua linca rccta ouo alicut" tri/ 

anguli latera per cqua fccet *el fccuerit ipfa erit tertio cquidifta3 qb fic p:obatur. 

Sit triangulns.a.b.c.cnius ouo:latera qut funt.a.b.cb.cfecet linca.d.cp cqna 

lia.a.b.quodinpuncto.d.'r.b.c.in!puncto.coicocj>linca.d.c.cequidiftaus.a.c 

p:otrabam cnim in qnadrilatero.a.c.cd.oiamctros.a.ccd.ceritqj per. 5 s.tri/ 

angulus.a.c.d.eqnalistriangulo.d.e.b.pjoprcridqblinca.a.d.poHtaeft cqua/ 

lis linccd.b.iteq; pcr candem triangulus.c.cd crit equalis ide triangulo .d.c.b. 

p:opter id qb linca.ccpofira e cqnatislince.cb.q: triangulus.a.cd. cft cqualis 

triangDlo.c.cd.quia crgo ipfi funt conftituti fupcr candcm bafim vicklicct linea 

c.d.i cx cadem partc ipfi crunt pcr banc.39.mtcr lineas equidiftanrcs crgo linea 

d.e.eft eqnidiftans lincc.a.<.quodqtiidemp:opofitumadquinram qnarti tibi 

wlebit. 1£>:opoiitio 40. 

| % tmo rriangufi eqiralcs fupcr equales bafes min& ciuf/ 

1 demq; lince cr cadem parte fuertnt coftituti eos inter 011 

; as litteas equidiftantes necelTe eft contineri. 

GSint ouo rriangoli.a.b.cd.cf.cqualcs pftituti fup ouas bafcs q 

funt.b.cccf.c er. eadcm pte oico eos effe inter ouas liheas cquidi 




p f 



ftantes 1 bcc eft couerfa. 3 e.i p:obaf p. ipfam ficut p:eccdcns per. jr.a puncto.a. 
Cncaf linea equidiftans lince.b.f.qne fi tranfierit per pnnctn.d.patet pjopofituni 
Sin antcm pcrtranfierit fup:a vt.a.g.i pj0dncatnr.cd.vfq5 ad ipfum qne fit.c. 
S.i oucatur linea.g.f.critq^ pcr.js.rriangulus.a .b.c.equalis triagnlo.g.c f.qua 
re 1 trianguliis.d.cf.crit equalis triangulo.g.cf.pars toti quod eft impoffibilc 
Tlon ergo tranfibit fnp:a:tranfeat ergo infm.i fccct linea.d.cin puncto.b.? 00/ 
catur linea.f -b.eritq; per.js.triangulns.b .c f.cqualis triangnlo .a.b.c. quare % 
triangulo.d.cf.pars toti quod eft impoffibilcquia ergo no tranfibit nifi pcr putt 
qpm.d.patet p:opofitum. Ijbiopofitio .41. 
"^jSffijj 5 paralellogramum triangulufq^ in eade bali atq$ 1 eifde 
3f alterms Imets merint conftituta paralellogramu trianao 
10 ouplum efkconuemet. 

CSit palcllogramn.a.b.cd.c triangttlus.e.b.d.fup bafij. b.d.c in 
rcr lineas.a.ccb.d.q fint cqnidiftantcs:oico rjakllogramu onpln 
ee 1 triangnlo: .ptraba in palellogramo oiamety.a.d.eritqj triaugulus.a.b.d.oimi 
din palellogrami p cojjct.34.? qj rriangolus.cb.d.e eqlis triangnlo.a.b.d^.37 
patet triangnlu.cb.d.effc oimidiu palellogrami.a.b.cd.qb c ,ppofitij Sitr qno/ 
qj pot p jobari cp fi p.alellogramu triangc lufqj incqualibus bafibus atq5 iter line / 
as eqnidiftantcs fueriut pftitnta palcllogrami5;ouplu erit triagulo:qb io no pofuit 
eucltdes q: leuif P5 ty. bac pcedcnre co::cl'.c 5 s.oiuifo palellogramo pcr oiamete 
m 0D08 triangolos. vcl fnper bafim paraleilogrami iter eafde iineas equidiftate» 







triangulo cortituto ad que ouplu erit parald!ogramu per banc p:ecedcnte" z ipk 
cau^isaltcritriangnlopcr.js. l|b:opofitio .42. 

"H /Quidiftantiuin laterum fuperficie oefignare cuius angu/ 
lusfit an<5ulo alTignatoequalts.ipfaverofupcrficiestri 
anguloafiignatoequalis. 

GSit affignatus angulus.a.t affignatus triaflgul .b.c.d.volo oe/ 
_J| fcrtbcre fup_ficie equidiftantium lateru equalcm triangulo .b.c.d.cu 
tns Vtcrq} ouo? angu!o:nm contra fe pofito? fit cqualis.a.oiuido bafiin.c.d.per 
&imidiuinpuncto.e.ip:otraboline3.b.e.'Japuncto.b,ouco.b.f.equidiftantem 
c.d.eritq3pcr-5S.triangulu3.b.c.d.eqiw!istriangulo.b.e.c.quaretriangulus.b.e 
d.cft oimidiu totalis trianguli.b.cd.igit fuper punctu.e.liuee.d.c.ccnftituo an/ 
gulum.d.c.g.equalcm anguto.a.t perficio paralcllogramu.g. e.d.f. quodetia qi 
per p:cccdcnte e ouplti ad trtangulu.b.c.d.erit etia cquale triangulo.b.c. d.p. bac 
cocm fcienciam:quoy oimidia funt equalia ipfa quoqj fnnt cqualia . cft cnt triar» 
gulus.b.e.d.vtriufq$ oimidiu quarc ocfcripfimus palcllogramu. g.e .d.f. cquale 
triangulo.b.cd.cuius vterq^ ouo? anguloy .g.e.d.t.d.f.g.cotrafc pofitoium cft 
cqlis angulo.a.quod fuit pwpofitum. 

q[b:opofitio .4)- 
.OCmis parakllogrami fpacij co:um que circa oiamctru 
funt palellosramo?: fupplemcnta cqua fibi imtice effe ne 
celTeeft. 

CSit paralcllogramu.a.b.c.d.in quo p:otrabam oiametrum.b.c. 
za 1 p:otrabam.c.f.cquidiftante vterq? ouo? latc^.a.b.c.c.d.quc fe/ 
tet oiamctrum in pnncto.k.a quo cuca.k.g.eqnidtftanicft vtriq^ ouo^iateru.a. 
ct.b.d.s produca cam quoufq, fccct vrrucg lat 9 .a.b ■z.c.d.fitqj tota.g.k.b .crit 
CR totum pjilcllogramu.a.b.cd.oiuifum in quatuo: palellograma quo^z ouo fcj.e 
ck.b.s.g.k.b.f. oicunf confiftcre circa .cb.qjoiametrum tranfitpermcdium 
eoriimct idco fuutcirca oiametrum :rcliqua ouofciiicet .a.e.g.k.i.k.b.f.d.oi/ 
cut fupplcmera bcc ouo fupplcmenta oicunf ce equalia.funt cni ouo trianguli.a. 
b c «.cd.b.cqualcsp co::et'.?4,fifrquoq5 ouo trianguli.g.k.b.t.f.k.b.fut equa/ 
!es per ide co::d'. 34-at ouo trianguli.c.c.k.f.k.b.c.filV equalcs p ide condariuj 
ocmptts igitur ouobus triangulis.b.g.k.^.k.c.coc totali trugulo.a.b.c.ac ouo/< 
bus triangulis rcliquis.b.f.k.t.k.cb.oe totali triangulo rcliquo.c.d.b. crunt pet 
coem fdam refidua:quc funt ouo oicta fupplcmeta cqualia:quod cft p:opofitum. 
Ifrjopofitio .44- 
T&opoftta linea recta fup cam fueficie equidift3ntiu late/ 
rum cuius angulus fit angulo affignato equalis ipfa vero 
Sfuperfictes trtangulo afltgnato equalis oefignare. 
jCDefignarc fupcrfiric equidiftantiu latc? fuper linca aliqua c linca 
__1 jpfa facerc latus vnrl ipfi 9 fupficici .Sit crgo oata linca.a.b.s oat* 
angulus.c? oatus triangulus.d.c.f.fupcr linea.a.b.volo ocfignarc fupficie vna 
equidiftautiu latqz ita qp linea.a.b.fit Vnu ejc lateribus cius cuius vterq^ ouownt 
angulo:um contra fc pofitowm fit cqualis angulo.cs ipfa totalis fupficies fit eq 
lis triangulo .d.c.f.oiffctt autem beca.4t.q: bic oat latus vnius fupficici ocfcri/ 
bcndc fcj linca.a.b. ibi autem nnllum.cu ergo voluero facere adiungo lineam.a.s 







b 


e 


1 
f 


1 




V^ 






a 




\ 







b / 



II» fc l 




LIBER 

lince .a.b.&n ratitudinctmqua pono equalem linecc.f. bafi trianguli oatt fooer 
qua coltitno trianguiu vnu ci eqle z cquiiatctu.qo boc modo fatio.£onftituoL 

um.a.g.k.cqualeman S uIo.c.«;ngu!um.g.a.k.cqualcmanguIo.f.pcr.2j.cquia 
g.a.pofita fucrat cqualis.e.f.crit per.id.triangnlus.g.a .k. equalis i equilatcrus 

triangu!o.c.f.d.oiuid3crgo.g.a.pcrcquali3iupuncto.b.c ( ptraba.ls.b tp:odu 
ramapuncto.k.linca .m.k.n. cqutdiftantc linec.g.b.critqs pcr. j s.triangul 9 a b 
k.equilts trianguIo.g.b.k.tunc iupcr punctu.a.lince.g.a.fadi artgulum.g.a.l.n 
2j.equalcmangulo.c.oato:?conplcbofugbafim.a.b.<ziiiterlinca0.g.b i m n 
equidiftantes fupcrficiem equidiftantiuj latcrum.m.l.b.a.que p. 4 i.oupla erft ad 

triangulu.k.b.aquareequalistotalitriar^ulo.k.g.a.quarc^triaugulo d e f o/ 
pojjto:pjotr3l)amergo.b.n.cquidiftante.a.I.tp:oducaoiamctrum.n.a.qu3'p/ 
traba quoufqj cocurrat cu.m.b.in puncto.o.t coplebo fupcrficiem cquidiftatium 

latcrum.m.o.n.q.cprotrabsm.l.a.vfqjad.p.entqjpcrpteccdcutefupplcmcntu 
a.b.p.q. equa!efuppl_iciiro.m.l.b.a.quarcttriangulo.d.e.f.tq:pcr 15 angu/ 
lus .l.a.b.c cqualia sngulo.b.a.p.t idco angulu8.b.a.p.cft cqualis angulo c 0; 
rupcroatamlinca.a.b.ocfcriptaeirefuperfiiciemcquidiftsntiulatcrum a b p q 
equalcm oato triangu!o.d.e.f.cuius vterq 5 ouomm angulomm contra fe pofito/ 
rum qut fuiit.a.«.q.eequalis oato angulo.c.quod fuit p:opofitum. 

*oata uneaquadratum Ocfcribere. 
|j CSit oatalinea .a.b. ejquavoloqdratumocfcribcrerapunctis a 
's.b.lincc.a.b.educog.ii.lincas.a.c.t.b.d.pcrpendicularesadli/ 
ncam.a.b.que cruc cquidiftantes pcr vltima prcm.zs. 1 pono vtra 
_ q 5 ea£eidcm.a.b.pcrfc6am cqua!em?p:otraboliueam.c.d.critq; 
ipfaequa!isctcquidiftansliuee.a.b.pcr. 3 j.tquia vterq 5 ouo:um angulor. a t 
b.eft rectus.crit vterq 5 ouo ? .c.7.d.rcctu8 pcr vltima p.tcin.z 9 .crgo pcr otfimttn' 
oncm.a.b.c.d.c quadratum quod eft pwpofttu.^dem alitcr fit.a.c. pcrpcndicn/ 
laris fuper lincam.ab.pcr.i u% fit ci equalis vt p:ius t a puncto.c.per.3 , oncatur 
cd.cquidiftans.a.b.t ponatur cquatis ci t oucatur linea.d.b.que per.j $ erit ca/ 
Iis t cquidiftans .a.c.i omues anguli rcctipcr vltima prcm _ 9 .quare pcr oiftiuiti 
onem babcmus p:opofitum. 

Ifbzopofitio .efi. 
°& omni triangulo rectangulo quadratum qg a latcre re 
cto angulo oppottto in temetipfo oucto oelcribif equij c 
ouobusquadratis quecjconob^eliquislateribtjs con/ 
fcrtbuntur. 

_ CSit trisngulus.a.b.c.cuius angulus.a.fit rcctus oico cp quadra/ 
tu latens .b.c.equu c quadrato.a.b.t quadrato.a.c.fit'fumptis. guadnbo g bcc 
tnalatcra Pmooctrinapccdai!is:fitq 5 qdrati5.b.c,fu E ficie6.b.c.d.e.t cidram b 
fl.rupfiae8.b.f.g.a.tqdr3tu.3.c.fu E ficics.a.c.b.k.aba-gulo.a.rcctooucaadbaf 
15.CI.C. bafi 5 maximi qdrati trcs lincas .f.a.l cqdiftate Vtriq 5 lateri.b.d. t.c c q fc 
cct.b.c 1 pucto.m.t fpotbemifas.a.d.t.a.c.itcqj a ouob 9 rcliqs aglis triagl! q fut 
o.«.c.onca ad onos angfos ouo:/ qdrato? roio? ouas iicas k incfccates itra ipfu 






triansuliiquefuiit.O.k.c.c.f.cqivtcrqjtnioyaiisulojuni.b.a.c.c.b.a.g.cftrcct 9 
pcr.i4.crit.g.clinea vna: cade roneerit.b.b.Iinca vna.q: vterq^ ouoj; angulomj 
ca.b.f.ca.b.cft rectusrquia ergo fup. bafim.b.f.c intcr ouaslineas cquidiftan/ 
tcsqfunt.c.g.c.b.f.coftitutafutrjalcllogramu.b.f.g.a.ttriagul^b.f.c.critg.^is 
rjalcllograrnu.b.f.g.a.ouplutriagulo.b.f.c.f5triagul 9 .b.f.c.eeqli8triagulo.b.8 
d.g.4,.quia.f.b.c.b.c.laterapjimifuntcqualia.a.b.c.b.d.Iatcribuspo(rremi.et 
angutus.b.pjimi c cqualis agulo.b.poftremi.eo g> vterqj coftat e% angulo recto i 
angulo.a.b.c.comuni.ergo palcllogramii.b.f.g.a.eft ouptam ad rriagwlu^ .a.b.d 
fedp.aI!eUogramu.b.d.l.m.cft ouplii ad cunde triangulu. g.4i.qj coftituti fut fup. 
eandem bafimfcj. b.d .«intcrlineasaiuidiftantcsquefunt. b.d.i.a.l. crgoper 
cdmnne fciam quadratu.a.b.f.g.^ palellogramu.b.d.l.m.funt equalia. qj eojum 
oimidia vidclicct p:cdicti trianguli funt cqualia £ode mo i per eafde .ppofitioes 
mediantib 9 triangulis.k.b.ct .a.e.c.^babim 9 qdratii.a.c.b.k.ee equale rjalcUo 
gramo.c.e.I.m.qrep5^pofitu. 1(bJOpofitio .4.7. 

^ q6 ab vno trianguli latere in feipfu Oucto,pducif :equfi 
fucrit ouobus qnadratis q a ouobus reliquis laterib^oe 
fcribuntur.rectus eft angulus cui latus illud opponitur. 
CXtnca in k ipfam oucere eft eius quadratii oefcriberc.GBit trian 
gulus.a.b.c.fitq5quadratumlateris.a.c.cqualequadratisouo:um 
lateru.a.b.^.b.c.fimuliunctis.oicoangulu.b.cuilatus.a.c.opponitefTcrcctu:? 
bec eft couerfa p:io:is.C3 puncto.b.extrabo linca.b.d.g. n .rjpendiculare fuper 
lincam.b.cqua pono cqualem .a-b.s p:oduco lincam .d.ceritq^ pcr p:eccdente 
quadratum.d.cequalc ouobus quadratis ouarum linearum.d.b.s.b.c 1 q:.b.d 
pofita eft equalis.b.a.crunt per comune fcicntia que eft lincam equaliu cqualia ef 

fequadrataiqnadrataouarulineay.a.b.i.b.d.cqualiaiquapjoptercrirquadra/ 
tum.d.c.cqualc quadrato.a.c.crgo pcr aliam comunem fciam que e conucrfa p:i 
o:is fc^ lincas qua^ quadrata funt cqualia effe cqualesierit.d.cequalis.a.c.qua/ 
rc p..8. angulus.b.triaguli.a.b.ce rectus q6 eppofit». 

1fb:opoiitio .4$. 
jllHopofttis qnibufcunqjquadratisalteri illoy gnomone 
reliquo equalem oelcnbere. 
| G^ioponanf crgo ouo quadrata fc^.a.b.c.c.d.? fit p:opofitu p:o/ 
duccregnomonecirca.a.b.cqualem.c.d.quadrato:pjotrabafitaq5 

! vniilatus qnadrati.a.b.adcqiialitatcinvni 9 lateris quadrati. c.d. 

in continuum 1 oircctum 1 fit.f.e.ita cp .f.e.fit cqualc vni latcrii quadrati.cd. % 
qc.e.ouca lineam rccta ad.a. fit crgo triangul 9 o:rbogoni 9 quia.f.c angul" rcctus 
argnat ergo fon pcnultiniap:imtfic:qdratu.c.a.c tiii quatu qdratii.c.r.cqdratii 
f.a.fcdcidraiu.c-f.eeqlccidrato.c.d.cquadratii.f.a.cftequalequadrato.a.b.cr 
goquadratii.a.c.cftequalcquadiatis.a.b.s.cd.^tcm.c.f.a.cfttriangnluscrgo 
e.f.^.f.a.latcrafuntlongio:a.a.e.latCTC.fcciidii.zo.pjimi.fed.f.a.cftcqualc:a.b. 
• ronequadraturccrgo.c.f.s.f.b.funt longioa.a.e.ergo illa totalis liuca fc^ .e.b. 
eft maio:.a.c.rcfccet ergo .b.c.ad cqualitatc.a.e.ad punctii.cita cp.b.cfit cqua 
lc.a.c.crgo quadratum.b.ccft cquale.quadrato.a.c. fcdquadratii.a.c. vtpjius 
ybatu fuit c equale quadratis.a.b.s.cd.crgo quadratu.b.ce cquale eifdcm fed 
quadratum.b.caddit fuper quadratum.a.b.gnomone illii que vides.ergo gno/ 

b 






s 


5 * 


t 


k\ 




f 






\ 



f b 



C ; 

a D e b 




LTBER 

mo illc eft quadrato.c.d.cqualis.quod crat p:obandum. £tplicit libcr primiu 
3ncipitlibcrfccundue. 

Xlkneparalellogramu rectigulii fttb t>ua / 
b? lincie agulu rectu abietib < oicif ptineri . 
G^aralcllogramii cft fugficics cquidtftatiu latcr 
C^aralcllogramu rcctaugulu eftbabcns omnes 
angulos rcctos.s,pducifcjcvnoououi lateycius 
ambicntiuvniicxiiiis angulis tnrdiquu.c idco 
fubillisoiciturcdtineri. 

{}£ifoni$ paralellogramifpacijeaq*de q 
^oiametcr fecat pmediii palellograma 
circa eande oianietycoftftere Qicnnt.iEo^ 
=* vero paralellogramo;;: que circa eande o<a 
metru conlifrut quodlibet mn cfi fupplementis ouob? gnomo noiaf . 
GQuc paraldlograma oicunf cofiftere circa oiamct:;.? quc fut fupplemcta: ejpo 
fitu eft fupia in Oemoiiftratione43.p:imi. CSit cnim paraldlogramu.a.b.cd. 
cuiusoiamctcr.a.d.oiuidantouclincc.e.f.g.b.oucteequidiftantcr:latcrib 9 oppo 
fiti3 oicti paralkllogranii.fccatcs fcfup oiamcty.a.d.in puncto .k. crirqj ipfum 
paraldlogramu oiuifii in .4. parallcllograma % vnuquodq? ouo^ paralcilogra / 
mo£ que funt.a.g.c.k.i.k.f.b.d.quc oiamctcr fccat p, mcdium oicttur confiftcrc 
circa oiamcti/. Keliqua ouo que oiamctcr no fccat oicun f fuppkmeta q cuo fup / 
plcmeuta cu vtroq^ oicto? paralellogramo? cofiftentiii circa oiamcty coponut ft 
gura qnada q gnomo appcllaf cui oeelt ad coplemetu palcllogrami iialdlogramii 
vnu rcliquu circa oiamcty cofiftc's:q6 (i addaf fupia oiamcty totalis copofiti cofi 
ftct.critqj fimile totali. 23ndc galcllogramu addito gnomone quauis crefcat mt / 
nimc tft alteraf .queadmodum oijit ariftotclcs tn picdicamcutis. 
1fo:opofitio .j. 
3f fuerintouelineequariivna in quodltbetpartesoiui/ 
datur.illud cp ejc ouctu altcrine in alteram fiet.equum erit 
bis que cj: ouctu tinee indiuile in vnaquaq^ partem linee 
particulatim Oiuife rectangula pjoducentur. 

iCXinea tn altam linea ouccrc e fupia tcrminos vnius ea^ ouas linc 

as oirbogonalircr alij cqlcs crigcrc? fupficie equidiftatiii latcy rcctagulu coplcrc 
q fub illis ouab 9 lincis pcr oiffinirioncm oicitur contincri.CSunt oue lincca.b. 
s.c.quay.vna fc^.a.b.in quodlibct gtes oiuidaf quefint.a.d.c.d.e c.e.b.oico q> 
illud quod fit cc ouctu.c.in totii.a.b. cquu cft tliis paralcllogramis rcctangulis fi 
muliunctisqucfiut.ci.c.t.a.d.ci.d.ciin.cb.Ceuppucta.a.bcrigalincas.a 
f.-J.b.g.perpcdiculares fup linca.a.b.quay vtraq^ fit cqlis lince.c. t complcbo re 

ctangulafuEficic3.f.b.g.ouctalinca.f.g.qucpcroiffinitioncp:oducite)c.c. in.a 
b.z fub illis oicif contineri.p20trabamquoq5 a punctis.d.^.e.lincas.d.b.z .e.k. 
cquidiftantcslatcribus .a.f.f.b.g.critq^ vtraq, caru eqlis.c.p.34.p:imi vrraqj 
ca^cftcqlis.a.f.EOiffinitioncigifrcctaiiguIii.a.d.f.b.jiducifcr.c.i.a.d.cfub 
illisoiciturcotincricrcctangulu.d.b.c.e.rc.ccc.in.d.c.crcctangulii.ck.b.g.cc 
cin.cb.2 q: bcc rcctangula fimul iuncta funt cqualia totali rccrangulo.a .f.b.g. 
patctvc^ee^pofitnm. 




II 





Ijbjopolitio .a 
3f fiierit linea t ptcs ouufa.illnd q6 q: ouetu toti 9 linee in 
leipfi fit i equu ertt bis q ejc ouctn eiufde i oes fuas gtcs; 
(LSit Unca.a.b.oiBifa in.a.c.?.cd.?.d.b.oico cpillud q6 fit cx en 
ctu totins.a.b.iu fc qo fit.a.c.b.f.cquii cft bis quc fiunt cjc ipfa to/ 
ts in vnamquaq3 oictarum partium q6 palam patcbit.ouctis.cg.c.d.b.cquidi/ 
ftantcr.a.ci.b.f.Caiitcr fumatur.k.cqlis.a.b.eritq^ p p:cmiffam qo fit cr ou/ 
ctu.k.in toram.a.b.cquu ci qb fit ct ouctu.k.in omnes gtes.a.b.c qi ct.k.i.a.b. 
tautn fit quantn cca.b.in k.z er.k.in omncs ptcs.a;b.quatu ejc.a.b. in omnes 
Stcseiufdc.p pter td q:.k.?.a.b.fut cqnalcs patct ve? cffc p:opofitum. 
IfcHOpofttio .3. 
3f fiicrit [ittea in ouas gtes oitufa illud qo fiet ejc ouctu to 
ttus in alterutra parte equfi erit bis q ej: ouctu eiufdc par 
tis in leipiam 1 aitcritis in alterant. 
il(lSitlinca.3.b.dimfain.a.c«.b.coicocpilludquodfitcxtota.9. 
b.in cius partcm.a.ccquu cft quadrato ctufdcm.a.c.partis.? ci quod fit cjc eadc 
partc.a.cin.b.cfiat quadratum lince.a.ccp fit.a.cd.f.? gficiatur fuperficies.3 
b.d.e.patcbitq5p:opofitu.0aiitcr[umat.g.cqhs.3.ccq:.b.3.in.a.ctantucft 
quantu.a cin.a.b.ecoucrfo.c.a.cin.a.b.? in.c.b. z iu feipfa> quatu.g. i cafde. 
St.g.in tota.a.b.quatu in.a.c? in.cb.p p:imam buius patct ppofitii fc? cp tm 
erit.a.ci.a.b.quatn in fe x in.cb.qreecoucrfo. a.b.i.a.ccfuatu.a.cin fe.iin.c 
b.qbvolum 9 ocm6ftrarc. 1(b:opolitio .4. 

% fiierit linca in ouas ptes oiuifa illud q6 ejc Ouctu toti 9 [ 
lcipfi nt:equu e bie q qe Onctuvtriulq, ptis i leipla 1 alte 
x& i altera bis./£je boc manifefrfi e cp i 6i qdrato Oue fup 
ftcics quas oiameter fecat p mediu funt ambe quadrate. 
G Sit liuca.3 .b. oiuifa in. a .c.t. b X. oico c$ quadratum totius 
a.b.cquum eftouobus quad:atis ouarumlincarum.s.cc.b.couplo cius q6 
fit er ouctu Vmus ea? in altcram:oefcribam quadratum alterius partislium fitqj 
c.d.b.c.quadratu lincc.cb.cui adinngam gnomone fcciidu ouctii oircctiuii linee 
alterius faj.a.c qo faciam boc mo.in qusdrato ocfcripto p:otrabam oiametru 
b.d.z 3 puncto.a.cducam pcrpcudicularem fug lincam.s.b .quc fit.a.k.qua.s.k 
t oiamaru.b.d. ( pduc3in vfq; quo cocurrat in puncto.f .1 3 puncto.f. pwducsm 
f.b.cquidiftsntc lincc .a.b.qua.f.b.?.b.e.p:oducam vfqj quo concurrat i pucto 
g.^pwduca.cd.vfqjad.b.t.e.d.vfqjad.k.ftquiaouolatcra.d.c.t.e.b.trisn 
guli.d.c.b.funt cqualia:crur per. y.p:tmi ouo anguli.e.d.b.z.e.b.d.cquales:? qi 
angulus.e.cft rcctus erit g.3Z.p:imi vtcrq5 eoy mcdicras rccti. £ade ronc vtcr/ 
q5 ouo:ii angulo:ii.cd.b.i.cb.d.crit medictas recti. quare p fecuda tjtem.2p.p 
mi crit vnufquifq^ quatuo: angulo^ qui funr.b.f.d.i.b.d.fo.k.f.d.t.k.d.f. me 
dicrss recti crgo g .tf.pumi.f.g.-z.g.b.funt equalcs. fimilitcr quoq^ .f.s.t.a.b. 
pari roc.f.b.c.b.d.itcq^.f.k.i.k.d. quare vtraq^ ouaru fugficietu.a.b.g.f.«.k. 
d.b.f.eft quadrata 1 q: totalc quadratum.a.b.f.g.cp eft quadratii lince.a.b.con 
ft3t cf onobus quadratis que cofiftunt circa oiamcty que funt quadrata ouarnm 
Unearum.3.cr.cb.t cc ouobns fupplementis quo? vnuq6q5 pdiKic c% .3. c.in 
b.cpatct piopofitum noftru.Gaiiter fit linea.a.b.Vt pnus omifa in.a.ct.cb. 

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eritq^ g.2.buiu3 quodfit crtota.a.b.infe:cquu ciq6 fit eripfa (n.a.cz.c.b. 
fcd cx ipfa iu.a.ctm fit quatu er.a.cin k.t cx.a.cm.b.cg.5.bin 9 .3tcq5 eripfa 
a.b.tota in.b.ctm fit quatum cjc.c.b.iit fe.« cr.cb.in.a.c pcr candcm. crgo qo 
fit er tota.a.b.in fe cqufi c ei qb iit ex.a.cin fc t in.c.b.c ex.cb.in fe.« in.a.cq6 
cft p:opofitum.5ed bac via nou patet co::ctariu. ficut via p:cccckitri patct. vn/ 
de p:ima cft auctou magis confona. 

IfclOpofitio .y, 
1 3 »nea recta per ouo cqualia Dnoqi; iequalia fecetnr.qo 
I liib inequahbustotiustectionisrectangutucontiiiefcu 
| eo quadrato q6 ab ea que iuter vtrafq^ e fcctiones ocfcri 
bitur equum cft ci quadsato q6 a oimidio totius lineei fe 
aj oucto oefcribttur. 
CSit linea.a.b.oiuifa r> equalia in pucto.c? p incqualia in puncto.d. oico qua/ 
dratuj.c.b.cffe cqualc ci q6 fit c^.a.d.in.d.b.c qdrato.c.d.CDefcriba quadra/ 
tum.c.b.gj fit.c.b.f .c.in quo ^trabam oiamctrii. e.b. t ouca.d.g. equidiftantc 
b.f.q fccct oiamcty.c.b.i pucto.b.s a pficto.b.educa cqdiftate linee.a.b.q fit.b. 
fc.fccas linea.b.f.in puncto.m. t linea.ce.in puncto.U .prraba.a.k.equidiftan 
te.c.e.eritq, p, co::elariu pmiffe vtraq^ oua? furjficic£.l.g.c.d.m.quadrat3.c pcr 
4?.primi ouo fupplemeta.cb.s.b.f.cqualia.ergo addito quadrato .d.m. vtnqj 
eritgalellosramu.e.m.cquaIeEatcllogramo.d.f.'Zq:.a.l.cftcquale,c.mg.3(j.p:i 
mi:erit.a.b.cqualcgnomoniqui circiiftatquadrato -l.g. crgo addito vtriqjqua/ 
drato.l.g.erit.a.b.cuquadrato.l.g.cqua!equadrato.c.f.q6cftp:opofitum. 
1(b:opofitio .6. 
$ recta linea in Ouo equalia Oiuidaf.alia vero ei linea.in 
longu addat.q6 ejc ouctu tot&w copolite i ea q ia adiecta 
e cu co q6 ej; ouctu Oinudie in feipta:equt5 e ei qdrato q6 
| ab ca q coflat ejc adiecta 1 0imidia i feipla Oucta ocfcribit 
i GSit linea.a-b.oiuifa g cqualia in puncto.c.ciq^ addat linca.b.d. 
oico cp quadratu.cd.q6 fit.cd.e.f.cquale c ei q6 fit qctota.a .d.i.b.d.? qnadra 
to.cb.lS:oduca i quadrato p:cdicto oiametru.d.e.? ouca unca.b.g.cquidiftare 
d.f .q fecct oiamctru.d.e.in piicto.b.a quo.b.,pduca equidiftate lincc.a.b.quc fit 
b.k.fccans.d.f. in picto.ntvz.ce.ui pucro.Up:oduca.a.k. cquidiftantem .cl. 
critq5pcr'3tf.p:imi.a.l.cqualc.cb.at.cb.critequalc.b.f.pcr.43.p:imi.quarc.a 
l.e equale.b.f.ergo addito.cm. vtrobiq^ erir.a-.m. equalis toti guomoni circufta 
ti.l.g.quarc.l.g.additovtrobiq^erit.a.m.cu.I.g.cqualetotiquadrato.cf.cquia 
vtraq^ ouay fuperficiey.l.g.cb.m.e quadrata:g co::elariu.4-bui 9 P5 p:opofitu. 

1fb:opofitio .7. 
(I 3f tinea in ouas partes Oiuidaf.qo ftt c;c Ouctu totius i fe 
ipfam cum eo qo eft ejc ouctu alterius partis i feipfam . e/ 
quum eft q eis ejc ouctu totius linee i candem partem bis 
i ejc ouctu alterius partis irt lcipfam. 

jCSit linea.a.b.oiuifa in euas partes in puncto.c oico cp quadra/ 

tum totius.a.b.cu quadraro.b.ccquu cft ci qo fit eca.b.in.b.cbis cum quadra 
to.a.c.ocfcribatur quadratu^ totius qo fit.a.b. d.c.c oucatur oiametrum .b.d.s. 






II 

cf.equidiftans.b.cfccans oiamctrum in puncto.g.c oucatur.k.g.b. cquidiftas 
a.b.cquia quadrarum.a.ccumquadrato.c.b.tm funt quatumquadrarum .k.f. 
cum ouabus fupcrficiebus.a.b.et.g.e.patct pjopofitum 

1£>:OpofttiO .3. 

^linca irt Oaaspartes oiuidatuneiqj inlongumequa/ 
lis vni Oiuidentium adiangatunqtf ejc oucta tottus tam co 
polite irt feipfa^ fiet. cquum erit bis que e% ouctu pzious 
linee in eam adiectam qaater. i d qo ej; ouctu alterios ot 
uidentisinfeipfam.» 
C6it.a.b.oiuifa in puntto.c.qualitcrcuqj contingat:cui addatur.b.d. cqualis.c 
b.oico qp quadratum torius.a.d.qo" fir.a.d.c.f.eft cqualc ci qb fit ex.a.b. c.b.d. 
quatcr cu quadrato.a.c.boc aut patcbit oucta oiamcrro.d.cc lineis. c.g. «z.b.b 
cquidiftan tibus linecd.f.c fecantibus oiamctrum in puncto.k.l. per que puncta 
oucantur.p.q.k.r.c.m.n.l.o.equidiftantcs.a.d.eritenimperco::clariu.4.bnius 
vnaqucq^ fuperficicrum .r.g.n.q.c.b.m.quadrata:? quia.c.b.pofita cft equalis 
b.d.erit vtraqj fuperficierum.c.l.i.l.p.quadrata.frutqj^.quadrata oiuidcntia 
quadratu.c.p.equalia c quia totus gnomo circuftas qdrato .r.g.cft qdruplusci 
qo e;c.a.b.in.b.d.q: quadmplus ad fugficie.a.t.patct p:opofitum> 

IfcttOpofitio .9. 

| % linea i 6uo equatia Ouoqn inequalia Oiuidinmq ftiJt ej; 
ouctu tnequaltu fcctionu in feiplam paritcr accepta: On/ 
plu fu t vtriufqj pariter aceeptts.q cjdc er oimidia.eaq^ q 
vtrtq5 fectioni intenacetquadratis oefcnbuntur. 

„ GSir linca.a.b.oiuifa pcr equalia.m.c.c pcr incqualia.in.d.Dico 
cpquadratiim.a.d.iquadratu.d.b.fimuliuncta:ouplafiintquadrato.a.c. cqua 
drato.c.d.fimul iunctis.GSupcr lincva.b.crigo liiiea.cc pcrpcndtcnlarc c eq/ 
lcm vtriq^ cay linc3y.a.c.c.c.b.c pwduco.c.a.c.cb.crirq^ g.32.p:imi vtcrq^ an 
gulomm.a.c.b.-z vtcrq, angulo2; partialium qui funr ad.e.medictas recti.tot 9 q5 
c.rcctus.cpwduco.d.f.cquidiftantcc.ccperpmdicularcmfupcrlinea^.a.b.crtt 
C|5vtcrq53ngulo:um.d.rcctus:iangulus.d.f.b.incdictasrccti pcr.jz-primiifi/ 
nc pcr fccuda partc.29.p:imi:quarc pcr.<s.p:tmi.d.f.c.d.b.funt cqualia.a puncto 
f.ouco.f.g.eqiudiftante.a.b.critq5perfccijdacte.a9.p:imi:Vterq5 angulomm.g 
rcctus.c angulus.cf.g.mcdictas recti quarc p fcyta ciufdc latcra.cg. c.g.f. funt 
cqualia *.l quia per penult.eiufdcm quadrarunr.cf.cft cqualc quadraro.e.g.c q/ 
draro.g.f.ipfum erit ouplum ad quadratum.g.f.quarc adquadratu.c.d.G3rcq5 
pcr candem quadratum.ca.cft cquale quadrato.a.c.c quadrato .c.c ipfum crit 
ouplum ad quadratum.a.c.c quia quadratum.a.f.cft cqualc quadrato.c f.ca.e 
pcr candcm ipfum erit ouplum ad quadratum.a.c.c ad quadratum.cd.fed qua/ 
dratum.a.f.cft iterum cquale pcr eandan quadrato.s.d.c quadrato.d.f.ergo q/ 
drarum.a.d.cquadratum.d.f oupla funtad quadratum.a.c.cad quadratum 
c.d.c quia quadratum.d.f.cft equale quadrato.d.b.erut quadrata ouaylinearu. 

b3 





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LIBER 

a.d.s.d.b.oupla quadratts onarum lincarum quc funt.8.cc.cd.q6 e,ppofitum 

*$»:opofttio .10. 

3f linea in t>iio cqualia oiuidatur ciq^ t longum alia adda 
mr :quadratum qrj oefcribitur a tota cuni addita i quadra 
tum qd ab ca que addita eft. vtraq^ quadrata pariter acce 
pta.ei qnadrato qo a oimidia.eiq^ qo" ab ea p:oducitur q 
ejc otmidia adicctaq5Conftftitvtrilq5 quadraris paritcr 
acceptis onpla elle neccfle cft. 

GSit linca.a.b.oiuifa pcr cqoalia in.c.i arfdita fibi linca.b.d.oico cp ouo qua/ 
drata ouartim lincarum.a.d.s.b.d.pariter acccpta oupla funt ouob' 1 quadratis 
ouarum lincarum.a.cs.cd.pariter acccptis. GCrigo.ce.pcrpeiidiciilarem fup 
lincam.a.b.t equalc vtriq^ linearum.a.cz.cb.i pcrficio tri3ngulij.a.c.b.otictif 
lincis.a.c.c.c.b crirq^ ut in pmiffa vtcrq^ angulom.a.cb.c vtcrqj co:um q func 
ad.c.mcdicta6rcctipt.32.pjimi:totufq5.e.ercctusapniicto.c.p:oduco.c.f.cqua 
lcm i cquidifranrem.cd.c pioduco.f.d.c.c.b.quoufqj cocurrut iu puncto.g.c ,p 
duco lineam.a.g.critqj pcr vltimam partem-29.p:imi:angu!us.cc.f. rccttis fcd 
angulus.ce.b. cft mcdictas rccti. crgo angulus .b.c.f. eft fitnilitcr medictas re/ 
cti:-z quia pcr-3 j.ciufde.f.d.eft cquidiftans.cc.erit pcr.34.ciufdcm angulus .f. 
rcctus.crgopcr.j2.eiufdcm.critanguIu8.e.g.f.mcdtctasrccti.3temq5pereande 
angulus.d.b.g.fimilitcr mcdictas rccti:p:optcr id quod augulus.b.d.g. eft rect 9 
ergo pcr.s.ciufdcm ouo latcra.c.f.c.f.g.funt cquali3.3tcq5 ouo latcra. d.b.c.d. 
g.fuut cqualia:crgo pcr pcnultimam ciufdcm quadratum.e.g.ouplum cft ad qua 
dratum.c.f .quarc ad quadratum.c.d.G^temq^ pcr eandem quadratum.a.c.ou 
plum cft ad quadratum.a.cc quia quadratum.a.g.cft per candem equale qua/ 
drato.a.cz.c.g.fitniltterqnoq^c quadrato.a.d.i.d.g.Stqzquadratu.d.g.cft 
cqualc quadrato.b.d.crnt ouo quadrata ouarum lincarum.a.d.i.b.d.pariter ac 
cepca oupla ouobus quadratis ouarum linearum.a.c. c.c.d. pariter acceptis qo" 
cft pwpofitum: bcc autem i omnes p:cmiffc vcritatcm babcnt in numcris ficut 
in lineis. 

1fb:OpoflttO .ir 

Stam lineam ftc lecarc. vt qo fitb tota i vna po:tione re/ 
j ctangulum continetur:equutn ftt ei qo fit ejc retiqua lectio 
ncquadratw. 

I G5it linca oata.a.b.Jq^ volumus f fie oiuidere: vt q6 cx tota s cius 
Ijininorc p:oducitur cqunm fit quadrato maiori.CDcfcribo quadra 
tum ipfius q6 fit.a.b.c.d.i latus. b.d.oiuido pcr cqualia in.c.t p:oduco.a. c.ct 
c.b.p:oduco vfq^ ad.f.ita quod .c.f.fit equalis.a.cz eji.b.f. po:tiouc ejtrinfe / 
ca:ocfcribo quadratum quod q: latere.a.b.rcfecat fponioncm cqnalcm.b.f. quc 
fit . b.b .% quadratum oefcriptum fit. b.f. b. g. £>ico cp ; a.b. ficcft otuifa in 
puncto.b.qO illud qb fit e% tota.a.b.in eius poitioucm.b.a.eft equalc quadrato 
b.b.,pduco.g.b.vfq5 ad.k.que erit ccjuidiftans.a.cq: crgo linca .d.b. oinifa cft 
pcr cqualia in.c.i eft fibi addira linca.b.f.crit pcr.^.bnius q6 ftt ccd.f.in.b.f.cu 
quadrato.cb.cquale quadrato.eXquarc i quadrato.c.a. .Quare p pcimltimam 




II 




piiiut-.qnadratiis ouay lincarum.e.b.^.b.a.crgooempro ab vtrifq; qaadrato K/ 

ncc.c.b.erit qo fit ccd.f.in.b.f.? ipfti eft fupcrficics.d.g .equalc quadrato lincc 
a.b.crgo ocmpto ab vtrifqj paralclogramo.b.d.crit quadratu.b.f.eqnalc galello 
gramo.b.cz quia quadratum.b.f.eft quadratum lincc.b.b.c galellograinu.b.c. 
ptoducitur ccca.quc eft equalis.a.b.in.a.b.pater factum effc p:opofitu. GHd 
boc aute faciendum in numcris non labo:cs:quia impoffibile cft numerum fic oi/ 
uidi: Vt bic vndecima pioponit ficut fcics fejcti.29.tc oocentc. 

1^>2opofitio .12. 

fj 1R bis triangulis qut obtulnm babent angnlum: tanto ea 
que obtafum fubtendit angulum :ambobus reliqois lateri 
busqueobtufumcontoientangulumampliuspotert.qua 
tneftqoc6tinefbillubvnoeo^:atq5eaquenbi oirecte 
iucta ad obtufum angulu a ppediculari ejctra oepbcndit;. 
GSit triangnlus.a.b.cbabens angulum.a.obtufum.a puncto.concaf linca g/ 
pendicularis ad linea.b.a.que neccflario cadet ejctra triangulu.a.b.c alioq*n an/ 
gulus obtufus cflct rcctus aut mino: recto p.i <s.pjimi:fit ergo.cd. perp *ndicula 
ris fuperlincam.a.b.pjoductam vfq$ ad.d. £>ico qp quadratum Iateris.b.cq6 
fubtenditur angulo obtufo tanto maius eft ouabns quadratis ouarum lincarum 
a.b.T.a.c.ambicutibus ipfum angulum obtufum.quantum cft illud qo fit ej.b. 
a.in.a.d.bis: potcntia eni lincc refpcctu qdrati fui eft.vnde tm oicif poffe linea 
quclibcC qnautfi in fcoucrap:oducif.£ntcni p.4-bui 9 qdratu.b.d.cqualc ©uo/ 
bus quadratis ouarum liricarum.b.a.f.a.d.? ouplo eius qb fit cjc.b.a.in.a. d.et 
quia quadratum.b.c.per pcnultimam p:imi cft cquale quadrato.b.d.i quadrato 
d.c.ipfum erit cquale quadratis trium lincarum.b.a.a.d. t.dx. 1 ouplo cius qo' 
fitecb.a.i.a.d.fcdgcandcquadratii.a.cecqualcquadratis.a.d.cd.ccrgoq/ 
dratum.b.c.cft equalc quadratis onarum lincarum.b.a.i.c. a.c ouplo cius qd ftt 
ccb.a.tn.a.d.quarc.b.c.tanroampliuspoteftouabusiincis.b.a.a.cquantum 
c(toupIucius.q6fitccb.a.in.a.d. ^amcnimoijrimuscptanwoicitur poffe \i/ 
nca quclibct quanrum in fc oucta p:oducit quod cft p:opofitum. 

Ilbzopofitio .ij. 

| Xlfjms oxigonij tanto ea que acutum refpictt anguln am 
bobus latcribusangnluinacutumcontincntibus minus 
potefhquatum eli qt> bis continetur fub vno eo:um cui g 

i pendicularis intra fnperftat:eaq5 fui parte:que perpendi 

\\ culari anguloq^ acuto interiacet. 
CQuod bic p:oponitur oe latcrc fubtcufo alicui angulo acuto in triangulo ojci/ 
gonio Vcritatcm babet oc latcrc fubtenfo cuilibet angulo acuto in omni triangu/ 
lo fiuc fiat oHbogonius fiuc ambligoni 9 fiuc oxigonius. GSit ergo in triangulo 
a.b.cquicuq, triangulus fuerit.angulus.c.acutus qui fi fuerit ojiigonius oucatur 
ppcndicularis ab vtroq^ anguloy.a.vcl.b.ad vtraq^ bafim.b.cvd,a.cquia cum 
fic fuerit fcmpcr cadcr perpcndicnlaris inrra triangulum.Si autern fit ambligo/ 
mus aut o:tbogonius ab angulo obtnfo vcl rccro oncatur perpcndicularis ad la 
tus oppofitu qua manifcltu eft cadcre intra tnangulu:? ut fimplicitcr oicam cum 
momni triangulo funt ouoacutiangulineccflarioerita!terreliquo2J angu!o:fi. 
qui funt.a.«.b.acutus.Ducam igitur pcrpcndiculare ad lineam illam quc ouobus 

b4 








LIBER 

Bcntis interiacet.SIt. ergo vt triaiiguU.a.b.c.anguIus.b.etu fit aeutus ouca :ergo 
ad b.cppediculare q fit.a.d.que vt oictu cft cadet intra triangulii.oico itaqj q> q/ 
dratum.a.b.q6fubtendif angulo acuto.c.tanto minus cft ouobtis quadratis ou/ 
arum linearu.a.ct.cb.quatu oupltl eius q6 fit ejc.b.c.iu.d.c. GZ5d oico q> qua/ 
dratum.a.c.qo etiam fubtenditur angulo.b.quc pofuimus acutum quicquid fuc/ 
rit oe angulo.a.tanto minus cft ouobus quadraris ouarum liucarum.a.b.?.b.c 
quatu eft ouplum eius q6 fit ejc.c.b.in.b.d.frit enim pa.7 Jjuius quadratu .b.c 
tomquadrato.d.c.equale ciquodfitci:.b.c.in.d.c.bi8« quadrato altcrius gtis 
Iq.b.d.quare addito vtriq^ quadrato.a.d.erit quadratu.b.ccii quadratis omp 
linearum.a.d.i.d.cequale quadratis ouarum linearum.a.d.i.d.b.s ouplo eius 
quod fit ccc.b.in.c.d.at quia per pcnultimam p:imi quadratum.a .ceft equaie 
quadratis ouarum Unea:u5.a.d.?.d.cerirtiuadratum.b.c.cum quadrato .a.ce/ 
qualc quadratis ouarum lincarum.a.d.t.b.d.c ouplo cius quod fit ej.b.ci.cd. 
fed per candcm pcnultimam piimiquadratu.a.b.equu cft quadratis ouarum U/ 
nearum.a.d.?.b.d.crgo quadratum.b.ccum quadrato.a.ccquum eft quadraro 
a.b.c ouplo eiusq6 fit ejc.b.ci.c.d.quarc tanto min" poteft.a.b.ouobus laterib* 
b.cc.a.cquantu cft duplum eius quod fit ex.b.c.in.cd.quod cft piopqfitu. Si/ 
mili modo pjobabis latus.a.cq6 fubtenditur angulo.b.acuto polTc tanto min 9 
ouobuslatcribus;8.b.c.b.cquantumeft ouplmncius :quodfitecc b.iu. b.d. 
CHotaduautpcrbanccp^ecedcnte^pcnultimampjimi: cp coguitis lateribus 
omnis triaiiguli cognofctf area ipfius i aujtliantibus tabulis oc co:da 1 arcu co/ 
gnofcitur omnis cius anguUis. 

1fb:opofitio .14. 
2Uo trigono eqtmm qnadratum oefcribere. 
GSit oatus trigonus.a cui nos volumus equum quadratS oefcrfoe 
rc.Dcfignabo fuperficie equidiftauttum latcrum z rccto:um augulo 
rum cqualcm trigono oato ftn quod oocct42.p:imi:fitq3 fupcrfici/ 
cs illa.b.cd.c.cuius fi latcra fucrint cqualia babemus q6 qucrim 9 . 
ipfa cni cnt qdrata.p. oiffinttionc Si aut latcra fint ineqlia tuc adiiiga mm 9 ipfo 
romlateru maioiifrmrectitudine.fitq^Iinea.c.f.equalisminon 011032 latertiqoe 
ce.adtuncta maio:i quod cft.b.c.f>m recritudiue.Iotam.b.f.oiuidam pcr equa/ 
lia in pucto.g.c facto.g.cctro fug linea.b.f.fon quaritatc linee.g.b. ocfcribant fe/ 
micirculu.b.b.f.c latus.c.c.pduca vfcjuequo fecct circuferentia iu puncto.b.oico 
cp quadratu linee.c.b.eft equale trigono oato."P>:oduca linea.g.b.c q: Unea .b.f. 
oiuifa e g cqualta in.g. ?g tnequalia iu.c.erit g.y.bui 9 qo fit cx ouctn.b.ci.cf.cfi 
qdrato.c. g.equale qdrato.g.f.quare z quadrato.g.b.quare per penultima p:i/ 
mi i ouobus quadratis oua^ lineay.g.ct.cb.ergo oempto vtriqj quadrato.c.g 
erit q6 fit ccb.cin.c.f.q6 cft cquale fuperfictei.b.c.eo cp.e.f.e equale.c.c. cqualc 
quadrato lincc.cb.quarc quadratii lincccb.e cqualc trtgono.a.qo e p:opofitu: 
C£t nota q> g boc inucnif Iat°tetragonicu cuiuflibj altera ptelogio:is z fimplici/ 
tcr omnis figure rectis lincis c5tcnte quecuqj merit.qm omnc figura tale in trian 
gulos rcfolucm 9 « cuiuflib^ illo£ trianguloaim inucnicm 9 tctragonicu latus f>m 00 
ctrmamifrws.?inncnicmusperpainltimamp:imi.lincam vnam quc poffit in 
omnia latera tetragouica inucnta.vcrbi gratia volo nunc tnuemre latus tetrago/ 
nicu rectilince figure irrcgularis .a.b.cd.c.f.rcfoIuo eam.in. 3 .triangulos qui ftic 



II 




a.b.f.c.d.e.T.c.f.c. 3»uaiioquoq5 Pm ooctritiam iftiustrialatera tctragoiiica 
ifto£ triumtriansulorum.quifunt.g.b.b.k.T.k.I^crigo.b.k.pcrpcndiculariter 
fuper.g.b.s p:oduco.g.k.eritq5 pcr penultirna quadratum p:imi.g.k.equale qua 
dratis ouarum lincarum.g.b.s.b.k.i tertium latus.k.l.crigo pcrpcudicularitcr 
fupcr lineam.g.k.z p:oduco lincam.g.l.critqj per penultimam pjimi.g.l.latus tc 
tragonicum totius figure rcctilincc p:opofite. fxplicit liber fecundus.^ncipit 
libcrtcrtius. 



tWoy biametri funr eqles.ipfos circulos ecj 
l cs cllc.£)fcaio:es aiit quoy maio:cs i mi/ 
n o:es e]uo£ mino:es.G,£irculu linea pttn/ 
gere oicitur.quecii circulu tangat iu vtraqi 
partc eiccta.ctrculu non fecat.GiCtrculi lele 
contingere Otcnnf qui tangcmes leinuicem 
non lecant.GlRccte linee in circulo equali/ 
tcr oiftare oiciif a centro.cij a ccutro ad ip/ 
fas oucte perpendiculares fuerint equalcs. 
C]fblus vero Oiftare a centro Oictt.tn qua 
=U ppendtcularis longio: cadit. CiRecta linea 
poittonficirculic6tine8co2danoiat'.C1fbo2tio vcro circuferentie 
arc? nucupaf . CSngulus aii t po:tionis oicif q a co:da i arcu conti/ 
nef.CSup:a arcn angulus conftlkre oicit.qm a quohbet pficto ar/ 
cns ad co:de tcrminos ouabus rectts lineis ejceunttb? cottnef . CSe 
ctojcirculidtftguraqfubouab^acetroouctisliueisifub arcu qui 
ab eisc6p:cbendif cotinef.G&ngulusautquiab eislineisambitur 
fup:a centru coftftere ©icif .C0ites circulo? po:ti6es ©icuf i quib? 
qui fup:a arcttm conftftuntanguli libi inuice lut eqles.CSrc^quoq? 
limiles funt qufequos angulos p:edicto modo fulcipiunt. 

1{S:opontio .1. 
|3f rculi ^pofiti cetrn inuenire.vii manifdt u e cp ouab? re 
^ lctis lineis in eode circulo apud circuferetta termtatts neu 
- tra illa?: altera per eqlia o:tbogonal'r lccat nili ipfa liiper 
centrum tranlierit. 

C6it circulus pwpofitus.a.b.c.cuius volumus ccntrii inucnirc. ou 
coinipfocirculolinca.a.c.qualitercuqj contingatquaoiuidopcr cqualia ipucto 
d.a quo ouco perpcudicularcm ad linca.a.c.qua applico circufcrcntie cjc vtraq^ p_ 
te.firq^.c.d.b.qua rurfus oiuido g cqlia in piicto.f.que oico cfie cenrru circuIi.Si 
eni no e:crit aut alibi aut i linca.e.b.aut cjctra. 3n linca.c.b.no: fi cni fucru i ca 
vtipuncto.g.crit .inca.c.f.matolinca.e.g.psvidcl^toto qbcft ipoffibile. Q6 
fifucritc):tralinea.c.b.utinpucto.b.oucanflincc.b.a.b.d.b.c.tq:latcra < b.d. ¥ s: 
d.a.trianguli.b.d.a.futcqlialaterib^.b.d.t.d.c.trianguli.b.d.c.tbafis.b.a.ba 
fi.b.c.eritE-8-p:imiangul 9 .3.d.b.eqIisangulo.c.d.b.qreVtcrq3rect 9 cq:angu 
lus.a.d.b.fuit£tiarccc'crit.a.d.b.cqlis.a.d.b.g.3pctitionci>iigs vidclicetto 
ti q6 e ipoffi.bile.n6 e ergo cetru oati circuli alicubi qua i pucto.f.qb e p:opofitu . 





LIBER 






Ifcsjopofitio .2. 
■^per circuli circtl ferentiam ouobus puncris figrtatis.li/ 

neam rectam ouctam ab altero ad alterum.circulum feca 
renecelleeft. 

GSit vt in crrcufcrcntia ciroili.a.b.cuius ccntruj fir.cfignara fint 
ouo puncta que funr.a.i.b.oico cp linea rccta coniugens vnn cum 
cum altcro fccabit circnlum.aiioquin cadct crtra circulurmfitq^.a.c.b.linea rccta 
fi pofTibtle cft:produti lineas.ca.f.cb.erntq^ pcr. j.pjimi:angulus.c a.b.i.c 
b.a.equalesrpjotrabam itc linca.ce.quc fccct circifercntiam in puncto.d. critq^ 
pcr. itf.p:imi:angulus.a.e.c.maioj angulo.cb.cquare maioj angulo.ca.c. qua 
repcr. i s.ciufdcm latus.a.cmaius laterc.ccc quia.cd.cft equalis.ca.crit.cd 
maioj.ce.pars toto quod eft impofi'ibiIc:ciuia crgo linea coniungcns ouo pucta 
a.b.non tranfibit extra circulum fccabit ipfum quod eft pjopofitum. 
Ifcuopolitio .?. 
Hgflj 3f lineam intra circulum pzeter centrum collocatam . alia 
WMfi centro veniens per equa fecct.o:tbogonaliter fug eam 
^ inftlTere.-zfuneam ojtbogonaliterfieterit.eamrj equa/ 
'Q®0%lr I * ia ' u ^ cre » e cefle elr. 
^ifljGSit vt lincam.a.b.collocata intra circulum.a.b.cuius ccntrum fit 



clinea.c d.vciiics a cetro oiuidat g eqlia: oico cj> oiuidit eam onbogonalitcr.i e 
conuerfo vidclicet fi oiuidit eam ojtbogonalitcr oiuidit cam pcr cqua!ia:pjoduca 
lincas.ca.t.cb.? pona primo q> oiuidat ca per eqlia: crut crgo ouo latcra.cd. 
t.d.a.trianguli.cd.a.cqualiaouobuslatmbus.cd.i.d.b.trianguli.cd.b.tba/ 
fis.ca.bafi.cb.crgo pcr.s.p:imi:angulu3.d.vnius cft cqualis angulo.d.altcrius 
quarc vtcrq, rccrus:quarc.cd.cft pcrpcndicularis fupcr.a.b.qo cft pjopofitum. 
Gponam itcrum cp.cd.fit pcrpendicularis fupcr-a.b.? oftendam q> ipfa oiui/ 
dit.a.b.per cqualia crit cnim ^ppter banc pofitione vterqj anguloy qui funt ad.d 
rectus quarc vnus cqualis alteri. 3t qj p • y .pjimi angulus.ca.d.eft equalis an/ 
gulo.cb.d.i latus.ca.cqlc latcri.cb.pcr.2<f.pjimi:eiufdcm erit linea.a.d.cqua/ 
li3 lincc.d.b.quod cft pjopofitum. 

l£>:opofitio .4. 
3f intra circnliim oue linee fe imiiccm fecent. 1 fuper ccn/ 
rru non tranfeant.no per equalia eas fecari necelfe cft. 
( GSttvtineirculo.a.b.cd.cui 9 ccntrufit.e.ouelincc.a.C'j.b.d.fc 
ccnt fc in pucto.f.c vtraq, ca?z vel altera non trafcat per ccnt22.otco 
q> ipfe uo oiuidunt fcfe p cqualia:ita q> vrraqj g cqualia oiuidat ab 
altcra.GOo fi fucrit boc pofttbile:ponat 1 fic pjimo vt ncntra rrafcat p ccntrum 
a ccntro.c.pjoduca linea.c.f.critq, p p:ima pjcmilTe vnufquifq5.4. anguloy: qut 
funt.3.f.c.e.f.cb.f.cr.c.f.d.rcrt 9 q6eimponibile:ficcnircct 9 elTctminojrccto. 
GSit igit Vt altcra coy trafcat g ccnti/ 1 altcra n6:fitq5.b.d.traficns per ccntrum 
adbuc oico q> no oiuidunt fcfc pcr cqualia:q6 fi fictunc p pjima gte pjcmificcii 
b.d.oucta a ccntro oinidat.a .cpcr equalia oiuidat ea 02tbogonalitcr. quarc ctia 
a.coiuidet.b.d.ojtbogonalitCT^qjoiuidit.a.cipfa.b.d.peqTiavtponitaducr 
farius:ipfa tranfibit pcr ccntrum f cr cojjclarium pjime buius:quarc ambc tran / 
feunt pcr centrum quod eftcontra fpotbefim. 



mmmm 



wm 



III 



1(b20pofitio .y. 

3f rculo2um k inuicem fccantium cemra oiuerfa effe. 

GSint ouo cvrculi.a.c.b.a.d.b.fecantes fc fupcr ouo puncta.a.T.b 
Dico q> co:um funt oiucrfa ccntra. C6i cnim babcrct idcm cerrum 
ipfu cvir pcroiffinitione 111 po:tionc vtriq^ circulo c6muni:fitq5 illud 
e.coucanturlincc.e.a.-ir.c.f.c.crautq^poininitioiiconclincc.c.a.c 

6.f.cquaIc8«G3tcmq5PcroifFiiiitionemouelince.c.a.-j.e.c.cqualcs:quarcc.f. 

cft cqualis.e.c.cum vtraq^ earum fir cqualis.c.a.pars Vidclicct toti q6 eft impof/ 

fibile. 

Ijfc^qpofttio .e. 





I 3frculo2um fe fe contingentium no idem centrnm effe ne/ 
icefTcefr. 

CSint ouo circuli.a.b.s.a.c.contingentcs fc in puncto.a. £>ico <p 
co.umfuntoiucrfaccutra.Sicnimbabuerint idem ccntrum crit g 
oiffinitionem intcr minojem coy cum mino: pofitus fuerit itra ma 
io:cm:fitq5 ipfum.d.s oucantur Imce.d.a.t.d.b.c.eritq^ pcr oiffinioncm vtraq^ 
ouarum lincarum.d.b.c.d.c.cqualis.a.d.qtf cft impofubile.CDe circulis autcm 
fc coiuiugcntibus cxtra quo:um fc^ vuus cft c^tra altcrii:manifcfttim cft pcr oiffi 
nitioncm cciitri q6 ipfi nou babcnt idem ccntrum. 

llb^opofitio .7. 

$ in biametro circult punctus pjcter centrum figuctur:? 
ab eo ad circuferentiam lince plurime oucaturque fuper 
ccntrum tranfierttomnium entlongiffima.quevero Ofa 
metrum perficietomnium CTitb:cutfrtma.que autem ccn 
_ tro ptojrime ceteris longio2es. G£5uanto vero a centro 
remotio2ce ranto b2eui02cs efle conucmct.Gi&uas quoq? cquidifra 
rct? lincc b2cut(Ttme collatcralos equales efle neceffe eft. 
C5it vt in oiamctro.a.f.circuli.a.b.c.cuius ccntrum fit.b.fit ftgnatus punctus 
k.pKtcrccntrumaquooucanturplurimclinccqucfunt.k.a.k.b.k.c.k.d.k.c.k:. 
f.l^g.ad circumfcrcntiam:? tranfcat.a.k.pcr ccntrum.b.t.k.f.fit complcmctiim 
oyamctri:ftrq5 vt.k.c.c.k.g.equidiftcnt a.k.f.boc cft oiccre vt anguUis.c.k.f.fit 
equ3li^angulo.f.k.g.oicocp.k.a.cftomniumlou5iffim3.c.k.f.omniumbieuif/ 
fima:aticvcrotantol6gio:csquatoce'troppiiiquio:cs:vt.k.b.eft longio:. k.c.z 
k.c-.cft longio:. k.d.f.k.d.longio:. k.e.T. k. c.f.k.g. funt cqualcs: quia cnim ir» 
triangulo.b.k.b.ouo latcra.b.b.?.b.k.per.2o.p:imi:funt maio:a laterc.b. k .et 
ipfa funt cqualia lincc.a.k.crit.a.k.mato: b.k.? cademrationc maio: omnibus 
alijs?boccftp:imum.C3rcmq5quiain triangulo.c.b.k.ouo latcra .b.k.ct. k. 
cpcr candem funt maio:a latcre.b.e.quodcft cquale lince.b.f.ipfaerutma 
to:a linea.b.f. ergo ocmpta communi lincaque eft.b.k.remanebit.k.c.maio: 
k.f .cadcm ratione qudibct aliarum crit maio: ipfa ? boc eft fecundum. C licof, 
q: ouo latcra.b.b.?.b.k.trianguli .b.b.k.funt cqualia ouob 9 latenb 9 .c.b.t.b.k 





LIEBR 





trisnguli.cb.k.c angulus.b.b.k.c maio: anstilo.c.b.k. erit e.24.pjimi bafis .b- 
k.maio: bafi.k.c.cade ronc.k.cmsio: erit.k.d.c.k.d.m8io:.k.c. i boc c tertium 
CQ6 (i oue linee.k.g.i.k.e.no funt equales crit altera maioj:fitq5.k.g. oe q fu/ 
mam.k.l.cqualem.k.c? p:oduca.b.l.quoufqj fecet circuferentiam in puncto.m» 
i q: pcr ypotbefim sngulus.g.k.f.e cquslis anguIo.f.k.e.erit pcr. 1 3.pjimi:angu 
lus.l.k.b.equalisangulo.c.k.b.-zouolatcra.l.k.^.k.b.trianguli.l.k.b.futequa 
lia ouobuslaterib''.e.k.?.k.b.trianguU.c.k.b.crgo p_4.p:imi bafis.b.l. eft cqua 
lis bafi.b.c? q:.b.m.eft cqualis.b.c.ait.b-m.equalis.b.l.qo e tmpolYibilcfunt 
ergo ouc lince.k.g.?.k.e.equalcs qo* cft noftrii p:opofi;um.quartum 

ljb:opofirio .s. 

% cjttra circuUim puncto lignato ab eo ad circumferenti/ 
amuneeplurime tmcantur circulum fecando.quefuper 
centrum tranfierit omninm trit lougiflima . CCcntro au 
tem p:opinquio:es ceteris remotio:ibus l6gto:cs. GEi 
neeveropartialesadcircuferentiai; ejrtrinieaisapplica 

te:ea quidem queoiametro in oirectum adtacet omnium cft mimma. 

eiq5 p:optnquio:es remotio:ibns b:euio:es.C©ue vcro que litiee 

b:eutflime vtru q5 cquc p:opinquat equales funt. 

C5it vt in puncto.a.affignato c#ra circulu.b.cd.cuius ccntrum fit.u. oucatur 

plurimc linec ad circufcrcntiam fccando circulum que fint.a.k.n.b.a.b.c.a.g.d. 

c.a.f.cDico g>.a.b.tranficns pcrccntrum omniu crit longiffima.c cp.a.c.e ma/ 

io:.a.d.c.a.d.maio:.a.c.i cy.s.k.e omniii b:cuiffima cjtrinfccai/; '? cp.g.b. cft 

mino:.a.g.i.a.g.mino:.3.f.^oicoc|)fiouc3tur.3.1.tt3cjpipf3t.a.b.cqu3litoi/ 
ftent 3b.3.k.boc cft cp angulus.k.a.b.fit cqualis augulo.l.a.k.ipfc erut cqualcs 

Cp:oduc3cniacctro.n.lincas.n.c.n.d.n.c.n.f.n.g.in.b.crutq5pcr.2o.pjinji 
ouolatCTS.a.n.t.n.c.trianguli.a.n.c.maioja.a.czqnpfafuntcqualialmce.a.b 
crit.a.b.m3io:.3.c.e3dc3 rationc erit msio: omnibus 3lijsq6 cft p:imum.? quia 

ouol3tcr3.3.n.«.n.c.tnanguli.a.n.c.funtequaliaouobuslatCTibus.a.n.c.n.d. 
trianguli.a.n.d.i angulus.a.n.ceft maio: angulo.a.n. d. erit pcr.z4.p:imi:ba/ 
fis.a.cmaioj bafi.a.d.t cade ronc erit.a.d.msioj.s.e.qb eft fc6m.C3tcq5 quia 
intriagulo.a.n.b.ouolatcr3.3.b.i.n.b.funtm3ioja.a.n.per.2o.p:imi.i.b.n.e 
cqualis.n.k.erit per comunc fciam.a.b.maio:.a.k.cadcm ronc quclibct ejctrinfe/ 
cus applic3t3y msio: erit.3.k.q6 eft tcrtiuj. C^tcm qui3 per.2i.pjimi:ouc lince 
a.b.c.b.n.funtminojesouabuslineis.a.g.z.g.n.c.b.n.cftcqualis.g.n.critpcr 
communcm fcientiam.a.g.maioj.a.b.eadcm ronc crit.a.f.matoj.a.g.qo equar/ 
mm.CQ6fi.a.l.non fitcquaIis.3.b.cumipfcfintcqualitcroiftatcs ab.a.k .crit 

8lteramaio::fitq5.a.l.ponamcrgo.a.m.equaIcm.a.b.jpjoducam.u.o.m.quia 
crgo ouolatera.m.a.f.a.n.trianguli.m.a.n.funtcqualiacuobus larerib 9 . b.a.? 
a.n.trianguli.b.a.n.c angulus.m.a.n.eft equalis angulo.b.a. n.erit per.4.pii/ 

mi-.bafis.m.n.equalis b3fi.n.b.« quia.m.o.cft cquslis.n.b.erit.n.o.equalis .n. 
m. pars viddicet toti q6 cft impolTibilc i boc eft quintu 

Ijbiopofirio .?. 



III 





% intra circulii puncto fignato.ab co plures q? oue lince 
oucte ad ctrcu feraittam fiierint equales.punctu illud cen 
truni circuU elVe necelTe eft. 

GSitvtapuncto.a.fignatointracirculu\b.c.d.»uctefint.?.lince.3 
b.a.c.a.d.ad circufercntta quas pono cc cqualcs oico punctum.a. 
effc ccntrfi circuli.pioduca cnim ouas lincas.c.b.c.d.c.c oiuida Vtraqj ea£ g eq 
lia.c.b.quidcm in puncro.cz.d.c.inpuncto.f.cp^oducam.e.a.c.f.a. quas ap/ 
plico circufcrcnric cjc vtraqj partc.eritq^ pcr.s.p:imi vtcrq^ angulo:u qui funt.a . 
d.e.cqfaltcri.igir p. i j .vterq, crit rcct 9 .Sil'r quoq, p eade Vterqj anguloy q fut.a 
d.f.rcctus:crgo per cojjelariu p:imc buius.quia.a.c.oiuidit.c.b.pcr cqualia z o:/ 
tbogonaliter ipfa tranftt per ccntru.fimilirer quoqj.a.f.tranftt pcr ccntrum. qua 
oiuidit .d.c .per cqualia « OJtbogonaliter.quare.a.c ccntru q6 cft p:opofitum 
1f&:opofitio .10. 
circulus circnlum fecet.in ouobus tantum locts fecare 
neceffeeft. 

GSint fipoffibilc cftouocirculifecantcsfein pluribusq^inouo 
bu3 locis fupcr .j.puncta.a.b.c.pjoducam lincas.a.b.-r.a.c. quas 
oiuidam pcr equalia in punctis.d.c.e.s pjoducam a puncto.c.liue 
am.c.f.perpcndicuIarcmfupCTlineam.a.c.tapuncto.d.lincam.d. f.ppcndicu/ 
larcm fupcr lineam.a.b. i fecent fc oue linec.e.f.et.d.f.i puncto. f. entq^ pcr coi 
Klarinmpzime buiuspunctuj.f.ccntrumcirculi vtriufq5 qD cft impofubile. per 
5-buins. 1|b:opolitio .11. 

3f circulus circulum contingat.lineaq5 per centra eozum 
tranfeat.ad punctum coutactus ea? applicari neceffe eft. 
CSi cnim linca tranficns per ccntra ouojum ctrculojum.c.e.ct.d.c 
fefe contingcutium intra vf cjctra.-no vadit ad locum contactus fc/ 
cct circufcrentiam Vtriufqjifitq^.a.centrum circuli.e.d.ct.b. centrii 
tircult.c.c.ct oucatur linea rccta.a.b.c.clfecans circiifercntiam vti iufqj: ct oucan 
turlinccapuncto.e.quifitlocuscontactus ad centra quc fint. c.a.c.b. cruntqj 
inc6tactuintcrio:i.p.io.pmiouelinec.e.b.c.b.a.longio:cs.e.a.qrclongio:es.a 
d.cftctiim.a.ccutrii.drculi.e.d.tqm.b.c.cirequalis.e.b.qm.b.cftccntrumcircu 
li.e.c.crit.c.a.longio:.a.d.q6 eft iinpofftbilc.G3n coractu vcro exterioji eriit oue 
linec.a.cz.e.b.lougiojcs.a.b.quarc.a.d.c.c.b.matus erut gp tota.a.b.qo cft fal 
fum. 1(b:opofitio .12. 

]] 3f circulus cirailum contingat Itue inmnfecus fmc cjctrin 
lecns.in vno tantum loco contingere neceffe eft. 
GSi cni fucrit poffibile.vt circulus circulu cotingat m ouob 9 locis 
intravfcxtracotingatcirculu.a.b.ctd.circulus.a.b.e.interi^iouo/ 
bus pnctis.a.b.vel ctfcri' circulus.c.d.f.i ouob 9 puctis.c.d.£u cr/ 
go oucemus Itnca recta ab.a.ad.b.fi ipfa cadat ejtra circulu .a.b.e. intcrioje ac/ 
cidet ptrariu fccude bui 9 ..Q6 fi ipfa cadat intra ipfu:cu oiuiferimus ipfa p cqua/ 
lia 1 cdinxrim 9 a piicto oionis ppcnditularc ad ipfa.fucritq, applicata.circumfe/ 
reutic q. vtraq^ pte ipfa traubit p ccntru ambo? circuloy.quare accidct cotrarium 
p:cmiffe.G3n circulo vero cotingcntc cxteri 9 in puctis.cd.fi oucam 9 linca rccta 
3 puncto.oad pimctu.d.nccclTe eft acciderc ptranu k b 9 .quarc Vtruq5 tpoffibile 






0^~»_--*^ 



LIBER 






1fb:opolitio -ij. 
/£ctelineeincircuJo ftraerintequaleseasa centroeqtri 
oiftare.ifiacentroequidiftiterint equalesefle neccfle 
eft. 

G5it vt (n circulo.3.b.od.cuius ccnrrum fit.c.DucImcc.a.b.T.cd 
fint cquales.oico gp ipfe cquidiftsnt a ccntro z econuerfo . 'prcoduca 
tur enim a centro.c.linec.c.f .t.cg.perpendiculares ad.a. d.c.b. c. critq5 per.z. 
partem tcrtiebui°.a.d.oiuifa perequ3li3.tn.f.cb.c.in.g;qiergd ouo latcra.e.d 
«.d.a.trianguli.c.d.a.funt cqualia ouobus lateribus.cc.i.c.b.trisnguli.e .c.b. 
1 bafe.ca.bafi.c.b.crit pcr.s.p:imi 3ngu!us.d.equalis angulo.o? q: ouo late/ 
r3.e.d.T.d.f.tri3UguIi .c.d. f.funt equsha ouobus lateribus.coccg.triangulf 
cc.g.Tlam.d.f.clr cquali3.c.g.co cp tot3.a.d.pofita cft cqualis. b.c.l angulus 
d.cft cqualis angulo.c.crit pcr^.piimi bafis.cf.equalis bafi.cg. i qma ifte fut 
gpedicuktres vcnietcs ad eas a cctro patet g oimnitionc:fiuc.4-bui 9 ipfas eqliter 
oiftarc a ccntro.Gaiiter idem.Quadratu cnim.cd.pcr pcnultimam p:imi valet 
qusdrsts ousrum lincarum.cf.-z.f .d.s quadratum.cc.quadrata cuaru lincaro 
que funt.c.g.c.c.g.c quia quadratum.d.ccft cqualc quadrato.oc.s quadratum 
d.f.quadrato.g.c.crit quadratu.cf.cquale quadrat0.cg.qu3rccf.eft cqualcc 
g.ficq, patct idem.Sit ergo.cf.equalis.c.g.qo cft cas equalirer oiftsrc 3 ccntro. 
cico tunc cp .a.d.cft cqualis.b.c.d.cquadratis cni ouarum linesrum.od.c.co 
equslibus ocmptis quadratis ouarnm lincarum. c.i.z .cg. cquaiibus rcmanct 
pcr pcnultimain pnrni quadrsta ouaruj lincarum.f .d.-og. c.q pcr comune fcien 
tiam neceffe cft elTe cqualiatquatcf.d.cft equalis.g.c.crgo oupium.f.d.qts cft.a. 
d.eft eqnalc ouplo.j.c.quod cft.b.oc bec eft fcoa pars pjopofiti. 
1(b:opofitio .14. 
% intra circulum plunmc rectc lincececidcrint t>iametru 
eius omntum longiflimam. eiq5p:opinquio:esremoti/ 
o:ibns longio:es efle neccfle cft. 
CSit vt in circulo.a.b.c.ciiius ccntrum.e.cadant plnrimc linec que 
fint.3.b.3.c.a.d.f.g.b.k.fitq5.3.cd.oi3meter.oicoipfameffelon 




giffimsm z slias tanto maio2cs quanto funt ipfi p:optnquio:es. oucantur cnim 
3 centro.c lince ad etfrcmitstes omniumque fint.cb.e.oe.f.ob.cck.cruntqj 
pcr.20.p:imi ouo laters.cf.i.e.g.trisnguli.c f.g.longioai.f.g.cquisipfs funt 
equ3lia.a.d.erit.3.d.m3io:.f.g.C3demr3tioncm3to:aitcJ.3.c.qui3.a.e.'Z.cc. 
funt maio:a.3.ci cqualia.a.d.crgo.a.d.msio: cft.a.c.fic quoq^ eft maio:.b.k. 
z traio: ctia cj.s.b. .Qdsutcm.f.g.fit msio:.b.k. c.3.c.3.b.patet.quia per.24, 
p:imi cum ouo latcra.f.e.ccg.triBnguli.f.cg.fint equalia ouobus latenb 9 .b.e. 
c.ok.trianguli.b.ok.? angulus.f.e.g.msio: angulo.b.ck.erit bafis.f.g.maioi 
bafi.b.k.6imiIiterquoq5quia.a.c«.cc.funtcquali3.3.ci.e.b.«3ngutus.a.c< 
maio: angulo.a.cb.crit bafis.s.c.maio: bafi.3.b.« fic eft p:opofitum. 

1[b:opofitio .10 
3f ab altero termino:u oiamctri cuuiflibetcirculi o:tbo/ 
gonalitcr linea recta oucatur.ejrtra circnlum eam cadere 
neceffe eft.GStqj inter illaiu 1 circulu alta linea reoa ca 







III 

pi impolTtbilc cfic&ngulum autem ab illa i circufercntia eonteiitii. 
oiintium acutojtim angulo:um efleangufiiHimum. C&ngulum vero 
intriniecum a Oiametro i circumferentia contentttm oinnium angulo 
rutn acuto:um cfleampltflimum neceftecft.CSfndectiam mantteftfi 
eftontnem liueam rectam a termio Oiametricuiullibct circuli o:tbo 
gonaliter ouctam circulum ipfum contingere. 
CSir vt a tcrmio a oiamctri.a.c.circuli.a. b.c.cui 9 cct^.d.oucai' liuca cntbogona 
Iitcr:oico cp ipfa cadit cjctra circulum.i cp iutcr lineam iliam i ciraifcrcntia nulla 
alia rccta liuca itcrcipit:? cp angulus quc ipfa z circufcrctia cotinct e mino: omni 
angnlo rcctihnco qui vidchcct a ouabus rcctio lincis contincttir. * cp angulus co 
tentus a oiamctro i circumfcrcntia cft maio: omni angulo rcctilinco acuto.CSi 
enim linca oucta. ab.a o:tbogonalitcr fupcr.a.c.uncaimpoteft cadcre infra cir/ 
cnlu.fittllaliuca.a.b.joucaturliura.d.b.critqjpcr.f.pmniangurld.a.b.equa 
lisangulo.d.b.a.cquiaangulus.d.b.a.cftrcctusperypotbcfim.babcbit trian/ 
gulus.a.b.d.ouos angulos rcctos quod cft impoffibilc.g. 32.p:imi: CCadct cr/ 
gocxtrafitqj.a.c.qjfiiutcripfamecircufcreutiapotlincarccta intcrcipi fit tlla 
a.f.ad qua oucaf pcrpendicularis.d.g.s quia angulus.d.g.a.dt rcctus.crit p. i s. 
pjimt liuca.a.d.lcngio: linca.d.g.quod cft impoffibile.quarc inrcr ipfam % ctrcii 
fcrentia nulla linca recta inrcrcipict.C^optcr quod patct cp angui 9 c6tcnrus.ab 
e.a.c rirctifcrciitia qui oicitur angulus contiugcntie c miiio: omni angulo a oua/ 
bus rcctis liucis contcnto.Si enim aliquis rcctilincus angttlus clTct angulo cotii» 
gcntic cqualis.aut co mino: cum omnis talis poffit pcr cqualia oitiidi fccudu oo 
ctrinaj.p.primi intcr linca.a.c.-z circufcrcntiam poflct linca rccta itcrcipi g> roon 
ftrauimus cfl "c no poffc.per quod patct angulum contcntum a oiamctro i circu/ 
ferciiriaomniumacutouim rectiliiico:umelYcmaio:cm.quianon oitfcrta rccto 
nifi w angulo coiitingentie qucm monftrauimus cffc mino:cm omni rcctili/ 
nco.G £o:!dariii patct per p:imam partcm.£um enim liuea .a.c.in vtraq^ par/ 
tcm crcctanonfccctcirculumctangatipfuminpuncto.a.ipfa cft contingensg 
oiffinitioiicm.O£xbocnotandtimcpu6 valctilta argumcntatio.boctranfit 3 
mino:i ad maius.s pcr omnia mcdia.crgo pcr cqualc.nec ilta contingit rcpcrirc 
maius boc c minus eodcm crgo cotingit rcpcrirc cqualc.boc autem ftc patct. Sit 
circulus.a.b. fuper ccntrum.c.cuius oiametcr .a.c.b. 1 oucatur ab cius tcrmino 
a.linca.a.d.o:tbogonalitcr:entq5 contingens circulumpcr co::clarium buius. 
Defcribat itcrii fttp puctu.a.frn quatitate oiamctri.a.b.circul 9 .b.c.d. , j tmagmet 
linca.a.b.moucri fupcr punctum.a.per circumfercntiam arcus.b.c.d.ita cp pun/ 
ctum.b.numerct omnia puncta arcus.b.e.d.quoufqj perucniat ad lineam. a.d. 
z cooperiat ipfam.c quia angulus.b.a.d.eft rcctus: erit vt 116 fit fumcrc aliqucm 
angulum acutum cui cqtiale non feccrit linca.a.b.cum oiamctro .a.c.b. minotis 
circuli.quia tranfiuit ad angulum rcctum owumcraus fitum omnium angu!o:um 
acntouim quo:um mauifcftum cft quofdam cffc mino:es angulo femicirculi con 
tcnto a femicircumfcrcntia.a.b.ioiamctro.a.c.b.cangulum rcctum mani/ 
fcftumeft cffcmaio:emeodcm.Dicocpitullusintranfitu ab acutis mino:ibus 
ad rccto maio:e intcrmedius fuit ci equalis.Si cni fucrit altquis:fit vt illu feccrit 
linea .a. b. ciim punctus. b.fuit in puncto .c. arcus .b. e. d. quia crgo angulus 






LIBER 

e. a.b.cft cqualis augulo femicirculi piedicto:angulus aut femicirculi c ampHITim 9 
omniu acuto:/ p_ vltima parte buiusicrit angulus.e.a.b.ampufftm omniu acuto 
ru:oiuidaf crgo augulus.e.a.d.ftcut propofuit.9.piimi g equalia oucta linca.a.f. 
entq^ p coccptionc angulus.f.a.b.oplio2 angulo.e.a.b.quare erit aliqd apli 9 am/ 
pliffimo quod e ipolTibile.CIiicl fic cu angulus e.a.b.fit cqualis angulo fcmicircu 
li ficut ponif .St angulus femicirculi cu angulo cotingetic c cqualis vni recto.Si/ 
miIiterquoq5angulus.e.a.b.cuangulo.e.a.d.ccqualisvnirecto:critangul 9 .c.a 
d.equalis augulo cotingentie:c qi angulus cotingentic e anguftiffimus omnium 
acutoy pcr.j.ptcm buiusxrit fimilitcr angulus.c.a.d.fibi equalis auguftilTimus 
omniu aeutojj.fcd angul 9 , e.a.f.c eo anguftk» p c6ccptione:crit crgo aliquid au/ 
guftius anguftiffimo quod c impoffibilc:CTIoii crgo crit angulus rectilinc 9 cqua 
lis angulo femicirculi i qj trafirur a miuoji ad maius z non g equale. 3te qj cft rc 
perirc mrnox co i maioie :patet inftantia cotra vtraqj argumetatione picdictam 
Z5nde pcr intcrcmptioncm ad illud eft refpondendum. 
f^Offetpiobariquodanguluscontiiigentie cft oiuifibilis fcbm linca rcctavt 
■^-"coftat pcr ftguratione bic a laterc pofitam.£crtum c cj? angulus qui caufaf ejc 
cotactu ouojz circul02j vel fgap c angulus contingentic % talis oiuidaf per linca.c. 
g:qibic babcf rriangulus. b.g.k.cuiusbafis.b.k.oiuidaturpcrcqualia inpun/ 
cro.e.? pjotrabaf verfus.g-conractum z arguitur pcr.4.pjimi. oeindc g. 16. bu/ 
iusi patct^pofitum. 

Ifbzopolttio .16. 
Ji^5»ato puncto aaOatumcircululineacotingente oucerc. 
I CSitcircuIusoatus.a.b.cuifanqz.c.punctufq^ oatur.d.volo ergo 
I a puncto.d.ouccre linea ptingente circulu.a.b.,pduco linca.d.c.fe/ 
| cantc^ circufcrentia circuli.a.b.tn puncto.a.fug qua ocfcribo circu/ 
! lum.d.c.fecudu quatitate linec.d.c.concetricu circulo.a.b.c a pucro 
3.pjoducoIiiic3m.a.e.ppendiculare5adlinea.d.c.quefecetcircuferentiacirculi.d 
e.in pnncto.c. ■z.pduco linea.c.c.fccantecircijferetiacirculi.a.b.inpuiicto.b.oe/ 
indc pjoducoltuca.d.b.quccrit c6niigcnseirculum.a.b.q: cui ouo latcra.a.c. ct 
c.e.trianguli.a.c.e.funtequaliaouobuslatcrib^.b.c.t.c.d.trianguli.b.c.d.ian/ 
gulus.c.e cois vtriq^ erit p_ .4.pjimi angulus.e.a.c.cqualis angulo .d.b.c. angu/ 
lu8autem.c.a.c.eftrectu6quarcangulus.d.b.c.cftrectu8:p.cojJcIariumergop2C 
cedcntis erit linca.d.b.contingcns circulum.a.b .quod cft pjopofitum. 
1|b:opofitto .17. 
3f circulnm liuea recta contingat a contactu vero ad ccw 
tram Unea recta Oucatur.necefTe eft eam fuper linea con 
tingentem effe perpendicularem . 
GSitunea.a.b.contingenscirculum.c.e.cuiusccntrufit.d.inpun 
cto.c.qut iungatur cii centro pa lineam.c.d. oico banc cffe perpcn / 
oicularem fuper lineam contingcntem.St cnim non eft perpendicularis ad ipfa. 
fit ergo.d.f.perpendicnlaris ad eandem que fecet circuferentiam circuli x puncto 
e.eritq5 vtcrq^anguloiumquifunt.ad.f.rcctusigiturper.is. pjtmilinca. cd.eft 
maioi linea.d.f.quod eft impoffibile:£onftat itaq^.d.c.cffe perpendicularcm fu 
pcr.a.b.quod cft piopofitum. 







III 

1fb:opofttio .1». 
| "§ circnlu linea recta cotingat:-? a cotacm in circuluj linea 
i queda o:tboganalitcroucat'.ieadcceqzeeneceflec. 
iGsitvtpjiusltnea.a.b.contingcnscirculum.cc.inpuncto.cc.a 
| contactu oucat intra circulfi.c.c.linca perpendicularis ad lincam.a. 
b.oico q> centrum circuli ctt in linea.c.e.c eft couerfa pjiojis.Si eni 
non fucrit ccntru in linea .c.eJtt alibi vbicunq3 c6tingat.fitq5.d.f: .pducat Iinea.d 
c.critq5.d.c.pcrpjemiffampcrpcndtculari8adlinca.a.b.q6efrimpoflibilecu.c. 
c.poftta fit pcrpendicularis ad ipfam:quare patct p:opofitum. 
1£>:opoiitio. i?. 
3f intra circnlum angulus fupra centru confiftat: alius vc 
ro angulus fup:a circuferetia cdTtftes cade baiim babeat 
inferio: luperiori ouplus erit. 

CSit vt in circulo.a.b.c. cuius centrfi.d .fiat angulus. a.d.c.fupcr 
Jcentru z angulus.a.b.c.fug circufercntia.fitq^ vtriufq^ angnli cadc 
bafis'cj fit arcus.a.ceico angnlu.a.d.couplu effe ad angulu.a.b.c.CQo fic p/ 
batur.Sut cni oue lincc.a.b.f.b.c.icludut ouas lincas.a.d.c.d.c.aut altera ca?2 
ftt linca vna cu altcra rcliquar.aut etia altera pjimsrum fccat altera poftremaru 
C5it crgo pjimo vt includant eos vt in pjima figurationc apparer.? pjcducarur 
Iinc3.b.d.c.CTitq5per.j2.pjimt:angulus.a.d.c.cxtrinfccusequalisouob''iutrin/ 
fccts qui funt.b.a.d.c.a.b.d.anguli z quia ipfi funt cquates per.ccrofdc erit an/ 
guluSi3.d.e.ouplusadangulu.a.b.d.umilitcrquoq5critaugutus.e.d.c. ouplus 
ad atigulii.d.b.cquarc totus angulus.a.d.c.ouplus c ad totu angulu. a.b.c.qtj 
cft pjopofitum.CQo fi altera ouaEluuarum.a.b.s.b.cfiat linea vna cu altera 
ouar lincar q funt.a.d.c.d.c.vt in fccuda figuratione apparet.pcr cafdc p quas 
pjiusjc fimilt mo liquet ,ppofitum.CQ6 fi altcra ouarum pjimar fecct alteram 
ouarum pofrremarum.vt in. j.figuratione apparct.vbi linca.a.b.fccat liuca.d.c. 
pjoducatur linca.b.d.c.critq^ pcr cafde^ quas pjius affumpfimus z finuli modo 
angulus.c.d.a.ouptus ad angulu.d.b.a .1 totus angulus.e.d.c.ouplus ad totu 
angutu.d.b.cquarc angulus.d.b.c.oupl 9 c ad angulu.a.b.c qo eft pjopofitum. 
1(b:opofttio .20 
i]3f fovna circuli po:tioneangalifuper arcutn conftftant 
angulos quoilibet efle equales ncccffe dt. 
C5it vt in pojtionc.a.d.b.circuli.a.d.b.cuins ccntrum.f.cofiftant 
I quoflibet anguli fuper arcum.a.d.b.qni fut.cd.e.oico eos ce equa/ 
I lcs.pjotrabsturenicojda.a.b.iab ciuscjctremitatibustoucantur 
tn centrum linec.a.f.c.b.f.eritq^ per pjemiffam angulus.f . coufiftcns fupcr cen/ 
tru ad vnuqueq^ cojum.ouplusiquare ipfi fnnt cqualcs:q6 eft pjopofitum. 
i£>:opofttio .21. 
3f intracircnlumquadrilateru befcribat. qnoflibet eius 
ouos angulos ejc aducrfo collocatos ouobus rectis angt» 
lis equos cfle nccdTe eft. 

CSit quadrilatcru.a.b.c.d.infcriptu circulo.a. b.cd. oicoquofq; 
y ouos ei 9 angulos c* aducrfo collocatos ce eqles ouob" rcctis.,prra/ 
banf cnt m qdnlarcro oiamertri.a.cb.d.eritq5 p. piemiffa angulus. cb.d. eqlis 

e 














LIBER 

atignlo.c.a.d.fangulas.a.b.d.angulo.a.c.d.quarctotus.a.b.d.erit cqlisouo/ 
busangulisquiuint.a.c.d.c.c.a.d.cquiaipftcumatigulo.a.d.c.funteqlcsouo 
busrcctis.pcr.52.p2imi: cruntouo auguli.b.totalis.c.d.totalis cqualcs ouob 
rcctis quod cft pjopofitum.Sirmlitcr quocg p:obabitur angulos. a.i.c. totaks 
clTc equalcs ouobus rcctis. 

IfittOpofltiO .22 

6la$ ctrculi fimifcs po:tiones inequales.fuper vnam rc/ 
cram lineam afltgnati. qc eade parte cadcre impoflibile e 

G5;t linca rccta affignata.3.b.fuB qua fiat po2tio circuli.a.c.b.oi/ 
co cp fup. candein linea e* parte cadem non fiet alia poztio quc fit fi 
milis buic.t ca mai02 aut mino2.G.Qd (i fuerit boc poffibilc fiat er 
go po2tio.a.d.b.maioj ca que tamen fit fimilis ci.fiat ergo angulus.a.c. b.i po: 
tioncmino2i.iangulus.a.d.b.in maio:i.eritcrgo vt linec.a.d.c ,d.b. includant 
lincas.a.c.i.c.b. vt p, i figuratioc p2ima.aut vt altcra primarum fiat cadem cum 
altcra poftrcmaz?. vt in fcba.aut vt altcra fccet altcram vt iu tertia.GQo fi fucrit 
p:imo mo erit pcr.21 . p2imi: agulus.c.maio^ angulo.d.no crgo fiit po2tioncs fi/ 
miles pcr oiffinitionc. Qi> fi fcoo modo erit ad buc angulus.c.maio2 angulo.d. 
pcr. ts.ciufdem.ncc fic igif erut po^tiones fimilcs.Si aut tertio modo fit ut linea 
a.d.fccct ltncam..c.b.? (ccct circufcrcntiam po2tionts mino2is in puncto.e.t ou/ 
catlinca.e.b.critq5geadc'.itf.p2imi:angulus.a.e.b.pfiftefipo2ti6c.a.c.b.maioj 
agtilo.d.f^.c.c cqlts.c.pao.b qre.c.e mate.d.qre nullo mo fitcs. GStfi quoqj 
mo,pbabi8 cp fup linca. a.b.no ftct po2tio fttis p02tioni.a.c.b.mio2.c.a.pofito.c 
m loco.d.T.cl.in loco. c.in figurationibus picdtctis.crit cni pcr p^cmiffas fcj per 
21.7.1 5.p2imi:^p2cmilTomodoangnIu0.d.omnitjfigurationn maio: angulo.c. 
quarc po:tiones 116 erut fimilcs.Gft nota cp licet p^oponatur fupcr lineam vna^ 
116 poffc ficri portiones fimilcs incquales qc cadcm parte. verum eft tame q> ncc 
c% oiucrfis qb licct p^obare mino2i que eft cj: Vna partc fuppofita mat02i quc c ejc 
alia .ncccffe eni.crit per comunem fciam ipfam a maio:i cjccedi. non crgo funt fi/ 
milcspcrbanc.22. 

lJb:opofitio .2j. 

3f circulo:umfimilcspo:tionesfuperiinea8 equas fiic/ 
riut.ipfas po:tiones equales clfe nccefre eft. 

GSint oue lincc.a.b.c.c.d.cqualcs fupcr quas fint ouc po2tioncs 

circulo2iim.a.c.b.c.f.d.que fuut finnles.oico q> ipfe funt equales. 

fi cnim non funt equalcs altcra carum fuppofira altcri ejcccdct ma/ 

io2 mino2em. fcd linea .a.b.non cycedet lincam.cd.ncc ejcedetur ab ca: cum ftnt 

cqualcs.quare accidit contrariu^ pmiffc qo e tmpoffibile.ctut cni.a.b.c.c.d.liuea 

Vna. 

•J£>:opofit.io .24. 

%ii femicircuU.fiae femicirculo maio:is mino:ifue" po:tt 
I' omscirculum perficere. 
,G3ntentum per banc codufione eft eje omni arcn Oato fiuc ex omni 

circulipottioneoatapcrficerecircuIum.Sitergo.a.b. quilibctarc'' . 



III 



c% quo volo pcrficere circulum p:orrabam in eo ouas lincas qualitcrcunqj cotm 
satqucfint.a.cc.b.d.quasoiuidampercquaiia.a.cquidaipuncto.c.f.b.d.in 
puncto.f.c p:otrabam.c.g.pcrpciidtcularcm ad.a.c ,«.f.b .pcrpcndicuiarcm ad 
b.d.que fcccnt fe in puncto.k.critq3 per co::ct.p:ime buius centru circuli in vtra/ 
qj linearum.c.g.cf.b.quarcccntrumeft punctii.k.Si autem.cg.non fecct. f.b. 
fcdfintlineavna.qucadmodneritfiouelincc.a.c.c.b.d.lintequidiftantes tunc 
ipfa applicabif circuferettc oati axf.q: vtraq> ptc ipfa igif oiuifa p mediii i pucto 
k.erit ibi cciura circuli pcr idcm co::cf.£quidiltantcs autem non crut.c.g. c.f.b. 
quia cum in vtraq^ fit centrum circuli per oictum co::cf .ellent eiufdem orculi ouo 
ccntra.Sic poteft oc omni arcu fiuc oc omni pouione comuniter oemoftrari qua 
liter inde circulus pcrficiatur.GQuia tamcn aucto: vidcf banc coclufione vana/ 
rc ftn oiuerfas fpecies arcuu omniu po:tionu enumcrado fpccies:oemdftrabim° 
oiuifimpcrfpecicsqualitercx omnipomoncoatacirculus perficiatur. Sitcrgo 
p:imu.a.b.po:tio oata fcmicirculus.crirq5 pcr oiffinitione fcmicirculi.linca .a.b. 
oiametri.ea igitur oiuifa per medium in puncto.c.ent.cceutru circuli.GSit rur 
fns poitio.a.c.b.femicirctilo maio: cuius co:da fit.a.b.qua ouiido per cqualia m 
puncto.d.a quo ouco.d.c.perpendicularcm ad ipfam quc tranfibit pcr centrum 
per co::cf.p:imc buius:? p:otrabo lineam.a.cz quia linea.a.b.eft miuo: oiame 
tro cnm fit.a.c.b.poitio maio: fcmicirculorcrit.a.d. mino: fcmidiamctro.fcd.d.c 
cft maio: fcmidiametro. crgo.d.c.cft maio: cj^.a.d.ergo per.i9.p:imr. angulus 
ca.d.eft maio: angtrfo.a.cd.fiat itaq^ per.2j.p:imi:angulus.ca.e cqualis an/ 
gulo.a.cd.p:oducta linea.a.e.quc fecct lineam.c.d.in puncto.e.eritqj p icxta pri 
mi.linea.a.e.cqualis lincc.c.cp:oducaf igitur linea.c.b .eritqj pcr.4-p:imi hnea 
c.b.equalistiiicc.a.e.quarctrcslincc.c.9,e.b.c.c(unt eqnalcs crgo per^.buius 
c.cft ccntrum circuli.GSit itcrum.a.c.b.po:tio mino: fcmictrculo.cuius co:da lit 
a.b.qua oiuido per cqualia in puncto.d.a quo p:oduco lincam.cd.e.pcrpendicu 
larem ad tinea.a.b.que fecet circurerenti9m in puncto.c bac mantfeftu eft traufi 
rc pcr centrum pcr conelarium p:imcbuius.p:oduco iterii Uneam.a.c-.critqj an/ 
gnlus.a.cd.maio: angltlo.ca.d.fi cft equalis erit po:tio.9.c.b, fcmicirculus.? fi 
mino: crit maio: femicirculo:pofitu eft aute" cp fit mino:.p:oduco lgitur linca .a. 
e.quc cum linca.a.c.faciat angulii equalem angulo.ci fccet lineam.cf.in puncto 
c.i manifcftu e q> punctum.e.c9d9t c«ra 09t9in ponionc.'; p:oduco lincam.cb 
1 quia augulus.a>totali8 eft equalis gngulo.c .crit pcr.c.p:imi linc9.c.9.equalis 
Imce.e.cs quia per quarta p:imilinca .cb.eft equalis tmcc e.a. ent per.9. bu/ 
ms punctu.e.centfum circuli quare patct p:opofitum f>m omnes fpecics po:tio/ 
numcirculi. 

1(b2opolitio 2$. 
3f in equis circulis feu iiiper centra. fen fug circuferetias 
equales anguli confiftant.fuper equos arcus eos cadere 
uecefieeft. 

•flSint ouo circuli equales.a.b.c.cnius ccntru.d.cc»f.g.cuius ceu 
tru.b.t fiat fup:a cetra co?z ono anguli.a.d.cccb.g. qui ponanf 
equales.oico ouas arcus.a.b.cJ.cf.g.effe equales.pratrabantur ouc Itneca.c 
t.e.g.« liiant ouo anguli in circuferentiis ipfo:u3 confiftentes fupia p:cdictos ar 
cus qui fint angutus.a, b.c.i angulus.c.f.g.quia ergo circuli funt equales. erunt 





I 










LIBER 

pcr diffuritione^ cqualium circitoum femidiametri equates:? quia Ouo auguli.d 
c.b.funt equates crit per.4.p:imi:linea .a.c.equalis ttnee.cg.? per. i j.buius erit 
angutus.b.equalis angulo.f.cum.d.angulus fit cqualis angulo .b.crgo pcr oirTi/ 
uitioncm fimilium pouionum oue pouiones.a.b.c.c.e.f.g.funt fimtles:? q: ipfe 
funt fup_ lincas.a.c.s.cg.equales ipfc crunt cquales per.23 . buius: quare arc 9 .a 
b.cz.e.f.g.funtequales..Q6uahguu.b.'Z.f.qut funtin circufercutia ponantur 
equales crunt pcr oiffinittonc poniones fimilcs i anguli.d.?.b .cqualcs g. 1 9. bu 
ius :i quia circuli funt cquates per pofitionem crunt per .4. p:imi: ouc lince.a.c. 
c.cg.cquates quare nt p:ius poniones cqualcs pcr.23.buws cum ftnt fimilcs z 
fuper cquales lineas.igitur 1 arcus equalcs :quod eft p:opofitnm. 

Iftwopofirto .26. 
3f in equis circulis cqui fumatur arcns.infra tllos fo:ma/ 
tos angulos. qui fup:a centra eoy feu fup:a circumfere / 
tias cdftituatur equos effe rteceffe eft. 

CSint vt pjius ouo circuli.a.b.c.cuius ccntru.d.c.e.f.g.cui 9 ccntru 
b.fintqj ouo arcus.a.b.c.s.e.f.g.cquales fiantq5 fupcr ipfos arcus 
ouo anguli tn centro qui fint .&.i. b.ouctis.a.d.c.d.e.b.g .b. ^temq^ fupcr eof/ 
dem arcus fiant ouo alii anguli in circumfercntia qui fint.b.r.f.ouctts lineis.a.b 
c.b.cf.c.g.f.oico duos angulos d.cb.adinuice ec ecjles 3teq5 ouos.b.i.f.adin 
uicem cffe cquales 1 cft bec conucrfa p1t02is.fi enim non funt.d.c. b.anguli ad ii» 
uiccm cquales:fit ergo.b.maio: a quo abfctndatur angulus.k.b.g.qui fit equalis 
angulo.d.critq^ per p:emiffam arcus.k.e.f .g.equalis arcui.a.b.c. fed ouo arcus 
a.b.c.c.e.f.g.poftti funt cquales:accidet ergo parte cffc equalem toti: quod c im/ 
poffibilc:quare angnli.d.f .b.totalcs funt equales. GSimili quoq^ modo p:oba 
bis angulos.b.cf.effe equalcs. vel fi maius p:obato cj> anguli.d.?.b.fint cqus/ 
les.fcquitur.b.?.f.effe equales per. 1 ^.buius 1 econucrfo. 

1(b:opofttio .27. 
3f irt circuhs equalibus eque linee arcus refecent. arcus 
quoqj equos effe.fi aute hnee f equales ftiertnt arc 9 quo 
q5 inequales.? a maio:elinea maio:em arcum:a mino:e 
vero mino:em abfcindi neceffarifi eft. 
CSint ouo circult equales.a.b.c.cuius centy.d.i.cf.g.cui* cetru, 
b.fitq^ co:da.a.c.cqlis co:de.e.g.oico ouos arcus.a.b.cz.e.f.g.quos pdicte coi 
de cyprcdtctis circulis refecant cfle cquales..Qd fi co:da.e.g.ponaf maio: co:da 
a.c.oico arcu.e.f.g.effe maio:e arcu.a.b.c|b:imu quidem fic p:obat oucantur a 
ccntrislinecadextrcmitarcsco^dayquefint.d.a.d.c.b.c.b.g.^quiacircuti pofi 
ti funt fo:e cqles.crut bcc fcmidi3mctri cquales.c q: linca. a.c. pofita cft cqualis 
linee.e.g.erit per.8.p:imi:angulus.d.equalis angu!o.b.totali:quare pcr.2f.bui 9 
erit arcus.a.b.c.equatis arcui.e.f.g.ficq^ patct p:imnm. fcom fic. fit.cg. maioz 
a.c.critq5per.2y.p:imi3ngulu6.b.maio:anguIo.d.fiatcrgoangulus.f.b.g.eq/ 
lis angulo.d.crirq5 pcr.2j-buius arcus.f.g.equalis 9Kui.a.b.c.quarc arcus. e.f. 
g.eft maio: arcu.a.b.c.quod eft fctfm. .ppofitu. 





III 

1fb:opofttio .23. 

3frculo:um equalium cquos arcus.equae co:das babe/ 
renecdleelt. 

C5int ouo circuli cqualcs.a.b.ccniusccntrum.d.cc.f.g .cui 9 ccn 
trnm.b.fitqj arcus.a.b.cequalis arcui. e.f.g. oico q> co:da.a. c.cft 
cqualis co:dc.e.g.? cft bec conuerfa prime partis p:emiffe.G,Ducat 
Ii!icc.d.a.d.c.b.c.b.g.cruutq5 pera<>.buius anguli.d.-cb.equalcs-.quare g quar/ 
tamp:i:ni:crit.3.ccqu3lis.c.g.quodcftp:opofitum. Quccunqj autcm piobate 
funt paffiones oe oiucrfis circulis cqualibus intelligc multo foitius veras cffe oc 
codem. 

1(b:opofitio .29. 
lSratn arcum per equalia Oiuidere . 
GSit oatus arcus.a.b.c.cui fubtendatur «nda.a.cque oiuidaf pcr 
|cqualia'u puncto.d.a quo oucatur perpendicularis ad ipfa^ quc fit 
jd.b.fccans circuferentiam oati arcus in puncto.b.que oico oiuidere 
loarumarcumpercqnalia.ducantnrenimlince.b.a.b.c.que crutcq 
lcs pcr-4. p:imi quare p. p:ima partcm.27.bui 9 arcus.a.b.crit cqualis arcui.b.c. 




quodeftp:opofitum. 



Ifcsopofitio -30. 




^rectitineusatigulusinremicirculofupia arcum confi/ 
ftat.rcctusefr.Sivero in po:tione femtcirculo mino:e 
rccto maio: . 2»i autem in po:tione femtcirculo maio:e 
rectomitio2.G5 Kmc 15omiJt8 po:tionis angnlus fcmt/ 
circulomaio:isrectomaio:.miuo:is vero rtcto mino: 
ocneceffitatecrit. 

GSit vt iti circulo.a.b.c.cuins ccntrum.d.c oiamcter.a.d.cfcmicirculus. a.b.c. 
in cuius femicirculi circumfcrentia fiat angulus.a.b.c.ouctis lineis.a.b.i.b.coi/ 
co illum angulum cffe rcctum.pwrrabatur ab ipfo angulo in ccntrum linca .b.d. 
eritqj pcr quinta p:imi: angulus.a.b.d.equalis anguto.a.? angulus.d.b.c. cqua 
lisangulo.ccquiaagulus.cd.b.ecqualisouobusangulis.d.b.a. c.a.pcr.jz.p 
mi:ipfc crit ouplus ad angulum.d.b.a.cadem rationc angulus.a.d.b.ouprcrit 
ad angulum.d.b.c.crgo 0110 anguIi.cd.b.?.a.d.b.oupIi funt ad totalcm angu/ 
lum.a.b.c.fcd ipfi funt cqualcs ouobus rcctis. per. i}.p:imi: crit igitur angulus 
a.b.ctotalis mcdictas ouo:um rccto:um:quare rcctus quod cft primum p:opo/ 
fitum.G3de alitcr pwtrabatur.b.c vfq> ad.e.critqj per. 32.p:imi:angulus .a.b. 
cequalis ouobus angulis.a.? .c.-zquia angulus.a .eft equalis angulo .a.b. d.ct 
angulus.cangulo.cb.d.crif angulus.a.b.c.cqualis totali agulo.a.b.ccrgo vtcr 
% co:um cft rcctus pcr oiffinitionem.GScoo fic patcdit in circulo. a.b.c. cuius 
ccntrum.d.po:tio.a.b.c.cuius co:da.a.cmaio: femicirculo:? fiat fupcr cius cir/ 
fcrctuiamangulus.a.b.couctislincis.b.a.c.b.coicoillumangulum cffemino/ 
remrccto.oucanturcnimoiametri.a.d.e.clinca.c.b.critqjpcrprimampartem 
buius.b.totalis rcmis.quarc angulus.a.b.ccrit mino: recto per comuncm fcicn 
tiam cum fit pars cins:ficq3 patct fcom.GXcrtium fic.Srt rurfus in circulo. a.b. 

<5 




I 







LIBER 

c.cuius ecHtram.d.pojtio.a.b.c.cuius cojda.a.cque fit femicirculo minoj: i fiat 
fupcrduscircumfcrcntiamangulus.a.b.c.ouctislmds.b.a.t.b.c.eicobuncan/ 
gulum clTe matojem recto.pjoducantur aiim oiametri a.d. e .z linea.b.e. eritq) 
pcr p:imam parrem buius angulus.a.b.e.rcctus.quare angulus. a.b.c. crit ma/ 
fo: recto quod cft tcrtium p:opofitum.C£>uartum t quintum fic. Sint in circulo 
a.fc.c.d.cuius ccntrnm.e.pojtio.a.b.c.cuius co:da.a.c.maio: femicirculo z po:/ 
tio.a.d.c.cuius cade co:da.a.c.mino: femicirculo oico angulii contentum ab arcu 
b.a.-z fo:da.a.c.clTe maio:cm rccto i angulum contefitum ab arcu .d.a. i co:da 
a.c.cffeinino:emrccto.p:oducanturoiametri.c.e.b.'jlme3.b.a.vfq53d.f.eritq5 
per p:imam partem buius angulus.b.a.c.rcctus.quare per. 1 j.pjimi angulus.f. 
a.c.eft fimiliter rectus.Onia igitur angulus rcctus cft p:imi z fecudus pars rccri 
euidentcr patet vtruq3.qu3rc tota liquct bcc petbamembris condufio. G ty. iftis 
au tcm ouobus vltimis partibus nota ctia inftantism contra lllas ouas argume/ 
tariones ad quas tulimus inftantiam.in. i j.buius.tranfitur cnim ab angulo poj 
tionis fcmicirculo minous qui eft mino: recto per vltimam partem buius ad an / 
gulum po:tionis femicirculo maio:is qui cft maio: recto pcr pcnultimam partem 
buius.non tamcn pcr equalc.£um cnim omnis po:tio circuli fit fcmicirculus aut 
maio: fcmicirculo.aut minor.fif autcm tam angulus fcmicirculi pcr pjimam par/ 
tcm. i j.qua angulus po:tionis mino:is pcr vkima partc buius mino: rccto. po:/ 
tionis vcro maiojis fit maio: recto .z \h 116 erit aliaifpoitionis agul 9 .ncc fimpfr 
aliquis contcntus a circumfcrenria.c linca recta ncc recfncc cqlis recto..Q6 ut ds 
rius patcat fit i circulo.a.b.c.cuius ccnrrum.d.linea.a.b.cui non fit oetcrminatus 
finis cy. parte.b.fecans e% ipfo po:tione fcmicirculo mino:c'.critq3 pcr vltitna par 
tcm buius mino: rccto.buius circuli fit oiamcter.a.d.cz imaginctur linca. a.b. 
moucri ad partcm.c.fuper punctu.a.que quadin fucrit citra.c.vel in ipfo.<J.cooj?i 
cns oiamctrum .a.d.c.facict cum arcu angulum minojcm rccto. 3n omni autcm 
pucto Vltra.c.velut in.c.facict p pcnult gtern b 9 angulu maiojc recto.traut crgo a 
mino:i ad maius non pcr equaie.? ficut in rcctilincis angulis cft rcpcrire traiojcj 
angulo fcmicirculi z minojein.non tamcequalcm ut moftratu c .i. 1 j.buius:ftc iu 
angulis pomonis eft rcperirc maiorcm rccto % minojcm non tamcn cqu3lcm : vt 
patct q. ifta oemonftrationc. 

1(b20pofitio .}l. 

3f circulum linea recta contingat 1 3 eontactu in circultim 
quedam circulum fecansrcctaiineap:eter ceniruni Ou / 
catur quofcunq? ouos angulos cum contingcte facit.ouo 
bus angulis quimattcrnatis circuli fuper arcus conft/ 

Ifvunt po«ionibns:equales funt. 

CSitrcctalinca.a.b.contingenscirculum.c.d.c.f.cuius ceutru.g .in puncto.d. 
a quo.d.oucatur in circulum p:etcr ccntrum linea.d.f.fccans ipfum.fiantqjangn 
lus.d.c.f.confiftcns fuper arcum pojtionis.d.c.f.ouctis lineis.c.d.c.c.f. z augu 
lus.d.c.f.confiftensfuperarcumpojtionis.d.e.f.ouctislincis.c.d.c.e.f.oico an 
gulum.c.cffc cqualem angulo.b.d.f.c angulum.e. angulo. a.d.f. oncantor cnim 
0iainctri.d.g.b.iliiica.f.b.critq3pcr.i7.buius.d.b.pcrpcndicularisfupcr.a.b. 
1 pcr pjimam partem p:cnii(Teangulus.d.f.b.rectus.quarc ouo anguli.a. d.b.? 




III 




d.f .b.funr cqoalcs.pofito crgo comuni ansulo.b.d.f :crit angulus.a.d.f.cqualis 

ouobus? aiiijLilis q"i funt.d.f.b. r.b.d.f.fcd bi ouo cuiu angulo.b. funt cqualcs 
ouobus rcctis pcr. 32.p:imi:crgo angulus a.d.f.cum angulo.b. cquales ouobiis 
rcctis.lcd angulus.a.d.f.cum angulo.b.d.f.equiualct ouobus rectts pcr.t i.p:i/ 
mi:crgo angulus.b.d.f.cft cqualis angulo.b.ergo i angulo. cper.20.bu1 9 1 boc 
cft pnmum.?quia ouo aiiguli.c.i.c.funt equalcs ouobus rcctis pcr.21. bui 9 crit 
angulus.ccqualis angulca.d.f.quod cft fconi. 23el tftud fcom ftt angulus. a.d.f 
cum angulo.b.equiualct ouobus rcctis.vt pxmonltratum cft.fed angulus.ccum 
angulo.b.equiualct ouobus rcctis pcr.21.buius.ergo angulus.ccft equaks angu 
lo.a.d.f.quod eft p:opofirum. 

l(b:opolitio .32. 

^per oatam liueam .circuli po:tione oefcribere capien/ 
tem angulum.oato angulum equalem.feu rcctum. leu ma 
to:em leu mino:em rccto. 

G6it.a.b.linca oata f.coatusangulusfuperlincam a.b.volo oc 
fcribcre vna circuli ponione recipiete i circuferetia rectilineii angulu 
equalem angulo.c.Si iguur fucrit angulus.c.rccrus oiuifa.a.b.g mcdium oelcri/ 
bain fupcr eam femicirculum.factumq^ ertt p:opofitum.per p:imam partcm.30. 
buius.G6i aute fit obtufus oucta lincam.d.a.cum linca.b.a. contincnte equale 
angnlum augulo.ci a puncro.a.oucam lincam.a .c.pcrpcndictilarcm liig lincam 
a.d.i fupcr punctu.b.facia angulu g.23 .pmi cquale augulo.c.a.b.i quo obtufus 
ejicedet rcctum.oocta linea.b.f. vfqj ad pcrpendicularem.a.c.cruntqj pcr.e.pmi: 
linccf.a.? f.b.equales:facto itaq^ pucto.f.centro circuli ocfcrtbam bm quantita/ 
tcm iinee.f.a:ctrculum.a.b.b.eritq5 per co::ct'. 1 j.buius linea.a.d.contingcns cir 
culum.qnare pcr p:emiffam angulus qui fit in po:tionca.b.b.cft cqualis angu/ 
lo.d.a.b.quarc 1 angulo.cquod cft p:opofitum.G6i autem angulus.c fu acu/ 
tus.p:oducam Iineam.a.g:coiitincntem cum linca.a.b.angulum cqualem angu/ 
lo.c.capuucto,a.oucam.a.e.perpciidicularemadlincam.a,g.?uiper punctum 
b.faciam angutum cqualem angulo.ca.b.in quo rcctus ejccedit acutu.oucra linea 
b.f.vfq, ad pcrpcndicularc5.a.ccrunrq3 per.<s.p:imi Itnee.f.a.c.f.b.equales: fa/ 
cto itaq^ puncto.f centro circuli.oefceibam m quantitatcm linccf.a.circulum.a. 
fc.b.critq^ per co::darium.i j.buius linca.a.g.contingens circulu.quarc per p:c/ 
milTam angulus qui ftt in poitione.a .k.b.cft cqualis angulo.g.a. b. quare 1 an/ 
gulo.cquod cft p:opofitum. 

l(b:opolitio .33. 



S)ato circulo:t»ato anguto.cquumaiigulumcapientcm 
po:tionem abfctn jere. 

[.Geit-.a.b.oatuscirculus.et.coatusangutus.volocrgoacirculo.a 
:| b.abfcindcre po:tionem vnam capientem equale5 angulum angu/ 
?! lo.cp:oduco lincam.d.a.e.contingciitcm oatum circulum in pun/ 
cto.a.a quo oucto iu circulum lmcam.a.b.coiitincntem cum Itnea .a.c angulum 
cqualem angulo.ccritcrj per,? i.buius po:tio.a.b.cyiftens a partclinee.a.d.rcci/ 
picns angtilum equalem angulo.cquod cft p:opofttum. 

C 4 






LIBER 








lib:opofitio .34. 

3f intra circulu; otie recte litiee fefe imncem fecent. cp lub 
ouabuspartibuswiusearu; ,pcedit.equueftei rcctigu 
lo qo fub ouabus alterius liuee ptibus cotinctur. 
GSint ouclmcca.czb.d.fecantcs fe in circulo a.b.c.d.fupcrpfi/ 
ctii c.oico cp illud rcctaugnlum q6 fit cc a.ci cc.cquum eft ei qo ftt 
cx b.e.in e.d.aut enim ambc liuee a.c.c.b.d.tranfibfit p_ ccntrum circuli aut altera 
tm auc neutra.cp fi ambc tranfcant per ccntrii.crit.c.ccntrum circuli. oinncfq3-4- 
Unee equales: quare liquct ^pofitnm. CQ6 ft altera earfi rantum traufit pcr ccn 
trii fit illa.b.d.centrnmq3 circuli fit.f.aut crgo.b.d.fecabit a.c.pcr equalia aut pcr 
incqualia.fecct ergo pjitno per equalia:critq3perpjima partej.j.buius fccans ca 
OJtboganalitcr.oucatur itaq^ linca.f .c.eritq^ pcr. 5.fccundi qo fit e* .b.c.in . c.d .cu 
quadrato.cf .equale quadrato linecf.d.quarc 1 quadrato linccf.c.crgo pcr pc/ 
nultimam psintf % quadratis ouaj; linearum. f.c % c cocmpto crgo vtriq, qua/ 
drato.e.f.eritquodfitccb.cin.cd.equalequadratolinec.ccequia.cc.ccqua 
Iis.a.cpatctp:opofitum.CQ6fi.b.d.tranfienspercentrumfccat.a.c.pcrinccJ 
qualia a ccntro.f.oucatur.f.g.perpcndicularis ad.a.ccritqj pcr fecundam par/ 
tcm tertii buius.a.g. equalis .g.c. c oucatur linca.f.c. eritqj per.j.feeundiquod 
fit ecb.cm.cd.cii quadrato.cf.ee tdeo pcr penultima pjimi cii quadratis oua 
rum linearum.f.g.c.g.cpjoptcr idqo' angulus.f.g.ce recto % e cqualis quadrato 
Unccd.f.c tdco Iinee.f.c.pjoptcr quod pcr penultima pjimi 1 quadratis ouarum 
lincarum.f.g.s.g.c.ocmpto crgo Vtriq, quadrato linccf.g.erit quod fit cx .b.c.i 
cd.cum quadrato linecg.cequale quadrato linecg.c.fcd pcr. y .fecundi quod fit 
eca.cin.cccum quadrato linee .g.e.cft cqim ci quod fiit eca.cin.cc.cum qua 
drato eiufdcm.g.coempto igitur vtriq; quadrato Unccg.e:erit quod fit cx .b.c 
in.cd.equale ei quod fit cx.a.cin.cc.quod cft pjopofitum.CQo fi neutra cajfi 
tranfit pcr ccntrum fiue altera oinidat altcra; per cquaiia fiue pcr incqualia. pjo/ 
ducam iincam.g.f.c.b.oiametrum circuli rranfcuntcm pcr punctum fectionis ca 
rum.ftfialtcraoiuidataltcramperequalta.ut.b.d.a.c.tuc.g.b.oiuiditetia.a.c 
pcr cqnalia.crgo ottbogonaliter pcr tcrtiam buius.ergo per fecundum modii bu 
ius conclufionis quod fit ecg.ctn.cb.equum cft ei quod fit e^.a.c.in .e.c. 1 pcr 
tcrtium modum buius quod fit ecg.e.in.cb.cqnum cft ei quod fit ejc:b.c.in.e.d 
crgo quod ftt eca.cin.e.c.cquum eft ei quod fit cjc.b.cin.cd.quod cft piopofi/ 
tum.Cat fi neutra oiuidit altera per equalia crit pcr terriu modu bni 9 coclufiois 
qrifitcx.g.cin.cb.eqlcvtriqjcojumquefiuntex.a.cin.cc.e.b.cin.cd.quarc 
vnum eo:um crit cqualc altcri:quod eft pjopofitum. 

1^>2opofttio .35. 

^ejctracirculumpunctuefignetur.abeoautent ad circu/ 
lus alia linea fecas. alia contigens oue recte linee oucanfc" 
qo fub tota fecante. atq; parte fui ejctrinfeca continetequn 
eft ei quadrato q6 cjc contingente linea Ocfcribitur. 
Sit.a .punctus ftgnatus cxm circulum.b.cd.cuitts cciitrii. e.a quo 




III 



oncantnr ad circulum oue lincc.a.b.contingens.c.a.c.d.fecas.oico <j> illud quod 
fit c>:.a.c.in.d.a.cquum cft quadrato lince.a.b.aut cnim.a.d.c. tranfit per ceu/ 
trum ant non tranfcat:crgo p:imo pcr centrnm quod cft.c? oucatur linea. e.b. 
quc per. i7.buius perpendicularis crit fupcr lineam .a.b.? quia linca. d.c. oiuifa 
cft per cqualia in puncto.cj cft ci addita linea.d.a.crit per fextam fccundi quod 
fitcjc.c.a.ca.d.cumquadratolinccc.d.sidcocum quadrato Unece.b. cqualc 
quadrato linece.a.? ideo per pcnultimam p:imi cquale quadratis ouarum linca 
rum:cb.cb.a.p:oprcr id quod angulus.b.cft rcctus.ocmpto crgo vtriq5 qua/ 
drato.cb.crit quod fit ex.c.a.in.a.d.cquale quadrato lincca.b.quod cft piopo 
fitu.CQ6 fi linea.a.d.c.non tranfit pcr centrum fumatur.a.f.cg.tranficns per 
ccntru % oucat lincccd.ccb.? fit.cb.gpcndicularis ad.a.d.c.eritq5 g.3 .buius 
d.b.cqualis.b.c.qnia crgo linea.d.c.oiuifa cft per equalia in puncto.b. % addita 
fibi linca.a.d.erit pcr.tf.fccundi quod fit cjc.ca.in.a.d.cum quadrato.d.b. equa 
lc quadrato lincca.b.crgo addito vtriq^ quadrato.b.cerit quod fit cj.c.a.in .a. 
d.cumquadratisouarumlincarum.d.b.c.b.c.cidcopcr pcnultimam primi cu 
quadraro.d.cpwpteridquodangulus.b.eftrcctns.-z ideo cum quadrato.c.f. 
p:optcr td quod.cd.ccf.funt cquales.cquale quadratis ouarum lincarum.a.b 
•z.b.ctideoperpenultimam p:imiquadratolince.a.cfcdquiaper fextam fc/ 
cuudi quod fit ex.g.a.in.a.f.cum quaclrato.f.ccqualc eft quadrato lincca:c qi 
crgo vtriq> eo:um que fiunt ejc.c.a.in.a.d.c ej.g.a.in.a.f.cum qnadrato litiee.f. 
c.cft cqualcquadrato linee.a.cipfa crunt inter fe cqualia. Dempto crgo vtrinqj 
quadrato lineccf.erit qttod ftt ccc.a.iu.a.d.cquale eiquod fit cx.g.a.in.a.f.fed 
idcutod fit ec.g.a.in.a.f.eft equalc quadrato lincc a.b .pcr p:cmiffum modum 
buius-.ergo quod fit ev.c.a.in.a.d.cft equaleqnadrato lineca.b.quod eft p:opo 
fitum.Gftej:bacnotacppunctoe>:tracirculumfignatofiab ipfo ad circulum 
quolibctfecanteslineeoucanturrcctangula quc contincntur fub totis.cearum 
po:tionibus cxtrinfecisadinuiccm funt equalia.quoniam omnia funt equalia qua 
drato lince contiugeutis.GTlota ctiam q> fi a quolibet puncto ejctra circulum fi/ 
gnato oue linec contingcntcs ad circulum ipfum oucantur.ipfc erunt adinuiccm 
cqualcs.crit cnim quadratum vtriufq^ carum cqualc ei quod fit cjc linea fecantc ab 
ipfo puncto oucta in circulum.in partem eius cjctrinfccam .boc autem cuidenti/ 
us patct pcr penultimam p:imi.G5it.a.punctus fignatus c>tra circutum.b.c.d. 
cuius centrum.cz ab ipfo oucantur ouc liiteca.b.ca.d. conttngcntcs circulum 
in punctis .b.d.oico ipfas cffc cquales. p:oducam enim lincas. e.a. c.b.i .cd. 
CTitq^ pcr.i7.buius vterq^auguloHim.b.cd.rectus. quarepcrpenultimam p:i/ 
ini quadratum.a.ccrit equalc ouobusquadratis ouarum lineamm .a.b.c .b.e. 
5imtlitcr quoqj 1 ouobU3;ouarum.a.d.cd.cquarc quadrata ouarum lincaruj 
a.b.cb.e.funtequaliaquadratisouarum.a.d.c.d.e .cquia quadrata ouarum 
quc funt.b.cce.d.funt cqnalia:erunt quadrata ouarum quc funt. a.b.c. a.d.e/ 
qualia:crgo.a.b.cft equalis.a.d.quod eft p:opofitum.GSliter ctia oucatur linea 
b.d. critq^per quintam p:imiangnIu3.cb.d.equalisangulo.cd.b. pwpterid 
quod linea.c.b.eft equalis lineccd.? quia vterq^ ouo:um angulo:um.b.cd. cft 
rcctus.crit pcr comunem fcictiam angulus.a.b.d.refiduus equalis angiilo.a.d.b 
rcfiduo.per fejctam.ergo pjimi eft Iinca.a.b.cqualis linec.a.d. 





LIBER 





lJb:opofitio .js. 
3f fucrit ptmctue ejctra circulu ftgnatus aqno bue lincc ad 
circuferetia oucant .altcra fecans.altcra circumfercntie 
applicata fiieritqj qrj q: ouctu totius fecantis in parte fui 
ejrtrinfecam eqnnm ei quod ej: ouctn appltcate in feipfam 
_J fit:crit linea appltcata e;c neceditate ctrculu contingens. 
G Sit a punctus fignatus evtra circulum.b.cd.cuius ccntrum.c. a quo oucantur 
ad circulum linca.a.b.d. fccans ipfum t linca.a.c.applicata circumfercntie.? eflo 
vt qofitex.d.a.in.a.b.fitcqualcquadrato.a.c.oicolincam.a.c.clTecontinscnte 
i cft bcc conucrfa p:io:is. 6i cnim non cft eontingens. fit crgo contingens linca 
a.f: eritq^ per pjcmiffam quod fit ccd.a.in.a.b.cquale quadrato Itncca.f.quarc 
quadratumlineca.f.cftcqualcquadratoliucc.a.cergo.a.c.cltcqualis.a.f.quod 
eft impolTibilcpcr.S.buius.crit crgo.a.c.contingcns quod eft pjopofitu^. G^de 
oftcfiuc .pbabif mancat p:io: oifpofitio % ypotbefis.t fi linea.a.b.d.trafit g ccti^ 
oucatur Iinca.cc.q5 crit pcr.tf.fecundi qo fit ccd.a.in.a.b.cum quadrat o.cb .ct 
idco cum quadrato.ccequalc quadrato.a.cfed qo" fit ecd.a.in.a.b.pofitum cft 
cqualc quadrato.a.c.ergo quadratum.a.ccu quadrato x.c.c equale quadrato.a 
c. crgo pcr vltima p:imi angulus.ccft rectu3.crgo per co::cf 1 % .buius linea. a.c. 
cft contingens circulum quod cft p:opofitum.C5i autem.a.b.d.non tranfit pcr 
centrum oucatur a puncto.d.linea tranficns pcr centrum.c quia qo fit c% bac to/ 
ta indus partcm extrinfecam eft cqualcei quod ftt ccd.a.in.a.b.pcr p:cmiiTam 
ipfum crit equale quadrato linee.a.cquarc vt p:ius.a.c.ent contingcns circulu. 
£^plictt libcr tertius.^ncipit libcr quartus. 




9gura tntra figuram Oicitnr ffcribi quando 
ea que inlcribitur efus in qna tnfcribitur.la 
tera vnoquoqsfuo:um angulo:um ab inte 
rio:e partc contingit.CCircumlcribi vero 
figurafigurepcrbibetur qnotics ea quide 
fignra eius cui circufcribitur fuis latcrtbus 
omnibns omnes angulos conringit. 

l(b:opolirio- .1. 

TBtra Oatum circulum batclinec rectequc oiametro mi/ 
nimc maio: ejciftat cquam rectam Iincam coaptare. 
CSitlinca oata.a-b.circulufq^ oatus.cd. c.cui 9 oiametcr.cd.qua 
no e maio: linca.a.b. volo itra oatu circulu ccaptare linca eqle.a.b 
quc fi fuerit cqualis otametro coftat <ppofitii.fi aut mino: ejc oiamc 
tro fumaf .d.f.fibi eqlis 1 fujj puncru.d.ftn quatitate Itnecd.f.ocfcribaf circultis 
f.cg.fccans oatum circulum in punctis.g.c.c.ad alterum quo:um oucatur linca 
a puncto.d.vt.d.e.veI.d.g.eritq5 vtralibct carum cqualislmce.a. b.eo ep vtraq, 
earu eft cqualis linccd.f.per oiffinitionem circuli:quarc babcmus p:opofiiu. 



IIII 





Ifciopofitio iu 

IRtra afltsnatu circulum trtangulutn triartgulo afligna/ 
ro equiangulum collocarc. 

G5it aflignatns triagulns.a.b.c.aflignatufqj circulus.d.c.f.volo 
intra bunc circulum collocare vn5 trtangulum equiangulum rrian/ 
gnio.a.b.c. equilateru^ cnim non e iKccfTariuee fcd e pofftbilc.pjo 
duco.g.d.b.contingcntcm circulum in puncto.d.fupcr que facio angulum.b.d.f. 
onctaliiica.d.f.cqualcangulo.c.iangulum.g.d.e.ouctalinca.d.c.cqualcmauga 
lo.b.? protrabo Itncam.e.f.critq? pcr. 5 i.tertii angul 9 .e.cqua!is angulo.c.qi vter 
q> cft equalis angulo.b.d.f.c.quide pcr pofitione .c .vcro pcr. 3 1 .tcrtii cade rone 
crit angulus.f.cqualis augulo.b.quareper.jz.pjimi.d.tcrtius erit equalis.a.ter/ 
tio.quare babcmus piopofitum. 

i' 

Ijbxopofitio .?. 

3frca afliguattjm circulum afltgnato triangulo triangul» 
cquiangulum oefcribere. 

ClSintvtpiiusaffiguatustriangulus.a.b.c.affignatufq^ circulus 
d.c.f.cuius ccntrum.g.circa bunc circulum volo oefcribcrc vnu tri/ 
angulum cquiangulum triangulo.a.b.c.cquilatcrum cnim no c ne/ 
ccffarium fed e poffibilc.pioducam bafim.b.c.i vtraq, partcm.vt fiant ono angu 
li cxtrinfcci.-z a ccntro.g.pjoducam lineam.g.d.ad circufcrcntiam.s conftitua ait 
gulum.d.g.c.ouctalinca.g.c.cqualemanguto.b.cjctrinfeco. z.&. g.f. ouctalinca 
g.f.cqnalcm.c.cjctrinfcco.': a punctis.d.c.f.pioducam in vtranq^ partem lincas 
OJtbogonalitcr quc pcr coucF. 1 y.tcrtii crunt contingcntes circutu qs cotingcntes 
^ptraba quoufq^ concurrant in punctis.b.fc.t. ncccfle cft cnim ipfas concurrcrc. 
cum cnim vrcrqj angulojum qui funt ad.d.e vtcrq^ cojum qui funt ad.e. fit rect 9 
fi intclligatur pjotrabi liuea.d.c.crunt ouo anguli qui funt ad parte^.b. minoies 
ouobus rcctis.quarc p pcnultima petittonc i gtcm illam ^tracte concurrcnt lince 
I.d.b.rc.e.b.cadcmroneconcurrcntouclinee.b.d.l.ri.f.l.cumvterq^angulojnm 
qni funt. ad.f .fit etism rcctus. X2uia crgo in quadrilatero .b.d.e.g. ouo ango / 
li.d.c.e.fnnt recti.erunt ouo anguli.g.c.b.equalcs ouobus rcctis.cuiufiibet enim 
quadrilateri quatnoj auguli funt equalcs quatuoj rectis.vt moltratn e fupra.j2 
pjimi:? quia ono anguli.b.intrinfccus z errrinfecus funt fimiliter cquales ouob 9 
rcctis.rx13.pmf.at vcro.b.cjctriufcc 1 ' pofit' e equatis.d.g.e.erit intrinfec 9 .b.cqu« 
tts.b.fimili quoq^ rone erit.c.intrifecus equalis.t.? quia ouo angulub.t.c. intrir» 
fcci funt minoies ouobus rectis.per . j2,pjimi:crunt fimilitcr ono anguli .b.xA. 
minoics ouobns rcctts.quare pcr penultima^ pctitionem oue linec. b.ci.U. $/ 
tractc concurrcnt in puncto.k.fietq^ triangulus.b.!;.!.? qnia anguius.b. e eqna/ 
lisanguIo.b.intrinfcco.?angulus.l.angulo.c.intrinfcco.eritpcr.32.pjtmi:angii 
lus.k.equ9lis augulo.a.quare babemus pjopofitum. 

.** 

1[b:opofitio .«. 












LIBER 

iRtra oatum trfcansulamcirculu^ oefcribcre. 
GSit aingnat/triagulus.a.b.c.volo intra ipfu^ circulum ocfcribere 
bcc c qfi coucrfa fci5c .oiuido cui ouos ei"angutos.a.c.b .p cqlia.a 
qdaouctalinca.a.d.b.vero.ouctalinca.b.d.qpcurratipuiicto.cl. 
^aja quo Duca pipcdicularcsad tria latcra ipu 9 .d.e.q*dc:ad.a.b.d.f.ad 
.b.c.2.d.g.ad.3.c.?quiaouo^triangu!oy.e.a.d.'j.g.a.d.angulu8.a.Vni 9 eeq/ 
lis aiigulo.a.altertus.s vterqj angulom.c.t.g rectus i latus.a.d.comnnc. crit q 
26 .p:imi:linea.d.c.cqualis lincc.d.g.eadcm roue cum ouo:um trtangulomm.e.b 
d.c.f.bid.angulua.b.vniusfitcqualisanguto.b.alterius zvterqj anguloy.e. et 
r.rectusilatusquoqj.d.b.communercritpcrcandem.Imca.c.d.cqiialiBliiiee.d.f. 
quare trcs Imce.d.e.d.f.d.g.funt equales.poftto ergo ccntro in.d.t ocfcripto cir 
culofecuuduquantitate vniuscarum tranfibitper.9.tertiiper rcliquarum ouarfi 
ejctremitatcs.-equiapcrcoMct.ij.rcrtiivnaqucqjlincarum.a.b.b.c.t.c.a.critco 
tingcns circulum.patct pcrfectum clTc p:opofitum . 

IfbJOpofitio .?. 

J^rcatrigonuutafTtgrtatum fiue illudlit oubogoniii ftue 
fc tembfigonium.liueojrigonium circulum Ocfcribcre. 
^ GSit trigonus alTignatus.a.b.c. volo circa ipfum ocfcnbcrc circulil 
^selP lxc c(i quafl C0lu ' crfa tcrtic.oiuido ouo cius latcra .a.b.ct.a.c .per 
iFigW^ lcqualia.a.b.quideinpuncto.d.^.a.c.inpuncto.e.aquibuspunctis 
p:odnco pcrpendicularcs ad lineas.a.b.c.a.c.quas p:otrabo quoufq^ cocurrant 
in puncto.f.fintqj.d.f.s.e.f.concurrcnt eni qm c5 vtcrq^ anguloy.d.i.e.fit rcct 9 
fi intelligatur^rrabt linca.d.c.fient ouo anguli ad parte tn qua p:ott abunt mino 
rcs ouobus rectis:quarc cocurrent pcr penultima pctitione igttur a puucto. f.qut 
eft punctus cocurfus quc oico cffe ccntrum circuli quefiti.p:otrabo lincas ad fiu/ 
gulasangulosqnefunt.f.a.f.b.f.c.tquiaintrangulo.a.d.f.ouolatera.a.d.^.d 
t.fuiitcqualiaouobuslatcribus.b.d.c.d.f.trianguli.b.d.f.^angulus.d.vn^aij 
guIo.d.alterius:quia vterq^ recrus:erir pcr quarra p:imi.f.a.cquali8. f.b.cadc" ra 
tione crit.f.a.cqu a ii8.f.c.c6patis lateribus i angulis ouo:um triangulomm.g.e. 
fa.c.e.f.ergo pcr.p-tertii pnnctum.f.erit cciitrum circuli qucfiti.bcc cft vniuerfa/ 
Iis oemonttratio ad onmes fpes trigoiu.C^uia tame aucto: vidcf vclle mcdius 
variare oifiungcndo intcr o:tbogonium ambligonium i oxigonium. oe quoliber. 
eo:um figillatim cft oemoftrandu .CSit crgo trigonus p:opofitus onbogonius 
fitq5 angulu8.3.rcctus:latus.b.c.rcfpiC!cns bunc angulu rcctu oiuido pcr cqualia 
in .f.a quo pnncto que oico cffe ccntru circuli ad mcdium punctum Viriufq^ ouor 
reliquoy latey qui fit.d.ouco lineam.f.d.iquia linca.f.d.oiuidtt ouo latcra.a.b 
cb.c.trianguli.a.b.c.per cqualia:ipfa erit cquidiftans tcnio .viddicet lince. a.c. 
boc ciu oemoftratu cft fnpra.?9.p:imi:et quia angulus.a.pofttus eft rcctus .erit 
per fecunda partetn i pcr terttam.2?.p:imi: vterq^ angulo:um qui funt ad .d.re/ 
ctus:oucatur igitlinea.f.a.eritq5pcrquartap:imi:linea.a.f.cqua!islmcc.b.f.c6 
paratisadiiiuice laterib^angtilistriaguloy.a.d.f.b.d.f.sq: linca.b.f. ecqlis 
lincc.c.f.erut.j.lince.b.f.a.f.c.f.adinuicccqles.quarcp.9.tcrtu cnr. f. centrum 
ctrctili qucfiti. C Sit rurfus trigonus. a. b. c. ambligonius .fitqj augulus .a . 




IIII 



obtufus latus.b.c.refpicicns buuc angulum obtufum.oiuido per cqualta in pun 
cto.b.a quo ad mediapuncta ouoium rcliquojum latcrum quc funt .d. t .e. 
ouco lineas.b.d.c.b.c.eritq^.d.b.equidiftans.a.c.^.c.b.cciuidiftans.a.b. pjo/ 
ptcr id quod ocmonftratum cft fupja. 5 9 . piimi: vidclicct cp Itnca fccans ouo late/ 
ra alicuius trianguli per equalia.tcrtio eft cquidiftanstquare pcr fecundam par/ 
tc.zg.pnmieritvtcrq^ouoyanguloy.b.d.b.^.c.cb.eqfeagulo.a.-rideovterq^ 
obrufus.onctis igitur pcrpendicularibus.d.f.ad lincam.a.b.ct.c.f.ad lincam.a. 
cquoufqj concurrant in puncto.f.que oico clTc ccntrum circuli. Z)|3anifeftu e eiti 
eas concurrcre pjoptcr caufa pus bicta.fccabit vtraqj carum lincam. b.c .que re/ 
fpicit obtufum % concurrent qxn triangulum.a.b.cigitur a puncto.f.qui e pun/ 
ctus concurfus earum:p:oduco lineas.f.a.f.b.f.c.que pcr quartam p:imi bis af/ 
fumptamcrunt equalescoparatispjtmo latcribusetangulis ouo:um triangu/ 
lo2um.a.d.f.b.d.f.ociudcaliommouo:um.a.c.f.ce.f.quarepcr.9.tcrtii.f.ecen/ 
trum circuli qucfiti.Gf fto iterum Vt trigonus.a.b.cfit ojcigonius oiuifis omni/ 
bus cius latcribus pcrcqualia: videlicet latus.a.b.in puncto.d.c latus.a.ci pun 
cto.e.?.b.cin puncto.b.p:otrabo lineas.d.c.d.b.?.c.b.critq5 .d.b. equidiftans 
a.c.T.c.b.a.b.pwpter id qnod oemonftratum cft fuper.5 9.p:imi:quarc pcr fccun 
dampartan.^.pjimiivterq^angulojum.b.d.b.c.cb.eritequalisangulo.a.cto 
acurus:ouctisigiturpcrpcndicularibus.d.f.adlincam.9.b.c.e.f.adlincam.a.c 
manifeftum eft cas concurrcrc intra triangulum.a.b .cfitq^ punctus concurfus 
f.qucm oico effc ccntrum circuli:p:oduco cnim lincas.f.a.f. b.f.c. quc pcr qrtam 
pjimi:bis affumptam vt p:ius crunt equalcs:quarc pcr.9-tertti crit.f.ccntrum cir 
culi qucfiti.Gper p:edicta patet q> fi triangulus fuerit o:tbogonius ceutrum cir/ 
culi circufcnbcndi cadet in mcdio latcris quod opponitur angulo rccto. Si fuerit 
ambligonius ccntrum cadct eytra triangulum.Si autem fuerit origonujs cadet * ' 
tra triangulum. 

lfc>JOpoflttO .6. 

TRtra 6atum circnliim quadratu Oefcribere. 

GSit oatus circulus.a.b.c.d.cuius centru^.cvolo intra ipfu^ oe/ 
fcribere quadratu^.pjotrabo in ipfo ouas oiamctros.a.ccb.d.fc 
cantes fe o:tbogonalitcr fup:a ccnrru^.e.quaru^ ejtrcmitates con 
iungo pjotractis Iincis.a.b.b.ccd.7.d.a. quas oico cotinere qua 
dratum qucfitum :ipfc enim crunt equales adinuiccm.per quarram p:imi tcr af/ 
fumptam p:opter id q6 quatuoj liucc.e.g.c.b.c.c?.e.d.funt equales.et quatuo: 
anguli qui funt.a.d.e.rccti.fi vnufquifq^.quatuoj anguloJum.a.b.c«. d.eft rect 9 
per pjimam partem . 5 o.tcrtii:p:opter id quod quilibct eo:um e in femicirculo erit 
igitur.a .■b.cd.quadratum pcr oirTinitionem quodcft p:opofitum. 

Hfcpopolitio .7. 

% rca pzopofttum circnlam quadratum oefcriberc. 

GSn ,ppofit 9 circul 9 .a.b.cd.cui 9 ccnty.e.voIo circa ipm oefcibere 
qdratu:,ptrabo i ipfo ouas oiamctros.3.cct.b.d.fec9te8 fc o«bo/ 



JB 





1 




LIBER 



f 


X 




^ . 



b 





(5 ' 

— e 

T^^ e 





gonatitcr ug cctru.t.a qy cxtremitatibus ouco i vtraq5 p_te lincas oitbogonaliter 
quoufq^ qtibct ea2/ pcurrat cii ouab 9 Iatcralib 9 fintq3 pucta pcurfus cay.f.g.b.k. 
eritq5 BCoucF. i j.tcrtij vtcrq^ angulo:jz qui fut ad vnuqueq^ quatuoi puctoy.a.b. 
c.d.rectus:quia crgo in quadrilatero.a.f.b.e.trcs anguli.a. b.-j.c. fuut rectr. erit 
quartus angulus qui eft.f.rcaus:babet cnim quodlibet quadrilaterum quaruoi. 
angulos equalcs qtuoi rcctis: vt oemonftratum cft fuprai32.piimi :cadcm rone 
quilibctangulojum.g.b.'i.k.critrcctus:crgoperfccudampartem.28.pjimi.oue 
linee.f.g.i.k.b.3remq5 oue.f.k.c.g.b.funt cquidiftantcs.ergo per.34.pJimi.f.k 
eftequalis.g.b.?.f.g.k.b.tquiap.e3nde.f k.eft equalis.b.d.?. f.g.a.c. 3t Vero 
b.d.eft cqualis.a.cerur quatuoj linec.f.k.g.b.f.g.c.k.b. cquales: fed i quatuoj 
anguli.f.g.k..b. funt recti : vt pjobatum clt piius. crgo.f.g. k.b. eft quadratuni 
pcr oiffinitionc quod cft pjopofitum. 

Ipsjopofitto .3. 
jjTBtra quadratuin afltgnatutn circulum oefcribere. 
jiGSit quadratum affignatum. a.b.c.d.volo intra ipfuin oefcribcre 
| circulu5 bcc cft quafi coimcrfa .e.oiuido vnuqbq^ latus eius g equa 
j lia.a.d.quide m puncto.f.b.a.m puncto.g.c.b.m puucto.b.t.d.c. 
I in puncto.e-cpjoduco liucas.e.g.s.f.b.fccantcs fe m pucto .k.que 
OKOclTeccntrumcirculi.cntcui^.f.b.cquidiftans^cqualis.a.b.per.jj.pjiim:^/ 
pter id quod.a.fa.d.b.funt equalcs z cquidiftantcs.Similitcr per candcm c.d.c 
a.b.i qma omues mcdietatcs quatuoj lateru ipfius quadrati fuut adinuice equa 
(cs erunt pcr. 34 pjimi:quatuoj Imec.k.e.k.f.k.g.^.k.b.equales.crgo pcr.j.tcr/ 
ti) .k.cft centruin circuli queliti. 

•Kb:opoiitio .9. 
j3frca alTignatum qua Jratum circulum oefcribere. 
I GSit quadratum.a.b.c.d. volo circa ipfum circulu^ ocfcribcre .bcc 
cft quafi conuerfa.7. pjotrabo in ipfo ouas oiamctros.a.c.c.b.d. 
fecantcs fc m puncto.c.quc oico cffc centrum circuli. £um eni linec 
a.d.s.a.b.fintcqualescrutpcr.y.pjimiianguli-a.d.b.s.a.b.d.e/ 
quales.c quia augulus.a.totaIis cft rcctus.erit pcr.ji.piinmwcrq, cojum medi 
etasrecti.CSimihquoq^ modo,pbabitur quclibet partialiu augulojum apre 
oictis oiamctris fe latcrib 9 quadrati p jopofiti contcntojum effe medietatcm rccti 
quia igitur angulus.e.a.d.clt equalis angulo. c.d.a.crit per.p.piimi:liiica.e.a. 
equalisIine:.e.d.cadcmr6neCTit.e.a.equalis.e.b.?.c.c.equalis.e.d.quaiequia 
quatuoi linee.e.a.e.b.e.c.c.d.funt cquales.crit per.9. tcrtii c.ccntruj circuli quc/ 
fiti.quod cft piopofitum. 

1fc>20p0ftti0 .10. 




tlTmn equaliuj laterum triangulum oeftgnare. cuius vter 
q50uo:um anguloznm quos bafis optmet. reliquo ou/ 
Hplusejciftat. 

j3mcntio e oefcribere Vnu triangulu ouu cqliu larczj 1 tcrtii incqlis 
I cui 9 vterq5 anguloz/ q' fug lat 9 qo e reliqs i eqle exiftu t ad tertiu ou/ 
plus ejciftat. ad boc ant faciedu fumat. linca qlibet q fit .a.b.que oiuidaf (m q> 
oocet.ii.fccn iu pmicto.c.ita q> illd quod fit ejca.b.i.b.c.fit equalc quadrato. a.c 




IIII 



factocfe puncco.a.ccntroPm ipfiusquantitatcm ocfcribattircirciitus.b.d.c.intra 
quc pcr psintam buiu s coaptctur liuea.b.d.cqualis lincc.a.c.ct p:oducantur ouc 
tinec.d.a.d.c.oico triagulu.a.b.d.ec qlis .pponif : nrciifcribaf circul 9 cj fit d.c.a. 
pcr. j.buius triangulo.d.c.a.quia crgo linca.d.b.cft cqualis .linca.a.c.crit quod 
fit er.a.b.in.b.c.cqualc quadrato lincc.b.d. quarc pcr vltimam tcrtii.b.d. 
linea cft conttngcns circulum.d.c.a.c pcr.j i .ciufdcm angulus.c. d.b. cft equalis 
anguIo.c.a.d.pofitoergoc6muniangulo.c.d.3.erittotusangulus.b.d.a.cqua/ 
lis ouobus augulis.c.a.d.c.d.a.fcdpcr.5i.p2imi angulus.b.c.d.cft eqlis cifde 
quia crtrinfecus ad ipfos.crgo angulus.b.d.a.eft equalis angulo.b.cd.c q? an/ 
gulus.a.d.b.eftequalis aiigulo.a.b.d.pcr.j.p2imi:eoo^larera.a.d.2.a.b.futc/ 
qualia.critangulus.b.c.d. cqlisangulo.c.b.d.crgopcr.tf.pnmi: linca.c.d.eft c / 
qualis linee.b.d.quarc i linee.c.a.ergo per.5.p:imi:angulus.c.a.d.eft cquahs an 
gulo.c.d.a.quia ergo vtcrqj anguloy c.d.b.c c.d.a.e ecjlis agulo.c.a.d. crit tot 9 
anguf.b.d.a.oupl ad agulu.d.a.b.? io anguf.a.b.d.fibi eqTis.oupl 9 cft ctia ad 
angulu.b.a.d.qo eft p:opofitu.G§02fan oicct aducrfartus circulu.d.c.a.circufcrt 
ptum trigono partiali fecarc circulum.b.d.c in aliquo puncto arcus.b.data <$ fi/ 
mul fccabu lincam.b.d.vndc tpfa non erit circulo applicata.ficut in oemonltra/ 
nonc fupponitur. fed ipfum fecans. 5it crgo fi poffibile cft Vt po nit aducrfarius 
c a puncto.b.oucatur ad ipfum circulum mino:cm contingens.b.f.c oucantur W 
nec.f.a.f.d.critq) pcr pcnultima tertii q6 fit er.a.b.in.b.c.equalc quadrato .b.f. 
crgo.b.f.cft cqualis.b.d.quarc pcr.j .p:imi angulus.b.f.d.cft equalis angulo .b. 
d.f.«quinpcr.}i.tertiiaugiilus.b.f.a.c(tequalisaitgulo.a.d.f.eritangutus.b.d 
f .niaio: angulo.a d.f.quod clt impolTibtlc.cnm ipfe fit pars eius.GSliter poffu/ 
tnus iftud rcfcilcre % ottcndcre <j> illc miuo2 clrculus nullo modo fecabit linca. b.cf 
fo^fan cnim oiccrct q> fecarct cam non fccaudo arcum.d.b.maio:is circuli. 5i eni 
pollibilc cft q> fccct eam.fit boc iu puncto.b.eritq5 q6 fit er.a.b.in. b.c. equalc ei 
quocffit cr.d.b.in.b.b.ynonftratum cft cnim fnpra peuultima tcrtii q> fi ab ali/ 
quo puncto crtra circntum fignato quotlibet lince fecantcs ad ctrcolum oucantur 
que fub totis c carum po:tionibus crtrinfccis contincntur.equalia funt adinuice: 
c quia quod fit cr.a.b.in.b.c.cft cqualcquadrato.b.d.crit qo fit er. d.b. in.b.b. 
cquate quadrato.d.b.quod eft impolTibilc pcr fc6am fcoi:quare coftat ,ppofitum 
G£t uota g> mino: circulus nccelTario fccabit maio:c « abfcindct ab eo arcu vnu 
e^ualcm arcui.b.d.i maio: abfcindct fimiliter ab eodcm vuum arcum cquale ar/ 
cui.d.c.Quod fic p20baf.fi enim mino: non fecat maio:em.contingit ergo ipfum 
in puncto.d.c quia per. 1 1 .tertii circulomm fc contingaitium ccntra.? punct 9 cou 
tactus funt in linca vna.erit ccntru mino:is circnli in linca.a.d.p:opter boc cp in 
ca cft ccntrum maio^is i punctus contactus.crgo pcr. ly.tcrtii augulus.a.d.b.cft 
rectus quarc fimiliter t angulus.a.b.d.fibi eqlis e rcctus q6 e impolTibilc.per. jz. 
p2imi:Sccct crgo ipfu^ in punctis.e.d.oico arcum.c.d.mai02is etTc equalc arcui. 
d.b.c arcum.c.d.mino:is clTe cqualem arcui.d.c.p:oduco lineas. d.e.c.e.?. e.a. 
crirqj pcr.zcrcrtii vnufquifq, quatuo: angnloiumqui funt.d.e.c.c.e.a.d.a. c.et 
fl.d.c.equahs alii p2opter id q> 0110 arc 9 .d.e.c.e.a. fut eqlcs.g.17, ciufde qrc to 
talisangur.a.e.d.oupfcadangulfi.b.a.d.cioeqTisvtriq^angulo^um.a.b.d. 
■z.a.d.b.c q: angul 9 .a.e.d.e cqlis angulo.a.d.c.g. j .p2imi: ,pptcr id q6.a. e.c.a 
d.funt cqualcs a cctro ad circuTcrcntiam.cmt ouo anguli.c.i.d.trianguli. a.c.d. 













LIBER 





*&■£> 





eqtiatesouobnsangnIis.d.«.b.trianguli.a.d.b.CTgopCT.5i.p:imi:rdiquusan/ 
gulus.a. vntas eft cqnalis reliquoangulo.a.altcrius:ergo pcr.zy.tcrtii arcus x.d 
maioas cft equalfe arcui.d.b.t pcr eande arcus.c.d.mino:is cft cqualis arcui.d. 
c? boc cft quod p:opofuimus. 

HfcfeOpolitio .11. 
TRtra Oatum circulujeqtjilaterum.atqs equiangulu pen 
tbagonnm ©efcrtbere. 

CSit oatus circulus.a.b.cvolo intra ipfum oefcribcre pentbago/ 
num Vnu equilatcj; atq, cquiangulu .ocfigno triangulu vnu qualcj 
p:emi(Ta p:oponit.qui fit.z.cui aliu; equiangulum intra oatu circu 
lum oefcribo.ficut oocet feciida buius:qui fit.a.b.cfitq, vterq^ anguio:um .a.b.c 
i.a.cb.ouplus ad angntum.ca.b. vtruq^ eo:um oinido per equalia ouctis lincis 
b.e.c.c.d.cruntq^ pcr-2j.tcrtii.f .arcus in quos.f .puncta.a.d.b.cc. oiuidut cir 
tulum adinuiceequales.pwptCTidqoquinqjanguliquiinoictos arcus cadunt 
funt adtnuicem cq'les.continnati3 igitur illis quinq^ puctis per lincas rcctas quc 
fnnt.a.d.d.b.b.cce.?.c.a.crit pcntbagonus.a.d .b.c.e. infcriptusoatocirculo 
cjualis p:oponitnneft cnim cquilaterus per-2S.tertii cu.y.arc 9 :quo:$2 eius quinq, 
tatera funt co:dc:fint ad tnuicem equales:? etiam equiangulus per.2tf.ciufdcm eo 
g>qumq5arcu8.d.a.c.a.c.c.c.c.b.c.b.d.«.b.d.a.inquosangullipfiuspcntba/ 
goni cadunt funt adinuiccm cqualcs:ficq5 conftat p:opofitum. 

Ifcjopofltio .11. 
3frea pjopofitum circulum petbagomim equiiateru atq5 
equiangulum Oeftgnare. 

CSit p:opofitns circulus.a.b.c.cuius ccntru.f. volo circa ipfu^ oc/ 
fignare pentbagonu eqnilatcj; atq; equi8ngulum.fup:a circnmfcren 
tiam ipfius circuli quafi ftti ooctrinam p:cmilTc fibi infcnpfilTcnt pe" 
tbagonum quinq^ puncta angularia notabcque fnnt.a.d.b.c.e.ad quc cctra ou 
camlineas.f.a.f.d.f.b.f.c.f.e.«abcifdcm puuctis educam pcrpendicnlares ad 
iftas lineas iu vtranq^ partcm quoufq^ concurrant in punctis.g.b.k.l.m.cruntqj 
bee lince contingcntcs circulum per coKelarium. i y .terrii:? ad ifta pucta concur/ 
fns oucam a centro lineas.f.g.f.b. f.k.f.Lf.m. £t quia monftratum cft fupcr pe/ 
nultima tertii <$ (i ab aliquo puncto ejctra circulu^ fignato oue lince contingcnres 
ad ipfu circulum oucanf <$ ipk ernnt equales. crit !inea.g. a.cqualis linee.g.d.? 
b.d.b.b.? fic oc ceteris.Bt qtn quinq^ arcus i quosquinq^ puncta.a.d.b.c.coi/ 
uidunr rirculum.funt adinniccm cquales.ernnt:per.2<f.tertii quinq^ anguli.a.f.d 
d.f.b.b.f.cc.f.ce.f.a.coufiftcntes fnper bosarcus in centro.f.fibi inuiccm equa 
tes.SuntautcmouoIatcra.a.g.«.f.a.triangnli.f.g.a.eqnaIi8 0uobnslatcribus 
d.g.?.f.d.trianguli.f.g.d.« latus g.f.comune.crgo g.s.pjimiiouo anguli eo:u q 
funt.a.d.f.3te'q5 ouo anguli qui funt.a.d.g.funt adinuiccm equales. eade ronc 
©uo anguli qui fuut.a.d.f.in triangulis.d.f.b.«.b.f.b.3remq5 euo qui funt .a.d 
b.funt adtnuicemequales.Similitcrqnoq^fingulitriumrdiquo^ anguIo:u qui 
fnnt.b.f.cc.f.e.e.f.a.ifmgulitriu.quifnnr.k.l.m.oiuidantp.equalia.p:imiqui 
dem per lincam.f.k.fecundi per linea.f.l.tcrtii vcro per linea.f.m. i quia bii trcs 
anguli qui funt.b.f.e.cf.c.e.f.a.funt fibi inuicem cqualcs i aliis ouob 9 q fut.a.f 
d.?.d.f.b.equalcs erunt eotum oimidia qne funt eece anguli facti in centro.f.ad/ 





IIII 

fnul«5 eqnatc^OuiaigitiTrOuoanguli.a.c.f.trianguli.g.a.f.funtcqualesouo/ 
bus augulis.a.c.f.trianguli.m.a.f.? larus.a.f. comune crit pa.2<s.piimi anguf' 
g. vniusequalisaiigulo.m.altcriusf larus.g.a.cqualelatcri.a.m.cadcm ratiee 
critangiilus.g.mtri9Tigulo.g.f.d.cqualisangulo.b.intriangulo.d.f.b.«latus.g 
d.equ3lcl3tCTi.d.b.quarequia.g.a.c(toimidiu.g.m.t.g.d.oimidiu.g.b.i.g.a.« 
g.d.funt cqualia-.erunt pcr cocm fcicntia.g.m.cg.b.coui oupla cqualia.Simili/ 
tcro 1 iioq3 1 pbabim < '.g.m.cll'ceqnalc.m.lc.m.l.l.k.«.l.k.k.b.quarcpctbagon 9 .g 
b.k.l.m.eft cquilatcrus.fcd i cquiangnlus: 015 cni ouo anguli qui funt ad.g.funt 
admuiccm cqua es. i ouo qui funt ad .m.fititcr adinuiccm cqualcs. cg. partia/ 
lis.fit eqnalis.m.ptiali. vtruq^ eni p7obatu eft piius.erit pcr candc coem fcientia 
g.totalis cqnatis.m.toroli.s cadcm rone ,pbabis cqualitatcm in cctais angulis: 
quarc cft cquiangulus.ficq^ couftat p:opofitum. 
^JOpofitio .ij. 
IRtraequifatcruiatq^ equiangulum pcntbagonum afli 
gnatum .circuln^ oefcribere. 

GSit affignatus pcntbagonus cqtulatcrtis atcfl equiangulus:quia 
oc aliis 116 cft ncccffariii boc cffe pofubilca.b.c.d.volo fitn ifcribe 
rc circulu .bcc cft quaft couerfa .1 1 .ouos e ius .ppiquos angulos qui 
luur . a.ccotuido pcr equatia ouctis lineis.a.f.ccf.ooncc cocurrat in pucto.f.i 
tra ipfum pcntbagonum quc oico elTc ccntrum circuli: cocurrcnt cnim p:optcr id 
qtiod oimidtu totatis anguli.a.i finulitcr totalis anguli.cminus c anguto recto. 
GSi cnim intra paitbagonum non cocurrct.aut crtra ipfum pcutbagonum aut 
in latcrc pctbagoni.aut in eius angulo:qui vcriq^ angulom oiuerfo? opponitur. 
jConcurrat Spiimo ejctra in pucro.f.? oucatnr Imca.b.faquia ouo latera. c.a.ct 
a.f.manguli.e.a.f.futcqualiaeuobustatmbus.b.a.c.a.f.manguli.b.a.f.tan 
gulus.a. vnius angnlo.a.altcrius erit pcr 4.primi bafis.cf.equatis bafi. f.b. i qi 
angtilus.a.partialis c cqualis augulo.cpartiali.piopta id qb.a.totalis.c totali 
crit pcr.tf.pjimi.f.a.cqualis.f.cquarcf.a. cft cqualis.f.b. crgo pcr.cprimi ouo 
anguti.b.tot3lis.ca.Etiaii8fiinteqtcs.quarc.3.etiali8Ccqlisvt'm3ioi.a.totaU 
qo cft tmpoffibiIc£oncurrat crgo in pucto.f.fuper latus.b.c .critq^ argucndo p 
p:cmilTas i pjcmilTo modo angulus.a.ptialis cqualis angulo .a.totali quod cft 
impo(Tibilc.Quod fi fojfan concurrant in angulo.c.crit pcr eafdc^ i eode modo 
c.b.cqualis.c.a.c idco ad buc ut pjius angulus.a.partialis cqnalis anguto .a.to 
tali.Qo q: boc ce no potcft fit crgo punctus concurfus qui c. f.infra pentbagonfi 
aquoouco.j.pcrpcndicularesadcius.j.latera.qucfint.f.g.f.b.f.k.f.I.f.in.ead 
ouos eius angulos .ppinquos altrinfccus angulis pcr cqualia oiuifis qui funt .b. 
i.d.oucolincas.f.b.f.d.jquiaouoaiiguli.a.t.m.rrianguli.a.f. m.funrequales 
ouobusangutis.a.cg.trianguli.a.f.g.ilatus.a.f. comune erit pa.2<s.ptimi.f. 
m.cqualis.f.g.pcr candcm quoq^ pjobabi8.f.l.equaIem.f.m.fumpti8 ouob 9 tri/ 
angulis. t.f.m.ccf.l.qiiia itcrum ouo latera.a.f.ca.b.trianguli.a.f. b.fut cqtia 
tiaouobuslataibus.s.f.ca.c.trianguli.a.f.ciangulus.a.vnius.angulo.aial/ 
terius erit per.4.ptimi angulus.b.pat rialis equalis angulo.c partiali. i quia.b. 
totalis cquatis eft.c.totali-.cc t otalis oiuifus eft pcr equalia crit ctiam.b.totalis 
oiuifuspercqualia.Gfodcmmodoptobabis.d.totaleoiuifum per eqli3 3ppter 
equalitatcm.d.partiatis s.a.partialis fumptis trisngulis.ca.f.i. c.d.f. qj ergo 








LIBER 

©uo anguli.g.c.b.trianguU.g.f.b.funt cquales enebus angulis.b.c.b. triangnli 
b.f.b.-rlatus.f.b.coc crit pcr.i(J.p:imi.f.b.cquaUs.f.g.C£odctn modo .pbabis 
f, k.cqualem.f.l.fumptis triangulis.l.f.d.k.f.d.qm igitur . j.linee.f.g.f.b.f.k.f.l. 
•z.f.m.funt cqua!cs.crit.f.ccntrii3 circuli.per .9.tcrtij .quc ocfcribcmus frn quatita 
tem vnius carum.? tanget omuia latcra pcntbagoni.,ppter cqualitatem lincarii. 
i nullum eo:um fecabit pcr p:imam prcm. i y .tertij .ficqj coftat .ppofitum . 

I^ZOpofltiO .14. 

3f rca oatum perttbagonum q6 fit equilaterum . atq5 cqui 
anguluii! circulum oefcribere. 

G5it vt p:ius oatus pcntbagonus cquilatcrus atq5 equiangulus. 
quia oc alijs nou cft ncccffariii boc effc polTib(lc.a.b.c.d.c. volo cir 
ca ipfum ocfcribcre circulu^.bcc cft quaft conuerf3.12.Duos cius p 
pinquos angulo3 qui funt.a.c.c.oiuido p_ equalia ouctis lineis.a.f.c.f.e. quouf/ 
q> toncurrant intra ipfum pentbagonu in puncto.f.cocurrcnt cni z intra pctba/ 
gonum vt .pbatum cft in pjcmiffa.c 3 puntto cocurfus ouco ad rcliquos angulos 
lincasquefint.f.b.f.c.f.d.cqrouolatcra.a.f.c.a.b.trianguli.a.f.b.funt equalta 
ouobuslatcribus.a.f.t.a.e.trianguli.a.f.c.tangulus.a.vniusangulo. a.altai 9 
eritp.4.p2imi.f.a.equalis.f.c.cangiiIus.b.fJtialisangulo.c.gtiaIi.'iquia.b.tota 
lis eft cqualis.a.totali.?.e.totalis oiuifus eft p cqualia.crit funilitcr.b. totalis oi/ 
uiftts p equalia.boc quoq, modo .pbabis vtruq^ anguloy.c.s.d.oiuifuin clTe pcr 
equalia.-J.y.Iincas.f.a.f.b.f.c.f.d.f.c.clTccqualcs.quareg.^.tertij.f.erit centru^ 
circuli.ficq3 patct .ppoiitum. 

1(b:opofitio .ij. 
jlTRtra piopofitum ctrculum .eicagonum equilaterum atq? 
|equiangufumOcfcribere.G/£>:boc itaq^ manifefrum cft 
1 cp latus qcagoni equij eft oimidio oiamctri circuli cui in/ 
r ■ lcribitur. 

H;G5it .ppofitus circulus.a.b.cd.cuius ccntrum. e. volo ftbi tnfcri/ 
berc eptgouum equilates atq^ cquiangulu. jiduco oiametrum.a.e.c.s 5 m quauti 
tatcm fcinidiametri.e.c.facto ccntro puncto.c.ocfcribo circulum.c.b.d. fccautcm 
p:io:e in ouobus pnnctis.b.d.a quibus ,pduco ouas oiatnetros in circulo p:imo 
qucfint.b.c.g.d.c.f.triumcrgooiametror cxrremitatesconiungo.e.lineasquc 
(unt.a.f.f.b.b.c.c.d.d.g.t.g.a.quasoicocontmcrccxagonumquefituin.eritcni 
vr oemonftrat p:ima pnmi Vterq3 trianguloy.b.e.c.c.c.d. cquilatcrus. quarc ct 
cqutangnlus p.j.ciufde crgo p.j2.p:imi ouo anguli.b.e.cr.c.c.d.cu vno equali 
vni co:um funt cqualcs ouobus rcctis ,ppter id qo quifq^ coy e tcrtia ottpmro rc 
cto:um.fcdipfig.ij.ciufdecuangulo.d.e.g.funtcqualesouobusrcctis.crgoan/ 
gulus.d.e.g.ecqualis vtriq^ eoy.quarcp.. 1 j.ciufdc. s.anguli.qui funt ad.e.funt 
adinuicc eqtialcs.ergo paj.tcrtij arcus tn quos cadut funt equalcs.quarc 1 co:u 
co:dc p.2S.ciufde qui fut latcra ipft 9 gcagoni.£quilatcr 9 igirur c fcd 1 cquiangul 9 
p,2<J.tertij ,ppter id q6 fejc arcus in quos angularia puncta ejragoni Oiuidut circu 
lubtut cbtni fiipti fut adinuice equales. vt arc 9 .a.f.b.arcui.f.b.cj 16 angulus.f 
quicoriftitiupmoecqlisangnlo.b.quicofiftitifcbo. idcincctcris .quarc coftat 
.ppofitum.CCoiielarium ty. bpc patet cj> oimidiu oiamctri % latus cyagoni funt 




IIII 



latcra eiufdcmtfiangultequilateri.vi.c^.?.c.b.c.c.d.G£tnotacpf)onp:opo/ 
nitur circa p:opofitum cirailum exagonum cqutlatcrum atqj cquiaiigulum ocfi / 
gnare.lTec intra ta!em ejagonnm aut circa talem circulum oefcrtbcrc .qucadmo/ 
dum fccit oe triangulo quadrato t pcnrbagono. non qj non fit nccclTanu boc ce 
polTjbilc.fcdquiabcctriapercademp:eceptafiunt in pentbagono cquilatcroet 
cquiangulo.c in omni figura equilarera.arq3 cquiangula quccunqj ruerit. 23nde 
quamcuq, figura cquilatcra t cquiaugula fcimus circulo tnfcribere :candc circulo 
eytra.t circulii fibi intra t ertra:bifdcm medijs pcr quc bcc in pcntbagono fccim 9 
oefcribemus.Gllora etiam cy omnis figura equilatcra circulo infcripta.aut cir/ 
cufcripta eft etia necelTario cquiangula.oe.infcripta patet pa-n.t .ztf.tcrtij fum 
ptis arcubus circult. quibus latcra infcriptc figure coxte fut binis « bini6.3n bos 
eni arcus ipfius figure anguli cadunt.£)e circufcripta autc ductis a circuli ccntro 
lineis ad omncs eius angulos. t ad loca cotactus facile pjobabis.fi plcne intcile/ 
ctc ocmonftrationi. i j .buius oiligcs intcllectus accdTcrit .erit ent vt omncs ipft* 
figurc angulos Itnec a ccntro veuientes g equalia oiuidat.fumptis itaqj quibulli 
bet ouobus cius $>?imie latcribus cu linca ad angulu ab cis con tentum .t cu ouo 
bus ad eo:u cjctrcmitates a centro vcnicntibus ouos triangulos ab cis cotentos 
cquiangulos adinuice.p.4.p:imi cfle .pbabis.Sicqj faciendo oc omntbus patcbit 
eos effe equiangulos g banc comunc fciam quoy oimidia fut cqualia. tota quocg 
dTccqualia. 

1^:opolitio.i<j. 

IRtra dawjcireulum.quindecagomtm equilaterum atq^ 
cquiangulu ocfignarc G^einde circa quclibet circulii 
afIignatu5qinndccagonum equilatcrum atq^equiangu 
lum atqs intra oatum quindecagonu^ circulu oelcribere 

G6it oatus circulus.a.b.c.volo ftbi infcriberc qutndecagonu equi 
laterum z equiaugulum.ocnidc etiam circufcribcrc atqj intra talem qutndccago/ 
num .ppofitum circulum ocfcrtbcrc.TIon ,pponit autcm circa talcm quindccago/ 
num ctrculu ocfcrtbcrc.quia boc fatis oat intciligere p_ alia quc .ppomt. 3n oato 
circulo iujcta ooctrina fccundc buius.^trabo latus triangolj cqutlateri.cp fit.a.c 
ctujcca ooctrinafcoi latuspentbagoniequilatcriatq5 cqutanguliqofit.a.b.ft 
quta arcus.a.c.clt totius circufcrcntie tertia:cuiusarcu8.a.b.crtquinta.erit fup/ 
fltmin intcr eos qb cft arcus.b.c.oue tertte:arcus.a.b.vcl oue quinte arcus.a.c.fi 
ue oue quintcdecime totius circufcretic Tlam in omni toto excedit tcreia quinta. 
in ouabus tcrtijs ipfius quinte. Vel in ouabus quintis ipfius tertie. fiue in ouab 9 
quintis occimis totius.boc cni patct in quinta t tcrtia pmi numeri babetis quiiv 
tam t tcrtiam qui cft.i j.cius cnim tertia quc cft.^.cxcedtt eius quintam que e tria 
in ouabus vnitatibus quc funt oue tcrtie ipfius ternarij qui e quinta. vl' oue quiti 
tc ipfius quiuarij qui cft tcrtia fiuc oue quintcdccimc ipftus. i j.qui clt totu. oini/ 
foigiturarcu.b.c.percqualia.in.d. patct vtrumq) ouo:um arcuum .c.d.t. d.b. 
elTe tcrttam arcus.a.b.vtquiutam arcus.a.c.fiuc quintadccima totius circumfe/ 
rcnticfubtcnfis igitur eis co:dis.c.d.?.d.b.coaptatifq5 continue intra datum cir 
culum fibi cqualibus per pjimant buius complcbitur ftgura pjopofita . G£ctera 
vero ouo que pjoponit cu tertio q> oat intelligcre vfdelicct quindccagonii circulo 

d* 








LIBER 




circumfcribcre ac rircutnm quindccagono infcribete ac ctiam circumfcribcrc c%. 12. 
t3.?.i4.buiu9 plencintellectisracilcpcrficics. C£t nota cpquamcunqsfiguiam 
cquilatcram circulo fcimns infcriberc ouplo plurium latcrum circulo fcimus infcri 
bcrc 1 circufcribcrc? ipfi circulum.oiuifte cnt arcubus quibus latcra cius q fcitur 
infcribi fubtcnditur.pcr equalia % a punctis mcdijs ad cjtrcmitates latcru ipfius 
figure oiictis Imcis fict intra circulum figura ouplo plurium latcrum quc crit cqui 
larera pcr.a8.tertij .crgo c cquiangula.boc cnim oemonftratu cft fup:a. 1 j.buius 
cj> omuis figura equilatera circulo infcripta cft ctiam cquiangula.£t quia bac cir/ 
culo fcimus tnfcribere fcicmus cctcra tria pcr. a. 1 3.7. i^buius. CQuia igitur fci 
mus infcribcrc triangulumcquilatcrumifcicmuspcrbocicjagonum ?perq:a/ 
gonii ouodecagonu ac per onodecagonu3 figuram.i4-laterum. 1 fic in infinitum 
onpUndo.ft licct pcr triangulum poffit vt oirimns infcribi cyagonus.pofuit ta/ 
mcn buius p:op:ia ocmonftratione zf. qua fcquitur potiffima pcrvtile. £t fimili/ 
ter quia fcimus 1 infcriberc quadratum fcicmus per boc infcriberc omncm figuv a 
cuius latcrum uumeruscft paritcr par.pcr pcntbagonum quoq^ fcicmus occago 
num.c figura.zo.laterum.ficqj continuc ouplando.idcm quoqj intclligc oc quin/ 
decagono.pcr ipfnm enim fcicntur figure.}o.c<so.? omnium continuc ouplaro^ 
laterum.C£etcrarumautemfignrarumocqutbusiftanonoocct. vcl quep. bas 
no Ijabent oifficilis eft fcientia.t paru vtilis.vt funt eptagona nonagena vndcca/ 
gona. X3ofi fcirem'' triangulu ouu cqualiii latcru oefignarccuius vrcrqj angulo 
rum ad bafim triplus cffct ad rcliquu fciremus eptagonu vt fup:a pcntbagonum 
circulo tnfcribcrccp fi vtcrq> quadruplus clTet ad reltquu fciremus nonagonii.er 
fiquintiiplus.vndccagonu. 3demq5inccteris figuris impariumlatcrum.pofito 
vtroqs anguloy ad bafim multiplici ad reliquu.per eum numcrum qui cft medic/ 
ras.marimi paris fub impari nnmero laterum ipfius figure contcnti. 
"jr\ atii angulu in tria equa oiutdcrc.Sit angulus oat 9 .c.volo ipfii oiuidcrc in 
^-' tres eqlcs angnlos q6 fic facio.pono pmo.c.ccntt u ctrcult oefcribendo circu 
Iu qlitcrcuqs cotingat. 1 ,ptrabo latcra cotineutia oatri angulu vfqj quo fecet cir/ 
cuferentta in punctis.a.«.b.tunc a puncto.c.qo cft ccutru circuli ouco linca. c.d. 
perpcndicularic ad tmca.c.b.c tn linea.c.d.affigno punctu.c.a quo ouco lincain 
ad equalitatc.cb.vfq5 quo fccct circiiferenria ctrculi in puncto.f. 1 .pduco .c vfcp 
a.ocindcpTOtrabolinca.g.b.cquidiftantc.f.a.quefcj.g.b.tranfcat pcrceutrii.T 
ouco lineam.f.g.cquidiftante linee cc.c ptotrabo lineam.c.b.incontinmi 1 oire/ 
ctum vfqs ad.l.quc fccat linca.f.g.o:tbogonalitcr in puncto.o.ipcr cqualia. oico 
ergo c$ arcus.l.g.eft cqualis arcut.b.b.p:optcr boc.cp angulus.l.g. c. cft cqualis 
«ngulo.b.c.b.cu ftnt contra fc pofiti.£um igitur arcus.f .g.fit ouplus arcui.l.g. 
crit etia ouplus arcui.b.b.fed arcus.f.g.eft cqualis arcui.a. b.cii ftnt intcr ouas 
lincas cquidiftanres quc funt.f.a.f.g.b.crgo arcus.b-a.cft ouplus arcui.b.b.cr/ 
go % angulus.a.c.b.cft ouplus augulo.b.c.b.oiuidam crgo angulum .a. c.b. pcr 
cqualia pcr lincam .c.rn.** patct p:ppofitum. 

Illrra oatti circultt nonagulu equilatc^ atq5 ccjagulii Oefignarcqtf fic ficri po / 
tcft iuyf a oocrritta fcoe bui 9 .infcriba circulo alTignato tt iangulti eqlatey arqs 
cqangulu q fir a.b.cs vntiqucq^ anguloy ei 9 ouiida g tria eqlia 1 p:ori aba lincas 
oiuidctcs angulos vfq; ad circiiferciuia 1 tu nc .q: noue anguli locati iu circulo fiit 
cqu3lcs oc nccclTitatearcus fuppofiti ipfis angulis funt cqualcs. p:ottabd cnim 



■^■B 



co:das fubtracta3 fingulis arcubus % babcbo intentum. 
incipitlibcrquintus. 



£xplicit libcr quartns 





i&iffimtto .1. 

&rs eft quantitas quantitatis mino: maio/ 
ris/cum mino: maio:em numeret. 

C p>ars quadoq^ fumitur p:op:ic: i bcc cft q aliquo 
ticits fumpta fuum totum p:ectfe conftitiiit:fine.pi/ 
mtnutionc vcl augmcnto:? oicitur fuum totum ntt» 
mcrarc pcr illum numcrum £ m que fumuur ad ipft? 
totius conftitutionc:talem autcm partem qua multi- 
plicatiua oicimus bicoiffmit.C .Quadoq^ fumitur 
comunitcr t bcc cft quthbet quantitas mino: q quo -" 
tienfciiqs fupta fuo toto min 9 aut maius conftituit. 
qua aggregatiua cicimus:co q> cum alia quantttate 
omcrfa totum fuu c6ftttuat:p fc aut quotienfcuqs fumpta fucrtt noit p:oducat. 
, feiffmitio .2. 

mltiplej; eft maio: mino:is|quando ea, mino: metitur. 
Cpars rclatiue oicitur ad rotu^:? in tftis ouobus extremis confi- 
ftit cotu^ adinuice" rcIario:e ideo oiffinito mino:t exrremo/otffinit 
bic maius:vocat autc5 ipfum mulriplcr. p:opter boc/cp minus ipfu 
aliquotiens fumptu^ conftituat:crunt igitur rdariuc oicta adinui/ 
cc:pars 1 multiplejc.Tla oritnis pars fubmultiplcx. : vt patct pcr cius oimnitione. 

feiffwitio .%. 
fl"iHopo:tio eftouarumiquantccunq^finrjeiufdem generis 
I quantitatum/ccrtaaltertueadalteram babitudo. 
C^og ojtio eft babitudo ouarum rerum einfdem genertsadirmt/ 
cemlin co cp earu^ altcra maio: aut mm oi eftrdiqujti vejjjibi equa/ 

— I !}§• Ilon enim foluj in quantitatibus rcperitur p:opo:tuX(cdi po/ 

dcnbus:£0tentij8 et fonis. 3n pondcnbus quidc e potciijs vult plato i tbimeo 
effc pjopottioncvbi elcmcnto:um nnmerii oftcndit:in fonis autem effc p:opo:/ 
tioncm liquct c% mufica.llam vt Vult .Soccius in quarto|fi quiltbct neruus in ou - 
as inequalcs partes oiuidatur .crit ipfaruj partiii fuommq^ fonoy :eadem couer- 
fo modo p:opo:tio.S5 in quibufcunq^ p:opo:tio rcperitur:ca participant naru/ 
ra ,pp:ictateq5 quatitatismo enim repentur in aliquibus rcbus ouabus/nifi tn co 
g> carum vna eft rcliqua maio: aut mincn. aut fibi equalis.CQuantitatis autem 
;pp:ium eft ftn tpfam cqualc vel incqualc oici. vt vult 2rifto.in p:cdicame"tis. vn/ 
dc liquct ( ppo:tioncp:nnoin quautitatc reperiri.c pcripfamuiomiiibus alijs- 
Tlcc clTc in aliquib 9 rcbus p:opo:tionc cui fimihs no fu in aliquibus quaiuitattb n . 
.pptcr q6 bcnc oijit cuclidcs/.ppotttone fimplicitcr cffein quantitare,cutii ea oiffi 
muit pcr babitudmcm ouaru quantitatu ciufdcm gencris adtnuicem C£ui 9 otf- 
finitionis intellcctus e"/ cfp:opo:tio e babitudo ouarum qua nnujtumadinuicem 
quc attcnditur in eo cp vna earum cft maio: aut mi uo : alta vel fibi equa lis \\ qo 
patet q> opouct cas clTe ciufdcm gcncns:vt ouos numcros:aut ouas lineas.-auc 
ouas fupcrficics:aut ouo co:p.a:aut ouo Ioca:aut ouo tcmpota. Tlon entj poteft 

d 5 




t 



fotvufi t^M^nctvtffiMnjtt. ficn^rifrikvir fiw- 
*h*£ .-finJvrty ftrrfr»MfkrruittA.<A.lrunfAi>ve.j 
cd. t^tfmuUfnCit^riuefinniU^cicnffv.n,^*- 
fmc ttmvi nmfcrMt .tff.f*» ttni ikciii multiSS 
ICCWcV Im $ (uimultiyUx irt ur fJcmnrlifUtyt ntir 
itfkniS.nn fcmrtUijt-iftf £rf<Ww. 7«ff. 
fuhnuUifUt '■ ? tv ivtihtnfrriineiY iuemHtatvf tnt. ' 
^■i.muvr\f\^$v*in'i4tVtee^nn^gt^ •__ 

\U r/A^ l/rvrft vfh. &$* M iWiititrr. frmva . d% "t 
itfcnvtuintr iicu?i« nttrKtr/vr fn-imuUjflpi .'*£ ■ 
it. iiffinitftr nurHfUjr. '■ vt- frr fuxi cVrcAtvtivAVM^. 
\™*r?i vrffrlkt irruKriiiicir' iuiimuUiflrf ■ ftjt ' 
«trrPmMfetf.titt ImMiU^S/MltiflM if- 
tvtt) iUirnArin'lfrn*vi ! rttlfj^i H. itr-jf lomMru*f 
n«*n<rAt 5pf*rkt ritcrnArM,. ier.r.-fi**i/tyr$/Hk**t 

jrHArir. ■ 

dy derlivnriar- vrrimrij ckffJu p fnftiSnfiij , 
titV) ctjni te-vn* rrlrMW : rt^nfcif^ 'fbn ncrriftmv- ■ \ 
^cfcri Lrivrr. rrMinv\rtfr. MvMijfl^i t~fuf.jum - j 
ftrhf tnttifr nnlvtriffUf.itimtirMif. ifvJmattifU- 
^.niw-i^tf^^riflcyc-inrh^tAiniiciu- ( 

Tlirffrirtyblrintntrfr.h-nrifrirwLr iftn ntnltifl+c:. 
rtttini i ftiftrinf* eU iltrnic rrffcrtu. ytwtvic . 



Tr-ftrKl InfWcim rnftt.ftiiC-ftcltrr*. .Ireftfr 
iJtLdt-ltvmfirriltii itiiunmifMiiviHtrttn cilfn- 
.manf-l-itt-rhlitfv*- tJAuittrJtyftrtaru.ty'. 

\trtt. ctUrr! niAhrcrt..linr utmikt- vnhtc IV vnt. 
Uncfccwt ? mtvior A-UtrA. iMr miMr.-*ut cMu*W, 
t^ficiiffint^AlcourUic-.-l/rl ccrtn.lirtrvnnnAtr.rJ 

(aihv AUf C Mrrni* JtUAH^trt^ rlicm mvcrif \r-r 
tfie cliffinitC ' ,A. ijynrfivrva V fnrrfv» . 



Stnfwt fuur 1 tjcfCrlA ■ttffloii euciUuY ' icjfftrtUnS 
Vc nvfrn ■%%ri. niiXc- ttht i tfn trmltl litu- 
£r*nycvtvvr{ vitcrvtu. &MvUc . ryC . 



Txch. diMivno l>nh~ik£' frvJatm otnrrJ. m 
djtfnih&ne preporhorvif. 



KT OrOOOrhonif. 

^tmilr nclr.- U etrt-t. '■ <tr tfpofvrvi (nnvonm 

v*,r*v.rAerti 'tppnvM Jro f(rtti«fl/j;? mj wwt,/ 
tkntbwtrofro UrrrvMt.tr\fUrr\noAvU.. frner, 
fn fntKinef. rvcr o^lrtfwrn^wr: ri- r* duft 
r*U^brtJ°rho7r>iA9^h^to</Kfi+hrnXVr/ 

^rotorhe 3vjMww*l»/- 
\jUtwtitMrj izunnrrj- 

Irfoorrvo IryMvmti !i/ • 
Q^-.Mrnrlrntrf jnrtie*n trf- 




e ^-iO 




LIBER 

fcici Ituca maio: aut minoi fupcrficic.aut co:p.e ucc tempu3 loco.fcd linca Itncajc 
fuperficics fuperficie.Sola enim vniuoca comgabilia funt. CQt> autem oicitccr- 
ta babitnd o non fic intelligas quafi nota vel fctta.fcd quafi octcrmina tamt fit fai ' 
fus.p:opo:tio eft oetcrminata babitudo ouaru^ quantitatumata inqtia octermi' 
nata cp bcc i non aliafTlon cnim eft neceffarium vt omnis babitudo ouarft quan - 
titatum fit fcita a nobis: ncc etta a natura , GTIam p:opo:tio qucdam eft oifcre/ 
to^u^ivt numcro^.qucda aut continuo^.^n numcris autc mino: c pars aut par/ 
tes maicnis vt ocmonftratur in fcptimo:quare i in eis omnibus eft babitudo ccr- 
ta « nota.Gat vero tn continuis cft p:opo:tio magis larga:eft enim i eis vbi mi/ 
no: quantitascft pars:aut ptes matons:? talium omnium mcdiantibus ntime/ 
ris e p:opo:tio nota:quc i rationalis oicif .£>icuntur q3 omncs talcs quantitates 
c6municantes:quia eas vna * eadc neceffario metiturjvlidc i omncs numcri fiit 
comunicantes.omncs eni ipfos metitur Vnitas.£ft ctiam vbi mino: non c pars. 
aut partcs maio:is i in talibus no cft uota p:opo:tio.n ecnobisnccnature . £>ici- 
turq^ bcc p:opo:tio irronalis: i bcc quatttates inc6munTcantcs:]vndc fitTut qttc/ 
cunq5 p:opo:tio rcperitur tn numcris reperiaf in omni gencrc continuo:um:vt in 
lincis fupcrficicbus co:po:ibus i tempo:ib 9 in6 autem econucrfo:inftuite cni fuut 
p:opo:tiones in continuis repertc.quas numeromm natura no fnfttnet.Sj quc/ 
cunq5 p:opo:tio rcpcritur tn vno gcncrc conrinuo^ cadem reperitur i oibus alijs. 
Tlam qualitcrcunq^ fc babct aliqua Imca ad qualtbcr altaimfic fc babct quclibct ftf 
perficics ad aliqua alia. 1 qnodlibet co:pus ad aliqo' aliud: ftmilitcr 1 tanpus;fcd 
non fic qultbet numcrus ad alique aliii: vndc magis e larga #po:tio in continuis. 
q*5 in oifcrctis^xquo manifeftum eft p:opo:tionc geometricameffemaions ab/ 
ftractionis:q5 p:opo:tioncm arifmeticairuomnis cni p:opo:tio circa qua arirmeti' 
ca verfatur ronalis cft:gcometria vcro ronales 1 irronalcs cqlttcr conftderat. 

/©ifTmitio .4. 

| TRopo:ttonalitas eft fimilitudo p:opo:tionum. 

I GUt ft oicamus cp quc eft p:opo:tio.a .ad.b.ca cft ctiam.c. ad.d. 
p:opo:tto que cft inrcr.a.f.b.fimilis cft illi quc cft intcr. c. i.d. bec 

Uautcin ftfitudo que ej iftis ,^po:tionibus refultat oicif ,ppo:ti6alitas 
£>iliinitio .j. 

jj^antitatesqucoicunturconrtnuam babere p:opo:tio/ 
nalitatem:funt quaruni eque multiplicia:aut cqua fut: aut 
eque ftbi line interruptioe addunt aut minuunt. 
GSuppoftta oiuifionc p:opo:tionalitatis g cotinua 1 oifcotinuam 

IJoiffinit iucb:a oiuidentia. 1 p:imo cotinua imo vt vcrius oica:fup/ 
pofita oiuifiouc piopouionalium g continuc ,ppo:tionalta 1 inc6tinuc:oifniiit 116 
cotinua ;ppo:tioiialitate:nec inc6tiuuam:fcd <6rimic,ppo:tioiialia 1 incoutinue. 
oiftinitio autcm continue ,ppo:rionaliiatis 1 incotinuc fatis patct pcr oiffinitio/ 
nc cotinuc (ppouionalitim 1 incontiiiue.C£6rinua aut .ppottionalitas e cu quot 
libet quatitatu ciufdc" gciicris in qua ,ppo:ti6c p:ima antccedit fciiam 111 cadc quc/ 
libct aliay antcccdit ^rinio cofcqucntc.vt cu oicimus ficut fc babet.a.ad.b. ita.b 
ad.c.c.c.ad.d. crirqj quelibct carum an tcccdcus 1 confcqucnsxxccpta p:ima quc 
cftfolti antcccdcus:? vltimaquc cfttm cofcqucns. £tinbacp:opo:tionalttate 
nccclTc cft omncs quantitatcs cffc ciufdan gaierispwptcr cotinuationc p:opo:/ 




rionu co cj> no fit ,ppo2tio inter quantitates gcnerom ofaerfoy: z bcc erit ad min 9 
in trtbus tcrminis conftituta.G^ncotinua autem eft cu quatuo: quantitatu fiue 
omnes fucrint eiufde gcncris fiue oue p:imc vnius i oue poftremc alterius:i qua 
piopoztione p:ima antccedit fcoam in eadc tertia an tecedit quarta: vt cu oicimua 
ficut fe babet.a.9d.b.ita.c.ad.d.eritq5 carum quclibet:aut tm antcccdcs aut trii 
confcqucnsmec eft nccclTe vt fint omnes quatuo: ciufdc gencris ficut erat in pjo/ 
po2tionalitate cotinua:co q> cofequcs pritne p2opo2tionis no cotinuaf anteccdcn 
ti fcoctfcd poffibtlc eft vt fint eiufde gencris:? poff ibtlc eft vt fint oiucrfozj.Sicut 
eni contitigit linca rcrJiri. ouplam ad lincam aut triplam:ita fuperficiem ad fuper/ 
ficic':c co2pus ad C02pus:« tepus ad tempus:? numcrus ad numqj.GI!ifo quid 
fit continua ,ppo2tionalitas .1 quid incotinua cjcplancmus oiffinitione continue 
,ppo2tionaliu p^emiffam. Ouantitates inquit p:opo2tionales cotinue funt quazj 
cq multiplicia aut fibi funt cqlia:aut eq fibi finc iterruptione addut: aut minuut 
vcrbi gratia.Sint tres quatitates eiufde gencris.a.b.c.ad quas fumanf .d.e.f.cq 
multiplicia:Vt ficut.d cft multiple* ad.a.ita.c.fit multiplex ad.b c.f.ad.c.crutqj 
omnes in eode gcncrc.Dnultiplicia eni 1 fubmultiplicia in codc funt generetftqj 
tt.d.e.f.aut fint equalia adiuuice: aut fitr fe babeant in addendo aut minuendo 
ita 9» ficut.d.addit fupcr.e.aut mrnuit ab ipfo:ita.e. addat fup.f. aut minuat ab 
ipfo.£u bcc inqua multiplicia fic fc babuerint crut tres quatitates.a.b.c.cotinue 
,pp02tiona!e8.2)l3ultiplicia aute no iutdligas fitr fic fc babere in addedo aut tni/ 
nucndo quantfi ad quantitate exccffustfcd quantu ad piopoitioneialiter eni oif/ 
finitio effet falfa.Ttam quarulibet quantitatn ciufde gcneris cquis fe oiffcrcntija 
excedcntium eque mulciplicta acccpta cquis ctia oiffercnti js fe ejcccdut: vnde fttr fe 
babent m addendo 1 minucndo quantu ad quatitatcm cxccffus. Ilcc tame p2io/ 
rcs qnatitates fut cotinuc p2opo:tiona!cs:tmo mino? cft fcmp maio: p2opo:tio. 
boc autc ideo euenit qm cay multipliria no fifr fc excedunt quatu ad p2opo2tio/ 
ne. fcd folu quantu ad quantitate exceffus:eft cni z ibi in mino^ibus mulciplicib* 
mai02 p2opo2tio. vcrbi gratia:fumanf trcs numeri equis oiffcrcntijs fe ejccedcn/ 
tcs:immcdiatc vidclicct arifmeticc: vt.i.j.^bom^ trium omncs eque muluplices 
eqnalitcr fe exccdunt.oupli quide binario tripli temario.i fic oc cetcris: no tamen 
funt.2.j.4.c6tinuc p2opo:tionaIia:imo minoy cft mai02 p:opo2tio: cft cni ipfoiu 
,ppo2tio fefqutlatcra:? maio?: fcfquitcrtia :q: crgo intcr cos 116 cft ftmilitudo p:o 
p02tionu.T)oCTitintereo8^po2tionatita8:ii6ncq5continua rieq^ incontinua. 
patet crgo fimilitudine illam additionis aut oiminutionis no imclligi quantfi ad 
quantitatem ejcceffusifcd quantum ad p2opo2tioncm:crit itaq^ fcnfus oiffinitio/ 
nis p2cmiffc.jContinua p:opo:tionalia funt quaru omnia multiplicia cqualia fiit 
continue p:opo:tionalia: fcd noluit ipfam oiffinitione^ p:oponerc fub bac fo^ma 
quia tutic oiffmiret idcm p idcm:apcrtc tamc rei eft iftud cum fua oiftlnitione co 
ucrtibile.lres autem quantitates.a.b.c.opo2tct clTc ciufdc gcneris ad boc ut ca/ 
rum multiplicia ftbi inuicem equalia fint:aut fimtlitcr fc babcant in addendo aut 
minuendo.Sienim.a.c.b.effaitoiucrteumgaicrum.cffentctia.d.t.c.ipfarum 
a.T.b.mnlciplicia co:ude oiuerfo:um gencrum:p:optcr boc q> multiplicia 1 fub/ 
multiplicia eiufde fut gencris:quare.d.n6 cffct equalis.c.nec ca maio:: aut mio:. 
Tlam qnantit ates omerfomm gencrum non funt adinuiccm comparabilcs. 
©iffiiutio.tf. 

i 4 



It 4 



I 



LIBER 



li 



-" 




SCanritares que oicuttf" ec Pm,ppoirione vna p:ima ad fe/ 
cuda i tertia ad quarta funt quay pjime i tertie multipli/ 
ces equales mulnplicibus feciide % quarte equalibus fitc/ 
rintftmilesveladditione veloimittutionevel equalitate 
eodemojdinefumpte. 
Gpofita fupm 9 oiffmitione quaticatu contiuuc .ppottionaliu.bicponir oiffini/ 
rione incotinuc ,ppo:tionaliu:? e cp quarutibet.4.quantirattJ qua? p:tme z tertie 
cque mulciplicia ffipca fuerinr:itcq5 fcoe i quartc cquc multiplicia: fucritqj multi / 
plex p:ime[fic fe babens ad mulriplc): fcoc quantfi ad addicione aut oiminurtoncj 
aut cqualitate:ficut mulciplej: tcrtic ad mulciplg; qrtc: crit ^poitio pmc caru^ ad 
fciJam:ficut tertie ad qrrs.vcrbi gfa.5inr qcuo: quaticaces.a.b.c.d. fnmanfcp ad 
pma i ad terria qne funt.a.c.c.cq multiplicia vrpore oupla:quc fint.e.c.f. 3ccq5 
ad fcoam i quarra que funt.b.i.d.fumaf alia eq multiplicia:vtpote tripla. q fint 
g.t.b.fitq^ vt bcc .4.mutttplicia ftc fupra copata adinuicem f>m o:dine p:imarnm 
quatuo:quantitatum:ita vidcliceccp.ccogcturad.g.c.f.ad. b. non aute. e.ad.f. 
auc.g.ad.b.finc fimilia in additione oiminutione i cqualitate: viddicet cp fi.e.ad 
dit fupia.g.s fttr.f.addat fup:a.b.aut fi .c.minuit.a.g.?.f.fimilitcr minuaf .ab.b 
autfi.e. eftcquatis.g. ^fimiiiter.f. fitcquak.b.tuncp:opo:tio.a.ad.b. cftficut.c 
ad.d.fimilitudo aucem tn addcndo aut oiminucndo intclligacur btc ficur in oiffi/ 
nitionc cotinue ,ppo:riona!i5: vidcticct 116 quantfi ad quantitacc cxceffus. fed qra 
tum ad p:opo:cione.CQ6 aiic oicic eode o:dinc fumpce incclligacur ftcut cjcpofi/ 
tum eft: viddicet vt multiplicia non referant adinuiccm fin o:dinc carum quanti/ 
tatum:quibus cquc mnltiplicia affumunt . vt multiplq: p:imc uon referat ad mul/ 
tiplex rertie:aut multiplev fc6e ad multipler quarte.fed rcferatur f> m piimfi o:dine 
ipfay.4.quantitatum:vidcliccc mriltiplejc p:ime ad mulciplex fcoc .1 mulciplgc tcr 
tie ad mulciplex qusrtc.G£rit itaq^ fenfus tftius oiffinitionis; ^ncotinuc ,ppo:/ 
tionalcs func quacuo: quatitatcs 1 ,ppo:tio p:ime ad fcoam e ficut tertie ad quar/ 
tam cfi fumptis cque multiplictbus ad p:ima 1 tcrtiam.3teq5 cque multipticibus 
ad fcbam 1 quarta crit .ppoicio multiplicis p:ime ad mulciplqc fc6c: ficut multipli 
ds tcrtie ad mulriplcx quartc:fed no oiffiniuit fub bac fo:ma.p:optcr cam p:edi/ 
«a.licct a ptc rci tde fit.T16 e autc ncceffarifi ut quatuo: quancitate8.a.b.c.d. fint 
riufdem generis:co cp.b.no continuat in p:opo:tioue:cum.c. fed polf nnt ec oue 
p:ime vnius generis:? oue fequcntes alrcrius.p qb patct cp neceffe eft rcfcrri mut 
tiplqc p:imc ad multiplq: fecundc:? multiplejc tcrtie ad multiplejc quarte. no aute 
multiplct p:imc ad multiplej: tmic:aut muttiplqc fc6c ad multiplqc quarre q: non 
fcmg funt ciufdc gcneris.mulriplcr. pmc 1 tertiemcc mulriplexfcoc 1 qrte:fuic aute 
ncccffe fumcrc eq multiplices ad pma 1 tertia : iteq^ equc muttipliccs ad fceam 1 
qrcam: 1 116 cquc multipticcs ad p:ima 1 fc6am:i ice non cquc ad tertia z quarta 
q: uifi p mtriplicifi fuptionc cotinuat tcniiitnpinc,ppo:ri6is cfi terminis fcocuo 
erit p qutd fic ,ppo:tio.a.ad.b.ficut.c.ad.d. 

^iffitiifio .?. 
^atititatesquaru^pojrioevtta^pojtioales noiatttur. 
|Gpoftquaoiffiiniurtciuantitatesconrinuep:opo:tionalc8«incon/ 
tinuc oiffinfait quantitatcs^po:tionalesftmpt'r:etp50iffinitio. 
^>ififinitio .8. 




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Wtn fuerinc p:ime? terrie eqae mnltiplices^ 3ftemq5 
fecuitde i quarte eque maltiplices.addetq^ multiplcj; p:i 

.melupermaltipltcemlecunde.TRoaddetaatejmultiplej; 

itertie faper multipliee quarte. oicetur p:im& maions p:o 
Jpo:tionissadfcoamq5 tertia ad quarcam. 
CDiffinitis quatitatibus p2opo:tionalibus oiffinit quantitates im,ppo:ti6ale8 
Sfitaut im;pp02tionalC8 intcr quas e fmrudo p:opo:tionu qo' coiigit ouplicitcr 
autquiamaiorcft^poniopmcad fecunda q*5tcrtiead quarta:autquiaminoi 
i ideo eius funt ouc fpccies.^ima quando maio: eft ,ppo:tio p2imi ad fcbm q, 
terti) ad quarrum:? oicitur boc maio: imp:opo:tionaIitas.C6ccuda vero qfi mi 
no: eft p:opo:tio piimi ad fc6m q") tertij ad quartu:? oicif mino: improportiona 
litas.oiffinit crgo eas inter quas cft maio: proportio primi ad fcoam q*5 tertie ad 
quarta que eft maior improportionautas :otflinitione autc carum inter quas cft 
minor proportio prime ad fcoam qj tcrtic ad quarta non ponit quia ipfa patet ejc 
ali*. C£u igif fuerint.4.quantitatcs ad quarum pmam z tertia fumpta fint eque 
multiplicia.tadfcbanuquartacqucmultipliciat multiplicia pmes fc6crelata 
adinuice, non fe babcbunt fimiliter multiplicibus terttfc z quarte rclatis adinui/ 
tem in addirione oiminutione z cqlitatc-.illc .4.quantitates erunt improportiona 
les.CQd fi ita fnerit g> multtplg: p:ime fir cqualc multiplici fcoe. multiplqc vcro 
tcrtie fit minus multipliri quartc.3ut c$ multiplcj: pme fit maius mnltiplici fc6e. 
multiplejc aut tcrtic fit cqualcaut mtnus multiplici quarte.aut cp multiplex pme 
fit maius multiplici fccude:« fimiliter mulriplcjc tertic multiplict quartc: veruta/ 
mcn plus exccdit quatum ad proportioncm non quantum ad quatirate cxccffus. 
multiplcx primc multiplejc fc6e q 5 multiplej: tcrtic mnltiplejc qrtc.Sut q> multiplejc 
primc fit min 9 multiplici fcoc.i filr multiplcx tertie multiplici quarte. vcrutfi mi/ 
nus minuit quatu ad proportione nou quatu ad quatitate exccflus-.multiplex pri 
mc mnltipliri fecudcqj multiplejc tertie a multiplici quarte:erit qnolibet ifto? .4. 
modoj; maior proportio prime ad fccuda q; tertie ad quarta.Ouatuor aute mo/ 
dis iftis oppofitis erit minor ^pportio pmc ad fccuda q*5 tcrrie ad qrta. £xempla 
aut iftoz; oiutn cuidcntct fumef c% numer is.addirio $ ilfa multipiicis pme fnpcr 
multiplcx fccudc.Tlon aut multiplicis tcrtie fup multiple^ quartc:oe qua loqmtur 
auctor in oiffinitione:Iatitndine babct ad iftos.4.modos p^edictos z ipfos com 
prcbcdit. vfi fcnfus ifti 9 oiffinitionis e cu fiiptis fit multiplicib 9 vt proponit rac/ 
rit maior proportio multiplicis pmc ad multiplejc fecude q'5 multiplicis tcrtic ad 
mttiplejc qrtc:crtt maior^portio pmc ad fam q^ tcrtie ad qrtamo oiffiniuit autc 
Tub bac forma^ptcr cocj cam fus oicta.Uel po(Tum 9 oiccrc cj> additio mltiplicis 
pme fup, multiplcj: fccude^ nomulriplicis tertie fup mltiplcjc qrte : oe q loquif in 
pmiffa oiff iiritionc maioris i.pportionalitatis ^prie accipif prout vcrba oiffini/ 
tionis fonat: « 116 fe cxtcdit nifi ad fc6m qtuor predictoy modoy: I5 rcuera quo/ 
libct illoy qtuor modo?; fit maior pportio prime ad fecuda q^ tcrtic ad quartam 
xh fcnfus illius oiffinitionis e cu fuptis fit multiplicib 9 vt ,pponit fi multiplici pri 
me cxiirc maiori multiplict fccudemon fit ncceiTanu cp multiplejc tertie fit maius 
multiplici quarteuuc crir maior .pporrio prime ad fcciida cJ5 tertie ad quartam. 
p^optcr boc autcm non pofuit reliquos trcs additionis modos iii p^edtcta oiffi/ 
nitionc:q2 iftc eft iUis ommb 9 masi8 plan 9 r« ad oicta oilTinitione fufficies.Tlufq} 



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eni eft maioi pjopbrtio piime.4.quantitatu ad fcoam 63 tertie ad quartam: qnin 
contingat atiqua eque multiptkia ad piima % tertia rerjtri.Quc cum rclata fuerint 
adaliquaequemultiplictaf«5e?quartc:inucnicturmultiplexpjime addcre fuper 
multiplct fcoemo aut multiplejc tertic fuper multiplej: quarte. Tlcc vfcj^ contingit 
boc reperirc quin fit maioj pjopojtio pjime ad fctSam qj tcrtie ad quartam vt oc/ 
monftrabimus infra fupja oecimam buius. Ctboffunt autem cffe bcc quatttate» 
impjopojtionates oiucrfoi; gcncrum ficut i quatitarcs incotinue pjopojtionales 
fi inter cas fttcrit incot inua impiopojtionalitas: vt fi oicatur maioi eft pjopojtio 
a.ad.b.q;.c.ad.d. 6i autcm fuerit contfnua impiopoitionalitas crfit oes eiufde 
generis necclTario ficut funt in continua piopoitionalitate. vt fi oicatur maioi eft 
piopoitio.a.a d.b.cfo.b.ad.c. iDiffinirio .9. 

£>t antem p:opo:rionalitag ad minm intcr tree termioe 
conftituta. 

C^oftcfe auctoj oiffiniuitppojtionc.ppojtionalitate z qntitates.p 
pojtionates « i.ppoitionales.oftcdit qs fit minim 9 numer 9 tcrmino 
rfi tntcr qnos piopojtionalitas poteft cofiftere maximfi autc no po 
nit:quia illum no cotingit futnet eipotcft cnim pjopoitio quelibet continuari i ter 
minfejnfinitis:fiuc fucrit ronalis pjopojtto fiuc irronalis. C3d pjopojtionali/ 
tate afit cjigunf ad minus ouc piopoitioes ftt'es:eo cp pjopojtioalitas fit fimili/ 
tudo piopoitionfi..Quelibct aut pjopojtio babet antecedens 1 con!'cque's:ergo q 
libct p jopojtionalttas babct ad minus ouo antccedetia z ouo confcquctia: boc e 
impoffibilc fieri in pauciojibus q, tribus terminis:in quibus mcdius co$ iia an 
teccdes z pfeques-.s to piopoitioalitas crit ptiuua:quare tn tnb 9 terminis ad mi 
nus erit cotinua pjopojtionalitas c6ftitnta.3ncotinua afit non crit i pauciojib* 
q*5 in.4.eo cp in tpfa quilibct tcrmin 9 e t m antecedcs-.aut tm pfis: idcm intelligc 
oe minoji numero terminoj; impJopoitionalitatts.Bt cnim fucrit ptinua:crit ad 
minus intcr trcs tcrminos.Si incotinua ad minus intcr quatuoj. 
©iffinirio 10. 
3 fiierit tres qnritates prinue ,ppo:rioalc0 Oicrf,ppo:rio 
p:imc ad terria. ( ppo:rio p:imc ad fceam Duplicata. 
CDiffinit pjopojtione q e iter extrcmos tcrmios continue pjopoj/ 
I tionalitatis in trib 9 tcrmis coftitute.c oicit cp fi fucrit pjopojtio pjj 
— mtadfcomficutfcc)iadtcrtifi:eritpjopojtiopmiadtcrtifi ficutpii 
mi ad fcom oup!icata:boc e qc ouabus tatortopoftta.ftue qo ide c:crit pjopojtio 
pjimi ad tcrtifi.ficut pmi ad fcom oup(icata:boc eft tn fe multiplicata. verbi gfa. 

inumerisSint.j.numeric6tinuepjopoJttonalcs:fintq5coiitinueoupIi:vt.2.4.8 
piopojtio piimi ad tcrriu erit ficut piopoitio pmi ad fcom in fe muItiplicata:pio/ 
poitio afit pmi ad fcom c oupla:oupla vero in fc multiplicata: pioducit qtiadru/ 
pla: vnde piopoitio extremoi; e quadrupla:vidclicct ouplfi oupli: vcl fcom pjioie 
expofitionem piopoitio extrcmojum eft ficut piopoitto piimi ad fecundu oupli/ 
c ata:qiiiaqna drnpla conftat ejc ouabns ouplis. 

£>iffimtio .n. 
tffm faeritqtno: qnritatce?rinue,ppo:tionalcg.,ppo:rio 
p:imc adqnartaoicrf,ppo:riop:imead{cc5a5 tnplicata 





V 



CDifftnit .ppoittone q e itcr ejrtremos tcrmios ptinue ;ppojti6alitatis M.termi 
nis pftttutc: i oirit cp fi fuerit.4..qntitatcs ptinuc^ppojtionalcs erit ,ppojtio pme 
ad qrra ficut ;ppojtio pmc ad fcoam triplicata boc e c% tribus talib 9 copofira. qrri 
talcs inucniiitur in ca:fiuc qa idcm eft: crit piopojtio piime ad quartam ftcut pri 
mc ad fecundam triplicata.boc cft iu fcpoftca in pioductum iiiulttplicata.Xfcrbi 
grariatin numcris.Suiit quatuoi numcri continuc piopoirionales-.fintq^ cotinne 
tripliri. vt ftnt. i . 5 . 9 .27.piopo:tio p :imi ad quartum crir ficut ,ppo:tio p:imi ad 
fecunduinfcpoftca p:oductumultipIicata:p:opo:tioautemp:imi ad fccudum 
cft tripla:tripla vcro m fc multiplicata ^ducit nocupla 1 tripla in nocuplam p:o/ 
ducit vigincuplam fcptuplam.erit itaqj p:opo:tio cytrcmojum vigincupla fcptu/ 
pla.q6cfttriplum triplt.ZSel&npiiOiem ejcpofitioncm piopojtio erlrcmoium 
c ficut pjopojtio p:imi ad fcom tnphcara: quia vigincupla fcptupla conftat ej: tri 
bus triplis. Tlon oiffmit autcm p:opo:tioncm extremomm continue p:opo:tio/ 
nalitatis intcr plures cj5 quatno: termmos coftitutc:p:optcr id q> oimcnfioncs in 
rcbus naturaltbus rcpcrtc non cjxcdunt temartij.CBenominatio autcm ,ppoi/ 
tionis ouarum quantitatum quibus nullum intcrponitur mcdium babct natura 5 
linec. faru? vero quibus intcrponitur vnn mcdiu in cotiuua ^pojtionalitatc ba 
bctnaturafupcrfiricico qbfitcxmultiplicationcocnomiationis ouaru pnmaru 
jit fc. Omnc autcm q6 eje multtplicationc lince:in lincatn ^pduciturmatura babet 
fuperfictci:fi in fc quidc qnadrati:fi vero in altera partc altcra longioris. Scd p/ 
poitionis carum quantiratuj ocnominatio quibus in cotinua .ppoittone 0110 mc 
dia intcrponuntur naturam babet folidi:quia p:ouaiit cr. multiplicationc ocno/ 
minationis ouarum piimarum piimo in fc.et. qua multiplicationc pjoducitur fu 
pcrficics: ocindc in pjoductum er qua multiplicationc pjoncnit folidum fiue co j/ 
pus :omne 1 cnim qo cr. multiplicatione lince in fuperficicm pjoducitur crcfcit ifo 
lidum.Gfft crgo ac ft oiceret pjopoitio ouarum quantttatum eft fimplct tnter/ 
uallum :i babcus naturam fimplicis oimcnftonis ut liuce:pjopojtionalitas an/ 
tem trium cft oupicjc interuallum:? babcns naturam ouplicis oimcnfionis vt fn/ 
pcrftcici ipjopoitionalitasautquatuoicfttripler intcruallum^babens natura 
trine oimenfionis ut foIidi.£ t quia oimenfiones Vlterius 11011 pjoccdunt.idco 116 
oiffiniuit pjopottioncm contentam intcr crtrcmos pjopo:cionalitatis tn quinqj 
tcrmtnisiaut pluribus conftitute: vcl non oiffiniuit p:opo:tionem in bis quia ea 
rum ,ppo:tto babctnr cr p:edictis oifTmitionibus.Si enim in tribus terminis #/ 
pouio crtrcmouim coftat er p:opo:tionc pitmoium ouplicatai? in qtuoi termi/ 
nis coftat ex cadcni triphcata:i. y .termitiis conftat ejc cadctn quadruplicatais in 
fcr cr. cade quicuplicata:vii qucadmodii i trib9 termis ptinue ;ppo jtioaltb 9 ,ppoj 
tio evtremoy ptinct ( ppo2tione pmoy bis.i i.4.tcrmis tcr.fic t .? .tcrmis ptincbit 
quatcr.? in fcr quinqtiies.c ita ocinccps.ut fcmp jppoJtio crtrcmoy i tcrmis co/ 
tinnc ^ppojtionalibus totics cotineat .ppoitionc ptnoium quot funt omne3 tcr/ 
inini min' vno.Sititcr quoq^ ft ppoitio crtremoy cotinue piopoitioalttatis i tri 
bus tcrmis pftitutc ejea g pioducit cr piopoitoe pmoi/ in fe fcmcl multiplicata: % 
in.4.in k bis multiplicata: in quinqj tcrminis ca qucpjoducitur er pjopo2tione 
pntoium in fe tcr mnltiplicata. 1 i.ts.termis quatcr: 1 fic fernp ut tcrmini fucrint 
ouobusplurcsmultiplicationibusifiuevtmultiplicatiories ftnt cqualcs medijs 



17 




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1 


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LIBER 





eytrerois intcrpofitis.£tnota <j>ctiam inpjopojtionalitarccontinus qctrcmo/ 
rum pjopoitio pjoducitur ejc omnibus p jopoitionib 9 infermedijs.G£ jc pjcdictis 
apparet q> pjopojtio ejtrcmoy continue p jopoitionalitatis in tribus tcrmis con 
ftitutc ocnominatur a quadrato:in quatuo: vero terminis conftitute ocnomina / 
tur a aibo:qqojum quidc quadrati i cubi latus cft oenominatio pjopojriois pji/ 
mi ad fecuudfi: verbi gratiau numcris 5int qnatuo: numcri continuc pjopojtioa 
les qui fint continue tripli.3.9.2.7.31. pjopojtio pjimi ad fccudu ocnominatur 3 
ternario.cft eni t'rip!a:pjuni vcro ad tcrtium 3 nonario qui eft quadratus tetna/ 
nj .nam ipfa cft nocupla.at vcro pjopojtio pmi ad quartu oenominar. a.27.qui 
cft cubus ocnominationis pjopoitionis pjimi ad fccunda vidclicct tcrnarij .ipfa 
enim cft vigincupla feptupla.G£t p:opo2tio qctvanoy im^po:tionalitatis conti 
nue in tribus terminis conftitutc ocnominatur 3 fupcrficiali non quadrato:cuius 
laterafuntoenominationesipfarumipjopojtionu.inquatuojvero tcrminisco/ 
ftitutc ocnominatur a folido 116 cubo.cuius tria latera funt oenominationes triii 
pjopoJtionu:q6 ctia patct in numcris.Sint quatuoj numeri ptinuc impjopojtio 
nales:qui funt.2.4. 1 2.43.111 quibus p jopojtio pjimi ad fecudu cft oupla: fecundi 
ad tertiu tripla:t ideo pjimi ad tcrriu fcrx:upla;tertij vcro ad qrtu5 qdrnpla:? 16 
pmi ad qrrii vigincuplu qdropla. Sctiarfergo qui e oenomiatio pjopojtiois pji/ 
mi ad tcrtium eft fuperficialis:cuius latcra funt ouo z tria.qui funt ocnominatio 
nes ouarum piimarum pjopojtionu 24,vcro qui cft ocnominatio pjopojtionis 
piimiadquartum eftfolidus cuius latusfunr.2.^.4.quifuntocnominatiouc3 
trium pjopojtiouum inter illos quatuoj tcrminos cntium. 

^iffimtio .12. 

^Tantitarcsque funtin piopozrionevna. anrecedensad 
conleqncnte5 1 antecedcns ad confequentc. oicetur econ 
rrarto ftcur cbnfcquene ad antecedentetn.fic confequeus 
adantecedente. GJftemq^ permutatim ficutantccedens 
adantccedentem ffcetiamcofequensad confequentem. 
CDiffinit fpcs pjopojtionalitatis quc funt.<?. vidclicet couerfa .pcrmutata. oif / 
iuncta:coniunct3:cucrf3 % cqua.GSunt aute bce fpccics quafi quida modi argu/ 
endi:oiffinit crgo pjimo conuerfam pjopojtionalitatem 1 permutatam: in quib 9 
manent anccdentia 1 confcquetia eade ftn fubftantia:qi> 116 c" i oifiuncta:piucra 
aut eucrfa:« in quibus nibil qctra fumitur vt in equa: vocat autcm antcccdcns pji 
mum extrcmu pjopojtionis:confequcns vcro vocat fecundum.ClSulr iraqj pcr 
banc oifFinitioncm cp fi fuerit pjopojtio.s.sd.b.ficut.csd.d. 1 c% boc cgo coclu/ 
dam:crgo.b.ad.a.ficut.d.ad.c. vidclicet vt faciam oc antccedcntibus cofcqucria 
1 oc confcquentibus antecedentis: qb ifte modus argucndi vocetur pjopojtiona 
litas ccontrario fiue conuerfa.Si autcm fic arguam.a.ad.b.ficut.c.ad.d. crgo.a. 
ad.c.ficut.b.ad.d.vidclicct vt ambo cjcrrema pjime ^pojtionis:fiaiu antcccden/ 
tia:c ambo ejctrema fecundc cofcquentia. vult ep ifte mod"argucndi vocetur pjo/ 
po:tionalitaspermutat3:ciniftomodo arguendi fit antcccdcns fccundc p:o/ 
poitionis cofcqucns:? cofequens pjime antcccdcns. 






Ijbjopoiitio. 13. 

£>niuncta vcro p20po:tionaltas oiciturquotieus ficut 

antecedens cum confcqnente ad colequens.ftc eriam ante 

redens cum conieqncntc ad confequcns. 

GDiniiiit contunctam oifiunctam 1 euerfam itt qmbus etiam nibil 
_ cjrtra fumitur fcd tcrmini non inancnt in ipfis.idcm f m fubitantia 
1 vuit cp fi ita fuerit.vt fit.a.ad.b.ftcut.c.ad.d.-z cgo cj bocconcludam. crgo to/ 
tuis.a.b.ad.b.fictit totius.c.d.ad.d.q> ifk modus argucndi oicatur p:opo:tiona 
litasconiuncta. 

1fb:opoiitio.i4. 

F|3ffmnctaverqp?opo2tion3litas oicitur augmctomm an 

tecedentium !up:a coufcquentia cqua comparatio. 

|CHult cpfi meritp:opo:tiototius.a.b.ad.b.ficuttotius.c.d.ad; 

j d.i ejc boc cgo condudam.crgo.a ad.b.ficut.<.ad.d.q? ifte modus 

J argucndi voccrnr oifiuncta p:opo:tidnalitas. 

1^>20p0flti0 .if. 

^crfa pjopoitionalitas bicitur quorulibet antecedentin 
ad augmenta fui fup:a cofcquefma fua limilimdo pjopoz 
tionum. 

CBuIt cp fi fuerit.a.b.ad.bificut.c.d.ad.d. 1 ci boc cgo «mcluda 
cr50.a.b.ad.a.ftcut.c.d.ad.c.cpiftemodu69r3uaidioiC3turcucr 
fap:opo:tionaltta3. 

1|b2opofttio.i<;. 
iQua pjoponionaluas oicitur qua titatibus plurimis p:o - 
pofitis alttfq; fcdm cundan numeru iu vna pjopotttone 
applicatis mediojum cquali numcro rcmoto Vtrojumq? 
iuinmoJum fimihtudo pjopojtionum. 
CDiflfinit equam p:opo:tionalttatcm que ad p:obandnm pwpoft- 
tum ad ejctra fumif.t vult cp fi fumant quotlibct quantitatcs. vt.a.b.c. itemq^ to - 
tidcm alic fmc fint ciufdcm gcncris cum p:imis.fiuc altcrius. vt .d.c .f. fucrintq^ 

fecundc in p:opo:tiocp:imay iiue codeo:dinc.vt ft oicatur.a.ad.b.ficur .d. ad.e 
t.b.ad.c.ficut.c.ad.f.fiuc o:dinc couerfo vt fi oicat.a.ad.b.fictit.c.ad.f. z.b .ad 
c.ficut.d.ad.e.? <? boc concludatur.crgo.a. ad.c. ficut.d. ad.f. gp iite modus ar - 
gucndi vocctnr cqua p:opo:tionalitas.Cbo:um aittc.d.mod6:um arguendi qni 
oiciiwr fpecies ^pponionalitatis quatuo: ,pbat aticto: in Ira infra in ifto -i.pcr 
mutatam quide p:opo:tionalitatcm p:obat in. is.buius.oifiuncta vcro in.17.con - 
iunctam ln-\ s.cquam Vcro p:opo:tienalitatc ocmonftrat.in.22.c.2j.Scd in.22. 
cii quantitates ouo:u o:dinu codc o:dmc funt p:opo:tionales. in.2j.c1l vero fut 
.ppotfionalcs o:dine conuetfo. £6ucrfam vero ,ppo:tioiialitatc: aut eucrfa non 
ocmoftrat co cp conucrfa P5 cf oiftmitioe quatiratu icotinue ;ppo:tiona!iu..£ucr - 
fa aiit P5 c% gmutata admuicc.19.vt fug caoe. 1 9.fum 9 oicturi.qualr autc pucrfa 
ypouioalitas cr oione quatitatii icotinue ppoitioajiu maifcfta ftt ocmoftrcm 9 
nfic.CSitcrgo.ppoMio.a.ad.b.ficut.c.acl.d.voloSoemoftrarcqoCTitb.ad.a. 





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LIBER 

ficut.d.ad.c.fumarur.e.ad.a.t.f.ad.c.cquc multiplicia.fimiltter quoq^.g. ad.b. 
s.b.ad.d.cquc multiplicia.erirq; per coiiuerfioncm oiffmitionis quatitatmn in/ 
continue p:opo:tionalium. vr,c. z.g. itemq^.f.i.b.ftmiliter fe babcant in additi 
oneoiminurione?equalitatc.intclligorunc.b.p:inmm.a.fecundum.d.tcrrium.c 
qrtu.fiiptaq5 fiit ad p:imn ? tcrtiu.g.i:b.cque mulriplitia.3teq5 ad feciidii z qr/ 
tum.e.«.f.eque tnultipltcia z quia multiplicia pami z fccnndi que funt.g.c.e.firm' 
liter fe babent multiplicibus tertij z quarti que funt.b.s.f.adinuicem oiminutioe 
«equalitate.eritrJOictaoiffimtionemp:opoHio.b.p:inii.ad.a.fccundum.ficut.c 
tertij ad.d.quartum quod eft p:opofitum.£onftat itaq^ modus argucndi qui oi 
cimr conuerfa p:opo:tionalitas.Gbuius aute quinti libri p:iucipia pfurin lis oif/ 
ficilima efle videntur.t quibufdam condufionibus quaa cy. ipfis ocmonft rat. ma 
gisabinrdlectu oiflantia . Tlibil enim videtur intellcctui imcdiaciusadbcrere. 
q*5 qp ouarnm quarulibet quan titatti cqualium fit ad tcrtinm quclibct vna p:opo: 
tio:q6 tamen bnius quinti fcptima oemonftrat ec oiffinitione incontinuc p:opo: 
tionalitatis que ab tntellectu p:imo vidctur q'5 plurimum effe remota .quia cnim 
nonfaciltusouarumquantitatumcqualtumadalique terttam candem eiTcp:o/ 
portionem conccdat.q5.4.quantitatum fi multiplicia p:ime z tcrtie cqtialitcr fum 
pta multiplicibus fecunde.s quartc equalitcr fumptis fimiliter fe babuerint i ad/ 
ditione oiminutione z equalitate clTc p:opo:rionem p:ime ad fccundam.ftcur tcr 
tie ad quartam. 23erum fi fubtiliter inruemur liquioo conftabit no pofic vtttri in / 
tdlectuiq?p:opo:tioouaruinquantitatumcqu8liumad tertiamfit vna. nifipcr 
quid cft dTc p:opo:tionem vnam.Si euim quis iguo:et quid cft clTc p:opo:tione 
vnamc3ndcmp:opo«ioncmaltcri.quomodo cognofcct ouarum quantitatum 
cqualium cffe eandem p:opo:tionem ad rcrtiam.3ndigct igitur p:ocu!dubio in / 
tdlectus anteq5 iltani que videbatur conccptibilis p:opofitio appicbcndar buius 
rct que pcr ipfius oiffinitioiie babcbtrur cognirione.poftmodum vtrum ea otffi/ 
nitio ouabus quantitatibus cqualibus ad tcrtiam comparatis coucniar perrracta 
tione.qo fi oiffinitio mnciita fucrit illis quariratibus conucntrc concludcrur p:o/ 
pofitum. Sin autcm oppofitum. Tlon eft igirur immcdiata p:opofitio cg fupcr 
ficialis app:ebcnfto immcdiara iudicauit. CSimilitcr quoq^ imcdiacius iudicat 
ptima appbenfio adbcrcre intellcctui g> ouarum quantitatnm incqualium maio: 
eft p:opo:tio maio:is earum ad atiam q'5 mino:is ad candem qua oemonftrar.s. 
buina.q5q6.4.quaritatumfitm3io:p:opo:tio pumcad fccundam q^terriead 
quarram.cum multiplicibusad p:imam z tcrriam cqualtrcr fumptis . ^temq^ 
alijs ad fecunda * quartam z cqualitcr multiplcx p:imc addit fupcr mulripfcjc fc/ 
amde.z mulripkr tcrtie non addit fuper mulriplejc quarte.ejc quo que p:cdicta cft 
p:opofitio ocmonftratur:fcd fimilitcr nec ipfa potcft intclligi nifi pcr quid cft efie 
p:opo:tionemat'o:cm0.3gituropo:ruiteuc!idcmqucquanfiratcsoicuntur p:o 
po:tionaIes:?que inp:opo:tiou3lesoiffinire. •p:opo:tiona!csaurcmfunr qua/ 
rum p:opo:rio vna cft.c 3mp:opo:tionaIcs quaru, p:opo:tioncs oiucrfe. ^taqj 
Diffiuiuit quantitatcs quarum p:opo:tio vna . z cas in qutbus connccrunrur 
ejctrema no oiffociatis medtjs quas vocauit continuc proponionalcs.ct oijcir bac 
£>po:rionalirarc i rrib 9 tcrmis ad min^ertftcrc.^prer boc g> vnu fairc bis furncdu 
e mcdiii.ct eas i quib 9 accidir interruptio medtoy:? bcc fiit icottnuc ;ppo:tioaIcs 
z bec «ppoitioaliras ad minus ejcigtt qtuo: tcrmios .ppter altcri 9 medij fuptioitc 






% oiffiniuit ctiam quantitates quc funt inpiopojttoiiales.cjuarum cft maioj vna 
p:opo2tio qua fit alia.£t fi effet omnis pjopojtio fcita fiue rationalis.tunc facile 
elTct intellcctui cognofcerc quc pjopojtiones effcnt vna i que oiuerfe. G Gdc cnt 
babercnt vnam ocnominationcm cffcnt vna.que autem oiucrfas oiuerfc. bcc au/ 
tcm fadttas inanifdta cft ej arifmctica.quoniam onmium numcrojum pjopo2/ 
tio fcita s rationalis cft.Hudc 3o2damis in fc6o arifmeticc fue oifTinics quc pjo/ 
po2ticncs funt cedcm i quc oiuerfc.oicit cafdem cffc que eande oenomiuatioucm 
rccipiunr.»| laiojcm vero que maiojcm i mmojcm quc minojcm. Scd ifinitc ful 
p2opo2tioncs irrattonales.quarum oenominatio fctbtlis non cft.quarc cum cucli 
des colidcret in boc Iib20 fuo p^opo^tionalia comuniter no contrabcdo ad roua/ 
les vf irronales quoniam cofidcrat p2op02tioncm repcrtam in contiuuis que com 
munis cft ad iftas.Tlon potuit oiffmirc idempritatcm p2opo2tionu per idcptita 
tcm ocnominationu.ficut arifmcticus: eo c$ multaru, p2opo2tionum Vt oiftum e 
foni ocnominationes fimplicitcr isnote.oilfiiiitionc autcm opoitct ficri cy. notis 
vndc malicta ,ppo2tionum irronalium cocgit cudidcm talcs oiffinitiones poncre. 
Qau crgo non potuit vt patet cy p^emiflis oiftinirc p2opojtionalitatcm fiue 
idcmptitatcm p2opo2tionum.pcr idemptitatcm babitudinum.fiuc ocnominatio 
num ipf02um termiii02um p^opter irrationalitatcm babitudinu i in coucnicntia^ 
termino2um coactus cft rcfugcre ad tcnninoy multiplicia. vt q. illo2um babuudi/ 
nibusquantumadcxcelTumf equalitatem confidcratis cquis numcrofitatibns 
fumptoy pcrq6 adnaturamirrationalitatisrcducunturp2opofitam oirTmitio/ 
ne Vcnctur. mbil eniminquocunq^incqualiratisgciicreterminismasiside 03 
coium multiplicia. necterminojum babitudintbus. q, multipltcium babitudo. 
C£t quia pjopojtio cft ouarum quatitatu ciufdcm gcnct is ccrta babitudo.confi/ 
dcrara tn eo cp funt cqualcs aut cp altcra maioi.idco idcmptitas p2opo2tionum 
entium inter p2iinam.4.quantitatumadfecuiidatn i tcrtiam adquartameftfimi 
lis equalitas piimc ad fecundam.? tcrtie ad quartam.aut ftmilis maio2itas. aut fi 
milis mino2itas.bec autem.fimtlis cqualitas.aut fimtlis maio2ttas.aut ftfis mino 
ritas.tunc eft uttcr quatuoj .quafitbet quantitates cum cft intcr omncs ca? cqua 
litcr iiitittipliccs.CQ6 crgo oicit in quinta oiffinitoc. quantitatcs quc oicunf ccV 
tinuam p2opo2tionalitatcmbaberc.tccteraacfioicerct.oinues illas quantita/ 
tcs voco continue p2opo2tiona!cs q6 cft eas fimtlitcr cflc cqualcs con tinue i fimi 
lttcr continucefle inai02es. i ftmtliter continuc effe mtuo2es quarum omnes 
cque multipliccs . aut fibiinuiccm funt . ftmtliter continue cqualcs . vcl fimiliter 
contitiue maiojcs.vcl fimiliter continue miii02cs quod cft etiam ipfas multtpli/ 
ccs cfle cotinuc ,ppo2ti6alc8 qo fi boc alicubi i ml'tiplicib 9 oilTonat cas oico no ee 
cotinue ^>po2tioualcs.GQ6 aute oicit in fejta otrTinitionc.Quatitatcs quc oicuf 
cc fm ^poitionc vnam piima ad fcoam 1 tcrtia ad quartam. 1 cctcra ac fi oiccret 
ocs.4.quatitatcs voco icotinuc p2opo2tionalcs.'i fe baberc p2imam ad fccundam 
ficut tertia fc babet ad quartatqo e p2ima ad fc6am .1 tcrtiam ad quarta fimilif fc 
baberc in cquando aut addcdo aut minucndo.quarum omncs cquc multiplices 
p2tme 1 tertte ad ocscque multipliccs fecude 1 qrtc.umiliter fc babet aut i equado 
aut addedo aut minuedo quod eft etiam multipliccs piime in eadem p2opo2tione 
fc babcrc ad multipltces fecunde.in qua mulriplices tcrtte fe babct ad multipliccs 
quartcquod fi boc alicubi oiffonat in muliiplictbus .oico non effc pzopojtioncm 



■1 



* b 

— i i — 

z e 

— I l — 



J c 



— i t— 



LIBER 

p:ime ad fccfida ficnt ttrtic ad quarta.qo* aute olcit in.s.oiff initionc e ac fi oiccrct 
ma(o:e piopoitioncm voco.4.quatitatu p:imc ad fccunda qua tcnic ad quartam 
quod cft p:ima magis cjcccdcrc fccfida qua tcrtia ejcccdat quarta . quay aliqua et 
mukipluibus p:imc addit fupcr aliquam cjc multiplicibus fccunde:aliqua ejc mul/ 
tiplicibustcrtiefumpta fccundumnumcrationcmultiplicis primc non addcntc 
fup alique qc multipiiabus quarte:fumpta frn numeratione multiphcis fcoe. qci e 
effemaiojep:opo:tioncmultiplicis primcadmultiplicefcoc; qjmultiplicia tcr/ 
tic ad multiplice quarte.CDiffinirioncs aute iftae rtift funt ahqut oemonftrare . 
quoy ametus filius ^okpb tcntauit cas ocmoftrarc in epiftola fua qua oc ,ppo: - 
tione cp:opo:ti6alitatc copofuit.t acccpit tria pcr modu pofitiois tanqj p:inci/ 
pia que oicit effe pcr fc nota 1 .pbatione non indigcre.GQuoy p:imu cl t quod fi 
fucrint.4.quatttates.quay fit p:opo:tio p:ime ad fcoam ficut tcrttc ad quartam. 
erit ecduerfo ,ppo:tio fc6c ad prima ficut quartc ad terriam.t bic cft modus argu' 
endi quc vocauit fuperius euclides conucrfam p:opo:tionalitate.? errauit qritoi - 
jrit ppofitioncm cffe pcr fe nota. cuius antcccdcns ? cofequcs funt ignota. 3§no - 
tum e enim quid fit effe p:opo:tionem p:imc quantitatis ad fccuda ficut tci ttc ad 
quartam.quare boc ignoto pofitolimpoffibile cft intclligcrc quid et ipfo fcquatur 
fimilitcrquoqj q: cofequcs eft ignotum.impoffibile eft intclligcre quid ad ipfam 
anteccdat.CScom principui eius fuit:q> fi fuerint.4.quatitatcs qua? fit p:opo : ■- 
tio p:ime ad fctiam ficut tertic ad quarta.fi p:ima fit maio: fcoa:crit tertia maio: 
quarta.c fi mino: tnino:.? fi equalis equalis.Clertiu tuitlcp fi fuerint.4.quatita - 
tes quarum fit p:opo:tio p:ime ad fccuda ficut tcrtic ad quarra:erit pumrad qo/ 
libct multiplcjc fecundc:ficut tcrtic ad cquc multiplex cx multiplictbus qiurtc:c ac 
cidit fibiin iftis ouobus piincipijs idem peccatumqb accidebat m p:imo.Bcccpit 
entm i oibus ignota fimifrtaq, nota:quarc non ocmonftrauir jpcccauit ctia m fe/ 
tunda oemoftrarione ? m tcrtia ? in quinta.i quaru qualibet arguit cr.s.vf et 10. 
buius/que p:obantur ct oiff initione iiuontinue ,ppo:tioiialitatis : arguit cni fic 
fi p:opo:tio a\b.ad.e.eft maio: cjp .g.ad.d.fit crgo .v.b.ptis.a.b.ad.e.ficut .g. 
ad.d.pcr qo apparet ipfum fupponerc qp otiar quatitatu.a.b.i.u. b.in equaliu; 
rdatarum ad.e.maio: msio:ctn ? mino: mino:cm ad ipfa optinct p:opo:tionein 
rd rp quatitas ad.e. babcbit minorcm p:opo:tionc cfe babcat. a.b.crit mino:.a 
b.quo:um p:imum ocmonftrat.S-buius.s fcom.io lla cu vultis fumere quatitate 
que fe babeat ad.e.in p:opo:tione.g.ad.d.cabo tibi maio:cm aut mino:em aut 
equalem.a .b.indiffcrcntcr ficut volucro.quare aute non oanonftrat/aut accidit u> 
bi circulus ? p:incipia effe ignorio:» conclufionibus.Supponeda fun t igit cu cu/ 
dide pnncipia tanq5 nota.? iioti ipfa c% conclufionibus.fed condufiones et ipfis 
oemonftrandefunt. 

1fo:opofttio .i. 
5 faerint qucjlibet quantitates altay totidem equc multt/ 
pltces: aut lingule ftngulis equales necefTec quemadmo^ 
outn vna illarum ad fui coparcm .totum quoq^ ejc bie ag / 
gregatum ad omncs iilas pantcr acceptas 1 1 tii iltter lc ba 
bere. 

CSit quothbct quatitates.quc fint.a. b.c. aliartim totidem quc fint.d.c.f. eque 
multipiiccs vnaqucq^ ad fui copare.aut fmgule fint fmgulis cquales.ita videlicet 





V 

q> fiajt.a.cmftiple^.d.ita.b.emultipl^.c.j.c.mrttplcx.f.vffi.a.c eqlis.d.qj fitft 
b.fit «qlc.ci.ceqlis.f.oico $> ficut fe babsja.ad.d.ita fc babct aggregatu cr om/ 
nibus quc funt.a.b.c.ad aggrcgatum ejc omnibus que funt d.cf.CQb fi fingule 
fingulisfintequalcspatetpjopofitiiperbanc comunefciam: fi equalib°cqualia 
addanf tota quoq, erunt equalia.Si autc fint omncs fuis coparibus eque multi/ 
pliccs oiuifis cis i m quantitatc fuay fubmultipliciu:crit aggrcgatu c% pjima gte. 
a.T.prima.b.? pjima.c.cquale aggregato ejc.d.c.f.rj pjcdicta comune^ fciam ad/ 
tuuante bac:quc cidcm funt cqualia inter fe funt cqualia . CSimilitcr quoqj ag/ 
gregatu c% fccudisgtibus quantitatum.a.b.c.erit cqualc aggrcgato ex.cLc.f.ficq^ 
oc cetcris:? qj boc potcrit toticns fieri quoticns. d.continef in.a. erit vt eqle ag/ 
gregatu c^.d.c.f.totics ptineaf i aggrcgato cr.a.b.cquotics.d.continct i.a.qj g 
quoties.d.numcrat.3.totics aggregatii ccd.cf.numcracaggregatu eca.b.cpa 
tet cp ficut.a.cft multiplexad.d. ita aggregatu cca.b.caggregatiej:.d.e.f. quod 
cpjopofitum. ']|[b:opofitio .2. 

3f fijerirtt fejt quantitates.qua? p:ima ad fctfam arq^ ter / 
tia ad qaarta eque multiplicee:quinta vero ad fecundam 
arq^ lerta ad quarta eque multiplices:totum p:imc 1 qutn - 
te ad lcdam : totumqj tertie 1 fejrte ad quartam eque multi - 
^, plicta efTeconueniet. 
CSint fej: quantitates.a.pjima.b.fecunda.ctertia.d.quarta.c. quinta.f. fejrta. 
Sitqj .a.c.ccque multiplices ad.b.c.d.itecg.cj.f. fint cquemltiplices ad cafde 
oico q> ficut totu aggregatu eca.c.e.e multiplej: ad quatitate. b. ita totu aggre/ 
gatu ejc.ccf.cft multiplcx ad quantitate.d.Tlam qj numcrus fm que.b.continef 
in.a.eft equalis numero 3m que.d.continctur in.c.Similiter quoqj numaus ftn 
qucb.continef in .c.cft equalis numero im que.d.con tinef ih .f.crit per comunej 
fcia^ quc cft: fi equalibus equalia tddanf 1 cetcra.numerus frn que.b.contiiietur 
in aggrcgato eca.c.e.equalis numcro ftn que.d.continef in aggregato er.c iS. 
quare ficut aggregatii cr.a.c.ccft multipler ad.b.ita aggrcgatu eccc.f.e multi/ 
p ler ad.d .quod eft pjopofitum. 1{b:opofitio .?. 

' ] ^ruertntpiimumfecundt-ztertin^quarti equcmultipli/ 
cia:ad p:imutn vero 1 tertium multipltcee fumantur equa - 
les erunt-.multiplej: p:imi ad fecudfl atq, multiplej; tertij 
j ad qnartum eque multipltcia. 

JjCSit fcrqntitates.a.pjima.b.fectida.ctertia.d. quarta.e.quita. 

f.fcjrta. Sitqj.a.ad.b.c.c.ad.d. itc'q5.e.ad.a.?.f.ad.ceq mftiplices.oico q> ficut 
ccft mulrtplcr ad.b.ita.f.ad.d.oiuidaf enim.e.Pm quantitatca.fuifmultiplicis. 
«.f.frn quantitate.c.eritq) #pter cquatitatc partiu.e.ad.a.s partiui.ad.c vt qli- 
bct prtu.e.fit iia multiplcr ad.b.ficut quclibct gtiu.f .ad.d.Ouia ergo ftcut pjima 
gs.c.e multiplcr ad.b.ita pjima ps .f .e multipler ad.d.3teq5 ficut fcoa pars.e.e 
mftipler ad.b.ita fccuda.f.ad.d.crgo crit per pjemiffa aggrcgatu er ouabus pii' 
mis ptibus.e.ita multipler ad.b.ficut aggregatu cx ouab 9 pmis ptib°.f. ad.dft qi 
rurfus tertia ps.c(fi fit aliq tcrtia ps)e ita mttiplejc.ad.b.ficut tertia.f.ad.d.erit t> 
eade ut totu aggregatu ejc tribus pjimis partibus.e.fit ita multiplcj: ad.b.ficut to <• 
tum aggrcgatum ej; tribus pjimis partibus.f.ad.d. CSicqj fi plurcs fuaint par - 
rcs.cj.f.componendo fcmper fequentem cum aggrcgato ejc pjio:ibus condudcg 




-i h 



-l 1— 



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72 




».* frtHwi 




LIBER 

cp ficut.e.cft multiplcjc ad.b.ita.f.ad.d.pcr p:emiffam totiens fumpta: quot fnc 
ritit partcs in.c.aut in.f.minns vna-.ficcp patct pwpofitnm. 

"flb:opofitio .4. 

% faerit piopoztio p:imi ad fecundum ficut tertii adquar >■ 
tum: ad p:imum aute^et tertium equc multipucta afligne " 
mr.^temq-iadfecundumet quartum multipliccseqna/ 
les erunt aflisnate multiplices eodem o:dine p:opo:tio/ 
nales. 

GSit p:opo:tio.a.p:iini ad.b.fccudu.ficut.c.tcrtij ad.d.quartum. Sumantqj.e 
ad.a.c.f.ad.c.eqne multiplicia.3tcq5.g.ad.b.«.b.ad.d.eqnc multiplicia Joico cp 
( ppo:tio.c.ad.g.cftficut.f.ad.b.Sumam.k.ad.c.'Z.l.ad.f.cqucmultipIicia.itcq5 
m.ad.g.cn.ad.b.equcmultiplicia:cquia.e.?.f.funtcque multiplicia ad.a. t.u 
itcmcp.k.c.l.equcmultipliciaad x.i.f .cruntpcr p%miffam.k.e. l.eque multi/ 
pticia ad.a.l.c.per candcm quocrj erunt.m.cn.eque multiplicia ad.b.t.d. qua/ 
re pcr conuerfionc oiffinitionis iucontinuc p:opo:tionahtatis.k;ad.m.?.l. ad.n. 
fimihtcr fe babebunt in addcndo oiminuendo 1 cquando:q: ergo.k. i.l fut cquc 
multiplicia ad.e.s.f.itemq^.m.cu.eque mnltiplicia ad.g.s.b.erit per oiffinitio/ 
ne incontinuc .ppouionalitafe ,ppo:tio.e.9d.g .ficut.f.ad.b.qS eft pwpofitum; 

1fb:opofttio .y. 

3f faerint tme quantirates quarnmvnafit parsalterius/ 
minuaturqjab vtraq> ipfarum ipfa pars/erit reliquum rc 
liqtio atq? totnm toti cque multtplej;. 
GZtel fic fi aliquota crit rcliquu rcliqui tota r» quota totii roti 9 .Sit 
_ qntitas.a.b.tota gsquamitatis.c.d.quota.e.b.ipfius.a.b.minua/ 
tnrq3.a.b. qcquantitate .c.d.-efit rcfiduum.f.c .eritqj. f.d.cquatis.a.b .Simili/ 
tcr quoqj minuatur.e.b.et quantitate.a.b.fitq^ rcfiduum e.a.oico q> quota pars 
eft quantitas.a.b.quantitatis.c.d.tota cft quantitas.a.cqnantitatis.c.f^oi eni 
f.d.fit equalis.a.b.erit.f.d.ita multiplex.e.b.ficut.c.d.cft multiplcc .a.b/ponam 
itaq5.d.g.ita multipliccm.a.e.ficut .f.d. cft multiplejc.e.b. eritq3 er p:ima buins 
quantitas.f. g.ita multiplg:. a.b.ficut.f.d .eft multiplejc. e.b. 1 qnia fic fuit. c.d. 
multiplCTC.a.b.ficut.f.d.fuit multipler.e.b .crit vtraq^ onarum quantitatu.c. d.f. 
g.equc multiplg: quantitatis.a.b.quare pcr cotnunem fcientiam.c A.i .f.g. fnnt 
cqnalcs adinuiccm: ocmpta igitur ab vtraq; carum quantitatc.f.d.erit.c.f. cqua/ 
fis.d.g.-r quia.d.g.fuir ita multiplcx.a.e.ficnt.f.d.e.b.« ideo ficut.a.b.c.b.quarc 
«ficut.c.d.a.b.erit.c.f.itamultiple]C.a.e.ficuttot3.c.d.totui8.3.b.qi5cftp:opo/ 
fitnm. 

1{b:opofitio .6. 
3f faenntouequantitates ad aliasouas eque multipli/ 
ce8:0ueq5mino:e60uabusmaio:ibus vtraqjafua mul 
tiplice fubtrabantur:erunt ouo reliqua earundc parttunt 
eqae m ultipliaa.aut eis equalia. 





C6iiJtquantft8tes.8.b.9(J.c.?.d.e.ad.f.eqacntnltipliccs:rubtrab9ntDrq5.c.e]c 
a.b.^f.ex.d.e.cfihtrefidaarqca.b.quide.a.g.e^.d.e.d.b.CTitqj.g.b.equaiis.c. 
s.b.cequalis.f.oico cp ouo reftdua.a.g.«.d.b. erunt equalia ouabus qoantitatt 
bus.ccf.aut eis eque multipIicla.Sit ergo piimo.a.g.cqualis.coico cp .d.b.cft 
equalis.f.5umam atim quanritatem.e.k.equalein.f.critq5 per pjemiffas fpotbe 
fes vt tociens.f.fit in.b.k.quoticns.c.in.a.b. quare ficut.9.b.cft mnltiplejc.cita 
b.k.eft multtplejc.f.fcd fic erat etiam.d.e.erat multiplejc eiufdem .f.erit igitur per 
coem fcientiam.b.k.equalis .d.e. oempta igitur comuni carum quantitatcb.e. 
erit.d.b.equalis.e.k.quare cqualis.f.quod eft piopofitil.GSi autcm.a.g. fit mul 
tiplcccponam vt.e.k.fit eque multiplqcf.eritqj Vt piius vt tocietis.f.fit in.b.k 
quotiens.cin.a.b.Sed toctens crat etiam in.o.e.crit igitur vt piius.d.e.equali8 
b.k.c.d.b.c.k.quare ficut.a.g.eft multiplcx.cita.o.b.eft multiplejc.f.o,» eft pio/ 
pofitnm. aiiter idem cum m eundcm numerom contineat quantitas.a.b.quanti 
tatem.c&n cp quantitas.d.e.quantitate.f.oemptaqj ab eo vnitate rcmaneat vni 
tas vcl numerus fecundum cp.a.g.contjnet.cs ftn <jp.d.b.conrinct.f.p9tet quan 
titatcs.a. g.i.d.b .elTc equalcs aut eque multiplices quantitatibus.c?.f, 

Ilbjopolitio .7. 

2J6aequantitateseqnalesadquamhbetcoparenturea;|r 
ad illarn erit vna p*opo:tio -.itemq^ ad illas,ppo:tio illi 9 
vnaeft. 

GSint ouc quantitates.a.b.cquales.quc comparentur ad quamli/ 
— Ibct terria, vt ad.coico cp eadem eft piopoitio.a.ad.ccb.ad.cite 
q5 eadem.cad.a.'ccad.b.'i>iimum fic piobatur.-cum cnim.cfit cofequens ad.a 
piimam « ad.b.tcrtiam ipfa erit in ratione fecunde i quartcSuma igitur.d.ad.a 
piimamiccad.b.tcrriam eque multipliccs: i fumam.f.quamlibet ejc multiplici/ 
bus.c.que cft fecunda i quarta:c quta.a.c.b.quaru funt cque multipliccs A.i.c. 
pofite fnnt equales crir: vt fi.d, oiuidatur frn quantitatcm .a.i.c .fccundiT quanti/ 
tatem.b.cppartcs vtrobiq^fintnumerosqnritatecquales: numeroquidam pcr 
fpotbefim,pptcr equalitatemmultiplicationis vtrobiqj :quantitareaurepcrbae 
eoem fcicnriam quotiens opoiruerit repetitam: que cidcm ftlt equalia fibiinuicem 
funt equaliarquia igitur pjima e% partibus.d.cft cqualis pjimc cx partibus.e. i fe - 
eonda:fecnndc:«eterc cetcris.Suntq^ tot partes in.d.quot funt in.e.erit per pii- 
mam buius.d.equalis.e.quare per coem fcientiam: fi ouc quatitarcs cqualcs co / 
parenrur ad aliam tertiam:aut ambe quantitares.d.7.c:funt fimiliter maiojes.f. 
aut fimiliter minojes:sut ftbi equales:igitar ejc oiffinirione inconrinue p jopojrio - 
nalitatis-.que cft piopoirio.a.pjime ad.c.fcomdaimcadc cft.b.rerrie ad.c.quarta 
qo eft ptopofitum.GSecundum eode modo pjobabis ojdine c6uerfo:vt.cpona' 
tur piima i tertia.a.Vero fecunda .b, quarta .£um vero quanritas.f.que cft eque 
mftipler pjime i tertte fit aut fimiliter maioj quarttatibus .d.s.e.quc ffjt eque tnf- 
tiplices fccunde i quarte:aut fimiliter minoi aut cie equalts.erit pcr eandem oiffv 
nitionempiopojtio.c piimc8d.9.fecunda :ficat.ctcrtiead.b. quartamquodcft 
piopofitttmfccundam. 





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LIBER 

1fb:opofirio .*. 

j % one quantitates inequales ad vna qnantitatem p:opo: 
] rioneritur.maio: qnidetn maio:em : mino: vero mino:em 
optinebit pwpottionej: illius vero ad illas ad mino:em 
vero p:opo:tio maio: ad maio:em vero mino: erit. 
GSint ouc quantitatcs inequales.a.c.b.c. fitqj niaio: .b.c. « p:o/ 
poriionentur ad candcm qnantttatcm qnc fit.d.oico c£maio: cft propo:tio. b.c 
ad.d.ci5.8.ad.d.?95CContrariomaio:cft.d.ad.a.C|5.d.ad.b.c. , p>nmufJcpx)/ 
batur:ponam.cb.equalcm.a.t multiplicabo toticns.c.c.cp p:oucniat quantitas 
maio:.d.fitq5.f.g.«uimam.k.f.itamultipIicem.b.e.«fimilitcr.b.ita multiplicc 
a.ficut.f.g.eft multiplci.c.c.critq5 pcr primam buius. b.ita multipler .a.ficnt.k. 
$.eft multiplej:.b.c/erit etiam.b.cqualis.k.f.pjoptcr boc cj carum fubmultiplices 
<\ac funt.a.cb.cpofite fant equalesfponam quap ap.b.no fit mino:.d. fcd equa^ 
lis:aut maior.totiens enim multiplicabo vnaquccg trmm quantitatum.cc.b.e.c 
a.equaIiter:cp.f.g.multipIej:.e.c.pjouen'at maio:.d.c cp.b.multipleca-no p:ouc 
niat mino: eadcm: oeinde totiens multiplicabo.d.quocl p:oueniat quantitas ma - 
io:.b.fitq5.m.p:ima quatitasmultiplicm.d.q fit maio:.b. Sub qua fuma majj/ 
mam muttiplicem.d.aut fibi equalem :fi. m.cft prima in o:dinc multiplicium .d. 
que fit.l.critq5 ut.I.non fit maioj.b.? conftabit.m.ej:.d.'?.l. p:optcr id qt> onine 
multiplej: conftat e% p:orimo p:ecedcnti multiplici i fimplo: vt triplum q. oupio: 
i fimplo.eaepto p:imo multiplici quod conftat ejc bis fimpIo.G £2uia ergo.b.e 
tqualis.k.f.non ait.k.f.mino:.l.itaq5.k.f .l.d.no cfticient minus cfe.l. t~&. qua 
re non efficient minus q^.m.i quia.f.g.cft maio:.d.erit.k.g.maioj q^.m. Gjjn/ 
celligo igiturquantitatem.b.c.primam.d.faundam.a. tmiam.d. quartam: zqi 
sd p:imam % tcrtiam fumpta funt equemultiplicia videlicet. k.g. l.\o. Simtlita 
quoqjadfaundamcquartamequemultipliciaammoidemiu ratione ououtqd 
«ft.m.c addit.k.g.multiplej: prime fupa.m.mulriplej: fecunde: non addit autem 
b.multfplej: tcrtie fuper.m.multiplejc quartc:erit per oifftnitioncm maioris im,p/ 
pojtionalitatis maio: pjopo:tio.b.c.p:ime ad.d.fccunda q^.a.tcrtie ad.d. quar/ 
tam q0° eft primum. GSecundu p:obabis per candcm oiffinitioncm conueiifo 6: 
dine: vt.d.fit p:ima 1 tcrtia.a.faunda.b.c.quarta:addit cuim .m.multiplcic pri/ 
me fuper.b.multip!icem fecundcTlon addit autem.m.mnltiplcjc tcrtie fuper.k.g. 
multiplicem quarte:quare maioi eft propojtio.d.ad.a.cfc.d.ad.b .c. quod eft fc/ 
ojndum.Gf jc buius autem oemonftrationis modo patct fufficientia oiffinif io/ 
riismaioris imp:opo:tionalitatis: q*5 pofuit aucto: in principio buius quinti. 
Tlufqua cnim cft maio: p:opo:tio prime quatuo: quantitatum ad fecudam q'3 ter 
tieadquartam.qniucontingataliquaequemultiplicia adprimamz tcrtiamre/ 
periri:que cum rdata facrint ad aliqua eque multiplicia fccunde 1 quarte: ifiuenie 
turmultiplexprimeaddcrefupermultiplcj: faundcTlonautemmuItiplcj: tcrtic 
fupcr muitipicx quartcbec autcm multiplicia fic repaicmus :ficut oemonftrabi/ 
musinfra fapja,u.buiu0. 



1r>:opofifto .9. 





! 3f fiicritaliquaxqnantitatum ad vnam qnantitatem pw 
po:rio : vna ipfas eflfe eqles. £>i vero vnuw ad eas p:o / 
po:tto\>na tpfas equales elTc necdle eft. 
GSit ouarum quantitatum.a.?.b.p:opo:tio vna ad.coico cas ce 
cquales.c fi ccoucrfo fucrit cadcm p:opo:rio.c .ad vtraq; earu:ad/ 
buc oico eas clTe cquales .bcc cft conuerfa .7. ■p:imum ftc patct.fi enim non funt 
cqua!es:fcd altera carum maio:: vtpote.a.erit per pjimam parte.p:emiffc maioj 
pjopojtio.a.ad.cqj.b.ad.c.quod eft contra fpotbe. Secundum quocp patct: qj 
fi.a.c(troat02.b.critperfccundamp3rtcmp:emiffe maio: p:opo:tto.c.ad.b. CJ5 
ad.a.quod eft ctiam contra ypotbefim. 

1|b:opofitio .10. 

3f fiierit Vni^ad quarttate vna aliqua ,ppo:tio maio: qua- 

titatem maio:em elfc. 2>i vero vmus ad candcj p:opo:/ 

tio mato: mino:em cfle nccclfc cfr. 

CQb (i fucrit maio: pwpoitio.a.ad.c.cfe.b.ad.ceico.a.cffc maio 

rem.b.? fi fuerit maioj.c.ad.b.q^.c.ad.a.adbuc oico.a.clTc maio:c 

b.bcc eft conucrfa. s.^imum parct pcr p:imam partem.7 .1 per p:imam . s.nam 
per p:imam partem fcptimcnon erit.a.cqualis.b.ncc ctiam mino: pcr p:tmam 
octaue.Secundum vero pa:et c% fccundis partibus earundcm. 

I 

1fb:opofttio .n. 1 
3f fucrint quantitatum p:opo:t(ones alicni Vni eqnales 
ipfas quoq5 # ppo:tiones ftbi inuice equales ee neccfle e. 
I (Lpjopottioncmbacquaeudidesm pjinapio p:imi annumerauit 
tntcr comunes animt conccptiones:que eidc funt cqualia fibi quo / 
_| cpfuntequalia :$ utte quantitatibus intdtigiturbic oemonftrat 
p:out p:opo:tionibus accomodatur.Sit crgo vtraq^ ouarum p:opo:tionnm que 
funt.a.ad.b.c.c.ad.d.equalisp:opo:tioni queeft.c.ad.f.oico p:opo:tiones que 
funt.a.ad.b.c.cad.d.fibiinuicemeffeequalcs.Sumamcnim.g.ad.a.c.b.ad.c. 
s.k.ad.c.eque multipliccs. 3temq5.l .ad.b .z.m. ad.d.c.n.ad.f. cque multipli/ 
tcs:z quia per fpotbefim pjopojtio.c.ad.f.eft ficut.a.sd.b.cumiliter ficut.c ad 
d.erit per conuerfioncm oifTinitioms incontinue p:opo:tiona!itatis bis fumpta 
fi.k.additfupcr.n.cp.g.additfupcr.l.c.b.fuper.m.tfi.k.minuitab.n.cp.g.mi/ 
nuat ab.l.c.b.ab.m.c fi.k.cft equalie.n.qtf.g.fit cqualis.l.i.b. equalis. m. quia 
igitur.g.ad.U.b.ad.m.fimilttcr fc babcnt in addendo oiminuendo z cquando. 
mcdiantibus.k.s.n.erit per oifTinitionem incontinue p:opo:tionalitatis.3 .ad.b 
ficut.c.3d.d.quod eft p:opofitum. 

1fc>:opofitio .12. 

% fucrit p:opo:tio pnmt ad fecnndnm ficut tertij ad quar 
tum. tertij vero ad quartnm mato: q5 quinti ad fejctu erit 
p:opo:tio p:imi ad fccundum maio: q> quiuti ad fejctum. 
GSicutinpiecedeticpbicoemonfTrat inp:opo:tionalibus conce/ 
ptibile eft in qntitatibus: viddj cg fi ouc qntitatcs fuerit fibi inuice 

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LIBER 

cqlcs qoaeunqj fuait vna ca:/ maio? eade maioj crit c rdiqua. G3n p:opo:rioni 
bu3 tarucnboccemon(tratur:vtfifit ( ppo:tio.a.ad.b.ficut.c.ad.ci.c.Vcroad.d. 
fitm3io:q5.c.ad.f.eritquoq3.a.ad.b.maio:c)5.e.ad.f.Sumacnim.g.ad.a.'Z.b. 
ad.c.c.k.ad.c.equc multiplices.^tcmcp.l.ad.b.c.m.ad.d.^.n.ad. f.equc multi/ 
pliccsts quia pcr yporbcfim pjopo:tio.c.ad.d.eft ficut.a.ad.b.-nnaioj q^.c.ad.f 
crtt pcr conuerfioncm oirTinirionis incontinuc p:opo:tionalitatie fi .b. addit fug 
m.i .g.addat fuper .1.* per conucrfionem oifTinitionis maiojis imp:opo:tiona/ 
litatis q> non fit ncccffck.addcre fupcr.n.quia igitur mediantibus.b.f . m.fi.g. 
addit fupcr.l.no cft necclTc.k.addere fuper.n.erit per oirTinitionem maio:is im/ 
p:opo:tionalitatis maio: p:opo:tio.a.ad.b.q5.e.ad.f.quod cft piopofim.GSi/ 
mili quocp modo .pbabis q> fi fit.a.ad.b.ficut.c.ad.d.cc.ad.d.mino: q5.cad.fi 
crit.a.ad.b.minojq5.c.ad.f.cumenimfit.c.ad.d. minoiq^ .e.ad. f.erit.c. ad.f. 
maio: qj.c ad.d.pa conuafioncm igitur oirTinitionis maio:is impiopoitionali 
tatis.fi.k.addit fuper.n.non cft necclTc cp.b.addat fupa. m. fed fi.b. non addit 
fupa.m.g.non addit fuper.l.ergo ft.k.addit fupa.n.non eft ncceflc vt.g .addat 
fupa.t .per oirTmitione igitur maious impiopojtionahtatis maio: ait piopoitio 
e.ad.f.q^.a.ad.b.ago econucrfo:minoj erit.a.ad.b.q^.c.ad.f.quod c .ppofitum 
C£ % modo autem oemoftratidis octauc but 9 1 bac:ftct manifcftu q> fi fucrit p ji/ 
mc quatuoj qnantitatum ad fccunda maioj p:opo2tio 6)5 tertie ad quartam cotin / 
get rcpaire aliqua equc mulriplicia piime 1 terticque cu coparabuntur ad aliq cq 
multiplicia fecudc 1 quartc inucnietur multiplq: pjime addere fug multiplejc fcoc 
non autem mulriplej: tatie fuper multiplej: quarte:qb fic patctiSit ern^ maioj p jo 
pojtio.a.b.ad.c.q^.d.ad.cponam ergo vt fit pjopojtio.a.f. ad.c. ficut.d. ad.c 
critq^ pa banc 12.? pcr.io.a.f.minoi.a.b.t ftt mino: in quantitatcf.b. qua mul 
tiphcabo totiens q> pjoucuiat quatitas maioj.c.quc fit.g.b.bac conditionc vr.d 
totiens multiplicata pjoducat quantitate non mtnojem.e .que fit.k .tunc ponam 
Tt.I-s.fit ita mulriplcj:.a.f.ficut.g.b.eft multiplejc.f.b.aur.k.d.eritq^ perpjimam 
buius.l.b.itamulttplcx.a.b.ficut.k.d.Dcindeponamcp.m fitpjima quantitas 
multiplcj:.e.que fit maioi.k.c ponam.n.ita mnltiplicem.c.ficut. m. cft multiplejc 
e.aitq^ pa pjemilTas fpotbefcs 1 conuafionem oirTinitionis incontinue piopoi 
tionalitatis quantitas.n .pjima multiplicium.c .que erit maioj .l.g. ncc ctit .l.g. 
minoj.c. Sumam ago fub.n.majami multipliciu.c.aut fibt equalcm ft fojfan.n. 
fit piima multiplicium cius quc ftt .o.conftabirq^.n.cx.o.f.c.quta crgo. l.g. non 
cftmitioj.o.cg.b.cftmaio:.c.crit.l.b.maio:.n.quarccum.k.fitmino:.m.patet 
piopofitum.G£onuafam quoq^ buius oemonftrarc poflumus. vidclicet q> (i co 
tingit rcperirc aliqua equc multiplicia pjime % tcrric:qua:um mulripleic pjime ad/ 
dat fupcr aliquod multiplejc fccudci mulriplcr tcrric non addat fuper muiriplejc 
qii3ttc:maio j crit pjopojtio pjimc ad fecundam q'5 tcrtic ad quartam: q5 fic pjo / 
batnr.Sintquatuojquatitates.a.pJima.b.fecunda.c.d.tcrtia.e.quarta.ftntq5.f. 
ad.a.t.g.ad.c.d.cquc muItiplicia.Stmilitcr.b.ad.b.c.k.ad. e.eque multiplicta. 
1 addat.f.fupa.b.non addat autcm.g.fupa.k.oico q> maioj eft pjopojtio.a.ad 
b.q*5.e.d.ad.e.Si cnij equalis per conucrftonem ormnirionis incontinuc piopoi 
ttonalitatis addct.g.fupcr.k.qdeft contra fpotbc Siauteminoi fit.c.l. ad.c 
ficut.a, ad.b.critq^ pcr buius. 10.cl.min02.cd.? fit minoj t qnatitatcl.d. pona 
igitur vt.m.n.ftt tra multipleccl. %. n.p. multiplcjc.l .d. ficut f. eft mulriplcx.a. 



V 




critq5 pcr pjfma buius.m.p.fta niultipkjc.c.d.ficut.f.cfl multiplcca.vtraq^ igic 
ouar quaiititatnm.m.p.^.g.cfi: equc multiplcxquantitatis.cd.ago ipfc fiit ccj / 
lcs. tlam bcc illatio ocmoftrata eft in.7.bmus :z quia.g.non cft maio:.k.n6 erit 
m.p.maio: eadcm.fcd pcr conuerfionc oiffinitionis incotinue ,ppo:tjonalitati9 
m.n.eft maio:.k.co cp.f.eft maio:.b.crgo.m.n.cft maioj.m.p.qo' eft impoflibile 
quarc rcunquirur pjopofitum. 

1(b:opofitio -ij. 
3jf faerint quotlibct qaantttatii ad totidem aliasp:opo:/ 
tio Vna erit quoqs qae p:opo:tio vnius ad Vnam . eadem 
pzoponio barum o/nntuj paritcr acceptaram ad omnes 
illaspariteracceptas. 

JCQ6 p:imo pjopofuit oe mnltfplicib 9 :bic pioponit oeomnib'p:o/ 
po:tionibus:Vn bcc cft comuuioi illaxo cp omnis muttiplicitas eft piopojtiomo 
autcj cconucrfo.Sit igitnr.a.ad.b.i.cad.d.«.e.ad.f. vna piopoitto :oico cp que 
eftpjopojtio.a.ad.b.eadcm cft copofiti cca.ce.adcopofitii qc.b.d.f. Suma.g 
ad.a.T.b.ad.c.c.ft.ad.c.cqucmultiplicia.^tcmqj.l.ad.b.^.m.ad.d.^.n.ad.f.eq 
multiplicia:critq5 per piima buius copofitum cx.g.b.k. ita multiplqc copofiti cjc 
a.c.e.ficut.g.cft multip!ex.a.Similiter pcr cande copofitum ex.l.m.n.erit ita mul 
tiplcjc copofiti cr.b.d.f .ficut.l.e mltiplcx.b.c r> couerfione oiffmitionis incotinuc 
.ppoKioualitatis.bis fupta fi.g.addit fup .l.b.addit fup_.m.«.k.fuper.n. z fi mi/ 
nuit minuit : c fi cquat cquat:ergo pcr comunc^ fcicntiam fi.g.addir fup.l. com/ 
pofitu er.g.b.k.addit fupcr compofitum c%.l.m.n.z fi minuit minuit :z fi cquat 
cquat:crgoper oimnitioncm incontinuep:opo:tionalitatis p:opo:tio.a .ad.b.c 
ficut copofiri cj:.a.ce.ad compofitfi er.b.d.f.quod cft piopofitu. 

IJbiopofitio .14. 

Jr^^^^fuerintqnatuoj quantitates p:op02tionalcs .fueritqj 
'bh( isis& maiojpjinmcrria.necefleeftfecunda.quarta efTemaio/ 
rem. £16 ii mino: 1 mino:e.£>i vero equalis 1 equale ee. 




GSit piopo:tio.a.ad.b.ficut.cad.d.oico cp fi.a.cft maioi.c.b.crit 
maioj.d.t fi mino: mino:.? (i equalis cqualis.Si enim.a.fit maioi 
c.erit pcr p:ima parre.S. buius maio: p:opo:tio.a.ad.d.qJ5.c .ad.d. quare maio: 
crit.a.ad.d.q5 ad.b.ergo pcrfecuda parte.io.puius.b.erit maio:.d.q6 epiopo/ 
fitum.Oo fi.a.fit minoi.ccrit pcr piima gre.s.mino: p:opo:tio.a.ad.d.q5.cad 
d.quarc maio: crit.a.ad.b.q^ ad.d»perj fccuda ergo ptem. io.b.erit minoi.d. Si 
autcm.a.fit cqualis.cerit per pjima partem.7.a.ad.d.ficnt.cad.d.quarc.a.ad.d 
ficut ad.b.ttaq5 pcr fccuda p.tc: 9 .b.crit cqualis.d.ficq^ patct p:opofuum. 
Ifbzopofttio .iy. 
j3f fuerinraliquibusquantitatibuseqne mnltipliccs affi/ 
1 gnate.erit iplarnm mnltipliciu atqs wb multiplicium vna 
'ipzopoitio. 

iGSint.cad.a.c.d.ad.b.equemnltiplicesioico cp qneepjopoitio 
■ja.ad.b.eadc eft.cad.d.oinidat.cJm qnatitate.a.c.d.fin quatitate 
b.c.fiirqj tot partes.cquot.d.? quia qudibet pars.cad q^fibct partcm.d.fe ba/ 
bctlicut.a.ad.b.critper.i}.buius.c.ad.d.fiait.a.ad.b.q6,eftpjopofitum. 




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LIBER 

llbiOpofitio .i«. 
^fueritquamoz quantttates p:opo:tionales. pmutatim 
quoq? p:opo:tionales ermtt. 

CSitpjopomo.a.ad.b.ficut.c.ad.d.oico cperit.a.ad.c.ficut.b.ad 
d.i iftc eft modus arguedi qui oicir ^ppoitionalitas pcrmutata. cu/ 
ius oemonftratto fic pat> Suma.e.ad.a.c.f.ad.b.eque multipliccs 
itemq^.g.ad.cj.b.ad.d.equc multiplicesjcritq, per pjemilTam.e.9d,f.ftcut.g.ad 
b.quarc g. n.fi.e.addit fupia.g.i.f.addit fupcr .b. i fi minnit minuit: i fi cquat 
equat:per oiffinitione igitur iucontinue p:opojtionalitatis erit.a.ad.c.ucut.b.ad 
d.quod eft piopofitu.TlecefTc cft aut vt in gmutata pwpoaionalttate fint omnes 
quatuoj quantitatcs ciufdem gcneris. 

1fjb:opofitt'o .v. 

^raerintquanritatesconiunctim p:opo:tionales: eafde 

oifiunctim quoq-, p:opo:tionales efle. 

CDcmonftrato modo argucndi qut oicitur p:opo:tiona!itas pnm/ 

tata-.ocmonftrat illu qui oicic p:opo:tionalitas oifiuncta.Sit itaq^ 

.ppojtio ,a.b.ad.b.c.ficut.d.e.ad.e.f. oico cp erit.a.c.ad.c.b.ficur 
d.f.ad.f.e.Sumacnim.g.b.ad.a.cj.b.k.ad.c.b.itcmq^.l.m.ad.d.f.i.m.n.ad 
f .e.eque muitiplicesieritq, pcr p:imam buius.g.k.ita multiplejca.b.ficut.g.b.cft 
mulriplex.a.c.c.l.n.ita multiplcr.d.c.ficut.l.m.eft multiplejc .d.f. i idco pcr p:e/ 
miffasypotbefes.g.k.ciitamrtiplcx.a.b.ficntcft.l.n.d.e.ponaiteru.k.p.ad.c.b. 
c.n.q.ad.f.c.cque multipliccs-.cruntqj pcr fecunda.b.p.ad.c.b.^.m.q.ad.f.e.eq 
multipliccs per conucrfione igitur oilfinitionis incontinue p:opo:tionalitatis. fi 
g.k.addit fupcr.b .p.l.n .addit fug.m.q.? fi minuit minuit:« fi cquat equat.ocm 
ptis itacp comunibus.b.k.-r.m.n.erit pcr comunem fcicntiam:vt fi.g.b.addit fu 
per.k.p.cp.l.m.addit fuper.n.q.c fi minuit minuit:? fi equat (eqnat. ergo p oiffi 
nitionem incontinuc p:opo:tionalitatis p:opoitio.9.c.ad.t.b.eft ficut. d.f. ad.f. 
c.quod cft piopofitunr. 

lJb:opofitto .18. 

ij 3f faerint quantttates oiftuncttm p:opo:tionates«conum 

i ctim quoq5p:opo:tionales erant. 





jiCDemonftratmoduargucndiquioicit piopoitionalitas coniun/ 
cta i cft modus connerfus piioiis.Sd cuius ocmonftrationcm refu 
matur oifpofitio piemiffe.? mancat omncs eius fpotbcfcs:e?;cepto 
cp ponatur elfe p:opo:tio.a.c.ad.c.b.ficut.d.f.ad.f.e.oico cp erit p:opo:tio.a.b. 
ad.b.c.ficut.d.e.ad.f.e.fequitcm c% bac ppotbclt i alijs ppotbcfibus pjcmiffe oc 
multiplicib equahtcr ifiptis pcr coucrfione oiffinitots incotinue .ppoitioalitatis 
fi.g.b.addit fupcr.k.p.cp.l.ni.addat fug.n.q.s fi minuit minuat:? fi cquat cquat 
ergo pofitis c6munibus.b.k.c.m.n.fequit pcr coem fciam fi.g.k.addit fug .b.p. 
0>.I.n.addat fup.m.q.i fi minuit minuat:? fi cquat equat*:quare per oiffinitione 
incotinue p:opo:tionalitatis crit / ppo:tio.a.b.ad.b.c.ficut.d.e.ad.c.f. qt> e ,ppo 
fitil.flliterjde indirccte fic.£u fit ( ppo:tio.a.c.ad.c.b.ficut.d.f.ad.f.e.n6 c. a.b. 
9d.b.c.ficut.d.c.ad.e.f.fitergo^pojtio.d.e.adaliqu99liaquantitateficut.a.b. 
ad.b.c.quc aut crit maio:.e.f.9ut minoj.fi eni effet ei eqnalis coftaret piopofitfi. 




Sit Itacg p:»«o 'naio: « fit.c.g. crirqj g p:cmfffam.a.c.ad .c.b. ficut.d.g .ad.g. ■ 
qusrc.d.g.ad.g.c.ftcut.d.f.ad.f.c.Scquingic g. i4.g) cij.d.g.piima fit mio:.d.f. 
tcrtia crit.g.c.fcoa mino:.c.f.quarta:fed erat pofitu q> effet mato:.Sit crgo p:o/ 
po:tio.d.c.admmo:e.e.f.quefit.e.b.ficut.a.b.ad.b.c.eritq5gpmilT3. a.c.ad.c. 
biicut.d,b.ad.b.e.qrcp.ii.d.b.ad.b.e.ficut.d.f.ad.f.e.'zq:.d.b.i3maemaioi 
d.f.tcrtia crit p. 14.cb.fc6a maio:.e.f.rerti9:cp quia eft ipoffibilc.fequit ^pofitu. 

1{b:opofitio .19. 
5 a ouobus totis oue po:tiones abfcf ndantur .fuerttqj to 
tum ad totu quantum abfcifum ad abfcifum:erit reliquum 
ad reliquum qnantum totum ad totnm. 
GQ6 qumta ,pponit oc multiplicibus. bec ,pponit vniucrfalirer oe ' 
omnibus p:opo:tiombus. vnde cft tlla tanto comunio: quato multt 
piicitate^pouio.Sintigiturouequatitateg.a.b.t.c.d.aquibusabfcindantoue 
qncfint.b.c.i.d.f.fitq5 ,ppo:tio totius.a.b.ad tota.c.d.ficnt.b.e.abfcifc ad.d.f. 
abfcifam.oico cp eadcm crit.a.e.refidui ad.c.f.rcfiduum que eft toti 9 .a.b.ad to/ 
tam.c.d.cu cni fit.a.b.ad.c.d.ficut.b.c.ad.d.f.crit permutati.a. b.ad. b.e. ftcut 
c.d.ad.d.f.« oifiunctim.3.e.ad.c.b.ficut.c.f.ad.f.d.7itcru pcrmntatim.a.e. ad 
c.f.ficut.e.b.ad.f.d.-jquiaficcrat.a.b.ad.c.d.patctpwpofltu.Cfx^acaiit-i?. 
% pcrmutata ,ppo:tionalit3tc oemonftratur modus arguendi qui oicit p:opo:tio 
nalitas eucrfa. vt fi fit.a.b.ad.b.e.ficut.cd.ad.d.f.oico q> erit.b.a .ad.a.c. ficut 
cd.ad.cf.quiacijfit.a.b.ad.b.e.ficut.c.d.ad.d.f.eritpermutatim.a.b.ad:c.d: 
ficut.b.e.ad.d.f.quarcperbanc.i9.b.a.3d.d.cficut.a.e.ad.cf.igiturpmutatim 
b.3.9d.a.c.ficut.cd.ad.cf.q6eftp:opofitum.C£onuerfaquoq5^)po:tiona!i/ 
tas q*5 ejc oiffinitione incotinuc ppoaionalitatis oemonftranimus in ejponcndo 
p:incipia buius quintt.pot bic quoq^ oemoftrari indircctc ejc pjnutats ,ppo:tio/ 
nalitate c .9. buius vt fi fit p:opo:tio.a.ad.b.ficut.c.3d.d.oico q> cricb.ad. a.fi/ 
cut.d.ad.cfinautefit.d.ad.c. ficut.b.ad.3.iq:.3.3d.b.eficut.c.3d.d.critgmu/ 
ratim.a.3d.c.ficut.b.3d.d.tqui3itcrum.b.ad.a.ficut.d.3d.c.critquoq5 pmuta 
tim.b.ad.d.ftcut.3.3d.e.quarc ertt.a.3d.e.ficut.d.ad.cft igitur.e.non fit cquale 
caccidet impofftbile t contrariu^ fccundc partis.9. fi autcm cqualts crit.b. ad.a. 
ficut.d.ad.c.quod cft pwpofttum. 

1|b:opofitio .20. 
3f fuerint quotlibet quantitates alieq^ fccundn earum nrt 
merumquarumqueq50uep2io2um fecundu p:opo:tio/ 
nem ouarum poftremarum necelTe eft imp:opo:tionali/ 
tate qnida equalitatis vt li fuerit p2ima p jioy vltima ma 
»0:. 1 pofterio:um primavltima eflemaioiej. iQ6 funi/ 




no: 1 mmo:em.£>t vero equalia-z equalem. 
CDcmoftraturus cudides modn arguendi qui oicit eq ^ppoKionaliras fiue qntt 
tatcs ouoy o:dinu oirccte fiue puerfim ,ppo:tionef:pmittit ouo attccdeti3 ad oc/ 
moftradu ppofitu neceflaria: p quo? pmii oemoftrat eqppoKoalitas cfi qntita/ 
tes ouoy o:dinu oirecte ppo:tionaf :g ftn aut cu ,ppo:tion3t puerfim,pponit 3fit 
bcc oup anccdetia oe qntitatib 9 ouoy oxfinu numero eqlib 9 quccuq^ merit. 25t'r 
cni fumptis vtrobiqj qoatitatib 9 fcom quccunq} namanm veritatem babet. no c 



LIBER 



\6 



15 f 

— I f— 



— *' 



autcncccffcDtoem6ftrrein 9 c3nifi folfii trib 9 boc cnioio fufficies cadppo H/ 
tu .oc plibus aut qbufq, patebit g cqua .ypoitioalitate cu tpfa ocmoftrara fucrit 
CSint igit trcs quatitatcs.a.b.cfumsnfq) tres altc q fint.c.d.f.-j fit .ppoitio.a. 
ad.b.ficut.c.ad.d.i.b.ad.e.ficut.d.adf.oicoq) fi.a.cftmaioi.e. c. eritmsioi.f. 
i fi mino: minor.c fi cqualis cqualis.6i cni cft maioj crit pcr piima ptc.s.mato: 
pjopo:tio.a.ad.b.q5 .e.ad.b.quare pcr.u.maioj erit.cad.d.q^.cad.b. i qj per 
concrfam ppoitionalitatccact.b.e ficut. f.ad.d. crit.c.ad.d. maio: cft. f.ad.d. 
itaq^ pcr piima p_te. i o. c.eft makn.f.qo' eft p:opofttum..Q6 fi.a.fit minoj.cg caf 
dem i code modo #babit .c.effc mino:cf.erit cni mino: piopoitio.a.ad.b.qj.e. 
ad.b. g piitna gic.s.i idco pcr. \t.i g couerfam ^pojtionaiitate tninoj crit.c. ad 
d.qVf.ad.d.c idco gpiima p.tcm. io.crit.c.minoj.f.q6 eft piopofitum.Si autcm 
a.fit cqle.e.crit g piima gte.?. ,ppoitio.a.3d.b .ficnt.c.ad.b. i ideo p_ fc6am. 1 1 . i 
couerfam ^pojtionahtate crit.c.ad.d.ficut.f .ad.d.quarc pcr piima pte.p.ceeq/ 
lis.f.quod eft pjopofitum.CQuida aut banc codufione oemonftraucriit ca pcr 
^>po:tionalttatcm pcrmutatim boc modc.ppcjtio.a.ad.b.cft ficut.c. ad.d. crgo 
rjmutatim.3.ad.c.ficut.b.ad.d.cqjrurfus.b.ad.cficut.d.ad.f.efitpermutatim 
b.ad.d.ficut.cad.f.federat.b.ad.d.ficut.a.ad.c.crgo pcr. i i.crit.a.ad.c ficut.c 
ad.f.itaq5pcr.i4.fi.a.p:imaeftm3io:.c.tCTti3.crit.c.fccud3.m3io:.f.quarta:cfi 
mino: tnino::? fi cqualis cqualis:quod c ^pofitum: C3fti aute crrauerunt i fua, 
oemonftrationc:q: fieffet in tcntio euclidts fic ocmonftrarc no opo:terct ipfu p:e 
mittcrc banc conclufionc $ antccedcte 3d equa .ppotfionslitatem: fi enim rurfus 
fiat vna pcrmutatio ^pojtionalitatis ad qua ocueutu cft que eft cffc.a .ao.c fi / 
cut.csd.f .fequitur q> fit.s.sd.cficut.csd.f.? boc cft equs .pponionalitas. pie 
tcrca coium condufio non fcquiturrnifi omncs quantitates ambo? o:dimi fucrit 
gcncris vnius.Si cnim.3.b.cfint lince.i.cd.f.fuperficics:aut coipo:3:3ut tcm/ 
po:a:non erit tunc permutarc p:opo:tiones:pcccant igitur vniucrfalircr oictu jy 
ticulariter oemonftrantes. 

1|b:opofitio. 21. 

5 fberint quothber quantitatesalieq} fecundum earum 
numerum quarum queqj oue ejc p:io:ibus quibufq? t»ua 
buse£pofterio:ibus perucrfim comparatc fecudup:o/ 
pojtiortem earum raerint.neccfle quoq^ e vt fi raerint im 
_ p:opo:tionalitate equalitatis p:io:um p:ima vltima ma/ 
io:.i pofterio:um p:ima vltima efle maioiem.fi autem mino: i mino 
rem .Si vero equalts i cqualem. 

CSccundu antccedcns fint trcs quatitatcs.a .b.cfumanrq^ alie tres que funt.f. 
cd.'zfitp:opo:tio.a.3d.b.ficut.c.ad.d.i.b.3d.cficut.f.3d.coicoc}>fi.3.cma 
io:.cf.erit maio:.d.« fi mino: minov.i fi cqualis.cquslis: bic autc p:obatur per 
eafdc i code modo quo p:eccdens:fi eni.a.fit maio:.c.crit maio: p:opo:tio.a.ad 
b.q5.e.ad.b.qu3remaio:.c.3d.d.q;.c.3d.b.f idcomaio:q5.c ad .f. msioi igif 
f .q^.d.pcr fecunda parrcm. io. quod eft piopofitum.q6 fi.a.fit mtnoj.ccrit tan/ 
dem mino:.cad.d.cJ5 ad. f.quarc pcr candcm partcm einfde.f. crit mino:.d. £>i 
autem.3.fit cquslis.e .fcquitur ut fit p:opo:tio.cad.d.ficut.c.ad.f.igitur pcr fe/ 
cundam partem^.erit.f.equalis.d.quod cft pjopoutum. 





Ifcrtopofirio .21. 

i]3f foerintquotlibet quantitatcs alieq; fecuudum earum 
numeram qaarnm qucq^ oue fecundum p:opo:tionem 
ouarum ejc p:imis in equa p:opo:tionalitate p:opo:tio/ 

, naleserunt. 

liCDemonftratis anteccdentibus ad equa piopojtionalitate.bic oe/ 

monftrat cam:s pjimo cnm quantitates ouojum ojdinu funt oirecte pjopojtio/ 
nales.Tld eft aut ncceffe vt oemoftrarcf nifi cu in vtroq^ ouo^ ojdinii fnnt tantu 
trcs quantiratcs.per boc eni cuidenter fcquitur cum in vtroqj o:dmc fuerint qua 
tuo: quantirates i orinccps:? ideo ctia no opouuit eius afis oemoftrari nifi folu 
ta in vtroq^ o:dine funt etia tres quantitates.CSint igitur tres quantitates.a .b 
e.fumanfq5 tres alie que funt.c.d.fa fit piopoiiio.a.ad.b.ficut.c.ad.d.f.b. ad. 
c.ficut.d.ad.f.oico cj> ertt.a-ad.c.ficut.c.ad.f.fuma cnt.g.ad.a.?.b.ad.c. cq mul 
tiplicia.^temq^.k.ad.b.t.l.ad.d.cquc i rurfus.m.ad.e.c.n.ad.f.equc. critq^ g 
4.g.ad.k.ficut.b.ad.l.«.k.ad.m.ficur.l.ad.n.quareper.zo.fi.g.eftmaio?.m.erit 
b.maio:.n.« fi tninoj mino::? fi equalis cqualis.igitur pcr oiffinitione incotinue 
;ppojtionalirati8 ( ppojtio.a.ad.e.e ficut.c.ad.f.qd e pjopofitu.C-psot quoq, boc 
oemonftrariper.i5-.buiusfumpti8.g.k.m.ad.a.b.e.c.b.l.n.ad.c.d.f.equemuI/ 
tiplicibus:eritenim per.ij.g.ad.k.ficur.b.ad.U.k.ad.m.ficut.l.ad.n. cctcra p/ 
tracta vt p:ius.CQ6 fi fuertnt quantirates plures tribus in vtroq^ ojdine:vtpo/ 
te quatuo: additis.p.t.q.ita cp fit.e.ad.p.ficut.f.ad.q.erit iterum.a. ad.p. ficut 
c.ad.q.eritcnim.a.ad.c.ficut.c.adf.boccnimoemonftratumefr.fublatisigitut 
b.i.d.aunt tres quantitates.a.e.p.c alie trcs.c.f.q. vt pjopomtur:quare.a.ad.p 
ficut.cad.q.ficq^ ocmoftratur oc4»per trcs fublato vno mcdio. £ode modo oc/ 

monftrabisoc.f.pcr-4.fublatisouobusmedijs:toe.(s.pcr.j.fublatistribus:cfic 
oecctcris. '^Hopofttio .zj, 

|f fuettnt quotiibet quautitates alieq^fecundnmlcarum 
iiumerumquarum queqjOucfecumV, p:opo:tioneou/ 
arum ejc p:io:ibus indirccte p:opo:tionate m equa p:o/ 
po:tionalitatep:opo:tioneserunt. 

LCDcmonftrar equam .ppoaionalitatcm in quantitatibus euojum 

o:dmu indirccte fiue eucrfim .ppojtionatis .llec e neceffe op oemonftref nifi cum 
in vrroq^ ouop o:dinu funt rantu tres quantitates:p boc cni euideter fequif que/ 
cuq5 ponant i vtroq^ ojdinc ficnt i pjemiffa oc oirccte ^ppojtionatis oemoftratu 
e.Sint igir.j.qntitates.a.b.cfumafq^ alte. j.q fint.f.c.cU fit,ppojtio.a.ad.b.fi 
cut.c.ad.d.f .b.ad.c.ficut.f.ad.c.oico cp ent.a.ad.e ficut.f.ad.d.fuma eni.g.ad 
8.?.b.ad.c.c.k.ad.f.equemultiplicia.3teq5.I.ad.b.i. m. ad.e.s. n.ad. d.eque: 
eritq^ per quarta.g.ad.l.ficnt.b.ad.n.? per i j ,l.ad.m. ficut.k. ad. b. quare pcr 
zi.fi.g.addit fuper.m «.k. addit fup. n .1 fi minuit minuit: % fi equat equat:er/ 
go pcr oiffinitionem incotinue.ppojtionalitatis .ppojiip.a.ad. e.e ficut.f. ad.d. 
qb epjopofitu. C^oteft quoq^ 1 boc oemoftrarip.i j.bui^fuptis.g.l.m.ad.a.b 
e.c.k. b.n. ad.f.c. d. equemultiplicibus :crit enim per. i? .g.ad.l. ficut.b.ad.n. 
i.l.ad.m. ficut.k.ad.b. cctcra pcrtracta vtpjius.Ionuenientius tamen oemon 
ftraiirur bcc 1 p:cmilTa fecundm pjimutn modum. G.Q6 fi plures tribus fucrint 
quantitatcs iu vtroqs o:dine: vtpote qtuo: additis.p. ?.q. ita <j> fit.a. ad.b.ficut 







ie h 



14 



12 



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1« 1« 



24 



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12 


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6 


f 


12 


c 
1 


6 



b 6 » 6 e 



B 4 b e 



1 o 

—4 




LIBER 

d.ad.q.c.b.ad.e.ftcut.c.ad.d.t.c.ad.p.riajt.f.ad.ccrittoum.a.ad.p.ficut.f 
ad.q.CTitcnuiipCTpjcdcmonftrata.a.ad.e.fiait.c.ad.q.Sublatisigirur. b.?.d. 
erunt trca quatitatcs.a .e.p.t alie trcs.f.c.q.vt p2oponitur:quarc.a.ad.p.ficut.f. 
ad.q.5ic igitur ocmonftrarur oe.4.per tres fublato vno medio. £ode modo oc/ 
monftrabis oc.j .per quatuoj fublatis, ouobus mcdijs.s oe.«>.pcr.f .fublatis tri/ 
bus:«ficincctCTis. 

1£>20pofttio -24. 
r^^^jr^fueritp2opontopufniadrecundrJ5 tanq^ tcrtii adquar 
itM GKG«« tnm.p2opo:tio vero quinti ad fecundu^. tanqjlgsi ad qr 
tum :crit pzopoitio p2imi 1 quinti pariter accepto2um ad 
fecundum tanq5 le#i 1 tertii pariter accepto2um ad quar/ 
_ tum. 

C.Q6 to>a pjopofuit oc multiplicibus bcc pjoponit vniuerfaliter oe omnib 9 p:o/ 
pojtionibus.vndc cft llla tanto comuuio: quato multtpltcitatc p:opo:tio 1 fc ba/ 
bct ad tllamrquemadmodum. rj.ad p:imam.Sit igitur p:o r '0:tio.a.b.ad.c. ficut 
d.e.ad.f.t ite.b.g.ad.c.ficnt.e.b.ad.f.oico cp p:opo:tio.a.g.ad.c. cft fi.:ut.d.b. 
ad.f.erit enim pcr conucrfam p:opojtionalitatcm.c.3d.b.s.fictit.f.ad.c.b.quare 
per.22.erit in cqua p2opo2tionalitatc.3.b.ad.b.g.ficut.e.d.ad.e.b.crgo contun > 
ctimper.i9.a.g.ad.g.b.ftcut.d.b.ad.b.e.it3q5per.2i.critincquap:op02ttona!i 
tate.a.s.ad.c.ficut.d.b:ad.f.quod cft piopofitum. 
■}(b2opoHtio .2j. 
[) % fuerint quantttatce p2opo2tionalc0: fueritq^ p2ima ea/ 
rum ma?:tma. < * vltima minima. p2imsm 1 vlttma^pariter 
acceptas ccterie ouabus maiue effe neceflario c6p2oba/ 
tur. 
2IG.Q6 bic p:oponitur 116 babct locum nifi cum omncs quatuo: qtu 
titates fint ciufdcm generis. Sint igitur qustuoj qusntitatu^ ciufdc gcncns p jo/ 
pojtio.a.b.3d.c.d.ficut.e.3d.f.fitq5.a.b.m3xim3:neq50poitetponercijj.f.fitmt 
nima:qui3 ipfum ejc boc fcquitur cp.a.b.pofita eft majcuna. vnde non pofuit boc 
auctoi in condufionc tanq*5 pofitioucmtfed potius tanq"5 pjccedcutis pofttiois co 
ciufioncm.oico q> cum ita fuerit maius ertt aggrcgatum ex.a.b.i.f.q^ cy:. c.d.f.e 
Xumenim.3.b.fitm3io:.e.3bfcind3mex.b.3.g.b.equalcm.e. CSinulitcrquoqs 
quia.cd.eft m3io:.f.abfcindam et:.cd.b.d.cqualcm.f.critq5 p:optcr ypotbcfun 
a.b.ad.c.d.ficut.g.b.3d.b.d.quare per. i^.a.g. rcfiduum ad. c.b. nfiduum ficut 
tota.a.b.ad torn^.c.d.f.a.b.ad.c.d .£11 crgo.a.g.fe babet ad.c.b.ftcut.a.b.ad.c 
d.fed.a.b.cmaio:.c.d.quare.3.g.mai02cft.c.b.additisigtturvtrtq50uab 9 quan 
ritatibus.g.b.s.b.d.erit per comuncm fcicntiam aggrcgatum ejc.a.b.?.b.d. ma/ 
ius 3ggrcg3to ejc.c.d.c.g.b.? quia.d.b. poftta cft cqualis. f.c.g. b.e. maius crit 
aggregatnm ejc;a.b.f .f.qua aggregatum ex.cd.c.c.quod eft p:opofuum. 

1^)20pOfltiO .26. 

3f fuerit quatuo2 quantitatum p:opo2tio p2ime ad fecun/ 
dam maio2 quam tertie ad qnarram . crit conuerfti ccon/ 
trario,ppo2tio fcoe ad p2ima mino2 q5 quarte ad tertiam 
Sit.ppotfio.a.ad.b.maio: q^.cad.d.otco q> crit ecoucrfo mo prio 
mio2,pp02tio.b.ad.a.q5.d.ad.c.fidccadc.b.ad.a.cjc.d.ad.c.crit 






«oucrfo.a.ad.b.vt.cad.d.f5 no c Imo maioirSt vero ficb.ad.a.maioi q*5 d.ad 
cfit.e.ad.a.vt.d.ad.c.critq5 cr,i2.c.ad.a.mioi q*5.b.ad.a .qreer pma partc.io.c 
e tnioj.b;3dcoq5 ct fcoa partc.8.maioi erit ,ppoitio.a.ad.c.cJ5.e.ad.b.i q: g con 
uafamp:opo:tioitalitatem.a.ad.c.fiajt.c.ad.d.eritc)c.i2.p»po2tio.c.ad.d.ma 
ioi qj.a.ad.b.fed erit minorrelinquitur ergo piopofitu.Gpoffumus quoq^ fi (i 
bctaftracrepiopofitumoftcnfiueimamfeftum enim eftqc p:imaparte.io.g>illa 
quantitas cuius ad.b.cft.cadcm pjopojtio quc cft.cad.d.cft minoj.a.co cp po/ 
nitur maioj p:opoitio.a.ad.b.c*5 .cad.d .illa crgo quantitas fit.e. cum fit igitur 
p:opo:tio.c. ad.b.vr.c .ad.d.crit ccenucrfo .b .ad.e.vt.d.ad .c. Xonftat autcm 
e% fecundaparte.s.cp p:opojtio.b.ad.a.minoi clt 65 p:opo:rto.b.ad.e.itaq5 per 
i2.pjopo:tio.b.td.a.cft minoi q'5. d. ad.cqo voluimuo. 

Ubtopofitio a.7\ 

5 mcrit quatno: quantitatum maio: p:opo:tio p:imead 
lecnndam.qVertie adqttartam.erit permutatim maio: 
p:opo:tio p:ime ad tertiam* quam fectmde ad quartam. 
GSit bicquoq5pjopojtio.a.ad.b.maioi q^.cad.d.oico <$ erit per 
mutatim maioi pjopo:tio.a.ad.cq5.b.ad.d.cadcm cnim non crit 
quia tunc quoq^ effet permutatim.a.ad.b. ftcut.c. ad.d. nccg mino:. Ilam fi boc 
ponatur-.fit itacp .c.ad.cvt.b.ad.d.eritq5 ejc. a.maio: ,ppo:tio.c.ad. ccg.a.ad 
e.quarc cr piima parte. io.e.cft maioi.a.3taq5 per piimam partem. s.p:opo:tio 
e.ad.b.cft maio: q*5.a.ad.b.« quia pofitum eft vt fit.e.ad.cficut.b.ad.d. crit g/ 
mutatim.c.ad.b.ficut.cad.d.cci2.igiturm3ioieritp:opo:tio.cad.d.q5.a.acl 
b.fed pofitum erat oppofitum:vcrum eft ergo p:opofitu:GOftefiue quoq^ idcm 
qucadmodum in picmiffa:fumpta enim eft.cad.b.vt.c.ad.d.crit cjc piima parte 
io.e.minoj.a.quareexp:imaparte.s.maio:crit.a.ad.cq5.e.ad.c.fedc)cpermu 
tatap:opo:tionalitatecft.c.ad.c.vt. b.ad. l d.igiturcjc.i2.a.ad.ccftmaio:q5.b; 
ad.d.quodcft pjopofitum. 

1{b:opofitto .28. 

3f fiterint quatuo: quantitates quarum p:ime ad fecunda 
ut tnaio: p:opo:tio q5 tertie ad quartam .crtt quoq? con/ 
innctim maio: p:opo:tio p:ime 1 fecunde ad lecudam cjj 
rertie 1 quarte ad quartam. 

G5it maio: p:opo:tio.a.ad.b.q5.c-ad.d.oico q> maioi erit totius 
a.b.ad.b.q5totiU3.cd.ad.d.qm3ipfaneq5CTitcqua!i6ncq5minoi.5ienicqu8 
Ks:tunc crit oifiunctim.a.ad.b.vt.cad.d.Si autem eft mirioi-.fit.c.b.ad.b. vt.c 
d.ad.e.eritq5 ccu.maio: piopoitio.c.b.3d.b.q5.a.b. ad.b. itaq^ ct p:ima par/ 
tc. io.e.b.eft maioi cfe.a.b.c pcr coceptionem.e.maioi CJ5.3. quarc cjc p:ima par 
te.8.maioi eftp:opojtio.c.ad.b.cJ5.a.3d.b.fed.e.ad.b.cftvt .cad.d.pcr 
oifiunctampiopo:tionalitatem:eo cperst.e.b.ad.b.vt.cd. ad.d. ergo per.i2.c 
ad.d.cftmaio:q5.a.ad.b. bocautemeftcontrsfpotbe.G ^dcmctiam oftenfi/ 
ue: cum enim p:opofitum fit cp maioi fit piopoitio .3 . ad. b. 6*5 . c ad . d . 
ftt piopoitio .c. ad.b. vt. c ad.d. cntqj ejc p:ima partc occime. e. minoi . a. 




LIBER 



» 


i< 


b 


6 


c 


z 


s 


4 


b 


S 
1 



II 

— I 





Ijbiopoiitio .29. 

^ facrit quatuo: quantitates quarum prime 1 fecunde ad 
fecundam lit maio: p:opo:tio qj tertie 1 quarte ad quar 1 
tam . erit quoqj oifiuncti^ p:opo:rio p:ime ad fecnndam 
maio: % tcrtie ad quartam. 

GSitp:opo:tio.a.b.ad.b.maio:q5.c d.ad.d.oicocperit oifiun/ 
ctim p:opo:tio.a.ad.b.imio: q5.c.ad.d.alioquin crit equalis vd mto:.qi5fi cqua 
lis etit per coniunctam p:opo:tionalitatem.a.b.ad.b.ut.c.d. ad.d. fi autcm mi/ 
nojeritmaioi.c.ad.d.q5.a.ad.b.crgopcrp:emiffammaioicrit.c.d.add.q5.a. 
b.ad.b.quod eft inconueniens:quia pofitnm eft <$ minoi.Verum cft ergo q6 oicl 
tur..Qi5 etiam oftenfiue aftrnemus boc modo poncmus enim ut piopoitio.e .b. 
ad.b;fittanq5p:opo:tio.c.d.ad.d.eritq5 q:p:ima parte.io.e.b.minojq5: a.b. 
quare ex communi fcientia.e.cft mino: ctf.a.minoi igitur cft ey p:ima parte .8. p 
po:tio.e.ad.b.q5 (it.a.ad.b.fcd p:opo:tio.c.ad. b.cft ficut.c .ad.d. ejc oifiunct» 
p:opo:tionalitate:itaq5 ex.i2.p:opo:tio.a.ad.b.cft maio: oj fit.c.ad.d. quod eft 

piopofitum. 

Ifcjopoutio .90. 
V§ raerintquatuo: quantitatee quarum piimeifecunde 
1 ad iecunda ftt maio: p:opo:tio q5 tertie 1 quarte ad quar 
tam : erit euerftm mino: p:opo:tio p:ime 1 fecnde ad p:i 
mam q5 tertie 1 quarte ad tertiam. 
IB ilGSit maio: piopo«io.a.b.ad.b.q5.c.d.ad.d. oicocp enerfimmt/ 
iio:etitp:opo:tio.9.b.ad.a.q5.c.d.ad.d.critenimoifinnctimc)cp:emiffa maicn 
p:opo:tio.a.ad.b.q5.c.ad.d . 3taq5 per.2<s-crit econuerfo mino:. b.ad.a. q^.d. 
ad.c.quarc per ante p:emiffam coniunctim mino: erit.b.a.ad.a.q5.c.d. ad.c. qsj 
cft p:opofitum. 

"|{b:opofitio .ji. 

**§( fuerint tree quantitatee inwoo:dine.itemq5treein 
alio meritq5 p:ime p:io:nm ad fecundam maio: p:opo2 
tioquamp:imepofTerio:umadfecundam.itemq5fecun/ 
de p:io:um ad tcrttam maio: quam fecunde pofterio:um 
_ ad tertiam .ertt quoq? p:ime p:io:u5 ad tertia maio: p:o 
)o:tto q5 p:ime pofteriorum ad tertiam. 

G6int tres qu3titates.a.b.c.iteq5 alie tres.d.cf.ffaft maio^portio.a.ad.b.ctf 
d.ad.citeq^ maio:.b.9d.c.q5.cad.f.oico cj> maio: crit^>po:tio.a.ad.c.q5.d.ad 
f.fit cni.g.ad.c ut.cad.f.critq^ cjc pma pte.io..g.mio:.b.qre cj. fcoa p_te.8.pio/ 
poitio.a.ad.g.c maio: q5.a.ad.b.mt'to maio: ago e^po:tio.a.ad.g.q*5.d. ad.e 
fit itaq5.b.ad.g.w.d.ad.ceritq5 er pma gtc io.a.maio:.b.qrc qc pma pfc.8.,p/ 






V 

po:tio.9.9d.c.m3io: eft cfc p:opo:tio.b.3d.c St vcro p:opo:tio.b.3d.c. cft pcr 
eqoamp:opo:tioii9litatcm:ricnt.d.ad.f.cftcnim.b.3d.g.vt.d.acl.c.c.s.ad.c.vt 
e.gd.f.igitur ec a.p:opo:tio.9.ad.c.cft maio: qj.d.ad.f. quarc conftat p:opofi 
tum ; 

1£>:opofttio .32. 

(| 3f fiterint tres quantitates in\>noo:dine.itemq3 tresin 
iaiiofueritq5,p:opo:tiofecunde p:io:um adterttamma/ 
io:quam p:imepofteno:umadlecundam Sftemqjpumc 
p:io:umadfecundam maio: quamfecunde pofrertojum. 
ad tcrtiam .erit mato: p:opo:tio p:ime p:io:um ad tertia 
quam p:tmepofterio:um adtertiam. 

GSint cnim trcs quantitates in vno o:dinc.a.b.c.3tcmcj5 trcs itiialio.d.cf.que 
admodum in picmttTatfitqj msio: p:opo:tio.b.8d.c.q5.d.3d.c? maio:.a.ad.b. 
q).c.9d.f.oicocpmaio:erit.3.ad.c.ci5.d.3d.f.fitcnim.g.ad.c.vt.d.ad.ccritq5 
g.mmo:.b.per p:imam partem- lo.quare maio: erit p:opo:tio.a. ad.g. q'5 ad.b. 
pcr fecundam psrtem.s.igitur multo maio: cft.a.sd.g.q^.cad.f.fit usq^. b. 3d 
g.vt.cad.f.eritq5.9.maio:.b.cx p:ima partc icquarc p:opovtio.a. ad.c. maio: 
cvtq5.b.9d.c.e)cp:im9parrc.8.atvcrocx.2j.p:opo:tio.b.ad.c.c(rtanqua.d.3d 
f.coq6eft.g.ad.c.vt.d.ad.e.cb.ad.g.vt.c9d.f.igiturex.u.m9io:eft p:opo:/ 
tio.a.sd.c.cfe.d.ad.f.quodcfr p:opofitum. 

1fc:opofttio -ij. : '*• 

3f fucrit p:opo:tio torius ad totfi maio:: qj abfcilt ad ab / 

lcifum critreftduiadrefiduum maio: p:opo:tto cfctoti/ 

usadtotum. 

GSint ouc quantitstcs.a.i.b.a quibna abfcindantur.ccd.c rcft/ 

dua fut.e.c.f.fitcg msto: p:opo:tio.a.ad.b.q'5.c.ad.d.oico 9 ma 

io:critp:opo:tio.c.9d.f.q5.9.3d.b.critenim q..zy. pcrmutati maio:p:opo:tio 

*.9d.c.q5.b.9d.d.qu9rcex-3o.eritcucrfimmino:p:opo:tio. 9. ad.cq'5. b.9d.f. 

igitur rarfas cjc-i7.perrout3tim mino: erit.9.9d.b.q5.e .9d.f. quod eft p:opoft/ 

tum. 

1£>:opofitio .34. 

^quotlibetquantitatesadtotidem alias comparentur. 
rueritq? cuiuflibet p:ecedcntis ad fuam relatiuam maio: 
p:opo:tio cj^ahcuiusfubfequentis ad fua^. erit omnium 
barumpariteracceptarumadomnes illas pariteracce/ 
ptas maio: p:opo:tio q? alicuius fubfequentiu^ ad fuam 

comparem aut etiam 05 omnium pariter acccptarum ad omnes part/ 

ler acceptas-.mtno: autem q5 p:ime ad p:imam 

6ir.}.qntit9te3.9.b.c.rel9tc 9d totide alias q fit.d.cf.fitq^ maio: ( ppo:tio.9.3d 

• d.q5.b.ad.e.?.b.8d.e.f(t maio: q^.cad.f.oico cp,ppo:tio.9.b c.gitcr acccpta^. 

srd.d.cf .girer acccptas. c maio: qj.b.ad.c. vtmaio: cj.c. ad.f.s etia maio:.qj!b 





18 



ii 






\6 

— « 1 — 




!; i a 



j b b c ( t 



LIBER 

s.c.pariter acccpta^ ad.ccf.paritcr acccptas:? cp ipfa eft mino: q^.a.ad. d.cn 
fit eni.a.ad.d.maio: qj.b.ad.e.erit pcrmutatim.a.ad.b.maio: ctf.d.ad.c? con 
innctim.a.b.3d.b.maio:q5.d;c.ad.e.citcrum permutatim. a.b.ad. d.cmaio: 
q"5.b.ad.e.quarc per p:emtffam.a.3d.d.eft maio: q^.a.b.sd .d.c. eodeqj modo 
^batmaio:eee.b.3d.e.q5.b.c.3d.c.f.it8q3maio:^spo:tio'e.3.ad.d.q5.b.c.ad.e 
f.qrepermutatimmaiojcft. a.ad.b.c.q5.d.3d.c.f.cconiunctimm3io:.3.b.c.3d 
b.cq^.d.cf.ad.cfaiterumpermutatim maio:.3.b.c.ad.d.e .f.qj.c.b .ad.e.f. 
qu^re per p:emiffam maio: eft.a.ad.d.q5.3.b.c.ad.d.e.f . quod cft ,ppofitum. 
fjcplicit Iiber quintus ^ncipit liber Sejtus. 

^perficiesfimiles bicuf qroangulivnius 
angulis altcrius equales.lateraq? equos an 
gttios contmentia p:opo:tionalta. 
G23t fi trigonus.a.b.c.fuerit equiangulus trigono 
de. .f.fueritq^ angulus.a.equalis angulo.d.? sngu/ 
lus.b.cqualis angulo.ct ;ppo:tio.3.b.3d.d.cucut 
a.c.sd.d.f.cb.c.ad.cf.ipfieruntfimiles. 

^perftcies mutuoylaternmfut 
interquarum lateramcontinua 
p:opo:tionalitas retralitiue ba/ 
bemr. 

G23tfiouo£quadril3tcrum.a.b.c.d. 
cf.p:opo:tio .a.b.lateris p:imi.ad. d.clstus fecundi fuerit ficut p:opo:tio. c-.f. 
toteris fecundi.^d.b.c.latus p:imi:illa ouo quadrilatcra oicuntur mutuomm la/ 
terum fiuc mutekcfia.Clines oicitur diuidi fccundu p:opo:tione babente mcdiu 
t ouo qttrema quando cadem cft p:opo:tio totius ad maio:em fui feccionc que e 
maio:isadmino:em. 

1£>:opofttio .1. 
^Ouarum rectiliuearum fuperficierum equidiftantium 
laterum liue triangulo:umfueritaltitudovna:tantaerit 
alterutra earum ad alteram .quanta fua bafts ao baftm al 
terius. 

GSint ouo paralellograma.a.b.cd.cf.cqualis altitudinis.oico ce 
,-ppo:rionc com:ficut.b.c.ad.e.f.ponam illaouo paralcllograma fup linea vuam 
que fit.g.m.crutqj pioptcr boc cp funt cquatis altitudinis intcr lincas equidiftatt 
tesquarufitaltera .k.n.ocindeexlinea.g.m.fuma\g.c.muItiplice fm quccumqj 
numerfi voluero.a.d.b.cc oiuida' ca in gtes equales.b.cin punctis.b.?. b.a qut 
bus i punto.g. ouca equidiftantes linecs.b.que fut.g.k.i.b.I.? coplcbo fugfici 
cs cquidtftantiu latcrii.k.b.?.l.b.eritq5 vnaqq^ carii g-3(f.p:imi equalis.a.c qre 
ficutlinca.g.c.emultiple):Iinee.b.c.itafup.ficics.ck.fuperficici.3.c.Siutcrquoci5 
ad linea.cf.fuma e% linca.g.m.linca.f.m.multiptice ftn quccuqj numau volucro 
t.f.% coplebo fuperficic cquidiftatiumlaterum oucta linca.m.n.equidiftatcr lince 
d.e.eritq^ fuperficies .n.f. ita multiplej: fuperficici .d.f.ficut linea .m.f. liiiccc 
f.«quia per.je- p:imi filinea.g.ccft maio: lines.f.m.fpperficics.k.ccft msio: fu 
pcrficicn.f.et fi mino: mino: .et fi equolis cqualis erit per oiftinitioncj icotinue 






VI 

p:opo:tioiia[itatis cadem .ppojtio bafis.b.cad bafim.e.f.quc cft fupcrftcici.a.c 
ad fupcrficie.d.f.quod cft p:opofitum.GDc triangulis cqualis altittidiuis idcm 
p:obabis:c eodcm ntodo per.j s.p:imi onctis linets ab extremitatibus ca^ quas 
ad bafes fumcs multipliccs ad vcrticcs triangulomm. 

Ilbiopolitio .2. 

3f linearccta ouo triangulilatera feeans reliquo fuerit 

equidiftansream otio illa latera pjopoitionaliter iecare. 

Si vero,ppo:tionaiiter fccet ea reliquo latere equidifta 

renecefieeil. 

GSit triangulus.a.b.ccuius ouo latcra.a.b.c.a.cfccet linea.d.c 
cquidiftantcrtertiofcjteri.qijcft.b.c. oicocpcrit.ppojtio .a.d.ad.d.b.ficut .a.c. 
ad.c.c.tccouerfofifucrit jipojtio.a.d.ad.d.b.ficut.3.c.ad.e.c.linea.d.e.eritcc] 
dtftans lince.b.cpjotrabam eni ouas lineas.c.b.c.d.c.eritq5 per. 3 7 .piimi trian 
gulus.c.d.b.cqnalis triangulo.d.e.c.proptcr id q6 ipfi fuut ambo fup linea. d.e. 
inter lineas equidiftantes.itaqj pcr fcbam p3tie.7.quinti:;ppo:tio trianguli.a.d. 
c.ad vtruqj illowm erit vna:fcd .ppoitio e^ppicmiffa ad triangulu.cd.b. e ficut 
Iinee.3.d.adIine3.d.b.c3dtrianguIu.d.c.c.ficutImce.3.e.adline3.c.c.Tlamipe 
cum vtroq3 illoy eft equaiis altitudinis:quare erit .ppoitio.a.d.ad.d.b.ficut. a.e 
ad.ccq6 eft piimum.CEt fi boc fucrit erit per picmiffam ipfius .a.d.c.vtraqj 
illo? p:opo:tio vnarquare per fccundam partem. ^.quinti tpfi funt adinuicc cqua 
les:i quia ipfi funt fuper eande bafim. videlicet lineam.d.c.« ej: eadcm gtc erit g 
j9.p:imi:Unca.d.c.cquidiftans linecb.cqo cft fecundum. 

1{b:opofitio .j. 
3f ab aliquo angulojum trianguli linca recta ad bafim ou 
cta angulum illunt per equalia fecet: tmas partes ipfi? ba 
ftsreliquiseiufdem trianguli lateribus pjopoztionales 
efie.StveroOuepartesbalisquaslinea ab anguloou/ 
cta tnftinguit reltquis trianguli lateribus ^ppojtionales 
uerint lineam illam angulu p equalia omidere nccciTario coptobaf . 
GSit trigonus.a.b.c.cuius angulum.a.oiuidat linca. a.d.p cqualia :oico cp p:o 
po:tio.b.d.ad.d.ccft ficut.b.a.ad.a.c« cc6uerfo:p:otr3bam enim.b.e. cquidi/ 
ftantem.a.d.i pioduci.ca.quoufcp concurrat cu.b.cin puncto.ceritq} per pii/ 
mamp3rtc29'p:imiangulu8.e.b.a.cqualisanguIo.b.a.d. cper fcoam partcm 
eiufdcm angulus.csngulo.d.a.cquare angulus.ccft equalis angulo.cb.a.crgo 
pcr.tf.pjimi.c a.eft equalis.a.b.s idco p p:ima psrtem.r-quinti p:opo:tio.c.a. 
ad.3.ceficut.b.3.ad.3.cfedperp:emiff3m.e.a.ad.a.c eficut.b.d.3d.d.cergo 
b.a.ad.a.cficut.b.d.ad.d.c.quod cft pjimum.GSecunda pars quc cft conucrfa 
piime pris piobabitur conucrfo modo.Dnanente enim eadcm oifpofitione fi fuc 
rit pjopo«io,b.a.3d.3.cficut.b.d.ad.d.cquarc per'pjemiffa.c.3.ad.a.c.e ficuc 
b.d.ad.d.cerit eadcm p:opo:tio.e.3.ad.a.cque cft.b.a.ad.a.c. crgo pcr piima 
partem.9.quin ti.ca.ca.b.funt cqualcs. quare pcr.5 .primi ouo anguli.e.c.cb.8 
funt cqualcs.igitur pcr piima z fccnnda partcm^.piimi augulus.b.a.d.c cqua/ 
lis angulo.d.a.c.quodcft fccundum. 

f 










LIBER 

1(b:opofitio .4. 

ZJfcnium t»uo:umtnangulo:um quo? angulivnius ait/ 
gulis alterius iimt equales:latera equos angulos reipici 
eima funt p:opo:tionaha. 

GSuiu ono trianguli.a.b.c.d.cf.equianguli.fircp angulus.a. eq/ 
lis angulo.d.t angulus.b.angulo x.t angulus.c. anguio.f.cico cj> 
( ppo:tio.d.e.ad.a.b.«.d.f.ad.a.c.cft ficut.cf.ad.b.cpona emm ambos tnan/ 
gulos fup linca vna que fir.c.c.ira cp ouo anguli vnius qui eruiu fup banc tincam 
finr cqualcs ouobus altcrius qui crunt fupcr eandcnon qutdc meduis mcdio aut 
exrrcmtis ejctremo.fed mcdius vnius cxtrcmo altcrius.t pona ouos eoa» mcdios 
angulos in code pucto coircfitq5.a.f.c.ipfe ide triangul 9 q erat.a.b.c. 1 q: angu/ 
ms.a.f.c.e eqlis angulo.c.-J angulns.d.f.c.agulo.c.p. ypotbcfij: erir p_ p:ima par 
tem.zs.p:imilinca.a.f.equidiftans.d.e.«.d.f.equictiftans.a.c.c6plcboigiturfu/ 
pcrficiem equidiftantium latcrum quc fit.g.f.enrqj per. j4.p:imi.g.a. equalis.d. 
f.c.g.d.equalis.a.f.quia. ergo pcr fccudum buius.g.a.ad.a.c.ficut.e.f.ad.f.c.et 
pcr eandcm.e.f .ad.f.c.ficut.c.d.ad.d.g.erLt pcr.7-quinti .d.f,ad.a.c. ? per ean/ 
dcm.c.d.ad.f.a.ficut.e.f.ad.f.c.quod eft p:opofitum. 

1fb:opofttio •?. 
Xlknium ouo:umtriangulo:uquo:ucuncto:u laterufe 
fe refptcientiu e p:opo:tio vna angnlt latcnbus ,ppo:tio 
nalibus contenti cqui I tbt inutcej elle p:obantur. 
Gbcc cft conucrfa p:ioas ncc fccit ejc ca 1 p:cmifl'a vna codufionem 
ficut fecit in fecunda 1 tcrtia buiu. ■ :q: ncc cade ngurationc ncc eifde 
medijs ocmonftratur quibus pcedeus. £>mt itacp ouo tnanguli.a.b.cd.e.f.firqj 
p:opo:tio.a.b.ad.d.cca.cad.d.f.ficut.b.c.ad.e.f.oico q> angulus.a. eequalis 
angulo.d.t angulus.b.angulo.cc angulus.cangulo.f.conititua fuper Imcam.c. 
f.in oppofita ptc trianguli.d.c.f.angulu.f.cg.equalcm angulo.b.t angu'.u. cf.g 
cqnalcm anguio.c.erircp per. j2.p:imi:angulus.g.equalis angulo. a. ergo per p:c 
mtlTam p:opo:no.a.b.ad.e.g.ca.c.ad.f.g.ficut.b.cad.cf.qnare.a.b. ad. d.e. 
ficutad.cg.c.a.cad.d.f.ficutad.f.g.igitur pcr fccundam parrcmnone quinti 
d.c.cft equalis.e.g.s pcr eandem.d.f.cqualis.f.g.quare pcr.8.p:>mi: ouo trian/J 
guli.d.cf.c.g.cf.funt equianguluquare ergo triangulus.g.cf.cft ettam equian 
gulns triangnlo.a.b.c.conftat pwpofttum. 1 




^:opofitio 



.6. 



Qfones t>uo trianguli quo:nm vnus angnlue vm" vni an 
guloalterius cqlis. lateraq-, tllosouosequos angulos 
continentia p:opo:tionalia liiti t intcr fe inuicem cquian/ 
guli. 

[G DOaneat prio: oifpofitio.t fit folu anguhis.b.equalis angulo.d. 
e.f.«pwpo:tio.a.b.ad.d.c.ficut.b.cad.c.f.oicoadbucduos triagulos.a.b.cd 
e.f.eite equtangulos: cum cntrn fit per.4.buius p:oprcr fpptbcfes pmiffe conclu/ 




VI 




fiom6;a.b.8d.c.3.ficut.b.c.ade.f.erit.a.b.9d.d.c.fkot.a.b.9d.c.g.qtiarcpcrfe 
condam partein nonc quinti.d.e.eft equalis.c.g.quia crgo ouo larcra.d.c. „e.f. 
trigoni.d.e.f.funt cqualia ouobns latcribus.c.g.?.e.f.trigom.g.e.f.? anguliis.e, 
vnius aiigulo.c.altaiuG:quia vtcrq^ eft equalis angulo.b.ipfi erunt pcr quartam 
pitnii equianguli z quia.e.g.f.eft etiam equiangHlu8.a.b.c.patet piopofitum. 

Hbjopofttio .7. 

_f fiicrirtt Ouo triangutt quoJum vnus angulus vnius sml 
angulo altcrius equalis:t>uoq5 fuojnm reTiquojum angu 
lojum lateribns piopoJtionalibus contenti:Ouojum ve/ 
ro oemum rcliquoJU3 vterqj aut neuter rccto angulo mt/ 
noj neccfle eft tllos ouos rriangulos omnibus fuis angu 
is inter fe inuicem equiangulos cfTc. 

GSint ouo trianguli.a.b.c.d.e.f.fitqs angulus.a.equalis angulo.d.c pjopoitio 
a.c.ad.d.f.licut.c.b.ad.f.e.e vtcrqs ouop anguloaim.b.t.e.aut ncutcr fit mino: 
rccto:oico eos effe cquiangulos.Si eni angutus.c.vniuseft equalis angulo.f. al/ 
terius:patet piopofitfi pcr pxmiflam.Siit autcm fit.c.maio: fiatq^ angulus. a,c 
j.cqnaIi6cidcm:erttq5pcr.3j.primitrianguIu0.8.g.c.cquianguUj8 triangulq,d. 
cf.quarcpcrquartambniuspiopcntio.a.c.ad.d.f.ficut.g.c.ad.c.f.fjficfuit.b.c 
td.e.f.ergopcr.9.quinti.g.c.c.b.c.funtequales .crgopcr qninta piimiai igulus 
b.eft equalisangulo.b.g.c.fi crgo ncutcr ouoifi anguloy.b ,?.c. fueritminoi re/ 
«o:accidet ouos angulos vnius trianguH no cffc minoics ouobus rcctts: qo' effe 
non poteft pcr. 32.primi Qi> fi Vterqj fucrit minoi recto:erit agulus.a.g.c.maioi 
rccto per.i j.piimi:quare ? angulus.e.fibi cqualis eft ctiam rectomaioi qdc con 
tra ppotbc.quarc ocftructo oppofito rcmanct piopofitfi: opojtct aut vtrfiqj an/ 
juloium rdiquojz aut neutrfi cffe minoiem recto.poffibile enim eft in epdcm tirj/ 
angulo vt in triagulo.a.b.c.liitcam.g.c.eecquaie.b.c .? io erit.a.c.ad vtraq? ca? 
vna pjopojtio pcr-7.quinti.Tlcc tame crunt trianguli.a.g.c. i.a. b.c. cquianguli 
quauis vnus angulus vnius fit cqualis vni angulo atterius immo idcm Vt angu / 
lus.a.cpjopojtiolincc.a .c.^utcftlatusmagniad.a.c.piouteftlatus £ui ficut 
b.c.Iatus magni. ad.g.c. latus porui . vtraq, cnim eqnalis : ? boc eft yptcr boc 
cj> angutus.g.minoiis eft maioi rcao:? angutus.b.maiojis minoJ.TIam in omm 
triangulo ouum equalium latcrum vtcrqj auguloium qui funt ad bafim cft minot 

KCtO. 

Ifbjopofitio ,8. 

Jf ab ostbogonij angulo recto ad baftm linea perpcncji/ 
cularis oucatur. fiet ouo trianguli partiales toti tramgu 
lo i fibt inuicem fimiles.^tnck etiam mamfefhim eft quta 
in omni triangulo rectangulo ft ab eius angulo recto sA 
_ bafimperpenaicularisbucatur.erit ipfa perpcudicuta/ 

rts inter ouas fcctiones ipfius bafts pjupoj ttonalis. $temc& vtrtl q; 

latus intcrtotambafimatq^fibi conteriminale bafispoJttonem. 

G Sn trigonus.a.b.coitbogomus euifqj angulus.a jrectus a quo oucafur. a.d. 

f2 





LIBER 







perpcndiculsris ad bafim.oico qp vterq^ ouoaim rriangulomm partialium qui fu 
a.b.d.a.d.c.fimiliscft totali triangulo.a.b.cz vnus eo:um altcri. e cuim vterqj 
tpl'o:umequiangulustotalipcr.j2.p:imi.cocpvtcrq5 eft o:tbogonius linfno 
angulo comuuicat cum totali:quarc t fibi inuiccm funt equianguli. tta cp angulus 
b.cft cqualis angulo.d.a.c. i anguius.b.a.d.angulo.c. i ouo angHli qui funt.ad 
d.fibi innicem i augulo.a. totali equales-.quare pcr.4.buius latera equos co:um 
angulos refpicicntia.funt p:opo:tionalia:ergo per oimmtioncm funt funiles :q6 
eft p:opofttum:vtruq5 «racf.cr bis euidcnter apparer.* 

1fb:opofitio .9. 
^abue lineis p:opofttis tertiam inter eas fab p:opo:tio 
ndlitate continua collocare. 

GBint oue linec p:opofite.a.b.c.c.inter quas volo vnam lineam iu 
p:opo:tionalitate continua collocare. Sdiungam vnam caru^ alre/ 
ri fitqj tota er. cis compofita.a.d.ita cp.b.d.fit equale.o? fupcr to/ 
t3moefcribofcmicirculum.a.c.d.t p:oduco .e.b.vfcp ad circumfercntiam per/ 
pcndicularemadlincam.a.d.oicoliucam.b.e.effe que qucnmus :p:oducoenim 
lincas.e.a.t.e.d.eritq; pcr. jo. tcrtij angulus.c. totatis rectus :quare pcr p:imam 
parte co::e^p:emirTc<#po:tio.9,b,9d.b.e.ficiJf .b.e.ad.b. d. q6 eft p:opofitum. 

1Jb:opofttio .10. 

| ^abus Imcis fcaris tcrtiam eie in continua p:opo:tiona 
ilitatefnbinngere..; 

MlSint oue linee p:opofite.a.b.?.c.quibus volo teftiam in cofinua 
| p:opo:tionalitatc fubiungere: coniugo lineam.c. angulariter vt co/ 
Jj tingit «15 linca.a .b.fttq^.a. d.fibi equalis. 1 p:oduco tinea.a.b.vfq; 
ad.c.oonec ftat.b.e.cqualis.a.d.i p:otracta iinea.b.d.a puncto.e.ouco linea fi/ 
biequidiltantemq5«Iincam.a.d.p:oducoquoufq5 coricurrantin puncto. f.oico 
igiturlineam.d.f.cffequequerimus.cft enimpa fccunda buiusp:opo:iio.a.b. 
ad.b.e.fkut.a.d.ad.d.f.fed.a.b.ad.b.e:eftficut.a.b.ad.a.d.per.2.t>te.7.qnin/ 
ii:quare.a.b.ad.a.d.ficut.a.d.ad.d.f.qo eft p:opofitum..Q6 fi p:opofitis tribus 
liucis velimus inucnire quartam.ad quam fit p:opo:tio tcrtie ficut prime ad fecfi 
da>:ex prima 1 fecuda fiat linea vna t toti copofite tcrtta:angulariter adiungat 1 
a comuni termio prime 1 fecunde: cucatur linea ad ejrtrcmitate tatic:« ab altero 
tcrmino fecude oucat buiclinee cquidiftans:quoufq5 concurrat cum tertia in co/ 
tinuu5 ratumq^ p:otracta:eritq5 pcr fecundam bnius linea q; bcc equidiftas ab/ 
fcindet quc queritunqucadmodum fi in bac ffgura fuerit prima.a.b.fecunda.b.c. 
rcrti3.9-d.crtt quarta.d.f. 

l£»opofitio .iT. 
^aflignaralineaquotamtH^inbearis partem abfcin 
dere. 

GSit.a.b .linca affignata ab ca volo aliquotam partem vtpote ter/ 
tiam abfcinderc:coniungo ci angularittr vt contingit lineam! inde/ 
finite quantitatisquefit.a.c.a quarefeco tres cquas po:tioncs. 






VI 

qttcfinta.d.d.e.c.c.c.cpioclucoUncas.c.b.T.d.f.fibicqutdiftatce.oico.a.f.eiTc 
tcrtiam.a.b.eft cnim pcr feamdam buius p:opo:tio.c.d.ad.d.a.ficut.b.f.ad.f.a 
qiiarccoiiumctitn.c.a.ad.d.a.fkut.b.a.ad.f.3.ciimigitur.c.a.fittripla.ad.d.a. 
parct.a.f.cffc tcrtiam.a.b.quod cft piopofitum. 

1(£»20pofltiO -12. 

(^abus Imeis pjopofins altera indttufa altera per partcs 
oiuifa: indiuifam quidem ad modnm oiuife oiutdere. 
GSint ouo lince quas angulariter vt continget coniungam.a.b.c.a 
c.fitq^.a.b.oiuifa in tres vcl qualcfcuq3 po:tiones fignatis i ea pun 
ctis.d.c.e.volo fccundu eafdcm po:tiones oiuidere lincam.a.c.cum 
igitur ipfas angnlaritcr coiujcero.pwtraba linea.b.c.c equidiftantcs.ei.d.fa.e.g 
oico iftas cquidiftantcs oiuidcre lincam.a.c.in partcs p:opo:tionalcs partib 9 .a. 
b.ptotrabam cnim.f.b.cquidiftantc^.a.b.qucfecet.e.g.iij puncto.k-eritq^ per fe 
cundabuiusp:opo5tio.g.f.ad.f.a.ficut.c.d.ad.d.a.i.c.g.ad.g.f.fkut.b.k.9d.k 
f.quarc z ficut.b.c.ad.e.d.pcr.34.p:imi.?fa>am partem.7.quintiqo' cft .ppofitii 
£>po:tet autem fccudam buius toticns repetere quot erunt partes liuce.a.b. mi/ 
nus vna.at vcro.34.p:imi.'Z fcptimi quinti minus ouabus. 
Ilbzopofitio .13. 
mi^fouefuperficiesequidiftantium lateram quarumvmis 
fansulusvnius vni anguloalteriusequalisequales fue/ 
irint latcra ouos cquos angulos continentia murekefia ee 
Si vcro latera ouos equos angulos cotinetia mutekefta 
fucrint ouas fuper ftcics cquales effc necefle eft. 
GSintoucfuperficics.a.b.c.d.-r.c.e.f.g.equidtftantiumlatcrumccqualcs.fitq) 
anguIus.c.vniuscquaIisangulo.c.altCTius.oico^po:tione.b.c.ad.c.g.cffeficut 
e.c.ad.c.d.cfi^ponio.b.c.ad.c.g.fucritficut.c.c.ad.c.d.cpKdicti angulifue/ 
rintadbucequalesioicoillasouasfuperficiesequidiftantiu lateru effe equales. 
coninngam cnim eas angulariter vidclicet angnlum.c. vnius cum angulo.c.altcri 9 
ita cp ouo latera carum que fnnt.b.c.T.c.g.fiant linea vna reruntq, fimiliter ouo 
reUqualatcra.d.c.s,c.e.lineaviia.alioquinfcquerefpcrp:cfentemfpotbe.quecft 
anguium.c.Vntus:clTecqu3lemangulo.c.altcrius.tper.if.p:imi:partcmcecqua 
lem toti.coplcbo itaq, fupficicm cquidiftautmm laterum p:oductis lincis.a.d.f.f 
g.quoufq^ concurrant in.b.eritq, pcr p:imam partem.7 .quinti Vtriufq^ fupcrfi/ 
ciei.a.c.c.c.f.ad fnpcrficiem.c.b.p:opo:tio vua:c quia per p:imam buius #po? 
tio fupcrficici.a.c.3d fup.ficie.c.b.ficut lince.b.c.ad lincam.c. g. 1 fupcrficici. c.f. 
ad eandem fuperfictem.c.b.ficut e.c.ad.c.d.manifefta e p:ima pars p:opofitc co 
clnfionis.Scda ps fic p,.p piima eni fcmtus e p:opo:tio.b.c.3d. c.g. ficut.3. c.ad 
c.b.'Z.c.c.ad.c.d.ficut.c.f.adeandc.c.b.'zq:pofituecpp:opo:tio.b.c.e3d.c.g.fi 
cut.e.c.ad.c.d.erit Vtriufqj 0U3? fupficieru.a.c.c.e.g.ad fugfide .c.b. vti3 p:o/ 
po:tio.crgo pcr p:ima partem.9.quinti.a.c.eft cqualis.c.f.ficq^ patet fcea pars. 

1fc>:opofitio .14- 

1 ^^^lS ^ouotrianguliquojumvnusangulusvniusvniangulo 

abfe^ 1 alteri 9 equalis eqles ftierinr.latera ouos angulos equos 

contincntia cruut mutekefia. <5>i vero latera ouos equos 

angulos cotinentia fuerint mutekefia ouo trianguli eqles 

f5 








1(5 

— I 





a 

b 

c 



LIBER 

cffecoinp:obantur. 

G5mt ©uo trianguli.a.b.c.cd.c.equalc6:fitq5 angulus.cviiius cqualis angnlo 
c.a!rcrius:oico p:opo:ti6nem.a.c.ad.cc.cffc ficut.d.cad.cb.? fi fucrit ,ppo:tio 
a.c.ad.c.e.ficur.d.cad.cb.i p:cdicti anguli fucrint adbuc cqualcstoico lllos On/ 
oi? triangulos cfle cquales-.eoniungam cnim cos gngulariter ita cp latcra.a.ct.c 
c .fiant linca vna.eruntq^ fimi!itcr.b.c.c.c. d. linca vna. alitcr fcqucrctur partcm 
c !Te cqualcm toti .per- 1 cprimui piotrabam lineam.b.c.critq^ per p:imam gtcm 
7.quinti vtriufqj oicroy triangulo^ ad triangulum.c.b.c.p:opo:tio vna: z q: pcr 
p:imam buius p:imi co:um ad ipfum eft ficut.a.cad.cc.i fecundi co:um ad eii 
dcm ficut.d.c.ad.c.b.manifefta cft p:ima pars ppofitc conclufioms.GSccunda 
pars ecoucrfo p:obarur.q:.3.cad.cc.cft ficut p:imi tnanguli ad triangulu.b.c.e 
c.d.c.ad.c.b.ficut fccundi ad cundem pcr p:imam buius-.s quia pofitum cft vt fit 
a.c.ad.cc.ficut.d.cad.cb.critvtritffq^oictommtriangulomm adtriangulii.b. 
cc.Vna p:opo:tio:quare per piimatn gtctn.9.quinri ipfi funt cqualcs. ficq^ paret 
fccunda pars. 

1(b:OpofltiO .if. 

ij 5 faerint quatuo: linee p:opo:tionales quod fub p:ima 
' i Vltima rectangulum continetur :cquti crtt ei q6 fub oua 
bus reliquis. £>i vero q6 liib p:ima i vltima continetur 
cquu. 5 » fuertt ci qo* fub ouabus rcliquis continetur rccta/ 
=1 gulutn :quatuo: lincas p:opo:tionales efle conucnit. 
C5intquatuo:lincc.a.b.cd.p:opo:tionaka:Sitq5 p:opo:tio.a. ad.b .ficut.c 
ad.d.Oico cj> fuperficics contcnta fub.a.s.d.cqualis eft fupcrficici contcnte fub.b 
t.c.i fi fupcrfiicics contenta fub.a.td.cft cqualis fugficici contente fub.b. c.c.oi 
co q> p:opo:tio.a.ad.b.cft ficut.cad.d.^iant cni fupcrficics contcnta fnb.a.i.d 
i fupcrficies cotcnra fub.b.c.c.Si ergo cft ppotfio.a.ad.b.ficut.cad.d. latcra il 
larum fupcrficicrit erunt mutekefia.fed % anguli ab ets contenti cqualcs:q: vtraqj 
cft rccto? angulo:ii: quare pcr fcoaj parte. 1 3 .buius ipfi funt cqualcs quod cft p:i 
mum.GScom patet pcr p:imam partem eiufde.fi cnim ipfe funt eqnales. q: ocs 
anguli carum funt rccti : latcra carum erunt muteWta:quarc p:opo:tio.a.ad.b. 
ficut.cad.d.quod eft fccundum, 

1jb:opofttio .i<J. 

^fuerinttreslineep:opo:tionales q6fubp:ima -: tcr/ 
tia rectangului continetur: equu crit ei qb a lecun Ja qua 
drato oefcribitur. £>i vero qo fub p:ima 1 tertia contine 
tur equum eft ci quadrato q6 a lecunda p:oducitur: ipfe 
trcsunec p:opo:tionalescrunt. 
GSit p:opo:tio lincc.a.adlincam.b.ficut lince.b.ad lincam.coico q> fuperficies 
contcnta fub.a.i.ccqualis cft quadrato.b.t fi fuperficics contcnta fub.a.c.celt 
equalis quadrato.b.oico q> p:opo:tio.a.ad.b.cft ficut.b.ad.cboc autcm dt eui/ 
dene per p:eccdcntcm pofita alia linea que ftt cqualis.b.ita cp.b.fit in rattonc fc/ 
cundestcrrie. 






VI 

^{b:opofitto . i7- 

3" fiiennt ouo triaguli fimilcs p:opo:tio alterius ad altc 

ru cft tanci5 ,ppo:tio caiudibet fui latcris ad iuu rclatiuu 

lat 9 alteri 9 '»uplicata.£}foamfcfTtJ etia cje boc q: onmium 

triu linca^ cotiimc ,ppo:tionaliiJ qua ta e p:ima ad tcrtia 

tanta erit iiipficies coihtuta fup p:uua ad fugfictc cofhtu/ 

ta fup fcoaiu .cii fuerit ei fimilis in lineationc i creatione. 

G6int ouo trtanguli.a.b.cj.d.e.f.fimiles erutqj p. oiffmitione cquianguli ? late 

rum ppo:tionalium.Sit ago angulus.a.cqualis angulo.d.? angulus.b. angulo 

c.^angulus.c.anguto.f.crirq^pwpoitio.a.b.ad.d.e.f.a.c.ad.d.f.ficut.b.c.ad.c 

f .oico cp p:opo:tio trianguli.a.b.c.ad triangulum.d.c.f.c ficut pponio.b.cad.e 

f.oupticata.eubiugat enim ftn oocirina-t o.buius ouabus Ilncts.b.c.c.e.f.tertia 

in continua pjoportionalitatc que fit.c.g.^traaa aut rcfecata.c.b.fi.c.g.fucrit ca 

tnaio: aut mino: 1 pwducatur linca.g.a.critq^ per fc6am partcm. i^-buius trisn 

gulus.a.g.c.cquali8triangulo.d.e.f.p:optcridqb,ppo:tio.a.c.ad.d.f.cOficut.e 

f.ad.c.g.-z angnlus.c.cqualis angulo.f.quare pcr fcoam partcm.7.quinti trian/ 

guli.a.b.c.ad vtruq^ illo:um erit vna ppo:tio:fcd pcr pama buius ppojtto triait 

gu!i.a.b.c.adtnangiilum.a.g.c.cfificutb.c.ad.g.c.atrero ( ppoJtio.b.c.ad.c.g 

ricut.b.c.ad.c.f.ouplicataper.io.ocfcrtptionem quinti:Sppo:tio trianguli. a.b. 

c.ad triaiigulum.d.c.f.e ficut p:opo:tio.b.c.ad.d.f.ouphcata qo cft ppoiituin. 

Si autc.c.g.fit cqualis.b.c.erit pcr fcoam gtcm.i4.bu!us triangulus.a.b.c.cqua/ 

lis triangulo.d.c.f.equatis aute pponio coponitur qc cquali ouplicata vcl tripli/ 

cata vci quotienfciiq, fumpta.3ltam candc paflione" poltcmus code modo 1 pcr 

cadem mcdia oemonftrare oc fupcrfkiebus cquidiftantium Utcru fimilibus fum 

pta folii , 1 3 .p:cfentie loco. i^.Tlon ocmonftrat aute eam.q: per fcqucntcm ocmo 

ftratur vnincrfaliter oc ommbus fugficiebus fimilib^.Quarc p. coxicX. q> vniucrfa 

Ittcrppotriturrjeomnibusfupficiebusfimitibusnodu patet nifi octrianguiis.f, 

ocmonftrata fequcntc patcns crit oc omnibus.pofuit autem ipfum bic ? non in 

fequcnte qnia cft co::ct.buuis.non autem fequentis:cj: modo cnim ocmonftratio 

nis buius fua vcritas manifeftata cft.non ex modo itlius. 

"Jfbiopofttio .18. 

[XHbiies Oue fupcrficics liimles multiansulc funt Oiuifibi 

les in trian3ulos fimilcs atq? numero cquales./Efrq? p/ 

po:tio alterius carum ad alteram ftcut cuiuflibet fui latc/ 

ris ad limm relatiuum latus alterius p:opo:tio Oupticata 

GSint gratiacxcmpli ouo pentbagoni. a.c. d.f.b.k. fites. oico q> 

ipfi funt oiuifibilcs in triangulos filcs numcro eqles.t q> ppo:tio alrcrius co:um 

ad altey e ficut .a.b.ad.f .g.pipoito ouplicata. oucaf ci lincc ouc.a.c.i.a.d.iteq) 

f.b.t.f.k.eritq5gp:cfcntefpotbe;cp,.e.buiustriangulu8.3.b.c.cquiangutu3tri 

angnlo.f.g.b.ttriangulus.a.e.d.triangulo.f.l.k.Similitcr quoq$ pcrbaccoem 

fciam.Si ab cqualibns equalia oemas que re.equa funt:ait trianguf.a.c.d.cqui 

angulus triangulo.f.b.k.llam ipfi pentbagoni pofiti funt cquianguli. t latc? p/ 

ponionaliu:? q: triangnli in quos oiuidunt funt adtnuicc cquianguli: Vt pbatum 

cft.crunt etia i fttes p.4.buius % oiffinitione fimiliu fupficicy.quare cum ipfi fint 

nnmcro cquates patct p:imu. GScom fic.;ptrabanf .b.d.quc fccct.a.c.i ptmcto 

f 4 






LIBER 





m.t.g.k.ciuerccct.f.b.inputJCfo.n.critq5trian5Dlu3.b.c.d.cqm'jngutu8triango 
to.g.b.k.pcr.e.buiu3?p:cfciucfpotb.qu3rcztrt3ngt.lu3.a.b.m.triansrlo.f.g. 
n.?.a.m.d.f.u.k.ergop.4.buius p:opo:tto.b.m.ad.g.n.cft ficut.a.m.ad. f.n.s 
a.m.ad.f.n.ficut.m.d.ad.it.k.quarcpcr.ii.quintt.b.m.ad.g.n.ficut.m.d.ad.n. 
k.crgoEmutatim.b.m.ad.m.d.ficut.g.ii.ad.ii.k.fcdpcrp:tiiiabuiug.a.b.m.ad 
a.m.d.?.b.c.m.ad.c.m.d.ficut.b.m.ad.m.d.-zpercandc.f.g.n.ad.f n.k.?.g.n 
b.ad.b.n.k.ficut.g.n.ad.n.k.CTgop.ij.quiitti.a.b.c.ad.a.c.d.ficut.f.g.b. ad.f. 
b.k.quarepetmurstim.a.b.c.ad.f.g.b.ficut.a.c.d.ad.f.b. k.cade roiic,pbabis 
q> x ficut.a.c.d.ad f.l.k.crgo p. i j.pmi quiti toti 9 petbagoni ad totu petbagonn 
ftcut.a.b.c.ad.f.g.b.pcr pmiffam igitur cft pjoponio pcntbagoiti.a.c.d.ad pcu/ 
Cbagonu.f.b.k.ficut ,ppo:tio.a.b.ad.f.g.oupltcata qo cft .ppoutfi :ct qtio rurfns 
patct coneF.p:cccdcnti3.Gaiitcr pot ocmoltrari fcom.cii cni tnauguii i qtios pc 
tbagoni oiuidunt ftnt adinuiccm funilcs: cric pcr p:ecedctcin p:opo:tio.a.b.c.ad 
fg.b.ficut.b.c.ad.g.b.ouplicata.l.a.c.d.ad.f.b.k.ftcut.c.d.ad.b. k.oupltcata. 
•j.a.e.d.ad.f.l.k.ficut.d.c.ad.k.l.ouplicata.qjigttur omncs bcc,ppo;ti6c3on/ 
pltcatc funt equalcs pjoptcr boc qo pofitu cft ftmpias clfc cqualcs:crit rj.13.quin/ 
ti totius pentbagoni ad totnm pcntbagonum ftcut latci i3 vnius ad fuum relati/ 
unm.latus altcrius p:opo:tio ouplicata. 

1£>iopofirio .19. 
c^pia earam lincam Date fuperficict fiitiilein fuperficicm 
Oclcriberc. 

GSir oata linca.a.b.fup:a qua volo conftitucrc fupcrfictcm fimtle 
oatcfupficiciqucfitpcntbaionanfit.c.d.c.f.g.oiuidobtincpctba 
gonutntriangulosouctisSiueis.d.f.c.d.g.tfugpunciu.a.cofttmo 
angulum equalc angulo.c.oucta linca.a.b.? fupcr punctii.b.conftttuo alium an/ 
gulum:qui fit.a.b.b.cquale angulo.c.d.g. ,ptracta Itnea.b.b.quoufqj coairra: cfi 
a.b.inpucto.b.critq5pcr.jz.p:iniiangulus.a.b.b.equali3angiilo.c.g.d. cidco 
pcr.4.buius latcra ouoy rriangulo:?.g.c.d.t.b.a.b. l ppo:ttonaka:facio quoq> an 
gulnm.b.b.k.ouctalinca.b.k.cqualcangulo.g.d.f.saiigulum.k.b.l. ouctaltnea 
b.c.equalcangulo.f.e.d.?angulum.b.b.k.onctalmca.b.k.cqualeangulo.d.g.f. 
1 angulnm.b.k.l.oucta linea.k.l.cqualc angulo.d.f.e.eritqj pcrfcctus pcmbago/ 
nus qui coftituend 9 crat fup linca.a.b. cft cni equiangulus oato pcntbagono $/ 
ptcr cqualitatc angulo^ tnangulo? in quos cft vtcrqj oiuifus fcd 1 lateru ,ppoi/ 
tionaliu pjopter .ppouionalttatc latcrum ipfo.u tnanguloy qnc ex.4. buius cui/ 
dcnrcr apparct:quarc pcr oiffmitioncm fimtlium fupcrhcieru pentbagonus con/ 
ftitutus fupcr lineam.a.b.eft fimilis pcntbagono oato qo cft p:opofitum. 
1£>:opofttio .20. 

3f fiierint mi fuperficiei fimiles quaflibet fupcrficice ftbi 
tnuicem fmules effe necefle eft. 
GSit vterq^ pentbagbno:um.a..b.c.d.e.f.fimilis pentbagono.g.b 
k.oico cos elTe fimtles fibi muiccm.£ft cmm vtcrq; comm equian/ 
gulus pctbagono .g.b.k.per loacrfwnc ciffinitois filiu fupcrficiqz: 
quarcfutu cquiangult adtiiuicc.Simtlitcrqiioqj p. coucrfionc etufdc oirTmiiionw 






VI 

p:opoJtto.3.b.3d.g.b.ficut.3.c.ad.g.k.t.g.b.ad.d.c.(icut.g.h.3d.d.f.ergopcr 
equam p:opo:tionautatcm.a.b.ad.d.c.ficut.a.c.3d.d.f. eodem modo p:obabts 
rcliqua latera pentbagono:um.a.b.c.?.d.e.f.contmcntia cquos angulos clfc p:o 
po:tionalia.pcr mffinmoncm itaqj fimilmm fuperficicrum lpfi funt ftmitcs adui 
uiccm.quod cft p:opofitum. 

Ifcjopofitio ji. 

3f fuenntquotlibetlinee p:opo:tionalcs gtqj fupbinas 
•j binas limilcs iuperficics oelignentur.ipfe quoq? lupcr 
ficics erunt p:opoJtionales.&i vcro iuper biuas i binas 
iimilesfupcrficieeconftituteruerint.pponionalesupias 
quoqj Uncas p:opo:nonalcs clle nccelle eft. 
GSint quaiuo: lincc p:opo:tiona!cs.a.b.c,d.ficq3 p:opo:tio.a.ad.b. ficut.c. ad 
d.oico cp fi fuperficies fimtlcs conrtituantur fupcr.a.s.b. vtpotc ouo pcntbago/ 
ni fimilcs z alie fimiles conftituantur fupcr.cz.d. vtpotc ouo trianguli fimtles: 
crit p:opo:tio pcntbagonowm ficut triangulorum. Q6 fi fucrint pcntbagoni fimi 
ks i fiimlitcr ctia trianguli fimilee-.fucritqj p:opo:tio pentbagoni ad pcmbago/ 
num:ficut tnanguli ad tnansulu:oico cp crit .pponio.a.ad.b.ficut.c.ad.d.eub/ 
iungafenimlincis.a.l.b.c.tliiieis.c.t.d.f.incontinua.ppouionalitatc-.ficutoo 
cct.io.buiU3.eritq3Pcr.z2-quiutttpercqua ( ppo:tionaUtatc.a.ad.e.ficut.c.ad.f. 
quia crgoperco::ec. i7.butusp:opouio pentbagono:um: cficut.a.sd.cztrian/ 
gulouim ficut.c.ad.f .crit p:opouio pcntbagono:um ftcut triaiigulojuiu:^ boc cft 
primu.GScbm fic patct.Sint ouo pcntbagont fim lcs % ouo trianguli fries. fitqj 
p:opo:tio pcutbagonomm ficut triangnlo:um .oico cp p:opo:tio. a. ad.b. c ficut 
c.ad.d.Sit cnim.c.ad.g.ficm.a.ad.b.boc cnim qualiter fiat.oictum cft fup:a. 10 
buius .z fupcr.g.fiat ficut oocct.io.buius.fupcrftcies ftnnlis illiquc cft conftituta 
fnpcr lincam.c.critq^ pcr p:emilTam fimilis ci quc conftituta cft fupcr lineam.d. 
critqj ctiampcr p:imam partan buius.21.quc p:opouio pcutbagoui.a. ad pcn/ 
rbagonum.b.cadem trianguli.c.ad triangulum.g.fed cadcm crat etiam triangu/ 
li.c.ad triangulum.d.crgo pcr fccundam partan.o.quinti triangutus. d.eft cqua 
lis triangulo.g.ft quia funt fimilcs-.ent linca.g.equalislince.d.pcr p:imam par/ 
tcm.i7.buius cum fupcr lincas.c.d.s .g.fint trianguli:vel pcr fccundam partem 
tS.cum fuerint quclibet alie figurc multiaugulccqualttas cni no .pducit er aliqua 
p:opo:tione ouplicata vcl tripl.cata vel quoticnfhbct fumpta inft ec eqli.ertt ttaq> 
c.ad.d.ftcut.a.ad.b.quod eft p:opofitum. 

^zopofitio .22. 
ftfflncte fuperficies cquidiftantium laterum que circa oia/ 
I metrum conifhmt toti paralellogramo atq? libi inuicem 
H|iuntfimiles. 
||GSit vt tn paralcdogramo.b.d.cuius otamcter.a.c. confiftant fue 

| ftcics.g.b.^.f .k.cquidiftatiu latetu.circa oiamctrfi.oico cas ec fttes 

toti gatellogramo 1 fibi iutce.e eni p fcbas b 9 .b.g.ad.g.cs.d.b.ad.b.c.ficut.a.e 
ad..e.c.crgoconiuncti5.b.c.ad.c.g.i.d.c.3d.c.b.ficut.a.c.ad.c.e.qreE-n.bui 9 
b.c.ad.c.g.ficut.d.c.ad.c.b.fcd etiam ficut.a.b.ad.e.g.cu.a.b.fit eqlis.d.c.t.c. 
g.b.c.codemodocrit.3.d.3d.e.b.ficur.a.b.ad.c.g.«.d.c.ad.b.c.quiaergoift3 










h 

c 




LIBER 

paraldlograma lunt cquiangula conftat pcr oiffinitionc fimilinni fuperficiqj.g.b. 
clTe filc.b.d.Sili quoq^ modo.pbaf.f.k.ec fitc eide.,ppf boc cp.b.a.ad.a.k.^.d.a 
ad.a. f .c ficur.c a.ad.a.e.g fcoaj bui 9 z c6uiaa ( ppoHionalitatc:qre g.2o.bi,i 9 .f.k 
c eti a ftfe.ir .b.fkq} p, totu. lfb:opolitlO .z). 

f^^CT.S •» fos fpaciogalellogramu parttale oifttnctum totipa 
y$$g$& ralellogramo iiimle.atqj lcDm fuu illms efie fuci it:circa. 
" i ciufdem oiametram conmht. 
I GSit ut in paraUllogramo.b.d. it oiftinctum paralcllogramii. f.g. 
ijqo fit fibi fimilcz fcom fuu cc.i.participans cu co in anguio.c. oico 
q> paralcilogramu.f. g.confiftit circa oiamcrru paralcllogrami .b.d.z. cft bcc con 
uerfa p:cccdcnris.p:oduca cni.a.e.c.quc fi fucnt oiamcter paralcilogrami.b.d.co 
ftat p:opofitiim.Siu autcm fit.a.b.coiamcrercius.? oucaf.b.k. cquidiftans.f. 
c.critq; pcr p:emilTam paraIeilogramu.f.k.finulc galcllogramo.b.d.crgo per con 
nerfioneoiffinitionisfiiniliumfuperftciey.ppomo.b.c.ad.k.c.cficut.d.c.ad.f.c. 
fed pcr eande" coucrfione oicte oiffimtionis ,ppo:tio.b.cad. g.c.e ficuc.d.c.ad.f.c 
p:optcridq6palcllogramum.f.g.pofiiumcftl"imilcparalci;ogramo.b.d.ergop« 
1 1 .quinti p:opo:tio.b.c.ad.g.c eft ficur.b.c.ad.k.cvtraqjeni eft ficut.d c.ad.f.c 
quarc p fccuda ptc nonc quinti.g.ccft equaiis.k.cpars vidcacer toti quod c im/ 
poffibilc.frit igitur.a.c.c.oiamctcr £aldlogrami.b.d.quod eft p:opofitum. 

1{B:opofitio .24. 
nXIfbnium ©uarum fupcrficieruiit cquidiftantium latcrnm 
quarum vnue angulus vntus vni angulo altcrtns cqualis 
,ppouio alterius ad alteram c que ^dncttur ejc ouab'" 1 pzo 
poJtionibus fuo? late? ouos cquos augulos ptincntium 
CSint oucfugficics equidiftanttu latcru.a.c.i.e.d.fitqj anguf.b. 
Vmus cquatis angulo.b.altcrius. oico # ( ppo:tiovniusadaitcra ( pducra cftejc 
p:opo:tione.a.b.ad.b.d.t.c.b.ad.b.e.oifponacnimbasouasfupficiespcnitu8 
ficut oifpofui cas in..i 3.buius.adiuncro ad vtraqj paktlogramo.cd.? ponam ut 
^poHiolincc.f.adlinca.g.fitficut.a.b.ad.b.d.t.g.ad.b.ficut.c.b.ad.b.cquali/ 
ter eni boc fiat.cictum eft fup:a.io.buius:cricq5 pcr p:ima buius.f.i i.quinti. a.c. 
ad.c.d.ficut.f.ad.g.c.c.d.ad.d.e.ficut.g.ad.b.quarep.22.quintierjtiucqua ( p/ 
po:tionalitatc.a.c.ad.d.c.ficut.f.ad.b. z quia.f.ad.b.p:oducitur ejc.f.ad.g. ?.g ; 
ad.b.Vt oictu e in finc expofmonis.i i.oiffinitqis qnti.crtt ut.a.cad.d.c.,pducar 
cxcifdr.qrccoftat.pporitu. l|b:OpontlO .2j. 

atefupftcici (imilcm ahjqj .ppolite equalem ocfignare. 
CSint ( ppofitecuefugncicsrcailiiicc.a.penrbagona.23.cxagcna. 
vo!o faccrc vna fugficiem filein.a.i cqualc.b.vtraqj ^ppofita^ fupcr 
ficiey refoluo in tnangulos.a quidc^ i triangulos.c.a.d.iB.vcro i 
triangnlos.c.b.f.g.c fup. bafim fuperficici.a.quc fit.b.k.coftiruo fc 
cudii ooctnna.44.p:imifupcrnciecquidiftantiumIaterum rectangulam cqualcm 
c.quefit.b.l.j.l.m.cqualcm.a.c.m.n.cqualcm.d.utfittotafuperficicsequidifta 
tiumlatcrum.b.n.conftitutafupcrbafim .b. k. equalis pcntbagono a. £odem 
modo fupcr tincam.k.n .quc eft frn latus buius fupcrficici conftituo alia fuperfi/ 
ciem rcctangula eqlcm cxagono.b.q: facio.k.o.cqualcm.c.i.o.p.equalc.b.t.p.q 
equale.f.c.q.r.cqualcm.g.vt fit tota rcctangula fupcrficies.n.r.equatis cjagono. 





VI 

b.c pono pcr.9.buiu8 lincam.f.r.p:opo2tionaic intcr lineam.b. k.z linca.k.r. i 
fupcr cam fcom ooctrinani. i p.buius conftitno fupcrficicm. v. fimilcm fupcrficici 
a.Pico ipfa cik qua querimus i cqualcm fupcrficici.b.cum cni, trcs linec.b.k.f.t, 
c.k.r.fint centinuc pwpotfionalcs.? fupcr p:ima i fccuda fint conftitute fupcr/ 
ficicsfimilcsvidclicet.a.'!. v.critpcr co::cl'.i7.buius.3.3d.v.ficut.b.k. ad.k.r. 
quarc pcr p:imam buius ficut.b.n.ad.n.r.i ideo pcr primam partcm fcptimc qn 
ti ficut.a.ad.n.r.? p:optcr boc pcr fccundam partcm einfdem ficut.a. ad.b. itaq5 
pcr fcbam. partc.j.quinti. v.cft cqualis.b.qr) eft pjopofitum.CQri ctia poffum 9 
c% pmutata ^ppojtionalitate facile .pbare.quia cum fit. 3.3d.v.ficut.b.n.ad.mr. 
crit pcrmutatim.a.ad.b.n.ficut.v.ad.n.r.iquia.a.cftcciualis.b.ii.erit.v.equa/ 
lisn.r.quare.v.eftetiaequalis.b.pcrbanccomuncfcicntiamiquecuncpvnicci/ 
dcm funt cqualia inter fc funt equah'3.116 eft aute neccffariu vt fupcrftcies.b. l.l. 
m.t.m.n.equidiftantiumlaterumcqualcstriangulis.c.a.d.aut fngficics.k. o.o. 
p.p.q.-z.q.r.cquales triangulis.c.b.f.g.fint rectangnle. fcd ut angulus qctrinfcc 9 
Cupcrficici.l.m.fit cqualis angulo intrinfeco fupcrficiei.l.b.? cjftrinfecus.m.n.in/ 
trinfcco.m.l. 5imilitcr quoq3 ut octrinfecue fupcrficici.k.o.fit equalis intrfnfcco 
fupcrficici.b.n.s gctrinfecus.o.p.intrinfeco.k.o.ficq5 oc ccteris. £um cni5 fic fuc 
rit crit vnaquaq^ lincarum.k.n.'? fibi oppofita.b jn.itcmcp.b.r.i fibi oppofira.n 
q.ltnca vna pcr vltlmam partcm-29.p«mi:i per- i4.cinfdcm: quotiens opo:tuc/ 
rit equalitcr rcpctitas:p:opter id q6 omnes fupcrficics.b.l.l.m.c.m.n.3tcmq5.k 
o.o.p.p.cj.s.q.r.funt equidiftantium laterum i angulus cjtrinfcc 9 cuiufq5 fcque/ 
tis cft cqualts intrinfeco ea pccdentistquare ouc fupficiee.b.n.s.n.r.crunt cqui/ 
diftantium latcru z intcr lincas equidiftantes, i equalis aUitudinis. £ctera crgo 
arsucvt prius: 1|b:opofitio .2<S- 

tlTper oimidiu batelmeepalellogramu Oefignatum ma/ 
mseeopalellogramo cuioate Imee applicatooceftad 
copletione linee fil'e i fug oiametruj conuftens fupcr oi 
midium collocati. 

CSitoatalinca.a. b.fupicuiuB&imidiu.c.b.coftitiiatrjalcIlosramfi 
c.d.cutus otamcter.b.e.i ad linca.a.b.appltccf palcllogramu.a.f.cuius vnu lat 9 
fccct.c.c.in puncto^g.ita cp ad coplemcntu totius lince.a.b. oefit mpjicics. f.b.q 
fit fimilisfiipficiei.c.d.? confiftcs circa oiamctru eius:oico tunc q? psldlogrsmu 
e.d.cft mai 9 galellogramo.a.f .£ft cni p p:tma buius.a.g.cqualc.g. b.-; p.4j.p:i 
ini.c.f.cqualc.f.d.ergo per bac comnne fcicntiam:fi equalibus cqualia addae.lc. 
crit gnomo coftans ejc tribus paicllogramis q funr.c.f.f.b.i.f.d.eqlis paldlogra 
mo.a.f.quarepalcllogramu.c.d.emaiusgalcllogramo. a. f.i palellogramo.e.f. 
qo c p2opofnu. 3dc ctia eet fi fugficies.a.f.ficrct aitioi fupficie.c.d.vt vidcre po/ 
tcs in fccuuds figura i qu3 etia per p:ima buius.a.g.e cquale.g.b. ocmptis itacp 
vtriq5 ouobus fupplcmctis fuperficici.f.b.cycedct palcllogramu.c.d. £>3lcllogra/ 
mnm.a.f.in palcllogrsmo.f.e. IJhlopofitio .27. 

]WUlatera lUperftcte .ppofita equu ei fup quelibet afhgna/ 
ta linea paiellogramu ©efignare cui Oelit ad coplcda line 
am s " 
fuum < 
locato minime maius ejriftat. 





1 alij fupficiei.ppofite ut'e palellogramu qo" fc"6m eiufdc 
im effe paralcllogramo fuper oimidium oate linec col/ 




c 


l 










a 


e 


b 


f 


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1 




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a < 




b 



i c b 




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K 


p 


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D 

9 b 




1 1/ 

a e / b 



LIBER 

G5it affisnatalima.a.b.cpjopofitus triangulus.t.pjopofituq^ Ealcllogramum 
d.Volofupcrlincam.a.b.ocftgnare£aldlogramu equale triangulo.c. itacpoefit 
ad coplcndam lincam.a.b.paralellogramu fimilcd.? fit ita condirionatu. cp tri/ 
angulas.c.non fttmaio:palcUogramofiinili.d.coUocato fup oimidiu linec.a.b. 
alioquin ad impoffibile labo:aret per p:emtlTam. Diuido igttur linca.a.b.per e/ 
qualia in puncro.e.t fecundum oocrrinam. i o.buius.fupcr eius medietatcm .e.b 
conftituo paraldlogramu^.e.f.fimilcd. i complebo fuper totam lincam.a.b.pa 
ralellogramu.b.g.quia igitur.c.uon efr maio: paralcllogramo. e.f. fcd cqualis a 
aut mino: ficut pofitu cft. 5i fncrit ei eqlis.crit palcllogramii .c.g-.qualc intcndtf 
g. 3<s.pmi coadinuatc pma p.tco.? p oifTinirione fitiu fupjicicru f.2p.bui°.Si aut 
mio: fit mio: in,fupaficie aliq cui eqlis i fitis.d.fiat pm 00ctna3.2f.bums que fit 
b.eritq5.b.fimilis.e.f.pcr.2o.buius.quarc perconucrfionem oifftmtionis cquian 
gula fibi z p:opo:tionalium latcrum:p:otrabam igitur in rjakllogramo.c f.oia/ 
mctrum.b.k.? rcfccabo latera.k.f.c.ck.fupcrficiei.cf .ad menfura laterum fup/ 
ficici.b.p:otractis lineis.l.m.s.n.c.cquidiftantibus latcnbus fuperficici.c. f.fc/ 
cantib 9 fe in pucto.p.Vt fupficies.k.p.fit cqualis % fimilis fup/icici.b.critq^ p.2j. 
buius punctu.p.in oiometro.k.b.p:otracta itaq5.cn.vfq5 ad.a.g.oico paralcllo 
gramu.a.p.efle qle ,pponif .Decft cni ftbi ad coplcmctu lineca.b.pallcUogramu 
p.b.qb per.22.c20.bums eft ftmilc palcllogramo.d. Sed ipfu etia palellogramu 
a.p.eft equale triangulo.c.£ft cnim pcr p:ima buius.a.n.equalc.n.b. crgo £.45« 
p:imi:«bancc6muncmfctentia5:ficqualibuscqualia"addas.«.paralcllogramu 
a.p.cftcqualegnomoni.n.b.l.-Jquiaiftegnomocftcqualtstriangulo.c.pwptcr 
id q» paraldlogramu.e.f.pofitum fuit clTe maius triangulo.c.in paralcUogramo 
b.qo cft cqualc paralcllogramo.k.p.patctsp:opofirum. 

IJbJOpofitio .28. 
] ^per oatam lineam oatc fuperficiei trilatereequum pa/ 
raleUogramutn conftituere .q6 addat fupercdpletionem 
oatc lince fupcrficiem equidiftantium lateruj oate liiper/ 
|B@Cgyw ficiei equidiftanrium laterum fimilem. 
IGj^^^SjCBit vt p:ius oatalinea.a.b.i oatus triangulus.c.oatttmq^ para/ 
lcllogramum.d. volo luper lincam.a.b.conftitucre galdlogramu cquale triangu/ 
lo.c.qo' addat fuper totam linea.a.b.palcllogramu fimile.d.oiuido lincam. a.b.g 
equalia in puncto.cc fupcr cius medicratcm.c.b.facio.e.f.fimilcm.d. rin q6 00/ 
cet.io.buius. ■zpmooctrinam ^.buius.facio.k.l.cui^oiamctru.g.b. ftmilcm.d 
«equalemouabusfupcrficicbus.e.f.t.c.eritq5pcr-2o.butus.k.l.fimilis.c.f. fug/ 
pofita igitur fuperficie.k.l.fupficiei.e.f.tta cp abe comunicct in angulo.g.crit pa 
2 j.butus fuperficies.e.f.conftftens circa oiamctrum fuperftciei. k.I. quarc puctu 
b.cft in oiametro.g.b.coplcbo igitur palcllogramu.a.b.qb oico efle quale ,ppo/ 
nitur.qocoftat .ptractis linea.f.b.vfq^ ad.m.? Iinea.cb.vfq5 ad.n.£ft cnim pcr 
p:imam partem buius.a.k.cqualc.k.b.c idco pcr-4 j.p:imi e etia eqlcn.f. addi/ 
to ergo Vtriq5.cb.crit p coej fdam.a.b.equale gnomoni. c.b.f. fcd iftc gnomo c 
equalistrianguIo.c.quiaparalcUogramu.k.l.pofitumfuitcqualc ouab 9 fuperfici 
cbus.c.f .cf.crgo palellogramu.a.b.e eqle.cz addit ad coplcmetu lincca.b.pa 
Icllogramu.m.n.cp p.22.?.2o.b 9 c fife p.alcUogramp.d. qre pftat pfectu effe quod 




VI 




volumus.piolTumus aut ad linca oata adiungcre galdlogramu equalc no folu tri 
atkrc fuperficici pofitc.fcd i cuilibct rccnlinec figurc p:opofite quccunq^ ipla fuc 
rit cui oefit ad copleuda liucam oatam f uperficics fimitis fupcrficici cquidiftanri 
um latcrum p:opofite:ficut 00C5 picmifTa obferuata couditione cius nc labojaur 
ad impoffibile per antc p:cniilTam. vcl <p addat ad coplendam lincam luperlicie 
equidiftantium laterum fimilcm fuperficici p:opofitc:ficut p:opouit cuctufio p:c/ 
fens.p:opofitam cnim fnpcrficiem cui eqnale paralcllogramu ocbct ad hnea oa/ 
tam adiungi.q6 addat aut oiminuat ad complctiouem Imee paralellogramu fimi 
le paralcllogramo oato:rcfolucmus in triangulos.c ipfis mediantibus oelcribe/ 
mus fupcrficicm equidiftantium laterum totali fuperfictci p:op ofitc equalcm.boc 
autem qualiter fiat:* fi fcire votucris.require.2j.buius.oebinc fupcr ouplum ba/ 
fis eius equatis atntudmis t:iangulum coftituemus quc fi.44.p:imi oitigentcr trt 
fpeyeris paraleltogramo p:ius oefignato inuenics effc cqualcm :quarc * fupcrft/ 
tiei p:opoftte:buic crgo triangulo fi cqualc paralcllogramu ad lincam oatam ad/ 
iunxeris qo addat ad complemcntum lince aut minuat paralcllogramu fimile pa/ 
raldlogramo oato fecundum q> oocet bic et p:cmilTa:quod p:opofitum crat te p_/ 
fccilTcnonoubites. 1(fc>:opofitio .29. 

Mamlibet lineam p:opofitam fecuudw p:opo:tionem ba 
bentem medium.ouoq^ejrtrema fecare. 
GSit p:opofitalinea.a.b.cJ5 volo oiuidercfccundu p:opo:tionem 
babenrenvmedium * ouo ertrema cr. ipfa ocfcribo quadratum .b.c. 
* ad cius latus.a.c.adiungo ftn qb oocct p:cmiffa paralcllogramu 
cd.cquatc quadrato.b.c.cp addat ad coplemcntu lincc.a.c.paralellogramu.a. d. 
cj> fit fimilcb.c.fitq^ latus galeltogrami.cd.q6 equidiftat.a.c.d.e. * fccet lincam 
a.b.inpuucto.f.oicoIinca.a.b.clTeoiuifaminpuncto.f.ficutp:oponitur:efteni 
a.d.quadratum p:optcr id q6 cft fimile.b.c.quare.a.f.cftkquale.f.d.fcd *.f.c.cft 
equatis.a. b. ptopteridqo cftcqualis .a.c. per.34 p:imi:*quia.c.d.cquale.b.c. 
oempto vtrtiq^.c.f.erit.a.d.cqualc.c.b.* angulus.f. vnius angulo.f.altcrius.cr/ 
goper.i}.buiuslaterafuntmutckefia:ergo.c.f.ad.f.d.ficur.a.f.ad.f.b.'zq:.c.f. 
tft equalis.a.b.*.f.d.3.f.erit.a.b.ad.a.f.ficut.a.f.ad.f.b.ergo per oiffinitioncm 
eft oiuifa ut piopomtur.^dcm etiam poteft ocmonftrari ex.i i.fecundi -.oiutdatur 
cnim.3.b.inpuncto.f.fmq6ooc5.ii.fecundi:fitq5.e.b.q6coininetur fubtota.a. 
b. * eius parte .f.b. ita cg .f.e.fit equalis.a.b.l.a.d.fit quadratnm. a.f. eft itaqj 
per ptcdictam. 1 i.fecundi.e.b.equate.a.d.q6 rcftat argucre ut p:i 9 : pcr.i 5 .buius. 
Velfic cum.a.b.fit oiuifa in puncto.f.fccunctum q6 oocet. 1 1 fecundi.q» fit ex.a.b. 
p:ima in.f.b.tertiam clT cquale quadrato.a.f.fecundc. crgo pcr fccundam partc" 
i6.buius p:opo:tio.a.b.p:ime ad.a.f.fecunda cft ficut.a-f.fecunda ad.f.b. tcrtia 
pcr oiffinitionem itaq^ oiuifa eft.a.b. vt p:oponitur. 
1fb:opofitlO .50. 
5 fuerint ono trtanguli fupcr vnti angulu pltituti quo:u 
ouo latera angulu iuus continentia ouobus altjs eo:um 
lateribuseqnidiftet.fiierihtq, tlla qtuo: latera ic6m equi 
diftantiamrelatap:opo:tionalia.»llos ouostriangulos 
j fuper vna lineam rectam coftitutos effe necefle eft. 
GSmt ouo tnanguIU.b.c.d.c.c.pftituti fup angulii.a.c.d.utqj.a.c. eqmdiftas 





f 







LIBER 

d.e.f .d.c.a.b. .« fit p!opoma.cad.d.c.ftcnt.a.b.ad.d.ct>ico <p oue bafcs eo 
rum.b.ct .c.cfunt Lnea vna.£ft cnitn angulus.a.equalis angulo.d .qma vterq> 
eoium cft equalis angulo.a.cd.per piimampartem-29.piimi:igitur pcr piefente 
fpotbe.?.<> .buius ipfi trianguli funt cquianguli. * angulus. b. eft equalis angulo 
d.ce.i angulus.a.cb.angulo .e.quate pcr .}2.pitmi:tres anguli qui funt. ad.c 
funt cquales ouobus rcctis:ipfi cn'v equant tribus angulis vtriufhbct ouoium tri/ 
anguloium.ergo p.. i4.piimi.b.e.cft linca vna:quod eft piopofitum. 
-^rtopofitio .)i. 
fllR omni triangulo rectangnlo faperficics lateris <p fub/ 
I tcnditnr angnio recto equalis cft lupcrnctebus tmo:u la 
J terum angulumrectumcontinentium pariteracceptis.cu 
| W |gg9 ! fucrintfimilesciinltneationeicreatione: 
I fr™ «ssfll fl Q6 pioponit penulria piimi oe fuperfictcb 9 quadratispiopomt 
bic penultima fetti oc omnibus fuperficiebus fimtlibus .vndc bcc cft illa tato vni 
uerfalicn qnato fupcrftcics tatcrata qdrato.C&it itacp triangulus. rcctaugulus.a 
b.c.cuiusangulus.a.fitrcctus.oicocp fupcrftcies conftitwa ftiperUtus.b.t.eft 
equalisouabusfupcrftcicbusconftitutisfuper.a.b.^.a.c. cujomnestrcs fupcr/ 
ficics fuerint fimiles m figura % fitmoncam perpendicularem.a.d.ad lincam.b.c 
critq5perfecundapartemcoiiet'.8.buiuspio?o:tio.b.c.ad.c.a.f;cut.c.a.ad.d.t. 
t.c.b.ad.b.a.ficut.b.a.ad.d.b.6iitaq5fupcrqualibcttrinlincaium.b.c.c.a.«.a 
b.ftat fupficies fimilis alijs in ftgura i fitu.crit per ccwcf .u.buius ppoitio (up./ 
ficici coftitutc fup.b.c pma.ad coftituta fup.c.a.fcoaj ftcut.b.c.pinc ad.d.cttia i 
ite eiufde fupftciei coftttute fuc> b.c.pma ad coftituta fup a.b.fcoaj licut.b.c. pme 
ad.d.b.ttia p ideconef.qrc p c6ucrfa ( ppoition«litate fupficiei.a.cad fup.ticic.cb 
ficut.cd.ad.cb.s fitV fupficicl.a.b.ad ffffcie.b.cftcut .b.d.ad ifftcie-b.c.z ponat 
a.c pma'Z.c.b.fc6a?qrta?.c.d.fupftciesttia.«.a.b. fugficicsquita. *.b.d. fupfi 
cics ferta.* arguaf g .24-quiti qo pioposio fnpcrftcict conftirute fupcr.b.c. ad. 
©uasfuBficie8Conftituta8fupcr.c.a.«.8.b.fimul.eficut.b.c.ad.c.d.«.d.b.fimu! 
qmaigitur .b.c.cft cqualis ouabusUneis.cd.f.d.b.fimul fnmptis .etit fupcrfi/ 
cics couftituta fupcr.b.c.cqualis ouabus fuperficiebtts confhtutis fupcr.ca.c.a. 
b.fimul fuptisiqo cft ppofitu.G£6ucrfam quoqj bu.us polTumns factle ocmon/ 
ftrare pcr modu ocmoftrationis vltimc piimi.fit cni mangul 9 .a.b.c fitqj fupcr/ 
ficies conftituta fug.b.ccqualis ouabus fuperficicbus conftitutis fupcr ouas line 
as.a.b.i.a.cfibi fimilibus.oico q> anguius.a.cft reaus:pona cnim angulu.ca. 
d.rcctu.s Itnea.a.d.cqle.a.b.? daudo ffftcic oucta linea.d.c.eritqs p bac. 3 1 .fupfi 
cies coftituta fnp. .cd.eqlts ouab 9 coftitutl ff ouas lieas.c.a.c.a.d.fibi fittb 9 .qrc 
ctia coftitute fug.b.cftW fiK.bcc cni pofita c ec.Us ouabus c6ftitutisfup..a.b.?.a 
cfibt fifibus-.crit crgo linea.b.cequalis.cd.ciuarc p.8.p:imi angnlus. a. e reaus 
qocftpiopofitum. Ifcnopolitio .?*• . . , .. , 

3f in circulisequalibns mp:a centru nuc fup:a ctrcufcre 
tiam anguliconftifant .eritanguto:um p:opo:tiotancJ5 
p:opo:tio arcuu illos angulos fufctpicnrinm. 
GSintciTculi.a.b.c.cuiu8Ccnnu.d.c.eif.g.cuius centru.b. eqles: 
s-J fup quo? centra fiant ouo anguli.b.d.cz.f.b.g.c fup eo^ circftfcrc 
xm altj ouo qui fint.b.a.ct.f.cs.oico cp^poitio angulo? ra eo?2 q fut fup cctra 




VII 



q5 co:um qui fupcr circufcrcutias:eft ficut arcus.b.c.ad arcum.f.g.cotinuabo eri 
illis ouobus arcubus alios arcus equales.fiue fcom cundc numeruimfiuc fecuiidu 
Oiucrfos:fitci5 arcus.k.b.equalis.b.c? vterqj ouojuui arcuum.l.m.U.l.equalis 
f.g.cp:oducamttnca3.k.d.k.a.m.b.l.b.m.c.?.l.c. eruntq3 pa-2s.tert.1j anguli 
qui funt ad.d.adinuiccm cquales.5imilitcr quoqs i qui funt ad.b.adinuice equa 
les.jjdem etiam oc bis qui fut ad.a.s oc bis qui fut ad.c. ftcut igit arcus.k.c. eft 
multiplcjcarcus.b.cntaangulus.k.d.c.anguli.b.d.c.iangulus.k.a.c.anguli.b.a 
c.ftmiliter ficut arcus.m.g.eft multiplcr. arcus.f.g.ita angulus.nv.b.g.anguli.f.b. 
g.? angulus.m.c.g.anguli.f.e.g.fed fi arcus.k.c.cft cqualis arcui. m.g. angulus 
k.d.c.eftcqualisanguIo.m.b.g.?angulu8.k.a.c.angulo.m.c.g.tfimaio:maio 
tcs.z (i mino: mino:es per.2<s.tertij.per oiftimrionem itaqj incontinuc p:opo:/ 
tionalitatis p:opo:tio arcus.b.c.adarcum.f.g.eft ficut anguli.b.d.c. ad anguuij 
f.b.g.c ficut anguli.b.a.c.ad angulum.f.c.g.quod cft p:opofitum. 3dem intclli/ 
ge in eodcm circulo. £jcpucit liber fextus.3ncipit liber feptimus. 

Iftttaseft qu^ \?rta queq^ resvna oicituf - . 
C IB umcrus eft multttudo ejc vmtatibus co 
pofita CTRaturalisfcrtesnumero:um otci 
tur ui qua fccundti vnitatts additionem fit 
ipfojum computatto.C^Differcntia nnme/ 
ro:um appellatur numerus quo mato: ba/ 
budataimuo:e.C"iRunierusp:imu8 0tcit 
qui ibla vmtate mctuur.CBnmerus com / 
pofitus Otcttur quc alius numcrus metitur. 
CTRumeri contra fe p:imi oicunf .qm nullo 
numcroexccpta fola vnitate numcrantur. 




ClRumeriaJinuicemcompolltilme comumcantes oicuntur .quos 
alius numerus 0,3 vmtas mctitur.nullufq^ eo:um cft ad aliu p:imus. 
ClRumerusperaliuni multiplicarioicttur.qui totiens iibi coacer/ 
natur . quotiens in multiplicaute cft vnitas. C 1fc»:oductus vero oi/ 
citur qui er. eo:um multtplicatione cretcit. C IB umerus alium nume 
rarcoiciturquifecundualique multiphcatus illu^dticu.Gl^arse 
numerusnnmerimino:mato:iscum mino: maio:em numerat./£t 
qui numeratur numerantismulttplc); appellatur. Ci£>enominaseft 
numerus fecudu quc pars fuintf m luo toto.C&imiles oicuntur par 
tes que ab eodem uumero oenominantur . Cljbhma.fimpla uumert 
pars eft vnitas.G /Suando ouo numcri partem babuerint comunem 
totpartes maio:is oicetur efte mino:.quotiens eadcm pars fuertt in 
mino:e.toteveroquotiensupfafueritin maio:e.iGlBumeri adnu/ 
merum oicttur p:opo:tio mmo:is quidem ad maio:em in eo quod e 
maio:isparsvelpartes.£)C>aio:isvcroad mmo:em iecunducpeu 
continetieiuspartemvcl partes.CCum faerint quotlibetnutneri 
cotinuc ^»po:tionales Oicef ,ppo:tio p:imi ad terttu ficut p:imi lcom 
ouplicata ad qrtu Vero triplicata.C/Cu cotmuate fuerit eede vcl 01/ 
uerfe,pp02tione8 Oicef^ppoMio p:imi ad vUimu ej; omnib^cdpoiita. 




LIBER 




CeDenomtnatio bicirar p:opo:tiouis mino:is quicle nameri ad ma/ 
io:cm pars.vcl partcs ipfius mino:is.que in maio:e litnt .«QDaions 
autemadmmo:cmtotum.Vcl totum? parsvel partc6:p:outmaktt 
fupcrflutt.G£)imtlc0fiuevnaalijcadcinotcurar p:opo:tiones qne 
candcmOcnominattonemrecipiuiit.X)DaiozvcroquemaioJc.i36i/ 
no: autem que nuno:em.GTBumcri vcro quo? ,ppo:tio vna:,ppo: 
tionalcsappellanmr.C^erminiftueradicesotcuntquibus in cade 
,ppo:tione mino:es fumi ipofftbile eft . Glfcetitioues funt quacu 
raoJ.GCmltbet numcro quotlibet polTe fumi equales p:out Itbet.vC 
multipliccs.GiSuoUbet uumero alique quatultbet fumerc poflc ma 
to:em.G0eriem numero:um ininftnitum polTe p:occdere. GlBul/ 
lu5 numey in infinitu polTc oiminui. CComunes auiir.i coceptio 
nes fnnt ecce. C/Omnis pars mino: cft fuo toto.GzQuicunqj ciufde 
ftue equalium fuerint equc multipUccs-.ipft quoq? eru t cqtes.C £2ui 
buside numcrus cque multiplcr, fuerit Itue quo:u5 eque multiplices 
fuerintequa!es:?ipliertameruntequales.C/6>mnis numeri parse 
vnitas ab ipfo oenominata.C iOmnis pars eft mino: que maio:e ba 
bet ocnominationeimaio: vero quc mtno:cm. CiQuiltbct numerus 
toras eft ab vnitate.quota pars iplius c vnitas. Gi_3uicunq5 numcr? 
tnvnttatcm oucitur.feiplum p:oductt. Sinitas quoqjin quccuq^Ou 
cta pioduciteundem. G/Quicunq^ numerus numcrat ouosmumerat 
quoq5c6pofttumexiUis.Ci0uicunq5numeru8numerataliquc:nu/ 
mcrat omnem numeratum ab illo.GjQuicunq^ numcrus numerat to 
ram i oetractunr.numerat reftdnum. 

1£>:opolitio .1 
3f amaio:eouo:um numeroy mino? oetrabatur. ooncc 
mtnus eo fuperftt.&c ocinde »e mino:e ipliim reliquum 
oonec minus eo rclinquatur: _f teq^ a rcliquo p:imo rdi 
quu fecundu quoulq^ mtnus eo fuperfitiatq^in buiufce/ 
_JJ modi conttnua Oetractione nullus fitcrit rcliquus:qui an 
tem relicmm numeret Vfq5 ad Vmtatctmeos ouos numeros contra fe 
p:imos cffe necefle eft. 

CSint ouo numeri.a.b.c.c.d.c.d.mino: ectrabaturq^.e.d.cjc.a.b .quotiens po' 
teft:« fit rcfiduum.c.b.qui crit minoj.c.d.alioquin poffct c% ipfo adbuc octrabi.c 
d.oetrabatur i ipfe.c.b.qc.c.d.quotiens poteft.fitq^ refiduii.f.d.fed t.f.d.octra^ 
batur er.e.b .quoricns potcfr: i fi renduum.g.b.g; fit vnitas. oico tunc ouos nu > 
meros.a.b.c.c.d.effc contra fc p:imos.5i cnim funrcopofiti numcrabit cos co/ 
munitcr pcr oiffinitione aliquis numcr 9 p:ctcr vmtatcm qm (it.b.t quia.b.nume' 
rat.c.d.numcrabit.a.c.per pcnultima c6ccpttonc:«quia idcm numcrat. a.b. nu/ 
merabit etiam.c.b.pa vltima coccptione.crgo c.c.f.per penult. quare i .f.d. pcr 
vltima.crgo c.g.c.per pcnult.crgo «.g.b.p Mli.l quia.g.b. eft Vmras. fcqutf nu/ 
merum effe parte vnitatis vel fibi equalcm:quod cft impoffibile: erunt igitur.a.b 
c.c.d.contra fe pjimi quodeft pjopofitum. GQ6 ft ouo numeri .a.b . i.cd. fint 
contra fe pjimi.non erit in bac mutua octracttone ftatus antccJ5 ad vnitatem p/ 
ueuiatur.fteftiftudconuerfumetosijauctoj pjoponit. Staiitc" inbac mutua 





VII 

octractione fucrit ftatus anfccfe perucni3tur ad vnit9tcnv.fft vt.g.b.fft numcrus 
qtie oetrabatur ab.f.d.i nibil fit rcfidtm.igitur.g.b.numcrat.f .d.crgo g pcnuf. 
conccpt.nnmcrat i.c.%.1 quia ctiam numcrat fc ipfu numcrabit g antcpenuf.co ' 
ccpt.totum.cb.cr50 pcr penuf.numerat.cf.fcd oftenfum cft prius cp numcrat.f 
d.crgo per antcpeuuf.numcrat totum.c.d.quarc p pcnuf.numcrat.a.ct q: ofte/ 
fum cft prius q> etia numerat.c.b.fcquitur pcr aiuepcnuF.vt etiam numerct. a.b. 
quia igitur numcriis.g.b.numcrat vtruq3 ouoy numcroy.a.b.^.cd.numeri.a.b 
s.cd.funt copofitimo igitur contra fc primi qo eft contra ypotbc. Gper banc er^ 
go viam p:opofttis quibufqj ouobus numcris inucftigamus vtru ipfi ftnt coiura 
fc primi.ff cnim tali facta mutua octractionc pcrucniat ad vniratcm.fpfi funt coii' 
tra fe primi.Si autem fit ftatus antcifc perueniat ad Vnitate ipfi funt compofiti. 
I^opofttio . 2 . 
jlTRopofttis ouobus numerisadinuicem compofftisfmarf' 
mum numcrum comunem cosnumerante inuenire. ©tri 
manifefhjtneftquiaomms numerusouosnumeros nu/ 
merans numerat numey majrimum ambos numerantem . 
! GSintouonumcric6pofiti.a.b.t.cd.mio:.cd. q:snumerateos 
comuniter aliquis numcrus p oiffinirionc; volo inucnirc marimii nurneru cos co ' 
muiiiter numcrate. frn modu 1 fimilitudine prio:is:minuo mio:c oe maiori qtio/ 
adpolTum.vidclicct.c.d.oc.a.b.«fitrefiduii.e.b.itcmq5.c.b.oc.c.d.quoadpof/ 
fum.s fit refiduu.f.d.c quia buius oiminutio no pot ficri tfinities pcr vlniua pc/ 
titiotiemmccpot ctfa ad vuirarcpcrueiiirc in p:opoftto pcr p:cccdciucquia tnnc 
effciu numcri ,ppouti cotra fc primt. q6cft contra ypotb .ftt ut cu octrajccro.f.d. 
cce.b.quoad potcro cp nibil ftt rcfiduu.oico tunc.f .d.effc manmu numcrum nu' 
mcrante.a.b.i.cd.Go cnt uumerct cos patct pcr pcnuf.s antepcnuf. cocep. al/ 
tcrnatim quoticus opouucrit rcpctitas ftcut in ocmoiiftrationc conuerfc picccdc^ 
tis.Tlnincrat cni.f.d.cb.q: cum ab ipfo oetrabitur quoad poteft nibil ftt rcfiduu 
crgo c.cf.per peuuf.coccp.crgo i.cd.p. antcpcnuf.quare s.a.e.pcr pcnuF.igitur 
«.a.b.pcrantcpcnutf.i3Dautniillu8niaio:.f.d.iiunierct.a.b.T.cd.ficpatct. 5i 
enimfieripotclt:fitnumcrus.g.maio:.f.d.numera8vtruq5ouo?iiumcroy.a.b. 
c.cd.quiaigitur.g.uumcrat.cd. numerabitpcrpcnuf. conccp.a.e. cq:uume/ 
rat.a.b.numerabit pervltima.c.b.ergopcrpcnul.numerar.cf.squiaetiamnu/ 
mcrat.c.d.numcrabit per vtf .f.d.mau» videltc^ mino:e:quod eft impoffibile. £j: 
bocfcifo . pccff u tiquet co::cf . Ifbzopofitio 

iRopofitis tribus numeris adinuicem copofttis I majrimu 
numero^ eos coiter numcrantium inucnire. 
Cpiaufq; banc tertta coclufionc oemoftrcmus: oemoftrandii arbi/ 
tramur ipfi 9 afis:Videlicct .ppofttis tribus numcris qualitcr potcri/ 
mus ccrtificare an ipff fint adinuice compofiti.CSint itaq^ tres nu 




mcri.a.b.coe quibus Volo vidcrc vtru ipff fint adinuicc copofiti.pcr prima igitur 
fnquiro an 0110 primi qui funt ,a.i. b.ftnt adinuice pmi:qo' fi fic no eni t .a .b.c.ad 
inuice copofiti.p oifrtnirionc.Si aut.a.t.b.fiit admuice copofiti:fit per p:cccden 
tcin.d.marim 9 numeru8 eos numcras:qui ff numcrat.cerut pcr oiffiuittone.a.b 
cadnuncc5 compofiti.Si autc 116 numctat ipfii /5 ipfi.c.f.d.quide funt contra fc 
primi.no erunt.a.b.t.adinnicantopofiti.Tlaqufciiq^ nuiuerarct eosmumcrarct 

S 



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— i 1.1 



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a 


\i 


b 


*7 


c 



LIBER 

etiam.d.g coixLpiccedcntie.ticy, effent.d.«.c.copofiti c\6 cft contra fpotbe . Si 
aute.c.«.d.funt copofiti erunt etia.a.b.c.adinnice copofiti. Sit eni per piemifia 
e.mapmus numerans.c.«.d.qui cria p> pcnult.c6cep.nnmerabit.a.«.b.qu3re per 
©iffinitione.a.b.c.funt adinuice copofiti.CSiti quoq^ mo fcietur .ppofitis quotli 
bct pluribus q*5 tribus an omnes fint ad inuicem c6pofiti."fMopofitis itaq5 trib 9 
qui funt adinuicem compofiti.qui etiam fint.a.b.c. volo inuenire majimu nume/ 
rum numerante omnes.Sumo i m ooctrina p:cmiffe.d.majcimu numerante. 3.* 
b.qui fi numerat.c.ipfc eft que qucrimus.alioquin per co::ef.p:ecedentis fcqucre/ 
tur maio2cm numerare mino:em.Si autem non numeret.cerut tame.c. «.d.ad/ 
inuicem copofiti pcr*fpotbe.« co::ef.p:ecedentis e oiffinitione. fit igitur mayim 9 
cos nnmcrans.e.oico.e.effe msjcimum numerante.a.b.c.Q6 enim eos numeret 
patct per bauc vlt.fpotbe.que eft ipfu(n effe mayimii numerante.c.«.d.« per pe/ 
nult.concep.£t cp nullus eo maio: nuineret eos fic patet.fit enim fi poteft fieri.f. 
maio:.e.quinumeret.a.b.c.quicunumerct.a.«.b.numerabitp.co::cf.p:cmiffe.d 
* quia etia numerat.c.numerabit p. ide co::et'.c.maio: videlicet mino:em quod eft 
impoffibile.Tlon crit igitur numerus aliquis maio:.e.numerans.a.b.c.q& e p:o/ 
pofitum.GSimili quoq^ modo inuenietur majamus numerus numerans quotli 
bet plurcs tribus adinukcm compofitos: vnde no opo:tuit eudidcm oe pluribna 
tribus boc oocercrquia idcm eft modus « ars in tribus i pluribus. £jc vltimo aut 
buius oemonftrationis p:oceffu:poffumus ctiam tftud co::eF.buic tetrie condn/ 
fiohi adijcere. 23nde manifcftum eft cp omnis numerus numerans quotlibct ad/ 
inuicem compofitosmumerat maximum numerantem cos omnes.« etiam mayi/ 
mos numerantes binos « binos eo:um. 

•"IfbZOpofltiO .4- 

jiXlfintumOuoJmnrtatnerozu inequalium minojmaiozto 

|aut pars eftiaut partes. 

i CSiut ouo numcri.a.«.b.b. mino:. oico cp.b. eft pars vel ptes.a; 

{ Sut eni.b.numerat.a.aut no.fi numcrac pars eius e p. oiff initione 

jjSi no liumcrat ipfum.aut ergo funt adinuicem p:imi aut no:fi non 

funt adinuicem p:imi:babebunt per oiffinitioncmpartem comune^: quequoties 
fuerit in.b.tot partes.a.oicetur effe.b.per oiffinitionem.fi autem fint adinuiccm 
p:imi:quia tamcn omnis numcri pars eft vnitas ab ipfo oenominata.patet idcj 
pcrvnitates. Ifbzopofttio f. 

~1 3f fuerit quatuo* uumeri quo:um pnmus tota pars fecnn 

\ di quota tertius quarti-.erunt pzimus i tertius pariter ac/ 

kepti tota pars fecundi « quarti pariter acceptojum quo/ 

jtap:imusfecuiidi. 
_JC23olcns eudidcs bos lib:os oc numcris aliquo p:cccdentium non 
indigere fed pcr fe ipfos ftare: partej cius q& p:opofuit pcr p:ima quinti oe qua/ 
titatibus in gcncrc:p:oponit pcr banc quinta buius fcptimi oe numeris.Sint igi 
tur.4.numeri.a.b.c.d,fitq5 .b.tota pars.a.quota.d.cotco cp.b.«.d.pariter ac/ 
cepti fut tota pars.3.-7.c.paritaacccptoy:quota.b.eft.a.oiuifvseni.a.«.c.fc6m 
quatitate.b.«.d.argumetarc ficut in p:ima quinti.erit cni ut totide funt gtes.a. 
quot.c.pcr pofitione: z ut aggrcgatu er pma p.te.9.« pma.c.fit cquatc aggrcgato 
cjc.b.«.d.fimilitCT quoq5 « aggregatu e% fc&a p_rc.|3.« fc&a.c. « q: bec aggregatio 





VII 




rotienspotcft ficriquoticnscoutinetur.b.in.a.fcquilur vi numerus equalisag, 
gregato cjc.b.f.d.totiens cottneac in aggregato cjc.a.«.c.quoticns. b.contiuctur 
in.a.quareconftatp:opofitu. Ifbjopofltio <s 

i| 3 fuerint quatuoz numeri qttoatm pjimus tote ptes fcoi 

quote tertius quarti:enmt p:imus i tertius parirer acce/ 

pti tote partes fecundi i quarti pariter acceptozum. quo 

tep2imusfecundi. 

G-Q6,ppofuit pjemiffa oe parte:;pponit ifta oe partib*. Sint itaq^ 
vt pjius quatuo: numcri.a.b.c.d.fitq^ ut.b.fit tot z tote gtcs.a.quct t quotc .d. 
e.c.oico cp.b.c.d.paritcr acccpti erunt tot i tote gtes.a.s.c.pariter acccptomm: 
quot i quotc.b.cft .a .oico aut tot i totas:q: p>riurpluraliras ouobus numcris oif 
finitunquoy alter numcrato: oicif alter oenominato::ut cu oicim°trcs quinte:tcr 
narius numerat:quinarius oenominat.Ouia igic.b.cft pres.a. fit vt fint gtes ei 9 
numerate ab.b.i oenominate a.k.eritqj fimilitcr g pofitione.d.parrcs.c.nume/ 
rate ab.b.s oenoiate a.k.23na itaq^ pttu.b.fit.e.t vna gtium.d. fit.f. critqj per 
fpotbce.pars.b .oenominata ab.b.i pars.a.oenominata a.k. Similiter quoqj 
■z.f.erit pars.d.fcom.b.? p>s.c.fc6m.k.£6pofitus igitur c%.c.i.f. fit.g. eritq5 per 
pxmiffam.g.gs.b.f.d .paritcr acceptoi; fc6m.b. itecg per eande erit pars. a.cc 
pariter accepto^ fcdm.k.quare per.i<s.oiffinitione crunt.b.cd.pariter acccpti g/ 
tes.a.c.c paritcr acceptoju numerate ab.b.s oenoiatc a. k.eo q> eo:um comunis 
pars eft.g.mino:is frn.b.« maioris ftnX? quia fic erat.b.a.conftat jipofitum. 
Gpotes aute i per banc i pjemiffa q6 ,pponit oe quatuo: numeris ad quotlibct 
numaos ampltare:q> fi quotlibet numcri minoies ad totidem maio:es copareuc 
fuaitqj fingule finguloz/ tota pars aut partes:quota vcl quote pjimus f<6i:crunr 
quoq5 omncs pariter accepti tota pars aut gtes omnium paritcr acccptoz; quota 
vel quote pjimus fcoi.qo facilc p:obatur r> banc i p:emifl'am: quotiens opojtuc/ 
rit repetitas.£t fi crederemus cffe intentione eudidis affumae q. p:ius oemon/ 
ftratis aliqua ad oemonftratione eo^.-que bic p:oponit e%. 1 5 .quinti-.facile oemo 
ftraffem 1 ' banc fetfam .Tlunc autem q: videc oppofitu alita eni fupauacue p:o 
pofuiffet multaoenumerisqueoemonftratafuntinquintooe quantitatibusit» 
gcnae.Tleccffebabuimusp:op:i)svti oemonftrationibus tanqua ejcpuojibus 
nibil fumentes:folis buius fepttmi contenti p:incipijs:p:opta qo 1 paitioncs 1 
coes animi coccptioncs «ppofiti p:op Jtas no incouenien tcr buius feptimi p:inci/ 
pioappofuimus. 

IfcHopofitio .?. 

% fuertnt ouo uumeri quoium x>nus alterius pars oetra/ 

baturq^ ab ambob? ipfa ps: erit reliquus tota es reliqm 

quotatotustotius. 

Q.Q6 p:oponit bic euclides oc numais piopofuit fupcrius in quin 

ta quinti.oe quantitatibus in genae.Sit itaq^ ut quota pars cft to 
tus.a.totius.b.tot 9 fit.c.oetractus ab.a.d.oetracti .a.b. oico q> tota erir.c.refi/ 
duns.a.f.rcfidui.b.quota cft totus.a.totius.b.? bec eft quafi couerfa quinrcSit 
enitn gpctirione .c.tota ps .g.quora.c.eft.d.aitq^ p.f.tota ps.a.copofitiejc .5. 
1 .d.qtiota cft.c.d.quarc 1 quota ca.b.igir per fcoam < oecp tione copofitus. cjc.g, 
?.d.eft cqualis.b.oempto itacg ab vtroq; numero.d-erit.g. cqualis.f. quarc cric 

S 2 





LIBER 



|S 



4 9 



4»- 



5 <* 



. tota pars.f.quota efr.a.b.tota enim crat.cg.quod cft p:opofitum. 
1(b:opofitto 8 
ii3faouobusnumerisquo:umalter alteriuspartes p:o/ 
pofitis partes ille fubtrabamr.erit reliquus ; reltqui eede 
i partesquiefttotustorius. 

|Gbcccftquaficduerfafcrte:vtfifit quoti quotcptcgcfttotus.a. 
totius.b.totitotc.c.ociractusab.a.d.octracti.a.b.crit.c.rcficlu''.» 





tot i totc ptes.f.refidui.b.quot z quotce.a.b.6it cni.g.vna ptiu.a.f.b. vna par 
tium.c.CTitq, ,ppter ypotb.g.tota Es.a.quota b.c? tota.b.quota. b.d.octrabac 
tgitnr.b.oc.g.i rcmancat.k.eritq-, k.p pmiffa tota pars.c.quota.g. a.? tota.f.p. 
eandc quota.g.b.quia igitnr.e .i.f.babcnt partc comunc quc e.k.crit pcr. «s : oif/ 
finttione.e.ptcs.f.totquidcquotaparscft.k.e.?totcquotacft.k.f.iquia tottt 
tote erat.a.b.patct pwpofitum. 

IfcrtopofittO 9 
5 fuerint quatuo: nnmeri quo? p:im? fcrii tota gs quota 
tertius quarti:erit pmutatim tota es aut gtcs p:imus ter/ 
ti j quota pars aut partes fecundus quarti. 
G6it.a.pnmu3totapar3.b.fc6iquota.c.tertius.d.quarti.fintq5a 

\ ■j.b.minoK3.c.c.d.alitcr cni clTet econuerfo ci qo p:oponit.oico cp 

qnota pars vel ptcs cft.a.c.tota vd totc cft.b.d.oiuidanc cni .b. quidc frn'quati/ 
tate.a.d.vcro fmi.cernntq^ perlpjcfentem ypotb.tot partes.b.quot.d. 1 q: vna/ 
queq5Etium.b.eftequalis.a.ivnaqq5.d.c.c(taute.a.c.psautptc3 pcr p:efente 
ypotb.?pcr qaatuo: eritvnaqqjpartium.b.fuc c6pariscrpartibus.d.utp:ima 
p:ime fc6a fc6e:ficq5 oe cctcrts tota ps aut ptcs quora vel quotc cft.a.c.pcr. 5 .igi 
turvcl.fi.fub oifiuncttone qnoticns oportueritrcpctitas-.erittotaparsautptes 
b.d.qnota vel quote cft.a.c.quod cft p:opofitum. 

1{b:opoftrio 10 
% fiierint quatuo : numeri quoy primns tote ptes feciidc 
quotetcrtiusquarti:eritgmutatim p:imustota parsaut 
partes tcrti j quota vet quote fecundus quarti. 
C6intqnatu02numeriutp:ius quojsfimilitcr miuoKS fint.a.et 
_-J .b.fitq^.a.totcptcs .b. quotc.c. cft.d. oico q> quota parsaut gtes 
cft.a.c.tota vel tote cft .b.d-oiuidantur cnim mino:es iu partcs illas qui funt.a. 
i.c.cruntq5 pcr p:cfente ypotb.tot partes.a.quot.c? quia vnaqq^ cr. partibus.a 
eft tota pars.b.quota quelibct cjc ptibus.ccft.d.boc eui babemus cr. nfa fpotbe. 
crit permutatim per p:cmiffam:ut quota pars aut ptes c.b.d.tota vcl tote fit viia 
qqj er partibus.a.fue coparis er. partibus.c.p quinta igitur vcl.fi. fub oifiunctioe 
quotiens oportuerit rcpctitas:erit tota pars aut ptes.b.d.quota vel quotc e.a.c 
quodcftpwpofitum. 1{b:opoiitio .11. 

"^^ fiterint quamo: numeri ,ppo:tionales quoy p:mr le/ 

cudo 1 terri? qrto ftt maio: :erit fc6s totapars.aut partes 

I p:imi quota ve! quote quart^tcrtij .£16 it lc&s fuerit tota 

1 gs aut partes p:imi quota vcl quote quartus tcrtij quatu 

.|oi numeros p:opo:tionalcs efteconucnict. 

G5itp2opo:tio.a.ad.b.ficut.cad.d.fintq5.a.i.cmaio:c3:oicocpquotapsaut 





VII 

partcs cft.b.a.tota Vd totc eft.d.c.s ec6uerfo:erit eni p conncrfione oiffinitiota 
fimilifi ,ppo:tionfi Vt quotiens.b.in.a.rotiens fit.d. in.c. c fi qua ps aiit ptes.b. 
fupcrfluunt in.a. tota pars aut ptes.d. fupftuant in.c.fi itaqj contincaf . b.in.a. 
finc fupfluitate gtis:q: toticns finc fugftmtate continef .d.iu.c.erit per oiffinirio/ 
ne fitium gtium:quota ps.b.a.tota.d.c.cp fi quoticnflibet contincf .b.in .a.cuj fu 
perfluitatc partis:q: toticns continef .d.in.c.cu fugftuitatc ftfis ptis oiftincto .a. 
ftn.b.ut fuperfluat.e.atxtf.c.fmt.d.ut fupctfluat.f.erit rota ps.c.b.quota.f .d. St 
qi totiens continef .b.in of3.3.3d.e.quoticus.d.in of3.c.ad.f. crit g cocm fciam 
toticns.c.in.a.quoticns.f.in.c.cfiigif.a.t.b.babeat.e.ptcmc6munem:fiHter.c.« 
d.f.fititaq5.e.in.b.quoticns.f.in.d.itemq3.e.in.a.quoticns.f.i.c.critpcr.is.oif/ 
finitione.b.tot i tote ptes.a.quot i quote.d.c.Si aut.b.quotienfhbct continef in 
a.cfi fupfluitatc quotlibet gtiutmq: totiens continef.d.in.c.cfi fugfluitate totidcm 
i fimiliu ptium:oiftincro.a.f'm.b.vt fupftuBt.e.fifiter.c.fm.d.ut fupcrfluat.f.crit 
e. tot i tote ptcs.b.quot x quote.f.d.fumpta itaq; vm et ipfis argumentandum 
nt p:ius:ficq5 patj p:imu. GScom fic.fit.b.a.tota ps aut ptes quota vd quote.d 
c.oico cperit ,pporrio.a.ad.b.ficut.c.ad.d.fi cni eft tota ps conftat p:opofitum. 
Si autem tote ptes oiuifis cis fro partes iiias patcbit toticns elTe.b.in.a. quoti/ 
ens.d.in.c? tota parre aut ptes.b.fuperftuerein.a.quota aut quotc.d.fupfluunt 
in.c.p. oiffinitione itaqj cft ( ppo:tio.a.ad.b.ficnt.c.ad.d.ficq5 tiquct totum. 

1{b:opolitio .izi 

h*5^^*jni 3f a onobus numeris ftn fuas p:opo:tiones Ouo nume/ 
}M C»gM! ri oerrabanturxrtt p:opo:no reltqtti ad rcliqmmi tartitf 
* p:opo:tiototiusadtotam. 
G.Q6 p:opofuit eudides in. 19.quinti.oe quatitatib*in gcncre:p:o/ 
ponit bic oe numcris.vt fi fit p:opo:tio totius.a .ad totum.b.ficut 
c.oetracti.ab.a.ad.d.oetractum.3.b.erit.e.rcfidui.a.ad.f.refiduu.b.ficut.a.ad 
b.Si enim.a.fit mino:.b.erit p p:efcnte jpotb. 1 per couerfione oiffinitioie.c.to 
ta pars aut ptes.d.quora vcl quote cft.s.b. pcr.7.igitur Vel.s.crit. e. tota ps aut 
panes.f .quots vcl quote e.a.b.per Oiffinitione igitur erit ;ppo:tio vns: q6 e p:o/ 
pofitu.Qo fi.a.fit maio:.b.erit per p:ima ptem pmilTe quota pars aut ptes.b.a. 
tots vct totc.d.c.quarc p.7.vel.$.tora vel tote erit.f.e.itaq; per fcoam parte p:c/ 
miffe.e.ad.f.ficut.3.3d.b.qu3rcconftatp:opofitum.i:cduntaut buic.^.c.s.bec 
cnim fola cp ambe ille continet.I5oIunt aut quids fcosm parre buius p:obare pcr 
1 9.quiuti:fcd fi boc intenderct eudides:cum ifta ,pponat particularitcr qb illa vni 
ucrfalitcr vsnc illa oemonftrata in quinto .ppofuiffet banc bic in feptimo : 1 quia 
itcrum non oemonftrat cam fimptr p. 1 ^.quinti.a t vcro ncc modu ocmonftratio 
nis illius poffunt affirmare ad txmonftratioue buius cum illa ocmohftrcf i quan 
titaribns in gencre.g ^portionalitatcpmutars quc infra oemonftratur in nume/ 
ris.£pftimo sntcm % rationabilttcr conuinci videtur euclidem quc vultu ocmon / 
ftrato:is arifmetici:gr3tia occimi in quo fine numerom aliqua p:ccognitione tra/ 
firc non potcrat conftst affumerei idcirco plurima co:um que in quinto oe quanri 
taribus in genere ocmonftrauit. bic rcpetere oemonftrada oc numeris: quoniam 
per atia p:indpia p:op:ia videlicct numcrojum que magis nota funt intetTcctui q'5 

S5 



ix 

a 



•f 



c 

— i 1 

1 6 




LIDER 

a per que ,pce(Tit tti quinto ipfa oemonftrare intendiltpjincipia cnim quinti p:o 
ptcrmaliciam cpatitatuminc6icantiumoimciliafunt:p:incipia vero numcro:ii 
magis vltro fc intdlecuii applicatffacilmfqj qj illa.£gcm cnt illa intdlcctu magis 
oifpofito. 1Jb:opoutio .1?. 

3f fuerintquotltbet numeri ,ppo:tionale9 quantus erit 
Vnus aiis ad fuu pfequete:tantt erfit oes antecedetes pa / 
riter accepti ad oes cofequetcs pariter acceptos. 
(LQ6 ,ppoBit euclidcs g. i j ^uiiiti oe quantitatib 9 i gcncrc ^pponit 
JjJ p banc oe numeris-.vt fi finr.a.b. «.cd.?.e.f.,ppo:rionalcs oico cp 
q e,ppo:tio.a.ad.b.ea eft q.a.ce.paritcracceptoy ad.b. d.f.pariteracccpros.S» 
cnim.a.c.e.fint mino:es.b.d.f.eric pcr couerfione oiffinirionis quota ge aut par 
tcs.a.b.tota vcl rote.cd.i.e.f. per.j.crgo vd per .u.quotiens opo:tuerit rcpcti/ 
tss:crit quota pars vd partcs.a.b.tota vd totc.a.c.e.pariter acccpti. b.d.f. pa/ 
ritcr acccptoy:quare pcr oiflfinitione #po:rio Vna.&i autcm.a.cc.fimt maio:es 
b.d.f.critpcrp:imampartem.u.quota pars vdpartcs.b.a.tota vdtote. d.ci.f 
e.pcr.f .crgo vcl.<J.quoticns opo:tuerit repctiras:erit quota pars vd partcs.b.a. 
tota vel tote.b.d.f.pariter accepti.a.ce.pariter accepto:um.iraq5 per fcoam par 
tem.ii.p:opo:tio.a.ad.b.ficut.a.c.c.pariteraccepto:umad.b.d.f.pariteracce/ 
ptos:quodeft p:opofitnm. 

Tjbiopofitio .14. 
% fuerint quatuo: numeri p:opo:tionales:permatarttre 
quoqj p:opo:tionales erunt. 
| CLZTSodiiargucdiqui oiciturp:opo:tiona!itaspermutataqudoe/ 
monftrarlit eudidcs pcr. itf.quinti in quatitatibus in gcncre:,pponiE 
bic ocmonftrandu i numeris: vt Si fit ( ppo:rto.a.ad.b.ficuc.cad.d 
crit pcrmut"atim.a.ad.cficut.b.ad.d.erit eni.a.maio:.b.aut mino:: fitr qooqj et 
maio:.caut mino:.5it itaqj p:imo mino: vtroqyerit ergo ppKfcntcmfpotbe.ee 
conuerfioncm oiffinitionis.a.tota pars aut parres.b.quota vd quotc.cd.pcr.9. 
itaqj vd. lo.erit pmuratim.a.tora pars aut ptes.c.quota vd quotc.b.d.quarc pcr 
Otrtinitione p:opo:tio vna.Sit igitur.a.maio: vrrocp :critq} pcr primam partcrrt 
11 .vr quora pars aut partes eft.b.a.rora vd rotc fit.d.c quare per.9. vel. ictota 
pars aut gtc3 erit.b.d.quora vcl qoorc.ca.igirur pcr fc6am parte . 1 i.crit.a.ad.c. 
ficut.b.ad.d.Sittertio.a.maio:.b.imino:.c.erJtq5f)p:imapte.ii.totaparsant 
gtes.b.a.quora vd quorc.d.cquare pcr.9.vcl .lo.quora vd quotc cft.a.c tota vd 
toteerit.b.d.pcr oiffinitione itactj ,ppo:tio vna:23ltimo quoqj fit.a.mio:.b. ma 
io:q5.ccritq5 vt tota pars aut partes fit.cd.quota vd quorc eft.a.b. per.9. itaqj 
vd. lo.crit tota vd tote.d.b.quota vel quote.ca. quare pcr fccunda partem. 1 i.t» 
ad.d.ficut.a.ad.cftcq5 conftat p:opofitum:buic aute ccduf .9. vd. 10 . q:lxc fola 
qo ambc illc p:oponit. "}|b:opofttiO .15. 

3ftiCTintquotlibanumenalijq5fc6fn eo:um numermn 
omncfqi two ejcp:io:ibus fcdui p:opo:tioncm omnium 
Ouo:a5 ejc pofierio:ibus] in p:opo:tione equalitatis p:o 
po:tionaleserunt. 

GDfiodii argucndi qui oicit cqua,ppo:tionalitas qua ocmonYtrauit 
eucltdcs p..z2.quinti oe quatitatib 9 tn gcncrc .pponit bic ocmoftradu in nnmcrfe 





VII 

Oircctc ( ppojtt6al!tatis:cquaaut^»po7tioatitatcquaocm6ftrauttpcr.2j-quintt:tc 
quatitatibus indircctc ,ppo:tionalit3tis non .pponit ocmoftradu i raimeris:fed ca 
oentofrrabim 9 infra fug. i 9 .buius.Tlcc cft ncccffariu ut pdcmolrremus i numcris 
q6 ocmoftrattl c p.i i . quinti oe quanrattb 9 i gcnere videlj fi quotlib^ .ppouioes i 
numerisfuerint vni cqles vcl eede ipfas ee ftbi cqles vcl cafdc .boc eni manifefhT e 

pcr oiffinirione ut fi.a.ad.cz.cad.f.ftt ficut.b.ad.d.ent tam.a.c.qVc.f.tota i?s 
aut partes.quota vcl quotc.b.d.aut totiens contincbir.a.c.f.c.f.quorictis.b.d.t 
totaparsaurparresfupcrflucnr.c.in.a.c.f.in.e.quora velquore. d.in.b. q:erg'o 
quotaparsautEtese.a.c.totavdtotceft.e.f.autquotiens.a.coutinct.c.torteus 
e.f.rquotaparsautpartes.c.fnperfluunr.in.a.totavelrote.f.m.e.erirpcroilTi/ 
nitione.a.ad.c.ficut.e.ad.f.5int igitur nt .pponitur numeri.a.b.e. z alt| rottdciu 
c.d.f.fitqj.a.ad.b.ficut.c.ad.d.i.b.ad.e.ficut.d.ad.f.oico 9 crtr in equa ,ppo:/ 
ttonalitarc.a.ad.e.ficur.c.ad.f.criteni perp:cmilTam.a.3d.c.ficut.b.ad.d. fed z 
b.ad.d.ficut.e.ad.f.quarc.a.ad.c.ftcut.c.ad.f.igtf pcreande.a.ad.e.ficur c ad f 
ide erit fumptis plunb 9 :ficq3 coftar ,ppofitu.GQm aut cuclides cctcras quatuo: 
fpecies ,ppo:ti6alit3tis quc funt conucrfa:coniucta:oifiuncta:cucrfa :non .pponit 
eemonftrandas in numcrisxouentcs arbirramur cas quas aucto: tanqj factlc oc 
monftrabilcs ptcrmifit ocmonltrare:1b:imu iraq> oemotiftrabimus conuerfa:vt 
fi fit.a.ad.b.ftcut.c.ad.d.oico q> crir ecouerfo.b.ad.a.ficut.d.ad.c.fi eni fucrir.a 
mino: b.tunc qttoq; erir.c.mino:.d.'Z rora pars aut partes. a.b .quota vd quotc 
c.d.quarc pcr fcoam prem. 1 i.erit.b.ad.a.ficut.d.ad.c.fi autcm fuerir.a.maio:.b. 
erit quoq, c.c.maio:.d.t per p:imam partem. 1 1 .b. tota pars aut parres.a.quota 
vdquotc.d.c.peroilTinitioncmigitur.b.ad.a.ficut.d.ad.c. 
C '£>ifnmctam pzopoJttonalitatem oftendere. GHt fi fit.a.b.ad. b.fi 
tur.c.d.ad.d.erit.a.ad.b.ficut.c.ad.d.critcnimpermutatim.a.b.ad.c.d.ficut.b. 
ad.d.Tr.i2.ficut.a.ad.c.q:crgo.a.ad.c.ficur.b.ad.d.critp,mutatt.a.ad.b.ficut 
c.ad.d. GConkmctepzopoHionalitati oemonftrationem affcrrc 
GMtfifit.a.ad.b.licut.c.ad.d.erit.a.b.ad.b.ficut.c.d.ad.d.critcnipmuratim 
o.ad.c.ricut.b.ad.d.quarcp.u..a.b.ad.c.d.ficut.b.ad.d.pmutatfmigiturcrita 
b.ad.b.ficut.c.d.ad.d. G/£uerfam p:opo2ttona!itatcnt rcftat in mime 
nsftabiltre. GlUfiftt.a.b.ad.b.ftcut.c.d.ad.d.crit.a.b.ad.a.ficut.c.d.3d 
t.critcntpmutatini.a.b.ad.c.d.ficut.b.ad.d.qrcp.i2.ficut.a.ad.c.pcrmutarim 
igirur crit.a.b.ad.a.ficut.c.d.ad.c.patct itaq^ totum.fr bis quoq^ lcue e ocmon 
ftrare i numeris cp cucKdcs ( pponit p pcnn!t.quiti oe quaritatib 9 i genere videk q> 
G0i p:opo:tio p:imi ad fcom faerit ftcut tcrtij ad qrro quinti qnoq? 
ad iecnndum licut fqcti ad quarmm :erit p:opo:tio p:inu 1 quinti pa/ 
rtter accepto:um ad fecundum ficut tertij 1 lerti ad quartum . 

Glitftfit.a.ad.b.ficur.c.ad.d.itemq^.e.ad.b.ficur.f.ad.d.erunt.a.^.c.pariter 
accepti ad.b.ficut.c.ad.f.parircr accepti ad.d.crit enim per conuerfam p:opo:tto 

nalitatcm.b.ad.e.ficut.d.3d.f.qu3repcrequ3mpiopo:tionalitatem.3!ad.c.ficut 
c.ad.f.ergo coniunctim.a.?.e.ad.c.ficut.c.c.f.3d.f itaq; pcrcqua p:opo:tiona/ 

[it3tem.a.t.c.3d.b.ficut.c.t.f.3d.d.quodcftp:opofitum.£odemq5modop:o/ 
babisecouerfo .fi fir.b.ad.a.ficut.d.ad.c.ireq5.b.ad.e.ficut.d.3d.f.erit.b. ad.a. 
«.e.ficut.d.3d.c.T.f.critenimperconucrfam p:opo:rionalitate. a.ad.b. ficur.c" 
ad.d.quarcpercquam.3^d.e.ficm.t.ad.f.«coniuuctim.9.«.ead.c.ficut.c.c.f. 

S4 




I — 1- 



%r 



}° 




LIBER 

ad f igitnrcc6ncrfo.e.ad.a.«.c.ftait.f.ad.c.*.f.per«jo9ttaq5 piopoitionaltta/ 
tcni crit. b.sd.a.«.e.ficut.d.ad.c.?.f.q6 crar ,ppofitu.£j: boc qnoq, manifcftu c 
q> fi fucrit .ppoitio quotlibet numeroz; ad piimu ficut tottdcm auo£ ad fcom.erit 
aggregati ejc omnibns anrcccdcntibus ad pmu: ad pmit ficut aggregati c% oibus 
ahtib 9 ad fconv.ad fcrim.itcqj ccoucrfo fi fuerit,ppottio pini ad quotlibct numeros 
ficut fc6i ad totide alios:crit ptimi ad aggrcgatu c% oib 9 phtib 9 ad ipfu:ficut fcot 
adaggrcgatuc^oib pntib 9 9dipfu. /l^opofitto .*. ... • - '^ 
~l l ^numeretvnitasaUquenumeyquotiesquilibet terttus 
1 alique quarturerit quoq? pmutati ut quotics vmtas numc 
I rat tertium totiens iccudus numeret quartum . 
nGUt ft fit vnitas ad.a.ftcut.b.9d.c.erit pmmatun vnitas ad. b.fi/ 
-Jj cut .a.ad.c.Tlon fupfluit aut bec ocmonftrara pmurata .ppoitione. 
non eni c% tlla pot codudi qo bic pioponitur.tti illa oemonftrata cft oc.4..nume 
ris ppoirionattbus: vniras vcro no eft nnmcrus f> oiff initioncboc ergo mo patc 
at pjopofitum.oiutdaf .a.g vnitatcs c.cim quatttatcm.b.cruntq-, per ptcfenrem 
vpotbc.tot ptes.a.quot.c.i quia vnaqq^ parttu.a .eft vnitas « vnaqq> pnunt .c. 
eft equalis.b.erit ut quottens vnitas in.b.totiens vnaqqj tmu.a.in fua copan cj: 
pttb 9 .c.p modu ttaq3 ocmoftratiois. s .fcquct toticns effca.in.cquoticns vnitas 
in.b.qoeftpioporitum. *]fc>20poutio .17. 

% ouo2uin numero:tn vterqj oucatur tn altcruiu :qm m/ 
de pioducentur erunt eqnales. 
CSicut fi ejc.a.in.b.^ucniat.cz cx.b.in.a. ( pneniat.d.erunt.c.«.d 
cqualcs:cu eni.b.multiplicatus g.a.,pducat.cerit g couerfiouc oitfi 
^nttionis.b.in.cquoticnsviiitasin.a.ergoppicmilTamcrir.a.in.c 

quotiens vnitas iu.b.t qt tottens cft.a.ctia tn.d.qj ccb.in.a.fit.d.fcquitur ut to 
ticsfit.a.t.c.quoticsin.d.ECOiiccpt.igitur.c.^.d.fuiufimilcs.polluinusquoqi 
banc conciufioncm alio ntodo ,ppoiicre:fi ouo? numcro2>vtcrq5 oucaf in alreru 
ide numcrus vtrobiq^ .puenict: vt fi ej:.3.in.b.,puentat.cidc etia ecb.tn.a. pio/ 
ocniefqt cni ejc.a.in.b.fit.c.erit ut piius p coucrfione dirTimtioins.b.in.c.quoti/ 
ens viiitas in.a.£t pcrmntatimp picmilTam.a.tn.c. quoticns vnitas m. b. quia 
tait a toticnsfibicoaccrnafin.cquotiensin.b.cft vmtas:fcquif e oiftwmoncm 
cpecb.in.a.fit.c 1fc>2opolitiO ..3. 

— % vnus numerus in ©uos Ducatur.tantus erit Duo? mde 
p:oducto:um altcr adaltcrum:quantus ouomm multipli 

cato:um alter adalterum. 

C2)l3ultiplicet.a.vrruq5ouo?nucro2;.b.ct.c.^neniat.d.'z.c.oico 

J q> erit .ppottio.d.ad.e.ftcut.b.ad.cfequtf eni y cducrftone oiffini/ 
tionis ciusqo eft muttiplicari nr.b.in.d.i.c.in.e.ftt quotiens vnitas in.a. quare 
g oiffinitione ^poitio.d.ad.b.c ficut.c.ad.c.equaliter cni cos contincnt. q: quo/ 
tiens.a. vnitatccrgo permntatim.d.ad.c.ficut.b.ad.c.quod eft piopofitum. 

^jopofitio .19.. 
^f ouonumerivnum multipltcent:erit p:opo:tio.ouo2n 
inde ,pducto;tz tanqj ouo2um multiplicantium. 
I Is&Mn G£)C «nucrfionc antcccdcntis picmilTc concluditur bcc cade pallio 
yfly&zfr\ quc i„ pxmiiTa:vt fi vtcrq^ ouos numcroy.b. i.c. mnltiplicet.a.et 






VII 

.pucniant.d.c.e.crit.d.ad.c.ficut.b.ad c.erit ciii p antc pmiffa ut cx.a.m.b.f.c; 
fiat.d.?.e:qre p pjcmiffa.d.ad.c.ficut.b.ad.c.qo' e .ppofituiO-psotcs aiit q<5 p:o 
pouit p banc i pmiffa oc ouobus numcris ad quotlibet numcros ampliare :cp (i 
Vnus multiplicct quotlibct crit .pductoy i multiplicatozj vna ^ppoitio.SilV quoq, 
fi quotlibct inultiplicet vnii erit .pducto:/ 1 multiplicantium vna ,ppojtio qo p bac 
«pjcmilTaquoticusopoJtucritrepetitasfacile^babis. bicautut fupja pollttici 
fumus ocmoftrare volumus cqua ppoirionalitate in quotltbet numcris OU032 o:/ 
dinu indirccte .ppoitionailtatis qua ocmoftrat eudidcs p.2j.quinti i quantitati/ 
bus iu gcnerc:Dicim 9 igitur quonia. 

GSiquotltbernunieritotidealije fucrintthdirecte p:opo:rionalee 
ejctremi quoqs in eadem ,ppo:tionep:opo:ttona!e0 erunt. 
G23tfifit.a.ad.b.ficut.d.ad.f.?.b.ad.e.ficut.c.ad.d.erir.a. ad.c. ficut.c. ad.f. 
oucatureni.c.in.d.t.f.tpjouciiiant.g.i.b.critqjpcrpjcmiffam.g.ad.b.ficut.d 
ad.f.quare^ficut.a.ad.b.oucat.ite.f.in.d.i^>ucniat.k.critq5pcrbanc. nj.g.ad 
k.ficut.c.ad.f.iqjcy.f.in.d.fit.k.ftct idcmcc6ucrfop.to.c):.d.in.f.quiaigitcx 
c.?.d.in.f.fiunt.b.^.k.critpbanc.i9.b.ad.l<.ficut.c.ad.d.quareficut.b.ad.c.ct 
q: iam oftenfum cft q> c.g.ad.b.ficut.a.ad.b.erit p. i j.a.ad.c.ficut.g.ad.fc.fcd fic 
crat ctiam.c.ad.f.cft igitur.a.ad.c.ficut.c.ad.f.quod cft pjopofitum.3dcm pjo/ 
babis fi facrint in vtroq5 ojdme numcri plures tribus queadmodum pzobatur in 
23 .quinti oe quantitatib 9 plurib 9 trib". 

1(bJopofirio .iei 

% faerintquatuo: numeri p:opo:ti6alesq& ejc ouctu p:f 
mi in vltimu ^ducetur cqun erit ei q6 e? Ouctu fecundi (n 
tertin . £>i vero q6 q: p:imo i vltimn^ducef equu c ei qd 
e;c iecundo in tertifi-.illi quatno: numert fut ,ppo:ti6ales. 
_^ CQuod pjopofuit eudidcs per. 1 y.fejcti oe quatuoj lincis ,ppoitio / 
nalibus:,pponit bic oe quatuo: numeris ,ppojtionalibus.vcrbi gratia. Sit ,pp02 
tio.a.ad.b.ficut.c.ad.d.fiatq^ex.a.in.d.cjex.b.in.c.f.oicogj.cz.f.funtequa/ 
!cscconuerfo:oucatur cnim.a.in.b.i fiat.g.critq, pcr. i8.g.ad.c.ficut.b.ad.d. ct 
qjper.i7.oc.b.in.a.fit.g^exeode.b.i.c.f.critrj.is.g.ad.f.ficut.a.ad.c.fcdp.i4. 
eft.a.ad.c.ficut.b.ad.d.ergocrit.g.ad.f.ficut.g.ad.e.cqleb-igit fiit.f. i.e.qocft 
pmu.Tlcc opojtet pdcmoftrare fi Vm° numcri ad ouos fit vna ,ppo:tio ap ipfi fut 
eqles:aut fi ipfi fut eqles cp vm 9 ad ipfos ftt vna ,ppo:tio. 6i enim cft vna p:o/ 
po:tio.g.ad.czad.f.autipfeerit tota pars vclpartcs.c.quota vclquotcidem 
cft.f.i tunc pcr conceptioncm patet.e.?.f.cffc eqlcs:aut totiens.g. contincbit.e. 
quotiens.f.s fuperfluent in eo tota pars vcl partcs.e. quota vclquote in eodcm 
fupcrrlucnt .(.1 tuc ctiam per conccptione patct eos elTe cquales. Q6 fi ipfi fue/ 
rint cqnalcs patet per conccptione cp aut.g.crit tota pars vcl partcs.c.quota vel 
quote.fo tunc per oiffinitionem crit ipftus.g.ad vtrumqj co:um p:opo:tio vna. 
aut equatiter continebit vtrunq^ cumfuperfluitatefimtliunmotnumcro par/ 
tium:ctuncetiampaoirrmitioncmcritciusadvtrunq5p:opo:tio vna. GSe/ 
cundti fic patct:fit.e.pjoductus cx.a.in.d.cqualis.f.^ducto qc.b.in.c.oico c$p/ 
potfio.a.ad.b.cft ficut.cad.d.t eft bec conucrfa piime partis.Sit enim vt piius 




LIBER 




g.qni fit et .a.in.b.cquia.ccf.funt eqlcs.crit.g.ad Vtruqj comm p:opo:tio vna 
«quiavtp7iu3pcr.i8.g.ad.f.ficut.a.ad.c.tad.c.ficut.b.ad.c.crit.a.ad.c.ficut.b 
ad.d.quarepcrmutatim.a.ad.b.ficut.c.ad.d. Tlon p:oponit autcmcu lidesoe 
tribus numcris continuc p:opo:tionalibus <$ illc qui tf. ouctu p:imi in tertinm #/ 
ducitur fit equalis quadrato medij .£t fi ille qui c% p:imo in tcrtium p:oducit fue/ 
ritequalisquadratomedij: cy illitrcsnumcrilint continuc p:opo:tionalcsficut 
p:oponit in. is.fcjcti oc tribus lincis .boc cni factle oemonftratur per banc.2o-mc 
dio illorom trium numeromm equati affumpto:queadmodum in fexto oe tribus 
lineis p:obatur pcr quatuor affumpta quatuo: equali mcdie. 

1(b:Opofltio 21. 

^meri fecunduiqualtbetp:opo:tionem mimmi: nume/ 

rantquoflibetineadcmp:opo:tione mino:mino:em et 

maio: maio:em equaliter. 

GSint. a.c . b. minimi numcri in fua p:opo:tioncfitq5. c.ted .d. 

ficut .a. ad. b.oico q> .anumcrat.cs.b.d. cqualiter.£um fit enim 
a.ad.b.ficut.c.ad. d. crit permutatim. a.ad.c. ficut. b .ad.d. crit igirur .a.cto/ 
ta pars vcl partcs quota vd quote .b .d. fi itaq5 fuerit pars conftat p:opofitum: 
St fi partcs fit .e.Vna partium.a.cf.vna partium.b.^ quia tota pars eft.cc.pcr 
ypotbe.quota.f.d.eritperoimnitionemp:opo:tio.e.ad.cficut.f.ad.d.quaree/ 
mutatim.e.ad.f.ficut.c.ad.d.quarccriamficut.a.ad.b.nonfuntitaq^.a.^.b.mi/ 
nimi fuc p:opo:tionis:quod eft contrarium pofitis. Similitcr quoqj: 

GiQuotiibet numeri fiuc in eadcm p:opo:tione ftue in oiuerfis mini 
mi numeraut omnes in eadem p:opo:tioue quifq? fuum co::elatiu» 
cqualiter. 

G23t fi fint.a.b.cminimi in eadcm p:opo:tione vcl in oincrfis: fintq^ in eadem 
Vclcifdem.d.cf.ita cj> fit.d.ad.cvt.3.ad.b.c.e.ad.f.vt.b.ad.coico cp.a. nume 
rat.d.c.b.cc.c.f.equalitcnquia cnim eft.a.ad.b.vt.d.ad.cerir permutati.a.ad 
d.vt.b.ad.cetqui3.b.ad.cut.cad.f.eritcti3inpcrmut3tim.b.ad.e.ut.cad.f. 
quarcb.ad.cc.cad.f.ficut.a.ad.d.cquia.a.b.cfuntmino:c8.d.cf.crit.b.c« 
cf.tota pars aut partcs.quota eft.a.d.Si itaq5 p3rs conftat pwpofitu .3t fi par 
tes fit.g. vna partium.a.cb.vna partium .b.c.k . vna.ccritqj pcr p:cfcnte ypo/ 
tbctota pars.b.cck.f .quora.g.d.quare per otffmitioncb.ad.ci.k.ad. f.ficut 
g.ad.d.pcrmutatimi3iturcrit.g.ad.b.vt.d.ad.e.c.b.ad.k.vt.e. ad. f.quarcg. 
ad.b.ut.a.ad.b.cb.ad.k. vt.b.sd.c.quia crgo.g.b.k.funt mino:cs.a.b.ct i ca 
dem p:opo:tione fcquitur contrariuiii pofiti. 

1fb:opofttio .21 
1 5 fuerint Oito numeri fcom fuam p:opo:tionem minimi: 
j ipft erunt adinuiccm p:imi. 

GSint ouo numcri.a.cb.fcom fua^ p:opo:tioncm minimi. oico <$ 
ipfifuntcoiitrafcp:imi. Sicnimno numercteos.cim.d.ce.crit 

|q5per.iS.d.ad.cficut.a.ad.b.'jquia.d.ccfutmiiio:cs.a.i.b.fe/ 

quitur.a.-z.b.non cffe fuc p:opo:tionis iniuimos:q6 e priu pofitioni. Sift quoqj 
CSi fuerint quothbet numcri iit contwiiatione fuarum,ppo:tionum 




VII 



futeeadcfiueoiuerfefocrintminri.millus mimerus numerabitoms. 
G23t fi fint.a.b.c.minimi in ptinustione fua£p:opo:tionu:oico g> nullus numc 
rabit omnes.Bin autcm numcrct eos.d.a.quide.tmt. c.b . vcro ftn. f.?.c t>m.g. 
critq^ p..i3..e.ad.f.ficut.a.ad.b.«.f.ad.g.ficut.b.ad.c.q: crgo.c.f.g.fut minoTca 
a.b.c.c fm ,ppo:tionc eo:um no crunt.a.b.c.quales pofiti funt: quod e inconue/ 
nicns.GQuaq5 autc nullus numeret.a.b.cfi fuerint minimi:poteft tame cffe ut 
quoflibct ouos ejc cis numeret vnus -.ouctoietenim quoltbet numero in aliquej ad 
fc p:tmu ac vtroq^ co^ in alique tcrtiu ad vtrunqj p:imu:p:ouenient trcs numcri 
qnoy quiq^ ouo erunt copofici. tlull 9 tame numerabit oms.6int cni.3.b.ctres 
nnmcriquo?quifq5fitp2imusadali08:oucatq5.a.in.b. ix.% p:oucniat. d.cc. 
itcmq^.b.in.cs .pueniat.f.oico quofq^ ouos ccd.cf.elTe adinuiccm compofitos 
rame nullus numerabit omncs ouos quofq^ P5 elTc copofitos.a.enim numerat.d 
c.cb.vero.d.t.f c.c.c. z.f.Qo aute nullu3 numerct oes:patebit p:ius oemoftra 
to cp.a .cft ma^imus numcrans.d.«.c.b.quoq5 maAm" nniu^ras.d.t.f.t.c.ma/ 
r.imus numeras.ccf.boc aSt fic coftat:fi cni.a.no c marim 9 numeras.d.t.c .fit 
itaq^.g.nnmcretq^.dim.b.-J.eim.k.eritq^ p fc6am giczo.a.ad.g.ficut.b.ad.b 
itcmq5rJcade.a.ad.g.ficut.k.ad.c.q:ergo.a.cftmino:.g.erit.b.mino:.b.^.k.mt 
noz.c.c q: b.ad.k.ficut-b.ad.c.vrraq^ eni e" ficut.d.ad.e.p .1 s.bis affumpta.funt 
autr.b.t.lv.mmoKs.b.^.c.eritpimediatcfcquetctperbacfpotb. cp.b.c.c.fint 
ptra fe p:imi repcrire minimis minojes:q6 q: e impolTibilc: erit.a.mapm 9 numc 
r.is.d.-r.c.£odcq5 mo .pbabif cp.b.fit marrmus numcras.d.s.f.?. c.marim 9 nu/ 
mcras.c.c.f.fiquiscrgo numerat.d.e.f.tKonct'. fcocter alTuptuipfenumcrabit 
a.b.c.fcd quifq, eo:u pjimus crat ad reliquos.accidic tgif ipoffibile, 6ifr quoqj 
CaQuotlibet numeri qoos vnusno numeratfcom cotiuuatione lita^ 
,ppoJtionu funt mtnimt. G23t fi fint.a.b.cquilibet numcri quos ocs nul/ 
lus numcrat.oico cp ipfi funt iii continuationc fua^pouionu minimi. atio^uin 
fint minimi.d.cf.qui p_.ii.numerabunt.a.b.c.quifq5 fuu rclatiuum equaliter .fit 
ergo vt fcbm.g.critq^ pcr.17.vt viccuerfa.g.numeret.a.b.cfcom.d.cf. quare ac/ 
ciditpriumpofitioni. 1jb:opofttio .23. 

| STtltbct numeri ptra fc p:imi liit Pm fua ,ppo2t6em mimi. 
Gbcc e coucrfa pmifle vt fi ouo numcrf-fint.a.t.b.ptra fc pmi :ipfi 
criit fm fua ,ppo:tione miuimi:fin aut fmt minimi i eade ,ppo:ti6c 
fipolTibilcc.c.T.d.coftatitaq^pai.qj.c.namcrat.a.t.d.b.eqlitcr 
fit igitur vt fcbm.c.crir pcr. 17.VC viccuerfa.cnumerat.a.c.b.a.qui 
dcmtoddu.c.-i.b.fcom.d.non funt igif.a.cb.p fc |3mi q6e p ppotb. 

. 1£»opofitio .14. 
3 rumntouomjmericotrafeyniin.fiquisvnueo?: nu/ 
meret ad alteru ee pumus nccefTario compzobatur. 
CT.5ir .a.s.b.p fe pmi.cvcro numeret.a.oico cp.c.pnVe ad.b.alio/ 
qui nucret eos.d.q p penuf.pccpi.nuerabit etia.a. no fttt s.a.?.b. 
pfcpmi.d.aunumeratabo3. IJbJOpofitio -zj. 
3f fucrint ouo numeri ad aliu quelibet p:imi qui ejr oucto 
vniusin alreru,pducetur.aJ eundem erit p:imus. 
QSit vtcrq^ ouoy numeroy.a.i.b.pumus 3d.cs ecs.tn. b. fit.d 
oico cp.d.cft p:imus ad.caliter cni.numeraret eos.c d.qdi fiii.f. 





f 

i 



— I H 



H K 



c 



LIBER 





eritq^pfc&mpte^o.a.ad.c.ficut.f.ad.b.fcji. a.c.c.fut pmt? .e.nnmaat.c.ipfe 
crit g-24.pjimueacU.qrc g-aj.a.i.c.funt fcom fua,ppoitione minimi-.fequif crgo 
rt.zi.ut.c.numaet.b.i qi pofiw c cp ipfe numact.c.no erunt.b.s.c. p fe pmi: q6 
eftcontrafpotbe. 

Ifbzopofttio 26. 

'0 fuerintononumericontrafepjimiqui ejcvno eojuin 

| fe ipfum pjoducitur ad rcliquum eft pjimus. 

jiGSintcdtrafcpiimi .a.i.b.ter.a.in feftat.coico cp.c.piimuscft 
ad.b.fit enim.d.equaus.a.eritq^.d.piimus ad.b.f er.3.in.d.ftet.c 

I per pjemiffam igitur patec.c.piimu cffe ad.b.qb piopofuimus. 

IfbJOpofitiO .17- 
3f Ouobus numerts ad alios ouos cogans vterqj ad vtm 
q5 fiterit p jimus qui ej: ouobus pjiojibus ad eum qui ej; 
ouobus pofterio:ibus pjoducetur erit pjimus. 
GSint.a.?.b.p\>ics.c.?.d.poftaioics:fitq5 vterq, ouoy.a.f.b.pi 
J| mus ad Vtruq^ ouor.c.c.d.? er.a.in.b.fit.c? cr.c.in.d.f.oico q?i 
e piimus cft ad.f.boc aut.25.ta alTumpta cuidentcr concludit:cu cni fiat.e.er.a. 
i-b.quo:um vtaq^ pjimus cft ad.c.i ad.d.crit pcripfam.c.piimus ad-cz itcm g 
fpfam piimus ad.d.quia ltcm.f.fit.cr.c.iu.d.quo:; vtcrq, pjim 9 eit ad.d.crit rur 
fus pcr ipfam.f.pjimus ad.e.qo c ypofitu. 

l^jopofitto .2S. 
i]3f fiterintouonumcri contrafe pjimi oucaturq^ eojunt 
1 vterq^ i feipf iwn : aunt indc p joducti cotra fe p Jimi . 3 te 
q5 ft iii vtructj pjoductojz fuum oucatur pjincipiu^: crut 
i quoq^pjoducticontrafepjimi. 
aJjCSint.a.t.b.cotra fe piimuoucatcrjVterq^ in k:i pioueniant er.a 
quidcm.c.cx-b.vcro.d.itcq^oucat.a.in.c.tpjoucniat.cz.b.tn.d.ipjoueniac.f. 
oico.c.-r.d.cffc contra fc piimosatcmq^.e.T.f.contra fc piimos:cft cnim pa.xe. 
c piimus ad.b.pcr eandc igitur crit.d.piimus ad.a.c ad.c.ficq^ conftat piimum 
qo" c c.i.d.cffe contra fc pumos.GfCcliquum fic:eft eni vtcrq^ ouozz numcroium 
a.t.c.piimus ad vtruq, ouoy.b.f.d.itaq^ per.27.crit.c.piimus ad.f.qo' cft reli/ 
quum.Tton folum autem cnt.c.piimus ad.f.fed aia pa.2j.ad.b. 1 ad.d. ircmq^ 
pcr candc.f.ad.a.^.c.ficq^ fi mfinitics oucerct vtruq^ pioductoj; in fuum piinci 
pium effcut omncs pioducti contra fc piimi:? non folum fed qmlibct eductus ab 
a.ad quemlibct eductum.a.b. 

Ifbjopofitio .29- 
% fiierint ouo numcri contra fe pjimi:qui c? ambobus co 
aceruatur ad vtruq^ eo:u5 cnt pjimus.£>i vcro ec ambo 
bus coaccruatus ad vtrtlq5 eojii fiierit pjim'? ouo quoqj 
numeri adtnnicem erunt pjimi. 
jGSint .a.i.b.cotra fc piimi-.oico q> er cis copofitus.a.b.ad vtru / 
q5 coiii crit piim 9 z ccoucrfo.na fi.d.numaat totu.a.b.i altey coy numaabit p 
cocj fct35 1 rdiquu.qrc no erut -3 fc pmi:f5 boc pofitu fucrat:p5 crgo pmu.Scom 
fic:fit.a.b .piint 9 ad vtruq^ fuop componcntium qui funt. a. f.b. oico cp.a.i.b. 








VII 




funtptra k p:imi:pofito cni cp.d.nnmerct Vtruq^ ouo:um numeroy.a. t. b.fe/ 
quiturpCTc6cmfciamcpcti^iumcrct.a.b.ej;eisc5poritum :quare ad ncutrum 
ouo£ numcro£.a.?.b.erit.a.b.p:imus:fcd pofitum crat cp cffet advtruqj.acci/ 
dit igitur impolubile.fodc quoq^ ino fi coaceruatus q. ouobus p:imus fuerit ad 
altcrum: p:imus quoq> crit ad rcliquuVidcoqj i coaccruati intcr fc:fit cni copofi/ 
tus c>\a.?.b.p:imus ad.a.oico g? erit etia p2imus ad.b.alioquin numcret cos.d 
qui pcr coccptionc numerabit c.a.cum numcrct totum z oetractum : boc aute in/ 
conucnicns erat enim conipofitus cx.a.c.b.p^imus ad.a. 
^lbzopolitto .30. 
XIDnisnutneruscdpolitusabaliquo pitmo iwmeratur. 
GSit.a.quilibct numerus copofitus:oico cp aliquis p2im 9 nuiricrat 
ipfii:q2 eni eft copofitus numcrabit ab aliquo numero quifit.b. qui 
l"i roerit p:imus vcru crit qo oicit.fi aut copofitus fit.c.qui numcrat 
eumtqui ctia pcr coem fciam numerabit.a.fi crgo vel ipfe fuerit pu/ 
mus conftat q6 oicit.at fi copofitus nccclfario numerabit eu.alius qui fit. d. qui 
etia per coem fciam nunicrabit.a.oe quo rocinare vt p:ius:q2 ergo quoticns oc/ 
currit copofitus neccfle cft minojcm alfumcre qui copofitum occurrcnte numcrct 
fcquitur ut tande ocueniatur ad aliquc p2imu:alioquin accidct impolubile z con/ 
trarium pctitioni numcruin iu infinitum occrcfccre. 
1|b20pofltio .31. 

■GC>ntsnumerusautep2tinusautap2imo numeratur. 
CSit.a.quilibct numcrus:oico ipfum clTepjimu vel numcrari a p:i 
mo.quia fi non cft p2imus crit c6pofitus:qui!ibet aute talis ab ali/ 
quop2imonumeraturpcrp2cmilTam.a.i2iturvcl p2imus cft vela 
p2imo numcratur:quod p:oponitur. 

Ifczopofltio -32. 
-GDnis numcr? p2imus ad omne que no numerat e p2im? . 
CSit .a.numerus p^irnus non numcras.b.oico cp.a.c.b. fut cotra 
fe p:imi.fi eni.cnumcrat cos 116 eft vcru $.a.fit p:imus. 

1£>2opofttio .35. 
3f numer^e]eouob9 < pducf9ab aliquo p2tmonumeretur 
necelie eit cundem pnmti alte^ tlloy ouo? numcrare. 
CSit.c.p:oductu8 cpa.in.b.? fit.d.numerus p:imus qui ponatur 
numerarc.c.oico cp.d.numcrar.a.vcl.b.numcretcni.c. ftn.e.ficr/ 
go 116 numerat.a.erit p^imus ad ipfu g p2ctnilTam:? io criit fm fua 
( ppo:tionemimip.23-'Zq:.a.ad.d.ficut.e.ad.b.pfcbainpte.2o.fcquit ut.d.nu/ 
mcret.b.e-2i.q6 eft p:opofiiu. ^ri manifefru e cp ft altquis numerus nu/ 
merat,pductu ej; Ouobusvcllicideraeritcomefurabiliscomefurabi 
ts quoq5 er it aitert eoy. Ijbiopofttio .34. 

^merus Pm,ppo2 tione nuero£ afltgnato^ minimos tn/ 
ucnire.CSinde manifeftu e tnajnmu numey ouos cotter 
numerante Pm mtnimos tUtus,ppo2tioms eos numcrare 
CSint.a.?.b.numcrip:opofitiftnquo:ump:opo2tione volumus 
j inucnire mimos.fi S fuerit p fe pmi fut qles inqrim 9 f>.23.fi aut co/ 
pofiti fumat: vt oocet fcba majim eos coiter nnmcras cj fit.c.numcretqj eos 6 m 





m 



LIBER 

d.«.e.erutq5 in cade ;ppo:tionc p. • 1 3.quo3 ofco ee qles qrim'' .9int aute fint.f.-s 

g.q p.ii.numerabut. a.«.b.eqlitci:fit igif ut Pm.b.eritq5 p. fc&am p.tc.2o.c.ad. b 

ficut. f.ad.d.vet ficut.g.ad.cquare.c.e minoi.b.itaq} cu.b.numcret.a. «.b. non 

fuit.c.maxim 9 eos numeras fed erat pofitfi q> ficergo «.Sihrcr quoqv poffum . 

CTBumeros Pm continuitatem p:opo:tionum numero? alltgnato? 

. e , minimos regire.^nde etia manifeftu e mapmu nmne? qaothbet co 

mnniternumeratePin minimosp:opo:tionneo:umeos numerare. 

H GZ5t fi fint.a.b.cfon quop p:opo:tiones volumus minimos inucnirc fiuc fuent 

H , — ! — i j„ e3 dcm ,ppo:tione fiuc in oiucrfis: fiuc nullus numerus numerat eos oms: ipfi 

' f U ntquosqucrimuspcr.2j.bocemmibiocmonftratucft. Siautemvnus nume 

"■ k ' r9t oins:futnaf ut oocet tcrtia:majcimus cos coiter numaans qui fit; d.numcret 

i cn eos f m.c.f .g.qui eruut in cade .ppoitionc per- 1 s.oico cos cffc quos quenmus 

alioquin fint.b. k.l.qui pcr.21 . numerabunt.a.b.cequaliter:ftt ut &n.m.critq} p. 

fc6am c tem.2o.d.ad.m.ut.b.ad.c.rcl.k.ad.f. vel.l.ad.g.OHinoi eft tgitur. d.qj 

m.quare cu.m.numeret.a.b.c.no fuit.d.majcimus cos numerans-.quare feqmtur 

impoffibilc-.fuit eni.d.mawmus numerans.a.b.c 

1fb:opofttio .35-. 

iicMibetouonumeri minimos numerosfue ,ppo:tioni8 

1 makttmimrce-jmino: maio:emulttplicantes minimum 

ab ipfts numeratum p:oducut. ^nde manifeftnm e miut 

mu quc ouo numerat quelibj ab «s numeratu numerare 

J G6int ouo nuincri.a.cb.minimiq5 in eoy ,ppo:ti6e. cs.d. eritq; 

pcr p:ima pte.10.vt eca.in.d.s.b.w.cBat idem numerus.qui fit.cquc oico effc 

mmitnu numeratu ab.a.cb.alitcr eni fit.f.que numerct.a.i.b.f m.g.cb.critq^ p. 

fc6ampartc.2o.b.ad.g.ficut.a.ad.b.ificut.c.ad.d.?per.i8.crit.c.ad.b.ficut.e. 

ad.f.cu itaq5 p..2i.c.nueret.b.c nucrabit.f.maio: minoicq: ergo boc e ipoffibjlc 
corTatvcrceqtfoicif. l£>:opofitlO /3«-, , .... 

1 iRopofitisquotlibet numertsmtmmu.abets numeratu 
repire.XlDanifeftnetiacjcboc eminimumnumcyquon 

Jquotlibet numerat quelibet ab cis numeratu numerare. 
G5int,ppofiti numeri.a.b.c.d.volo iuenire mimu numcy numcra 
J tu ab cis. ^nucnio itaq^ p:imo minlmu numcratu ab.a.cb.cj» fi.a 
numcrat.b.no crit ali 9 q5-b.fi aute 116 numerat eu ncc ec6uerfo:fi ipfi funt ptra 1 fe 
pmi quiejvnoinalteru.pucnit CTitminimusper.2^«pmiffam.06fifuntc6i/ 
cantcs-.fumanf minimi in co? ,ppo:tione:vt oocet.34« maioi in mino:e eo:um 
multiplicato .pueniat.c.qui crit minimus numeratus ab eis per pmiffam.Similt 
ctuoq5 modo inueniaf minimus numerat 9 ab.cccqm" fit.f.critq5.f.minimus nu 
mcratus ab.a.b.e.fcd « minimus que numerant-f .1 .d. fit.g. eritq^.g. mimmus 
que numcrant numeri ,ppofiti:q6 cni omnes ipfn numercnt:patet per coceptione 
fcd fi no e minimus ponaf ergo.b. que q: numerat.a.t .b.numerabtt ctia ipfu p 
co::cf.5mi(Te.c.p ide qnoq; coner.numerabit ipfu.f. fed cg.maio: itaq; nuerat 
mino:e qo eft impoffibilcbcc 1 pmiffa,pponuni: i alio loco fub tnb 9 conclufioib 
qua? p:ima cquiualet pmiffc:fccuda componif ejc conelarijs ambobus :tcrtia ^/ 
ponit oe tribus qo bec oc quotlibet numeris.£ft itaqj pnma. 
Gf©atisouobusnumerisminimum abeisnwmeratum inuenire. 





VII 



GDati numeri finr.a.f .b.qnoju mino: fi numerat maioicm eft maio: que queri/ 
mus. alioquin maioj eo? numerarct minojem fe.Si aute neuter nentru numeret 
fi ipfi funr conrra fe pjimi.crit qui e*.a.in.b. ( pucnir qui fif .c. minimus omnium 
que numerat.a.c.b.Tlam fi minojem eo numeraucrint cfto.d. que numerent fm 
c.T.f.critq^ pcr fcoam partem.2o.a.3d.b.ficut.f.8d.e.tqm3.a.c.b. funt fuc pio/ 
pojtionis minimi pcr.zj.numcrabit.a.f.pcr.zi.t quia pcr.is.cft.c.ad.d. ficut.a. 
ad.f.Tlamc)c.b.in.a.«.f.finnr.c.c.d.fcquitur.c.numcr9re.d.federat.d.minoj.c 
quare impoffibiie.Si autem.a.^.b.fint coicantes: negociarc p:opofitu5 nt in.3 f • 
fecunda trium conclufionnm eftambobus cojjct.cft confecta. 
C0i plures numerinumerumxmum numerent:necelTeeftvt 5 mini/ 
mus que numerant eunde numerum numeret. 
G 23t fi fit quilibet numerus que numerat.a.s.b.d.minimufq5 ab cifdem nume/ 
ratus.c.crit nt.c.numcret.d.cu eni fit .d. maioj.c. fi.c.no numerat ipfu. numera 
bit tame aliquid eius: fitcp plurimu qo" numerat.cz refiduu fit.f. eritq5.f.minu8 
c.quia igitnr.a.c.b. numerant.c.numerabunt per coem fcientia^ c.e. fcd numers 
bunt.d.itaq3 pcr alia comunem fciam numerabunt.f. incoueniens ergo fcquif ep 
cno fuit minimus quc numerant.a.2.b.G3dem couinces i eode mo ee quolibet 
numeratoaquotlibctpluribu8.f.cpminim 9 ab illisquotlibet pluribusnumera/ 
tus eundcm numerct: vltima triu codufionu e. rum inuemre; 

G^opofitistribusnumerisiminimwnumero^ab eis numergto/ 
Glrcs numcri .ppofiti fint.a.b.cminimufq} que numerant.a.f.b.fit. d. qui fu/ 
meturutp:imatriumcondufionnoocet.Siigitur.c.numcrat.d.fdto.d.cffcqne 
qucrim 9 .Si cni.a.b.c.mino:cm eo numcrant:fit eni.c.queperpmirfam conclufio 
nenumerabit.d.qbeftiinpoffibile.Siautem.d.nonnumerat.c.fumatur.c.mini/ 
mus numeratus ab cis.cp autcm.e.numercf ab.a.b.c.pgtet q:.c. numerat ipfum 
c.d.fimilitcnergoc.s.b.quinumerant.d.quare.e.iiumerabiturab.a.b.c.erttq^.e 
minimus que numerat.a.b.c.Sin autcm fit„f,que per p:emiffam conclufione nu/ 
merabit.d.fcd.c.numerat.f. quia. a.b.c. numcrant eum:qu9rc. c.d. numcrabut 
eumiquare per pjcmiffam.e.numerabir eum % eft maio: eo fcd ■z.c.maio: minoje 
qt5 no effc potcft.^dem inuenics i code modo quotlibet pjopofitis. 
1|b:opofitio .37. 

j K numerus aliquis aliu numerum numeretxrit in numc/ 

rato pars a numerante Ocnommata. 

Gb uius fcnfus eft cp ois numer" numcrat 9 a ternario babet rcrtt'35 

1 1 nnmerat 9 a quinario b^ quinta.ficqs ce cetcris: vt fi.b.numerct.a. 

I ertt in.a.gs cenominata a.b.numerct 0115 ipfu quotiens vnitas in 
c.cntcgpcr. Ks.vt.cquocp toticns numeret.a.quoticns vnitas i.b.quare tota ps 
cft.c.a.quotta vnitas.b.c q: vnitas cft pars omnis numeri ab ipfo ocnominata 
pcr comnnem fciam:crit.c.pars.9.oenominata a.b.quod cft pjopofitum. 
Hbiopofttio .38. 

3f numerns aliquts parte quotaowq? babeat numerabit 

ipfum numerusad illam partem oictus. 

Gbec eft coucrfa, p jemiffc cuius cft in tcntio:q> ois nucru6 bfis ter/ 

tia numcraf 3 tcmario:? bns quita a qnario:ficq5 oe ccteris vt fi.b 

fitrjs.a.ocnoiataa.cfeqfut.c.niicrs.a.qjci.b.cgs.a.ocnoiatsa.c 





b f 



-4 V- 
f 



h 



n 

p 

q . 




LIBER 

fcd z vitltas eft pars.cocnominata ab ipfo p cov-ep.fcciuitur ut ctuoticiia vnitas 
niimcrat.c.toticn3.b.numcrat.a.itaq5pcr.i6.quottciisvnita3.b.toiicno.c.im/ 

merat.a.qrccoftat .ppofuii.G aiita tdc: cu fit.b.pars.a.ft tota vnitas.c.cntqs 
pcr banc cdmunem fciam vnitatem ciTe partcm omnis numcri ab ipfo ocnonu/ 
natam.coenoians.b.in.a.* quia cft.b.in.a.quoticns vnias tu.c .cmdercr fcqm 

turp:opofitumg-itf. 

1(b20pofitiO »?9- 
i ^meram minimum p:opoiitarum ocnominanonum ba/ 
bentcm partcs inucnire £jcquo maniicl tum c cp imnim 9 
numcrus numeratus a quotlibec c muumus babcns par / 
i tcs ocnominaras ab iplis. 
J <L6tnt.a.b.c.d.ocnomtnantcsparte3 .ppofitas.c.c.niinimusnu/ 
mcratus ab eis fupiu fon.jtf.upfu.e.oico effc que qucrm.us.Sint cni f mquos nu 
mcrant ipfutn.f.s.b.k.cruq, pcr. i«fc« banc comunem fcicntiam: vnitas cft pars 
omnis numcri ab ipfo oicta: vt viceuerfa.f.g.b.K.numcrcnt.ei.u.a.b.c.d.quarc 
funt partcs cius ab illis oicte.cft igitur.c.babcns partes pjopofttarum omomi/ 
nationu. Dfiinimus ctia qtft ft alccr fucrit vt.l.fmt C tes.l.cictc ab cis.m.n p.q. 
cruntqipcr.KS.tpKdtctamcoemfciaitiain.a b.c.d.v:ceucrfa irtcs.l.oictc ab m. 

n o a cware no crat.e.minim 9 quc numcrat.a.b.cd.qb cft tncoucine^.Cbaoito 
minimoTfi cura eft babere fcom .aut quotucuq 3 libcf.fi fcom qb fumc wipju mun/ 
mrfi tcrtium triplunv.t ad bunc modii in alijs.Ium cnim omuio mul.iplcr ci.n 
merctur ab.a.b.c.d.pcr banc cocm fcicntianv.Omnts imiuerus numcrans aluun 
numcrat omnem numcratu ab tlio neceiTc cft pcr.,7 . vt onmis muuiplcv.c.babc/ 
at parrcs ocnominatas ab.a.b.c.d.fi itaqj ouplus.c .no tucm fcos babens gtes 
fipofuaro oenoiattonu:critaU ? quc ficutfcqi,it eemaiote.c. icfeqtutccmi..o:c 
ouplo:iq:illumnumcrant.a.b.c.d.pcr.5S.fcquitur pcr co::cl- 3 <?.cp.c. numcrct 
eunde qo eft impoffibilc.cum cnim numcret fcnumerarct p banc comunem cia; 
omnis numerus numeras totu t oetractummumerat rcfiduu:ciftcrc.mam tllius 
ad fc aue cum fit mino: fcunaio: numcrus numcraret muwcm qo clle non porcft 
fcquimr itacR ouplum.c.cffe ftn numcrii babcutc ptopofuarum ocnommat.onu 
partes.GSimilif quoq, ar S ues mplu.c.cffc terttu p:obato ouplo oTc fcom.alio/ 
quin qu.a ciTet triplo miuo:.< ouplo maio^cqucrctur.c.numcratc altq; t W tpfi 
asouplumttripIum.qburpnuspatjeiTc.nipoiT.bilctpiobatoauttriFlocnctcr/ 
tium ad buius fimilitudincm ptobabis quadt uplutn eik quartum:* fic in cctcris. 
C0C>iniinu numerum babentem partcs pwpohtarum ocnonunatto 
num fumpcarum continue repcrire. 

G23t mimmum iramc? babente tertia que tcrtia babcat quartamrquc ctta quar/ 
ta babcat quinta:aut fcptima:aut qualitcrcuq; contmgat cas ab cifdcm vel otuer 
fis oenominari.DI3ultipl.cat i opottct oenominato:c p:ime partis tn cenomma/ 
to:c htc.z ct cts .pductum m ocnominatote tcrtie^uctom quoq; t ocnomma/ 
to:e quarrc.ficq; oc cetcris vfq; ad vltimam. a p:ima vcl v^ M pnma ab vltima 
, quipmcucritcrit quiinquirif vtin ( ppofuo.«o.vd.S4-Cbocautcitacfte oc 
monftratiucficbabcto.6intnumCTi E tcs ( ppofU36 0cno.antc8.a.b.c.d.volum 
inueuirc minimu numcrum qui babeat partan ocnomiuatam ab.a. tta cp Ula ps 
babcat parte ocnominata a.b.i illa alia oenominata a.c fcd z bcc alia oicta a.d 



VII 



Diicataritaq^.d.iii.c.cptoiiciitar.c.T.e.m.b.-iPJOiicniat.f.f.quo^ o;;catur iit.a 
■: pioueniat.g.que o;co clfcquc inquirimus.cum cni ipfc .g.^pueniat ctiam ejc.a.i 
t.^.iy.crtt.f.paK.g.oictaab.a.atqj.f.^uciHtpeaclcc^.Li.i.c.crir.e.pars.f.oca 
a.b.fcd? pjoptcr boccrit.d.pars c.oicta a.c.cquia vnitas cft ps.d.oicta ab ipo 
d.pj.g.baberc £tcs ut.ppomf .Si crgo 116 fucrit mtnimus fir.b.fitq^.k.psct 9 oi/ 
cta ab.a.s.Lps.k. otcta a.b.c.m gs.l.oicta a. cn.iqooqj pars.m.oicta a. d.crit 
qipcr.is.g.ad.f.vt.b.ad.k.T.f.ad.e.vt.k.ad.l.T.cad.cl.ut.l.ad-.ni.fcdc.d.ad 
vuitatetn vt.m.ad.n.crgo pcr.15.cnt in pjopojtionc cqualttatij.g. ad vnitate vt 

b.ad.n.ergopmutatiincrit.g.ad.b.vtVnttasad.n.quarecum.b.fitmtnoj.g.crir 
n.minojvnitatc.fcquiturigfturimpolTtbilcpartenumcrimtnojeclTcvnitatc.erit 
itaq^.g.miiiimusbabensp.tcsvt .pponir .Quoitiuctoficurafucrit babercfcom 
aut quotuquelibct p minimii mulciplices ut piius oictum eft fumcndi erunt: boc 
autcm.jo.pioponitur in alio f>in bonc modum. 
O Kbzopofitis partibus quonfcuqlibct:minimi5 numerum cas con/ 
tincntiuminuenirc.i 

G23t fi p_tes pjopofite fint.a.b.c.fintqj eas ocnominates.d.cf. 1 fumat minim a 
que uumcranr.d.e.f .qui fit.g.bunc oico cffe que" qucrimus:crunt cni in eo pjopo 
fite partcs per. 5 7 .qui fi 116 fuerit minimus cas continens:fit ergo.b.que numcra 
bunt.d.e.f.pcr.3S.igiturii6erit.g.miniinusiinmcratusabei3q6eftinc6uenie8 
qjerat.3ntclligovcroptcs.a.b.c.indetCTmtiiateponizn6fubquatitateccrra:ali 
ter cni 116 effct uccclTarium vt minimus numcrus quc numcrant.d.c.f. cflct mini 
mus contincns partcs .ppofitas^plurimas cni contingit partcs rcperire qs nume 
rus numcratu3 ab coy ocnoiatoiibus non continet: vcrbi gfa.Ires numeri q ffir 
i2o.9o.t.72.funt ciufdem numcri pKs.piimns quidc tertia.fccud" vcro quarta.c 
tertius quinta.ncc tame" mtnimus quc nomerat ocnoiatoies eo? qui cft.ob. ptes 
iftas continet.3uftandu igitur cft fi ptes fub ccrta quantitate pouanf piime con/ 
fequentic buius ocmoftratioismo enim fcquif ut arguit rv37.fi ternari 9 bunc nu/ 
merat crgo bic numerus pofttus cft eius tcrtia:f5 crgo babct tertia: qua ^ptcr ide 
eft quod ^ppouif ftn vtruq^ modu: fed fcom piimu^ coutienientius videf qo intc/ 
dif pioponi.atrcdere aut opoitct q> cii ois gs babcat qnatiratc i co ptingit ponc 
re quotlibct 1 quafltbet ptcs I'c6m quatitate:? inquircrc qui3 minimus eas cotinct 
c fub qiiibus ocnomiiiationtbus.yijinimu atlt cas cotinentc coftat cffe minimu 
numerato ab cts.ftn qnos vcro numerat funt qui illas in illo ocnoiant .£ontingit 
itcro poncre quotlibet % qoaflibet ocuominatiocs: 1 inquirere in quo niinimo bee 
oenomioationcs repcriurtf 1 ftn quas quatitares.Dninimu quoqj coftat effc mi/ 
nimo nnmcrato ab illis:f>m qoos vero nomcrant funt qut quatitates oetermfnat: 
vtrobiqj aute idcirco inquirif minim 9 :qi infiniti funt binc quide qui bas ptes con 
tinent.3nde vcro in quibus bee oenoiationes rcperiunf .JCootingit rurfus ponere 
quotiiber partes 1 totide ocnoiationcs Vcl quotlibet ocnoiatioes 1 totide partes. 
116 aut quaflibet cu qutboflib5:fed certas cfi cerris.Si cni pona ptcs tres quatoo: 
quitiqj z oeooiationes earu.(S.7.8.t inquira qois numcrus continet bas ptes fub 
tftis oenoiatiooibus.fifis cro inquifitori vano querenti impoffibilcCertas igirur 
conuenit ponere ptes cu ocnoiationibus ccrtis % no ut cootingit z inquircrc quis 
nomcros pofita3 partes fub pofitis ocnoiatiootb 9 c6tinet:n6 aut quos minimus 
vnfcus eni eftma Ttue .ppofita fuerit vna ps % voa oenoiatio fioe plures « plores: 

b 



120 

30 , 



k 
I 
m 



LIBER 



non erir fumere plurcs numcros q6 .ppofiru crit c5tincnrcs.SoIus cni e cui 9 ter/ 
narius e quintajno p!urcs.6olu3 quoq^ cuius tcrnarius octaua:? fcnarius quar/ 
ta:iio p!urcs.idcoq5 .pponenrcm ptcs t oenoiationcs ipfay in toto no cft qnere/ 
rc quis miuimus cotiner bas ptcs fub iftis ocnoiationibus: fed quis vmi3 conti/ 
nct: p:oponcntc aut partcs tantii . lontingit qucrae quisinininea3 continct i a 
quibns in eo ocnominanf : foias quoqj .pponenre ocnoiationcs conuenit querac 
quc partcs ab itlis oicte i iu quo minimo repaiunf . loucnicntius aute videf par 
tes p ocnomiuationcs inquirere-.qj oenominattoiies p_ ptes: oiuerfirare quidem 
ocnominationu non partiu comitaf ,ppo:tionu oiuerfitas. £yplicit libcr fepti/ 
mus incipit Iiber £>ctauus. 

SUcra numeroy Oicnnt quoy multiplicatoe 
numeTi^ducunt.cemenciesappeltafnu/ 
mer? qui er. ouob? laterib^ cotinef . C0o/ 
lidus vcroquifubtribus er.quo£ cotinua 
multiplicatione b, p:ocrcari.CJ©uadratus 
e numerus fugftcialis equalib'' latenbus co 
ftltcs.CCubus eft folidns equaltb^cofiftcs 
lateribus.CSimiles oicuntur numeri fupfi 
ctales fttte folidi quoy latera fut p:opo:tio/ 
nalia. 

Ifbsopofitio 



S 8 



11 h 



iS 1« 



17 





|3f numero£ quotlibet cbtinue ,ppo:tionalitatis ouo ep 
tremifuerintcontra fep:imi:eosomnesfecundumfu3nt 
p:opo:tionem minimos elTe necefle eit. 
GSiiitc6tinuc,ppo:rionalcs.a.b.c.ouoq5 crtremi qui funt.a.c.fint 
p fc p Jimi. oico q? in eadc .pponione no rcpicnt totide mino:cs. St 
autcontmsitfint.d.c.f.critq5t5.i5.fcptimi.a.ad.c.ficut.d.3d.f. ■jq:.a.c.c.funt 
mmi ifua^po:tioncp.23.ciufdcfcquifg.ii.ut.a.numcrct.d.i.c.f.mio:esfcilic5 
maioKsqocffciionpotcs. 'i|b:opofitio .2. ■ 

"^merosquotlibetcdtinue ,ppo:tioautatis Pm ,ppo:tK> 
■ nc oata mtmos inuenire. vri manifcfmm erit: cj> li ntcrint 
trcs numeri cotinuc .ppottionalitatts fm ea numi ouo ejc 
tremi crutquadrati.cpfifuertntqtuojcrutertremi cubi: 
JCSint oatc ,ppo:tioinis mininii.a.c.b.oucafqs a.in fe 1 fiat.cc in 
b.i nat.d.b.qncqj ln k.i .pucniat .c.eruntqj.c.d.c.cotinuc .pponionales i p:o/ 
po:tionc.a.ad.b.p.i8.c.i9.fcptimi:^ q:.c.i.c.fut ptra fc p:imt p_.2S. ciufdccrunt 
c.d.e.ftn oara ,ppo:tionc minimi p pnuffam-.oucaf ircru.a. i ocsillos. 1 ,pucniat 
f.g.b.t.b.i.c? .pucniat.fc.i cnit etia.f.g.b.k.cotinue ^po:tionalesi ^poitionc 
a.ad.b.p.is.?. 19. fcptimumiini quoqj p.2S.cmfdc 1 pmiffa bac via 1 rone iueni 
•}(b:opofitio .?. enf.f.vcU.velquotliba. 
tf numcriqnothbet continue p:opo:tionaks fecundum 
.Tiiam p:opo:tionem fncrint mimi-.ouos co:um ertremos 
contra fe p:imos clle necellano comp:obatur. 
Cbcc tcrtia c coucrfa p:ime.Smt cni.a.b.c.d.cotinue ^pportioaks 





VIII 




« f> m fua .ppouione minimi.oico cp.a.?.d.cj:tremi eriir adinutce piimi: mimt cni 
in .ppojtionc.a.ad.b.fint.e.t.f.eruntqj g.az.fcptimi contra fe pjimi- p bos ergo 
ouos ftn ooctrinaJimilTe inucnianf totide cotinuc ;ppojtionaIes fnitmi quot tiit 
nutncri ppdfitupjtmo-quide tresqui funcg.b.k.odnde qtuoi qui funt.l.m.n.p. 
i ad bunc modu corinue g addirionc vnius quoufqj fiat tot quof funt numeri ,p / 
pofiti vt funt bic .l.m.n.p.fequif ergo.l.m.n.p.cqualeseiTe.a.b.c.d. eo cp m ea/ 
dem p:opo:tionc funt vrriq, minimt z q: .1. z.p.funr cotra fe p:imi r>is.feprimi: 
erant quoqj.a.s.d.tlis cqualc^ contra fe p:imi:quod cft p:opofitum. 
Ifcwpoutio .4. 
Jfmilitudinc afiignata?: ^poitionu i mimis numeris f m 
! tpfas .pponioes cotinuatim pJopoJtionalibus inuenire. 
(iaffignateppctiones i mimis rermis inucntanf ut oocet. 34-fepti 
mi Sintqj p:ima tncer.a.c.b.fcda inrcr.c.s.d.rertiainter .c.i.f./it 
_J quoep oe pluribus fi fucrintfplurcs.volo bos ,ppo:ti6es in quatuoi 
minimis numeris cotinuare.6umo ergo.g.minimu que nutnerat. b.s.cz quoti/ 
ens.b.numerat ipfu.g.toties.a.numerat.b .d.quoqj totics numeret.k.quoties.c 
g.itaqs fi.e.numerat.k.fit vt.f.totics numact.l.crutq^.b.g.k.l.qUos qucrim 9 :c6 
ftatemp.is.feptimiqjfif.b.ad.g.ficut.a.ad.b.c.g.ad.k.ficut.c.ad.d.at.k.ad.l. 
ficut.e.ad.f. yftnimi quoq^mafi alt) fint minimi vt. m.n.p.q. oponcbit p.n.fe/ 
ptimi bis affumpta ut vtcrqj ouo^.b.«.c.numeret. p. qrc «.g.nucrabit eiide. 1 q 
co::ef. jj.fcp.qo' e incouaiies. Sunt igif.b.g.k.l.minimt.at vero fi.e.non nume/ 
rat.k.fit.m.minimus numerat 9 ab ets fc^.e.i.k.que.m.quoties nuat.k. toties.b 
numcret.n.'Z.g.totie8.p.erutq5p.i8.feptimi.n.p.m.in l ppo:tionc.b,g.k.circ.n. 
ad.p.vt.a.ad.b.t.p.ad.m.vt.c,ad.d.fcdquotiats.e.numcrat.m.totiens,f.nu/ 
meret.q.s erit g cande.m.ad.q.ficut.e.ad.f.DOanifeftu e igif cp alTtgnate ,ppo: 
tiones cotinuate fut in quatuo: numeris qui funt.n.p.m.q.Oui fi no fucrint mini 
mt.fint fi poffibile eft alij qni fint.r.f.t.cqj itaq^ p..2i.feptimi bis affumpta vtcr/ 
q50uo?numero?J.b.c.c.numerat,f.fcquifpcrco:Kl'.}j.fcp.vt.g.numerct]eunde 
quarcctia.k.numcrabit.t.at q:tx2i.fcptimi.e.nunicrat eunde.t.no erit.m.miHi/ 
mus que numerat.k.c.e.bac rone quarta itlis % quothbet alias fine omni offcndi/ 
culocotinuareboteris. IJbzopofitio ,c 

iibnium ouoiu numeroju copoliroju «ppomotyiiusad 
alterum eft ej; lateru fuouj pjoducta pjopojfionibus. 
COop:oponit^4.fe]i:ti ocfuperficiebBsequidiftantiu lateru :,ppo 
hit bic oe numeris copofitis. Sit ouo numeri copofiti.a.b.latera . a 
_ ftnt.c.« .d.Iatcra.b. fint.e.s.f.oico itaq; cp ,ppojtio. a.ad. b. con / 
ftat ejc ea que eft.cacle.? eaqne eft.d.ad.f.fit ent nt ecd.i.e.fiat.g.q: ergo ejc.d 
in.cfit.a.f ex.f.in.e.fir.b.gc6uerfione oirTinittois latcyeritg.is.feptimi. a.ad 
g.ficut.cad.e.«p.i9.ciufde.g.ad.b.ftcuttd.ad.f. quare per otffinitione;ppo:tio 
a.ad.b.copofita e eyea que e.cad.e.s ea que eft.d.ad.f.q6 eft ,ppofitum.T1ec.eft 
neceffariu vt cotinuemus .ppojtiones latey vidclicet ea que e.c'ad.e. 1 „ quecft 
d.ad.f.in minimis numeris repfe ftn oocrrina pcedentis tt oocent quidarh :boc 
enimcftpjopofitoptCTneceffarium.argua. enipofitocj)illimimmi fint.b.k.l. 
tta icp fit.b;ad.k.ficut.c.ad.e.c.k.ad.l.ficut.d.ad.f.^pojtione.b.ad.l.efre copo/ 
fitaex^ofitoj;Iatei;^ojtionibu8.fatnptaj5.g.fieri£j:.d.in.c.arguijt.a.ad.g. 





H r- 



LIBER 



-* t- 






b 





e 






m 






n 






f 


1 




W.b.ad.kJqi ut.£.ad.e.«.g.ad.b. vt.k.ad.l.qi vt.d.ad.f. ideocg ftn equa .ppoi: 
c.a.ad.b.vt.b.ad.l.codudnnt igttur.a.ad.b.coponi ejc qutbus.b.c.l. verfi quide 
rednonnecefTarioalTumpto. Ifbiopoiirio .$. 

J3f numero:umquotlibetcontinue p:opo:tionalium p:i/ 
jKmusfc&mnonnumerctmuluis eo? numerabitvltimumt 
jiGSint.a.b.c.d.c.continue .ppoMtonales. oico cp fi.a. no numcre. 
|b.nulluseoj;nnmerabit.e.r)(3anifcftuaute(rcpfi ipfnm numerct 
_yomnc8numer3bunt.e.cfimpliciterquilibetpccdcns quclibct feque 
tem.Si aute non numerat ipfum patet cp.d.no numerabit.e. ncc fimplr aliqs co 
rum .pjrimo feqnentc:qi funt pofiti continue ,ppoirionale3:fcd q? nullu6 ali" ut.c. 
numeret ipfum fic conft3t:fumanf ftn ooctrina fcoe buius totide minimi cotinuj 
piopoitionales in .ppoitionc cadequor fut ipfe.c.« oes fequctcs qui funt .f.£.bs 
eruntq5p..5.bui 9 1.f.c.b.p fepiimi:«qjp,cqua;ppoitione.c.ad.e.vt. f.ad. b.ct* 
f.non numeret.b.nec.c.numcr8bit.c.eodcm modo nec aliquis alioy: quare liquet 
qnodpjopofi mmeft. '_b:opofitio .7. 

Ip^=Srfjj3f numeroycotinue p:opo:tionalium primusvltimuna 
^%££& • mcrct: ^ cm l P lc a faundum numerabit. 
! %^s^c CSintquipii 9 contiiiue ( ppoitionales.oicofi.a.numcrat.e.ipfcna 
I aSHHi ncrabit.b.alioquin ej picmilTa 11011 numcrarcr.c. qo c contrariu ct 
{ujfc£25__y;mpoflMe.T16 folumautc numcrabit.b. fcd«ocs«quifq>cojuin 
qucTibctipfumfequentem. Kb:opofitio .8. 

_( intcr tnios numeroe numeri quotlibet in cotinua p:o/ 
po:tionalitate ceciderint: totidcm intcr omnesouos irt 
I eadem p:opo:tione relatos cadere necefle eft. 
J GSint.a.c.b.intcr quos cadunt.c.t.d.in cotinua .ppoitione babe/ 

I es fc in piopoitione.e.ad.f.oico cp totide cadunt intcr.e.c.f.i i ca/ 

dan p:opoitionequotintcr.a.?.b.Sinteni.g.b.k.I.toridc minimi quotfunt.a. 
«.b.qui intcr cos csdunt fumprt.queadmodu oocct fccuda buius cotinue ,ppoi/ 
tionales in cade,ppoitionc:crunrq5 g. j.g. ■z.l.cotra fc piimi: 1 pcr cqua .ppoi- 
crit.g.ad.l.ficut.a.ad.b.idcoq5 1 ficut.e.ad.f.c qi ipfi funt iu fua .ppoittone mi/ 
nimip.2}.feptimi.fequifper.2i.ciufdeut.g.numcrct.c.i.l.f.equalitcr:totiensigi 
turnumeret.b .m.c.k.n.pofitifq^.m.i.n.intcr .e.i.f. confrarp.is.feprimi. c.m. 
n.f.effe cotinue .ppottionalesiqucadmodu funt.g.b.k.l.t idco queadmodu.a.c. 
d.b.quarc patet quod oictu £.£% bac conftat nulla fugticulare polTe pcr cqlia oiui 
di:fi cni boc cffet opoiteret inter ouos numcros fola vnitate oiftantce numerum 
cadere medinm quod effe no por: idcoq^ tonus in mufica que fcjcquiocta continec 
^poirio: in ouo veta fcmitonia otuidi non poteft:fed nccelTario oiuidif in minus 
femitoniumetmams. *]|b:opoiitio 9- 

'.^interouosnmnerosptra fep:imos numeri quotlibet 
cotinua ,ppo:tionalitateccciderint: inter vtruqj eo:tim 1 

SGSfeZHR vnitate tottdem cotinua ,ppo:tionalitate cadcre necefle c. 
P_f_^I_. CSim.a.et.b.ptrafcpiimi.mterqnoscadatincotinuspiopoi.c.c 
|_ja_g_f j D , co gp tottc j c aant conrinuc .ppouionales iurcr.a.i vmtate:itc/ 
qj toadcm intcr.b.c vnitatc.Sint cni in illa piopoitionc minimi.cz.f.funipti ut 
pocet. $4-feptimi:ej: quibus fumanf trcs cotiuuc pjopoitionales et minimi i coi5 






VIII 

pjoponioiic^ntcocetrcBabuiusqiJifmt.g.b.k.eemdcqtuoiciniftnt.I.m.ii.p.t 
boc toticns ftat vfqucquo fic fumpti fiat totide quot funt numcri .ppofiti : vt r :mt 
bicl.m.n.p.£6fTat itaq, cu fint.a.cd.b.in fua ,ppo:tione mimi p p:ima buius. 
fmtq5.l.m.n.p.totic!e z mimi in cade.116 fitaut poffibile ee aliquid miiws min/ 
mo cp numcri.l.m.n.p.cqualcs erotnueris.a.c.d.b.qui vfqj fuo relatiuo e igifil. 
cqualis.a.c.p.b.Z>l3amfcftu aiit cc fc6a bums cp ecf .in fe fit.k.s qc code.m. k:p 
p eiffmitione igif cius qf3 c ml'tiplicari:erit.f.in.k.k quoq^ in. p.quotics Vnitas e 
in.f.itaqj vnitas.f.k.p.funt cotinue ,ppo:tionalcs.Sit'r aut z Vnitas.e.g.l.fnptis 
ergo.a.c.b.loco.U.p.fibi equalii» erunt inter.a.t vm'tate.g.*;e.« inter.b. i vni/ 
tatem.k.c.f.cotinuc p:opo:tionalcs:totidcm quot funt tntcr.a.«.b. quod cft p:o 
pofitum. 1(fc>:opofitio io. 

3f tntervtruq5eo£?vnitatemquotlibet numeri cotinna 
p:opo:tionalitatececiderint ambobusnumeris tottdent 
continua p:opo:tionalitate inter efle neceik eft. 
dSint ouo nnmcrU.s.b.fmtqj.cc.d.intcr.a.? vnitatc.e.quoq^ z 

f.inter.b.s vnitatc continuc p:opo:tionalcs.oico totide effe inter.a 

«.b.c6tmuep:opo:ti6ales:bccc couerfaphoasejrccpto cpad fubiectum pmiffe 
appofitu crat-a.c.b.effe contra fe p:imos qo no apponif bic ad paffione': quap/ 
ptcr vlio: cft palTio buius fubiccto illius.Quia iglf quoticns vnitas in.d.toties e 

d.iu.c.ctotic's.c.in.a.c6ftatqO'ex.d.infefit.c.cex£ode.d.i.c.3.Sirrquoq5cx.f. 
in fc z in.c.ficnt.cz.b.oucaf itaq^.d.in.f.? .pductus fit.g.iteq^ idc.d.oucaf.i.g! 
l.c.z fint piodiicti.b.s.k.Xonftat igiturecis.fcptimi cp.cad.g .vt. d.ad. f.zc% 
i9.cp.g.ad.e.vt.d.ad.f.quare.c.g.e.umt continnc p:opo:tionales i p:opo:tione 

d.ad.f.itep.is.ite^funt.a.ad.b.ficut.cad.g.t.b.ad.k.ficut.g.ad.czp.ij.k.ad 
b.ficut.d.ad.f. igitur funt.a.b.k.b.continue p:opo:tionales:quare coftat p:opo/ 
fitnm. 1{h:opofitio n. 

l^^n' ¥ ftcriwt ambo quadrati erit ,ppo:tio Vnins ad alterfi ti 
"M fciO iua fui lateris ad latus tllius p:opo:tio tmplicata. Si ve 
roambofamntcubi:eritp:opo:tioalterius ad alterum 
riqua fui lateris ad latus alterms p:opo:tio triplicata. 
_jCSint ouo quadratU.f.b.i ouo cubi.c?.d. latcra ta quadrato:t1 
cj5cuboyrmt.e.quidc.a.i.c.f.vcrob.i.d.oicocpp:opo:tio.3.ad.b.crit ficut.e. 
ad.f.ouplicata.c.vcroad.d.ficutcadetriplicsta.Dnanifcftueni cft cpejc.e.infe 
fit.a.« c% ipfo.ci.a.c.fic quoqj cr.f.in fc fit.b.s ct ipo in.b.d.oucaf igif .c.in.f.z 

.pucnit.g.'zln.3.'i.Sj.«p:oucniant.b.c.k.critqjp..i8.fcptimi.3.ad.g.ficut.e.ad.f 
>zper.i9.g.ad.b.ficut.c.ad.f.igiturocoiffinitionc.a.3d.b.ficut.e.ad.f.oup[icata 
q6cftp:miu.Sc6meodc5modoc6ftat.funtcuig.i8.ite?2.c3d.b.ficut.3.3d.g.'z 
b.ad.k.ficut.g.3d.b.«pcr.i9.k.3d.d.ficut.c.3d.f.quare.cb.k.d.funtetiacon/ 
tinuepwponionales in ;ppo:tione.e.ad.f.p oiffinitionc igitur erit.C ad.d. ficut 
£.ad.f.trtplica ta:qnod eft fecndu. 1|b:opoHtto 12 

^ mimero?: cotinue ,ppo:tionalit3tis quifq^ in feipffi ou 
catunqui inde .pducent fub cotinua ,ppo:tionalitate efie. 
t®Z> ft.itc in ipfos ,pductos p:icipia liia tmcanr: inde quo 
q5 ^ductos cotinue ,ppo:tionalitatis ee necette efi. idcq^ 
lin omntbus boc modo pwductis ejrtremitattbus. 

b j 







-1 »- 
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H I- 
f 




LIBER 

G6int.a.b;c.ptinue p:opo:tionales quoz; quifq^ in fe oucatur i pjoueniat ejc.a: 
quidcd.ecb.vero.es: ej.cf.oico cp.d.cf.fut ptinuc ,ppo:tionales :q> fi item.a 
oncaf in.d.i ;pucniat.g.b.quoq5 in.c? p:oucniat.b.cc. in. i.z .pucniat.k. oico 
etia co.g.b.k.crunt cotinue .ppouionalcs.fit cni cj.a.in.b.U ex.ci eundcm. m. 
eruntqj E- ' »•*"• ■ g.feptimi.d.l.cm.f.ptinue .pportionaks i p:opo:tionca. b.c; 
ttaq^ per equa p:opo:tionalitatcm argucd.ad.cficut.cad.f .q6 cft p:imu. Keli/ 
qnijfic.oucar.a.in.l^.e.tpwueniat.n.^.p.c.quoq^oucatin.c^.m.-jpwucmat 
q.c.r.cruntqj per eafdcm.g.n.p.b.q.r.k.continuequoq^ p:opo:tionalcs m p:o/ 
po:tione p:imozr.p. cqua igtf .ppouionautatc cocludcg.ad.b .ficut.b.ad.k.qo clt 
reliquum.£adem etit ro quotieufcunq^ p:imi in pwductos oucantur. 
1{b:opofttio .1}'. 
=53 % quts quadratus numerus almm qnadraram numeret la 
Jf&fdpS ws quoq? fuu larus illi? numcrarc,pbamr.£>t vcrolams 
fuumlatusillrasnumeretquadratus numerat quadratuj 
£[5int ouo numcri.a.cb.quadrati-.lateraq^ eoy.cc.d.oico q? fi.a 
numcrat.b.cquoqs numerabit.d.? ccouerfo:c6ftat cni cj> oc.c.m fc 
6t.a.cj:.d.quoq5mfe.b.fiatigitur.c.ecc.in.d.eruntq5per.iS.ii9.fcptimi.a.e.i» 
ptinue p:opo:tionales in ,ppo:tionc.c.ad.d.fi igif .a.numcrat.b.idem ipfe pcr.? 
buius numcrabit.c.quare z.cd.qo cft pjimu.JConucrfa fic patct.fi.c.numerat.d. 
a.numerabit.c.pptcr id qo ( ppo:tio.a.ad.cficut.cad.d.« fi numcrat.cipfe nu/ 
mcrabit.b.p:opter boc <j> funt cominuc p:opo:tionales. 

Ifbzopofitio .14- -i . 

j, cubusaliumcubumnumerertamsquoqjfuulatus al/ 
teriusnumerabit.Siverolatus fuumlams alteriusnu/ 
meret-.cubutn numerabitcubum. 
G5it ouo numeri.a.cb.cubi lateraq^ eoy.c.cd.oico q> fi.a.numc 
= |rat.b.cquoq5numcrabit.d.icc6ucrfo:oucaturcni.c.infe.'zfiat.c 
d.quoq^ in te.z fiat.f.pftat igif cp cjcc.in.cftt.a.* ccd.in.f.b.fiar itaq^.g.ejcc 
in d.eruntq^pcr. i2.?.i 9 .feptinu.e.g.f.ptinuep:opo:tionalesin p:opo:ttoncc 
ad.d.fed ? .b.ck.pwucniant cx.cin.g. -cf.per cafdem igitur crunt.a .b.k.b. co 
tinne quoq^ p:opo:tionales in cadcm p:opo:tioncitaq5 fi.a.numcrat.b. idon g 
7.buius numerabit.b.quare c.c.d.cft enim.c.ad.d.ficut.a.ad.b.conftat igit pn 
ma pars.£onucrfa patet:ficut conucrfa p:io:is. Tlam fi.c numerat. d.a. quoqj 
numcrabit.b.que fi numcrat neccfteeft vt numerct.b. 
Ifbjopofttio .ij. 
IJnumerusquadratusquenda alium quadratu nonumc 
rerneclamsfuum lams illiusnumerabit. StveroLatus 
lumnlatus illiusnonnumerettquadrams isquadramm 
illum non numerarc er. neceflitate conuincitur. 
kA Cbec i f .p:oponit ncgationcs couerti:que aff itmationib 9 quas. i j . 
>uuib conuerti p:opofuit opponuntunVt fi fint ouo numcri quadrari.a.c b.quo 
rum latcra.ccd.fi.3.non numerar.b.c.quoq^ non numcrabit. d. econucrfo ctia 
fi c non numerat.d.ncc.a.b.fit cnim p:imo vt. a. non numcret.b. futaqj.c nu / 
meracd.pcr fecunda partem. i j.buius s.a.numcrabtt.b. qi5 e cotrarm pofittom 
ficqj patet piimum.fccudu quoq5 fk:fit ut.c.no numerct.d.itacg fi.a. nnmcrct.b 




H.r« 




! 




VIII 

per pama ptetn. i j .nccerTe eft vt.c.nnmeret.d.iiccefle cft igitur vWiumcret ipfum 
cu non numcrat tpffi:qb eft impoffibile..Queadmodu aute neceffe eft, couerti ne/ 
gationcs oppofitas aff irmatioibus quas.i 3 .oemoftrauit puertirfic quoqj neceffe 
c cas ncgatiocs quc opponut illis affirmationibus quas pmiffa coucrti oemoflra 
uit coucrtant . vnde fi cubns no numcrat cubu ncc latus eius numcrabit latus ifii 9 
ecouerfo quoq, fi latus vnins no numcrat latus altcriusinec ipfe cubus numera/ 
bit alteru cubu.ocmoftrat aut boc ppmiffam a oeftructionc pfequetis:ficut qb,p/ 
pofitum eft pcr.i 3,idcoqj boc aucto: no p:opouut:fcd pcr Vd qb pjopofitu e ipfu 
oeditintdligi. 1|b:opourio .i<5. 

| 3f ouo nnmeri fupficiales fuerint ftfes necelfe e rertul nu/ 
'jmeru f>m #po:tionalitate^6nnuaei8iteTefTe:eritq5p:o/ 
jpo2tio vmns numeri ad altey fibifimtle Velut Vnmateris 
1 fui ad latusalterius fe reipiciens p:opo:tio Dupticata. 
GSint ouo numeri.a.c.b.fupcrficiales * fimilesroico ep inter ipfos 
cadct vnus numerus tn cotinua ,ppo:tione:latera eni.a.fint.c.t.d.b. vero latera 
fint.«.i.f.cruntq5 ejc couerfione oiffmitionis numerojj fimiun.c.ad.e.ficut.d. ad 
f.conftataut c^ex.c.tn.d.ftat.a.tet.e.in.f.b.fiatitaq5.g.cx. e.in. d.critqsg. 19. 
fcptiint.a.ad.g.ficur.c.ad.e.-z pcr.i$.ciufde.g.ad.b.ficut.d.ad.f. quarc.a. ad.g; 
ficut.g.ad.b.eftitaqj.g.coitnua^ponionalitatcmediusinter.a.i.b.qb eftpio/ 
pofitum.£ojicf.aui patet.cn ftt.a.ad.b.per oiffinitione ficut.a.ad.5. ouplicata. 
quc eadem cft itti quc eft.c.ad.e. 

1(b:opofitio 17. 
3f fecudu cotinuam ,ppo:tionalttate terti 9 numer? onob? 
iinmerie interftt:ilh ouo numeri fupficiales funt 1 fimiles. 
[ Gbcc eft couerfa pmiffcut fi intcr.a.c.b.fit .c.fub cotinua ,ppo:tio 
tionalitatecoftitutus.a.^.b.eruntfuBiicialestfunilcs.fintcni.d.t 
e.minimi tn p:opo:tionequa continuantur.a.b. c.quipcr.2i.fcpti/ 
mi numcrabunt.a.f.e.equaiiter.fitqj vt im.i.t pcr eandem.c.i.b.equaliter :z fit 
vt frn.g.erunt igitur per otrTinittoncm.a.t.b.fuperftcialcs:? crunt etiam pcr oif/ 
fmitioncm.d.f.f.latera numeri.a.e.quoq^ •z.g.latcra numeri.b.Qb autc ipfi firit 
fimilcs fic babeto:cum enim ejc.d.in.g.fit.c? qc.e.iu.f.fit idcccrit p fcbam par/ 
tcm.2o.fepttmi.d.ad.e.ficut.f.ad.g.per otfftnitione igitur.a.i.b.funt fimiles qb 
cft p:opofitum:boc antem vltimum qb eft.a ■j.b.cffc fimilcs poteft ctiam baberi 
per. 1 9.?. 1 s.feptimi 1 pcr bas ypotb.cp.a.c.b. funt ptinue ,ppouionales in .ppoi 
tione.d.ad.e.minimoy tiumcrantiu.a.t.c.fm.f.t.c.i.b.fcom.g. 
1fb:opofuio 18. 
' 3f fuerint ouo uumeri folidi nTesfneceffe eft eis buos nn/ 
merosftn continuam p:opo:tionalitatem intereffe.erit/ 
q5p:opo:tto\miusfoltdiad alterum libi fimilem.velut 
cuiuflibet fui lateris ad latus altertus refpiciens fe ,ppo: / 
_J tionaliter p:opo:tio trtplicata. 
GSint ouo numcri.a.i.b.folidi fimiles:oico cp intcr ipfoscadent ouo numeri m 
cotinua pportioncSunt eni latera numeri.a.c.d.e.latera vero.b.fint.f.g.b.crut 
cp ercouerfione oiffmitionis numcroy fimiliu.cad.f.cd.ad.g.ficut. cad.b.Sic 
igiturex.c.in.d.k.teji.f.in.s.l.eruntqjexoitfinitione.k.t.l.fup.ncialcstfimileB. 

b 4 





LIBER 



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14 



43 



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quare per.itf.buios vnus iramerus cadct intcr eos tncdius ftn ;ppo:tione.c.«d.f. 
qni fit.m.IfOanifeftu aut c q> cx.e.in.fc.fit.a.'Z ejr.b.in.l.b.fi igit cjc.e.iu.m. z.l. 
fiant.n.cp.erutg.iS-fi+itinii.a.ad.n.ficut.k.ad.m.f.n.ad.p. ficut.m. ad.l. qrc 
a.n.p.funt ptmue .ppottionalcs in ,ppo:tionc.c.ad.f.s q: per.io.ciufdc.p .ad.b. 
ficut.cad.b.sideo ficut.c.ad.f.fequit utquatuo:iiumeri.a.n. p.b. fmtcontinue 
pponionalcs frn ,ppo2tioncc.ad.f.funt itaq^ intcr.a.cb.ouo numcri.n.s.p.me 
dij incotinu. ;ppo2tionalitatc fuo?z laterum interpofiti:q6 e ^ppofitii. lonef.aute 
P5 cii ,ppo:tio.a.ad.b.fit g oiffmitione ftcut.a.ad.n.tripltcata que cft cadcm tlli. 
q uecft.c.ad.l. Ifciopofitto \ 9 

~~ ^risfcdmcotinua^pomonalitateouo numeri interia/ 
ccnt quilibet ouo uutneri lolidi liint atq5 ftmilee. 
Cbcc eft puerfa pmiiTe vt fi mtcr.a.c.b.fint ouo numeri.c.f.d.me 
dij in;c6tinua ( ppoHionc:etut.a.'Z. b.folidi sfimiles:Sumant cnim 
tres minimi in eade p:opo:tionc ptinuc ;ppo:tionales qui funt . c. f. 
g.CTutqjper.ir.cz.g.fuperficiales^fiinilcs.fiutergo.b.c.k.latera.c.at.l.i.m.la 
tera.g.eritq5pcrco::cr..|(S.buius.c.ad.f.ficut.b.ad.l.autficut.k.ad.m.manife/ 
ftu aute cft ejc tertia cp.ct.g.funt ptra fe p:imi: ideoqj pcr.23.feptimi in fua <p/ 
po:tioneminimi.« q: g equa ,ppo2tionalitate funt.a.ad.d.i.c.ad.b.ficut.cad.g 
fequit per.zi.feptimr.ut ipfi numereut.a.c.d.equalitcr qb fit frm.n.z item.c .z.b. 
eqlit q6 fit f> m.p.Ouia igit ecb.io.k.ftt.cz cce.in.n.fit.a.fcquit g oiffinitioite' 
vt.a.fitfoliduseiufcplatera.b.k.n.fitrq^e^.l.in.m.fit.g.iejc.g.in.p.b. fequitut 
etiam ut.b.fit folidus % eius latera.l.m.p.ipfos aut cffe fitcs fic conftabit cu cjc.g. 
in.n .fiat.d.-r ejc eode in.p.b.erit g. is.feptimi.n.ad.p.ficut.d.ad.b.s q: fic crant 
b.ad.U.k.ad.m.g oiffinitionc manifeftu cft.a.«.b.effe fimilcs:qo" eft p:opofitu. 

•]|b:opofitio 20. 
* % trium numero:u continue apomonalin p:imus foertt 
quadratue tertium quoq3 quadratum efie. 
CSint trcs nnmeri continuc ,ppo:tionalcs.3.b.c.fitcp.a.quadrat' 
oico cp.c.cft etia quadratus funt cni g. i7.a. , z.c.fugficialcs 1 fimiles 
cum igitur.a.fit quadratus g fpotbccrit.c.quadratus. 

1|b:opolitio 21 
3f qnatuo:numero:um continue p:opo:tionaliam. p:i/ 
mue raitcubue:quartum cubum eflenecefle eft. 
GSInt quatuo: numeri cotinue p:opo:tiona(es.a.b.c.d. fitq5.fl.ct1 
bos:oico cp.d.cft etiam cubos:coftat enim per.i o.cp.a. z.d. font fo 
Ijlidi fimilcs:« q:.a.eft cobus per ppotbcerit etism.d.cubos. 

Ifbwpofttio 22! 
% ouoy numero^ quoy p:opo:tio ftcut quadrati ad qua 
dratnramtvn^quadrat^altcru quoq? quadratum elfe. 
OSint ouo numeti.a.cb.in p»po:tione ouoiz quadratoy qoi fut 
ccd.fitqj.a. vd .b.qoadratus:oico rdiquu cffe quadratu: cu enim 
ci.d.fint quadrati:feqoitor eos effe fupcrficialcs fimiles.idcoq^ pcr 
itf.cadet vnos medios inter eos in conttnna p:opo:tionc:qoarc pcr.s.i inter.a. z 
b.pcr-io. tgttor coftar piopofitom. 

^b:opofttto 2j. 






IX 

% Ouoy numeroy qaoy p:opo:tio ad alterum fit ficur cu 
bi ad cubuni alterutcr fuerit cubus ad altc? cubtcum elle. 
C5int ouo numeri.a.?.b.in,ppo:tione ouoy cuboy qui uint.cr.d 
fitq^.a.vel.b.cubus-.oico rcliquu elTc cubum. neccffe cft enim cy.c.c 

Id.ftnt folidt fimilcs:quippe omncs cubi funt fimilcs z folidi Sitacg £ 

iS.inter ipfos cadcnt ouo mcdij in continua p:opo:tione totidem igitur perAca 
dent intcr.a.c.b.itaqj perai.manifeftum eft quod oicitur. 
l|b:opofitio .24 
cH mero:um fuperficialium fimilium eft p:opo:tio Vnius 
ad alterum ficut p:opo:tio quadrati ad quadra tum . 
GSint.a.f.b.fupcrficiales fimiles.oico qp vnus ad alterfi cft ,ppo: 
tio ftcut quadrati ad quadratu:erit eni per- ic.intcr eos vnus numc/ 
_J rus medius in continua p:opo:tione qui fit.c.fumptis itaq^ tribus 
minim(8in ( ppo:tioncco:u:quifunt.d.e.f.cruntpercoj:el'.2.d.adl.f.quadrati:ct 
q: E cqua p:opo:tionalitate eft.a.ad.b.ficut.d.ad.f.coftat vcy efleqb .ppouitur. 
1fjb:opofttio 25: 
iJftniumouo:umfolido:umftmi!iuin eft p:opo:tiovni/ 
usadalternm ficutalicuinscubi adaliquemcubum. 
G Sint.a.s.b.folidi fimi!es:oico cp ,ppo:tio vnius eo£ ad altcrum 
eft ficut alicuius cubi ad alique alium cubum.Sut quidcm g.is.intcr 
J eos ouo numen medij frn continua ; p:opo:tione qui fit.c.f.d.t cop 
p:opo:tionc fint minimi:quatuo:.c.f.g.b.quo22.c.?.fc>.erunr cubi per co::clarium 
fctSe.q: igitur per cqua p:opo:tionalitatem elt.a.ad.b.ficut.c.ad.b.liquet p:opo/ 
fituin. fyplicitliberOctau us 3ncipit libcr llonus. 

3tr numerus efrquipoteft inouo cqualia 
oiuidi.G3f mpar numerus e qui i ouo equa / 
lia Oiuidi no pot^additq? fupja pare vnttari 
llbariter par e quc cucti pares efi numeran 
es paribus vicibus numerant:C]fbariter i 
par efi que canai pares eu numerates ipa/ 
rib^vicib^numerat.Cl^ariterpariipari 
ter e que pares eu numerates qutda parib? 

quidaimparib?victb%umeT9t.G3fmpari/ 
ter ipar qne cucti ipares eu numerantes im 
partbus vicibns numerat.G1fcerfectus nu 





- ; K „..w..~ ,n.ivuuimiin.i»i.u Ih-*- 1 't«.u(t> im 

mcrus appellat qui oibus p.tib9 fuis quib? numerat e equalis. Gfiaa 
bundans oicitur qui oibus liits pttbus ntino: eft.G ^iminutus Vcro 
qutmai o:. 1^>:opolitio. .1. 

i % fuerint ouo nmneri fupficiales fifes qui ejc Ouctu altcrt 

j us in alterum p:oducetur numeru quadratu ce ncceffe e. 

. GSint.a.c-b.fuperficialcsfimilesexquoymuttiplicartone p:oue/ 

niat.coico.c.effe quadratu.fiat cni.d.ejc.a.in fe.critq^ per. is.fcpti 

U mi.d.ad.c.ficut.a.iad.b. cqnntcr.a.t. b.caditvnusmediusfccin 

cotinua ,ppo:tionalitate g. i7.octaui.fequif g.s.eiufde vt vn 9 quoqjcadat intcr.d 
I.cit3fl5 cit.d.ftt quadratua crit pcr.2o.eiufde.c.quoq5 quadratusqo' e ^ppofitif.' 




1 1 

* < 

b 

a 

c 

b 

, — ^ 

j 

c 
1 

b 

' ~ — j 



— 1 




LIBER 




1 "$ cf 6acra alterius in alterum tetragonus ,pdncatur .ouo 
][qmlibet numeri funt fuperficiales umiles./£]c bis itaq, pa 

tens efhquia ft tetragonus rn tetragonum oucatur qui ej; 

eis pjoducetur tetragonum efle. £>i vero e]c ouctu tetra/ 

goni in numeru alique tetragonus pioducatur illu nume 
rnm alique cfle tetragonu. 3f teqj fi cf ouctu tetragoni in numey ali/ 
quenontetragonusp2oducatureunumerumalique non tetragonw 
effe. ©i vero tctragonus in numey alique non tctragonum oucarur: 
qui inde pzoducetur non tetragonum elTe necelfe eft. 
Gfoec eft pucrfa pjioiis vt fi e>:.a.in.b.fiat.c.fueritq5.c.quadratu8icrunt.a. c.b. 
fugficialcs ftmilcs.fit ent.d.ex.a.in fe.entcp per.is.fcptimi.d.ad.c. ficut.a. ad.b. 
pcr-id.aut .s.cum.d.f.c.firtt fugficialcs fimilcaico cj> fut ambo quadrati.erit in/ 
ter eoa vnus numcrus medt 9 t> m cotinua piopoi.p.. s.itacp eiufde erit etiam vnus 
inter.a.c.b.igirur p. i7.ciufde.a.«.b.funt fupcrficiales fttes tquod cft piopofttum 
•fsjima ps conet.patet g p:cmiffam:funt eni omncs tetragoni fupftciaiea ftmilcs 
fcoa patct q: bac cu fit folus tctragonus ftlte tctragono.Icrria p_s patct cjc p:ima 
ipfius coiieT.pK a ocftructione pfequetis.quarta vero P5 ej: ciufdc gte fcoa a oe/ 
itructionecriapfequetis. iftnopofltio .3. 

3f numerus cubus in fe tpfum oucatur qut tnde pzoduce/ 

rureritcubus. 

06it.a.cubusej:quoinfeouctofiat.b.oico. b.effe cubu.fitent .c. 

latus cubicu.a.ex.c.Vcro in fc fiat.d.patct itaqj cp ejc. c.in. d.fit.a. 

funt igitur vnitas.c.d.a.ptinuc (ppojtionales-.qd > ex- is.feptimi t p/ 
fentibus ypotbcfibus manifeftu eft:? quia cft.a.ad.b.ficut vnitas ad.a.co q> quo 
tiens vnitas e i.a.toties.a.in.b.crut iter.a.s.b.ouo numcri medt) £m ^ppojttona 
litatc ptinua per.8.octaui:cum igtt cjc ypotbcfi ftt.a.cubus crit per.2i.eiufdcm.b. 
quoq5 cubus:q6 opojtebat oemoftrare. 

1fb:opofitio .4. 
f ctibus i aliam cubum oucatur. qui inic pzoducetnr erit 

lcubus. 

| G6int.a.c.b.cubi:fiatq5.r.ej:.a.in.b.oico.c. clTe cubum. fiat cnim 

d.ex.a.in fe.critq^ pcr picmiffa.d.cubus % qj per. 1 s.fcptimi e.a.ad 

b.ficut.d.ad.c.conftat ex-25.octaui.cee cubumiqo eft pjopofitum. 
Ijbzopofitio .5. 
jiow— -■! % numerus cubus in numey alium 0ucatur:rocritq5 p:o / 
JfMvsieiJ cractus cubus in que ouctns c nnmCTiim cubum cilc necef 

fe eft. Vnde 1 manifeftu effcquia ejc ouctu cubi in no cubii 

psoducitur non cobus.*©uctoq5 cubo in nume^z aliquem 

li fuerit qui inde pzoducitur non cubus in que il le ouctus 
uerit necelte eft effe non cubum . 
CSitenie>:.a.cuboin.b.numey ( pduct 9 .c.cub 9 oico.b.eecubu:fiatent.d.cx.a.t 
fe qui g antepmiffa crit cub 9 :qj igit e f>. 1 s.fep.a.ad.b.ficut.d.ad.c.cftq5.a.cubus 
f5 s.d.?.e.cubi crit p.z? .octaui.b.cub 9 qo e ;ppofitu: pma ps cojjcf .patct c% bac 
quiuta a oeftructione pfitis.fc6a pcr pmiffam fifr 9 oeftructione cofcquentte. 






IX 




^opofttio .6. 
% e% buctu ctiiufda numert in fe ipfum cubus p:oducat'eu 
cffecubujnecefTario comp:obatur. 
GSitvtcx.a.infefiat.b.fitq5.b.cubus: oico ergo.a. cffecubu-.fiat 
cni.c.ex.a.in.b.critq, ec oiffinitione.c.cubus. ct qiii conftar qc. 18. 
feptimiqjfit.a.ad.b.ficut.b.ad.c. cufint.b.et.c.cubi:fcqi)ifc)c.2} 
octaui.a.eifecubuiqoeppofitii. 1(b:opofitio .?. 

1a^=^j 3* mtmerus copofitus in numernm quelibet bucatur :qui 
«(f2||? inde p:oducctur cnt folidus. 
w£* Hj flSit.a.numcrus copofitus:qui oucatur in.b.et yucniat.c.oico.c 
elTe numcrii folidtkai cni.a.fit copofirus numeratur ab aliquo nu/ 
mero qui fit.d.mnneretq^ cum fcom.e.quia igirur cx.c.in.d.fit.a.z 
cy.a.in.b.c.crit c$ oiffiwtioe folidoy.c.folidus ciufqj latera.e.d.b.q6 e .ppofitu. 
1(b:opolitio .s. 
1 3* fuertnt numert ab vnitate cotinue p:opo:fionales :ter 
ttusabvnitateerit quadratus-.acbdnceps vno femper 
intermifTo.iQuartus vero ab vnitate cubus: ac oeinceps 
tmobusfemperintermillis.lfteqj feptimus abvnttatee 
j quadratnscubicus.act>cinceps:quinq5lemp€r intermif 





fts quadratus cubicuscontmuo lequitur. 

CSintc6tinuep:opoJtionalesvnitas.a.b.c.d.c.f.g.b.k.I.m.n.oico.b.cffcqua 
dratfi t.d.obmiffo.c.i fic alios vno fcmp obmiffo. vnde fintplr oriis cxiftetcs in 
in locis ipanbus funt quadrati: vt funt tcrtius quintus ct feptimus: oico itcm.c. 
cffe cubii ?.f.ouobus obniiffect fic tn ceteris.£»mnifq5 fimpfr eft cnbus cui 9 ab 
vnitate locus addit fug tcrnariii : vd quclibct multiplice ipfius ternarij vnitatc:vt 
fut quartus fcprimus oecim 9 tcrt mfdecinius 1 fcxtufdccimus. in bs cni pucniunt 
omnes qui ouos tranfmfttunt.^tcqj oico.f.ab vnitatc fcptimu effe quadratu cu/ 
bicu:t fitr.n.quinq^ numcris intcrmiffis : idcq^ iu cctcris. Simptr aute oico cui 9 
locus ab vnitate addtt fupcr fcnanu vcl quclibct multiplice ipfius vnitate: vt funt 
feptimus tertiufdccimus oecimufuonus 1 viccfimufquintusnllii ee quadratu cu/ 
bicum: quadraru quidc qm cius locus impar : cubu aut qm fup multiplicem ter/ 
narij addit vnitatcm quippe fcnarij multipliccs cuctos tcrnarij nccclTc cft ee mul/ 
riplices.Oue aut .ppofita funt fic conftat.-Eft cni ci ypotbcfi.a.in.b. quotics vni 
tas in.a.itaqj.b.ec oirTiiiitioue quadratus:qi igif .b.c.d.fiit cotinuc p:opouiona 
les cii.b.fit quadratusp^ ejc. 17.vd.20.oct3ui.cl.cflc quadratum. £adcm rone ct 
f.q:.d.c.f.funt ptinue ,ppo:tionales:ct.d.cft qu3dratus:idem in cetcris vno iter/ 
milTo:pftat itaq^ p:imu. Sc6m fic cii fit.b.in.c.quotics.a.in.b.cy ypotbc.fcquif 
a oiffinitione vt cjc.a.in.b.fuii quadratum fiat.c.igif cr oiffinitioc cubi .c.cft cub 9 
3t q:.c.d.c.f.fiit ptinue ,ppo:tionalcS fcd s.f.g.b.b.cft aiit.c. cubus : nccdTc cft 
pcr. 1 o.vel.21 .octaui vt.f.quoq^ fit cubus.idcoq^ f.k.idcmq, i ceteris 0uob 9 traf 
miffis:qre liquct ktm.Qm aut.m.f.fcptimo 1 in.n.tertiodecimc.cctcrifq^ quin 
qj medios obmittetib 9 .fimp!r vero t in oibus quo£ loc 9 femp quclibct multiplice 
fcnari) addit vnitatc^^termmanf quadratoy ccuboy coputatiocsan bisquidcm 
vni 9 :in lllis aut ouoy obmiftione fcquif ipfos effe qdratos: cji buius p:ima pjc 
«cubicos c% fc6a:quare quadrati cubiciiconftat crgo totum quod oicitur 



LIBER 




IjbJOpOfltlO. 9 

J 3f namerisqnotlibet ab vnitatecorinua^pottionalitate 
oilpofitis vnitate fcques quadrat 9 fueritfceteri quoq.5 ocs 
erunt qnadrati.Si vero qui vnitace fequitur fucrit cubus 
ceteri quoqj omnes erunt cub». 
jGSint qui p:ius continue pwpoaionalcs ab Vnirate. fiteft .3 . qua/ 



dratus:oico omncs elTe quadratos.aut fit idem cubus:tunc quoqj oico omncs ce 
cubos.b.cni conftat effc quadratii g p:emilTa5:q: crgo.3.ad.b.ficut.b.3d.ccjC2z. 
octaui fequit.c.effequadratu.ide quoq, qc ciufdc. i7.vcl.2o.potes argucre: oc fc/ 
qucntibus aute idc codcqj modo ^>babis:quare patct p:imu.5cbm autc ficcu.b 
fiat eca.in fe fi fucrit.a.cubus erit ptr. 3 .ipfe quoqj cobus.c. vcro conftat cffc cu 
bum pcr p:cmiffam.itaq5 pcMj.octaut.d.omuefq^ fcqucntes cubicos effe p:oba 
bts:cft cni.a.ad.b.ficut.c.ad.d.^dcm quoq^ argucre potcs ej:. 1 9.VCI.21 .ciufdcrn 
funt eni.a.b.cd.fcd et.b.cd.c.finguliq^ quatuo: continuc fumpti continuc p:o/ 
ponio nalcs. ']|£>20pO]itio 10. 

flT]3f rtumerisquotltbetab vnitate continua ,ppo:tionaiita 
S3j x Oifpoiitis vnitate feques non quadratus facrit.non ertt 




alioy quiftj? quadratus erxeptis ab Vnitate: tertio ejc bis 
qui oeiceps vnofemgitermtfToreperiunt.terrasoni.Si 
vero fecudus ab vnitate no fuerit cubusmullus cetero:ii 
ertt cubus erxepcis ab vnitate quarco:? oeinceps bis qui ouoy femg 
itermiflione fozmantur cubicis. 

Cbec c% oppofito fubiecti p:cmilYc infcrt ptem oppofiti paffionis. ©ico aut parte 
qrn ejc.s. pftat oiiis impares elTe quadratos.omncfq, quo£ locus fup. tcrnarinnt 
vcl quehbct ipfins multipltcc addit vnitate clTc cubos.fitit itaqj qui p:ius ab vni/ 
tatc ptinuc p:opouionalcs no fit autc.a.quadratus fcd nec cubus.otco nullum c% 
oibus cfle quadratumiaut cobicu nifi quos octaua p:opomr.fi eni quis a'.ius po/ 
natur quadratus fcquif rj.22.0ctaui-3.clTc quadratu. Q6 fi cubus fcqutt pcr.23. 
eiufdcm.a.effc cubum quo£ vtruq^ contranum cft ypotbcEonftat crgo .ppoiitu: 
l^opofttio .11. 
Jf numeris quotltbet ab vrncate cotintta .ppojtionahtatc 
Oifpofitis aliquis numer 9 p:imus vlttmum nameret:euin 
quoq5 qui Vnttace fcquitur numerarc neceffc elr. 
GSint vfq^ ad.d ptinue p:opo:tioualcs ab vnitarcfitqj.c-.numcr* 

8jp:imus oc quo pouat ipfu numcrare.d.oico q> idcm nuincrabir.a. 

Tla ft 116 cnt ad ipm p:im ? p. j2.fcp.i q: cca.i fc ftt.b.lequit c%.ie. ciufdc ut ipe 
quoq^ fit p:im 9 ad.b.fcd 1 ad.c.i ad.d.fequit ipm cc pmu.p.2 j.eiufdcco cp.ejc.a 
t .b.fit.cz c% codc in.cd.no crgo numcrat.d.cu fit p:imus ad ipm:qre acdcht p/ 
riu fpotb.^dc alitcr.cfi fit.e.p:im 9 fi no numcrat. a. pmus crit adipmp.52.fcp. 
itaq^ p.?2.eiufde erilt mirrimi i fua ^ppouione-.q: aut.c.cjc ypotb .mimcrat .d. fit 
vt frn.f .pftat vero ep ejc.a.in.c.fiat.d.crgo p fecudapte.^o.fep.erit.a.ad.c. ficut 
f.ad.cqrc pj.i 1 .eiufde.e.numcrabit.cc fit ut frn.g.t q: eca.i.b.fit.c fequif qno 
q5 per cafdcm 1 eodc mo ut.c.numerct.b.efto ergo cp fro.b. z qrii rurfus ejc a.iri 
fc fit.b.ncceffc eft iterii pereafdcut.e.numcrct.a.fcd pofitu erat non numcrarc S 
acciditimpofTtbilc. 1^>JOpofitio .12. 




IX 



r. 




TB numerte ab tfnitate ^rtnue ,ppo:tioalib 9 minot maio/ 
renumcrat fm aliquei illa^poKionalitateoifpofttum. 
CSint ab vnuarc vfq; ad.f.cotinuc ^poitionalcs.oico nuilii tpior 
numcrare.f.nifi i m aliquc aliO£:coftat eni cp.cnumaat ipfii .f im 
_a.cfteni.e.ad.f.vtvnita8ad.a.fecl7.d.numcratcudc.f.fm.b.cn3 
q^gequa^pottionaliratc.d.ad.f.vtvnitasad.b. IDe.c.qnoqjpatctcode moo/ 
fccudu fe ipfu numcret eum.jEconuerfo quoq^.a.numerat cu fmt.e. eo q> ficut vni 
tas ad.cita.a.ad.f.b.vero ftn.d.eft cni vt vnitas ad.d.ua.b.ad.f. vey igif eft cp 
;pponitur..Qnippc quotus quifq5 qni pjoponif vltimu numaare fuerit fub vlti/ 
mo f m totum fup:a vniratemtnumerare ipfum conuincif g equa p jopojtionalita/ 
rcmtoiffinitioncm. 1{b:opolttio u 

^otlibetmtmertsab vmtate cottnnc ,ppojtionalibuefi 
qniwitatemfequiturraerit numeru6p:imus mayinmm 
co:um ntli oe numais in tlla p:opo:tionalitate oilpol ttts 
nutlusnumcrabit. 

GSint vt p:ius vfqs ad .d.eonttnuc p:opo:tioaIes ab vnitate .fitcg 
fl.numer"' p:im 9 :oico <j> nnllus numerabit vltimii nec iitnptr alique coy nifi aliqa 
coy qui anteccdit vltimu vel cfi qui pomf numaari.Stt eni fi polTibile e.e.oiua/ 
fos ab cis qni numcret.d.qui fi fuerit pjimns p.. i i.nnmerabit.a.non igtf e.a.pm 9 
quod e p fpotb.Si aut ipfe merit copofitus ncccflc e pcr.jo.fcpiimi: vr altqs pii/ 
mus nueret eu qui no erit nifi.a.Tla fi e alius ab.a. vt.f.cn necclTc fit ipfu nuerare 
d.argnef etia eude numerarc.a.E. i i.fic quoq^.a.no crit pmns.£ft igif .a.pjimus 
numeras.e.qm ant.cnuerat.d.ftt vt frn.g.critqj g fcoa^ fttc.2o.fep.a.ad.e.ficut 
g.ad.c.fitcni.d.ejc.a.i.c.^recn.a.numcret.e.-z.g.nnmerabit.c.fitq^ut^m.b. fc/ 
qnitq> nt.a.numaet.g.ficut fcqbat vt numerarct.c.alioqnin fi.g. quide e pm 9 ctl 
numcret.c.fequtt p.. 1 1 .ipfu numaare.a.Si aut copofttus g eadem fcqutf numcrti 
p:imnnumaante.g.numcrarc.a.qnodeincouenies.itaq5.a. numcrat eu. fcquit 
ergo p. fecunda gtc.2o.fcptimi vt.b.n amaet quoq^.b.eo q> ta cca.in.b.ctf et g. 
in.b.pftat ^duci.c.nnmcrct.b.itaqj ipm ftn.k.JConftat aiit vt p:v 9 oe.g.cy.a.nu 
merct.b.Tla fi no no crit.a.pjim 9 iraq^ p. fccuda Ete.20.fep.feqt ut.k.uumaet.a 
fit cni ta ejc.a in fe q5 cx.b.i.k.b.DOanifcftu e autck.no elTe.a.nulius eni numc 
roy.g.b.k.c aliqufe eca.b.c.d.fi cni.g.effa aliquis ey eis cu ipe numaa. d.fe/ 
enndn.e.eet p pmilTa.cquoq^ aliquis er. ets.f^ no aat: ncc igif .g.filr cu.b.nume 
ret.c.ftn.g.no cnt.b.aliquis ejc.a.b.cTtam dTet.p pmtffa cg.oftcfum e aute^ q> 
non :nec igif .b.cade rone ncck.cn cni ipfc nnmact.b.fccnndu.b.fi ipfe eet.a.co 
nincercf p pmi(Ta.b.quoq5 eca.3t no craf.ncc tgif.k.ait.a.numaat aute ipfunv 
tlo e itaq5.a.p:im 9 qb e ipoffibile.Gaiita tde ft.c.oiuafus ab.a.b.c.d.numcrat 
d.ftt vt fecundu.f.iq:.a.numaus piimus numaat d.^ductu qc.c.in.f.fequtf ejc 
35.fep.cj) ipfe numaa.cvcl.f.numaa.ago.e.qj tgif ta cjr.a.i.cctf cj:.c in.f.fic 
d.crit pcr faunda partc'.2o-f cptiim.a.acLcficnt.f .ad.c. numcrat itaq^.f.c fit vc 
fannd3.g.eritq5 pa- jj.feptimi ut.a.quoq5 nnmaa. f.vel. g.fttq^ nt. f.fcqtrifqj 
per faundam partem.2o.eiufdem vt .g.numaa .b.fitqj ut faundum.b.ut p:i/ 
bs igitur.3.numaabit.g.vel.b.f fit vt nnmart.g.b. ago pcr fecnndam p.te-2o. 
numaabit.a.fi itaq;.b.non e cqualts.a.non ertt.a.pjimus :quod c ptra fpotb. 
5i autc cqualis crit vnufquifoj namaojti.g.f.caitquis eca.b.c.d.g pmilTa quo 






LIBER 



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27 1 Ji5m 84 n 



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— 1 





ticus opotfet affumptann Tlon dl igit.e.oiuerfus ab ds:q6 eft cria cotra ypotbe. 
itaq5Conftatve£effeq6p:oponit. 1|b:opofltio .4. 

3f ,ppofttus fuerit numer? mimus que numerat p:imi alli 
gnatino numerabit eu aliquts numeruspjimus p:eter il 
losaflignatos; 
j (I6it.a.minimu8numerusnumerat 9 annmerispiimisqui fut.b. 
i, cd.pico q> alius primns pter cos no numerabit.a. Siu autem fit.c 
p:imus numeras cu ftn.f.q: crgo quilibct numcroy.b.c d.numcrat .3. .yductii cjc 
e.in.f.e aute quilibct eouim p:imus fequitur qc.j j .fepttmirvt quilibct eo? numc/ 
ret.e.vd.f.fed.e.nullus numerat cu fit primnsiquihbct ergo copi numcrat .f.lcum 
itaq^ fit.f.mino:.a.Vtpote qui numerat eu im. e.no crit.a. minimus numcratus 
abiillisqoeftinconuenicns. ']jb:opofitio .ij. . • ; ' 

?3fquotlibet numeri continue p:opo:tionales f m fua p:o 
poJtionc fitcrint mimmi: quicuq?' aliquc illoiu numerat 
alteri tcnninoju illtus,ppo:tiorii8 erit comcnmrabtiis 
GSint.a.b.cd.e. c6tinuej>po:tionale8 ?minimi ftn .ppoMionej 
f.ad.g.qni fint in fua ,ppo:tione minimi:« ponatur.b.numcrarcc. 
oico cp.b.clt comenfurabilis.f. vel.g.fumant eni in eade ,ppo:rione quatuo: mi/ 
nimi qui funt .k.l.m.u. col tat aut cc.fcba octaui q> ejc.f.in.m.fit.c.alioquiii cottn/ 
gerct effe miuus minimo qo cffe no potcft.itaqj per concl.j j.fcptimi erit. b.co/ 
menfurabilis.f .vd.m.cp fi.f.coftat ,ppofitum:fi aut.m.fumanf in cade ,ppo:tio 
nc tres minimi qui fint.p .q.r.eritqj er fcoa octaui vt. m.fiat ec.f.in.r. ne minus 
mimo alicjd ce cogainur cocedere :qre per pxdictu cond' .b.e comcnfurabiliB.f.vf 
r.fcd no erat.f.fic eni conftabat p:opofitu :comenfurabilis igitur e. r. qui cum ejc 
fecuda octaui fiat ex.g.in fe fequitur ex oicto co::ef.ut.b.fit comcnfurabilis.g. qo" 
eft p:opofitum. 1(b:opolitiO .its. 

j' 3J fuerint nmnert quotlibet cotinue p:opo:tionales 1 fua 
p:opo:tione minimi quiltbct eo:u.5 ad compofitum er. re 
liquis p:imis efle neceifario comp:obatur . 
"4 GSiiit.a.b.c.d,c6tinuc,ppo:tionalc8«minimi.oico copofituejc.a 
aj b.c.p:imu effc ad.d.Si cni no numerabit aliquis numerus qui fit.e 
copofitii cca.b.c«.d.p pmiffa igif cnt.e.coicans alteri termino^ illius .ppoitio 
nis qui funt. f.«.g.erit itaqj numer 9 aliqs numcras.c.« altcrum ouo:um.f.g. qui 
fit.b.quia crgo.b.numcrat.c.numerabit.d.? copofitum er.a. b.c. « quia nume/ 
rat.f. veLg.quoju vterqj numcrat vtruqj medio:um % (implicita oes fi ptes o.no/ 
bus fitu:cx fecuda octaui fcquit ut ipfe numeret.b. ?.c.ergo ca.q: numcrat totum 
a.b.cno funt igit .3. iA. 9 fe pmi q6 e incouenies g. ? .octauufilr quoq5 conftabit 
ppofitu et.a.b.d.pmu ee ad.cfi eni Vt p:ius.c.numcrat abos fequit g pmiffam 
ut aliquis numerus qui etia fit.b.numctct .c.i alteru ouom.f.g, itaqj.b.numcrat 
a totu .a.b.d.fcd i.b.cu vtraqj radicu numcrct omncs medios :igit 1 copofitfi 
vc.n.i.d.i q: nccelTario numerat alteru ouom.a.d.cu numerct altcru ouoxu.f.g. 
nnmcrabit 1 reliquu.116 fut igitur.a.cd.cotra fe p:tmi:« ita ide ut p:i 9 .GjDcmo 
ftrat[aut ide alitcr oe trtb" cotinue ^>po:ti6a[ib 9 c mimis fine aminiculo pmiffe^i/ 
bat eni cjc quibufq^ ouob 9 copofitu pmu ee ad rdiquu.fint itaq^. J .cotinue pppi 1 
tionalcs 1 mimi.a.b.cqno^ rermuii .d.i.c.oico tuc compofitum cjc.a.t.b.piimu 




IX 



cffe ad.c? copofitii cx.b.?.c.ad.3.ttcq5 ex.a .t.c. ad.b. manifeftu cnim cft Cx kt 
cunda octaui q6 cx.d.in fe ftt.a.i in.cfit.b. i ey..c. in fc c.i ex.22.feptimi.q6.d. 
•z.cfut cotra fe p:imi:itaq5 ex pma ptca9.cinfdc crit tot 9 .d,cpm 9 ad vtruq5 co;z 
q: igif vtcrq> ouoy numcro£.ciU,d.c.p:tm 9 c ad.e.crit pay.ciufde qui qc.d.in.d 
e.pdncitur i ipfc c copofitus ex.a.i.b.pmus ad.e.fcquif ergo p.2tf .ciufdcut ctia 
copofitus ct.a.t.b.fit pm 9 ad.c.fit eni.c.et.e.i feGSimili quoq, oemoftratoc p/ 
babis copofitu cx.b,«.c.pmii cffc ad .a.at vero copoutii ct.a.-r.c.pmu efie ad.b: 
ficbabeto:cfifitcnivtcrq3Duoy.d.«.c.pmu6adtotnm.d.c.critp.25.feptimiqui 
CX-d.in.c,,pduaf :t ipfe cii.b.pmus ad.d.citaq? p.2<s.ciufdc qui cv. d. e.in fe #/ 
venif.i ipfe eft qui coponif c%a.i.c.i ouplo.b.p:imua crit ad.b.fcquif crgo com 
pofitu ex.a.«.c.pmu effc ad.b.neceffe eni e ut ex ouobus copofitus cii p:itnus fuc 
rit ad vnu eoy cr quib° componif ifitprimus ad reliqufitocmoiiftratum aiit c boc 
fup:a.29.fcptftni. Opojtct aiit ftabilire ad robur iftius ocmonftratiois compofitii 
er.a.t.b. ( pduci er.d.in copofitfi er.d.^.c.fuppofsto cp cr.d.in fe fit.a. i er code; 
in.cb.itecr} cp cx.d.e.i fe .pducaf copofitu cyi.a.i.c.i ouplo.b.fuppofito co quod 
p:ius i cp er.e.in fe fit.c.bifius itaqs gfa .pponim 9 bcc oemonftrada. 
G£i6 nter ouctu vni 9 numeri » quotlibet tantii cquantu q6 er ouctu 
etufde t cdpofitu ejc illis.G^de ,pponit pma fcoi oe lineis.Sit ent ut er.a.i.b 
•z in.cz in.d-.puehiant.e.c.f.f.g.oico cp er.a.in copofitu er. b.i. c.i. d.,pucnit 
copofitu er.e.i.f.T.g.fcquif eni cx coucrfione oiffinitionis eius q6 multiplicaf ut 
tota pars fit.b.c? tota.c.f.fcd «.d.tota.g.quora c vnitas.a. pcr quinta itaqj fc/ 
ptimiitota quoq, ps ent copofttus et.b.t.c.c.d.compofiti ex.c-t.f.T.g.quota cft 
vnitas.a.ergo pcr oiff initioue er.a.in copofitu ex.b.c.ci.d.fit copolitus ex.e.i 
f.^.g.qo* cft p:opofitu.Gi06 fit er ouctu quotlibet numerojum in vnuin 
equfl e ei q6 flt er copolir o co:u in cunde. G boc e coucrfu cius qo modo 
oemohftratu e: Vt fi cx.b.?.cz.d.in.a.fiant.ci.f.T.g.fiet quoq^ copqfttus cx co 
pofito i cunde:q6 cx. i7.feptimi i pdcmonftrato facilc cocludif .G/Q6 fit C)C OU 
ctu quotlibet numerpy in quotlibet alios:equu eft ei q6 fit er copofi 
to boinm in compofitu illoy.GUt fi.a.b.c.multiplicet.d.cf. quilibct que/ 
iibct:iungai)fq5 ,pduaa.oico aggrcgatii ex p:oductis elfc equale jiducto cx copo/ 
fito ex.9.«.b.?.c.in copofitu qz.d.i.e.i.f. eft ent p. p:emilfam qd fit cx copofito 
ex.a.b.c.in.d.quatuqdexftngulisinillu.d.fictin.czin.f.excopofito autbo:fi 
a.b.c.iu queltbct iilo2.d.cf .p ante pmiff a fit quatti cx copofito in copofitft .itaqj 
conftat ^ppofitu.GTBumero in quotlibet tjtes Ointlb: tantu efl qo fit er 
toto eo in fe:quantfl q6 er eo in omnce fuas gtes.G3de pponit fcoa fc/ 
cundi oe lineis.vt fi.a.oiuidaf in.b.«.c.«.d.oico q6 tanium fit cr.a.tn fc quantfi 
tnoesillos.b.c.d.pofitocni.e.equali.a.conftatexp:imaba^incidcnttutmftcri 
ex.citt.a.quatu in oes ptes.a.fed g cocept.cx.cin.a.fit quatum cx.a.in (c.i cx.e 
in ptes.a.quatii ex.a.in eafde.nnanifeftfi crgo e vey cffe q6 oictf .GTBuniero 
in Ouo oiuifo q6 fit eje toto in alteram oiuidentium :tm eft quantu q6 
er eodein in fe i in alterum.G^dcm p:oponit tertta fcoi oc lineis. Sit cni.a 
t>iuifu8iii.b.«.c.oicotmficriex.3.m.c.qiutucx.c.iiifc.«in.b.1lamq6cx.3-i-c 
i quatuq6ex.cin.a.p.i7.feptimi.fumptottaq5.d.equali.c.crit.a.in.c.quantum 
d.in.a.atpcrpMmabaru.d.in.a.cquaiituin.b.T.c.qjCTgo.d.in.a.Ti.b.t.t.c.f! 
quatitnm.c.m.a.? wJo.i in fe ptopter cqualitatcm.ccd.conftat p:opofitum. 



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i . . 1 , 

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LIBER 

G TRumero in ouo Oiutfo q» eje ouctn totins in fe:eft qnantum q6 ejc 
Ouctu vtriufqj oiutdcntium m fe i alterins eoium bis in alterum . 
G^dcm ,pponit quarta fcoi oc lincis <n (i a.oiuidacur tn.b.i.c.oico tifi fieri ejc.a 
i fc.quatii ec.b.in fe.c.c.i fe z gc. b.bis in.c.eft eni pcr quartam barum cp et. a. 
in fe quantu qo c% co in.b. z in.c.cjc co aute in.b. per pxmiffii cft quantu ejc.b.iit 
fe.^in.c.atej.a.in.c.pcreandcmeftquantumex.c.infccin.b.tqi er.c.in.b.ti 
tum eft quantum ex.b.in.c.pcr.i7.feptimi.liquct vcrum effc quodpwponitur. 
GlR-umero per Ouo equalia Ouoq? inequalia otuifo quod fit ey ma/ 
iozi incqualium in mtno:em cum quadrato intermedij equum e qua/ 
drato medietatis totius. 

G3dcm pjoponit oc lineis quinta fecundi: vt fi.a.b.oiuidatur in ouo3 numcro3 
equ3les qui fint .a.c.cc.b. itcmq, in ouos iuequales quoy fit maio:.a.d.s minot 
d.b.oico q> illud qo fit c% toto.a.d.in.d.b.cu quadrato.c.d.equale cft qdrato.c.b 
per p:emiffam ciiim quadratu.c.b.cft cquale quadrato.c.d. z quadrato. d.b.l ci 
q6ntc^.b.d.in.c.d.bis:fedcr.b.d.i!fe2i.c.d.trTifitquatui.c.b.ppniabay:?id 
quam i.a.c.itaq) ejc.b.d.iu fe z in.c.d.bisquatu cy. ipfo.b.d.i.a.d. g eadc igitur 
quadratu.c.b.fupat idqb fit ejc.b.d.in.a.d.in qdraro.c.d.coftat crgo psopofitiu 
GCum fuerit numerus in ono eqlia oiuifus eiq^ alius numerus adiu/ 
ctus: qo fit eje ouctu totius compofiti in admnctum cum quadrato me 
dietatts equitm eft quadrato coinpoftti cjc otmidio i adiuncto. 
C^dcm ptoponit fejcta fccundi oc liuds:5it eni.a.b.oiuifus in ouos cqualcs nu 
incros qut fint.a.cr.c.b.addaturq, ci nmnerus .b.d.oico illud qd fit cjc toto.a.d 
in.d.b.c.cu quadrato.b.cffe equalc quadrato.c.d.eft euim vf. fejrta baru quadra 
tu.c.d.equale quadrato A.b.z qdrato.b.cz ci qb fit cjc.d.b.in.b.c.bis: f^ pcr pri 
ma ba^ cjc.b.d.in fe z in.b.c.bis cft qntu ejc:b.d.iu.d.a. Sut cni.a.c.c.c.b. eq/ 
les.itaqj qdratu.c.d.fup.at id qb fit cjc.b.d.in.d.a.in qdraro.c.b: qb e ,ppofitum 
Gi£u numerus in ouo oiuidit qo fit c% toto in fe cu eo qo ejcaltero Oi 
uidctiu in le e equu ei q6 q: toto in eunde bis cu eo qo ejc altero t fe. 
G3dem p:oponit fcptima fcbi oc !iueis.5if eni numerus.a.oiuifus in.b.f.d.oi 
co quadratn.a.cii quadrato.d. tm cffc qnatutn qo fit ejr.a.in d.bis cum quadrato 
b.conftat quidc cjc fcjcta ba? q> quadratum.a.tanru e quantii quadratu.d. z qua 
dratum.b.cq6fiteji.d.iii.b.bi3:itaq5quadratum.a.cumquadrato.d.ttfiequan 
tum qb er.d.bis iu (c.z bis in.b.cum quadrato.b.fcd epd.bis in fe z bis in.b.fu 
quantumcjc.d.bis in.a.per pritt am barum:crgo quod fit cjc.d.bis i.a.cu quadra 
to.b.cft quantum quadratum.a.cum quadrato.d. quarc patet p:opofitum. 
G£um tuerit numerus in ouo Oiuifus eiq^ equalis vni Oinidcntium 
additus: quadratum totins compolitieqnumeft quadruplo etus.q6 
ftt et pjiou in additum cum quadrato alterius. 
G3dcm p:oponit octaua fc6i oe tiiicis.Sit numcms.a.b. oiuifus in. a.c. z.cb. 
cuiaddatur.b.d.quiponaturequalis.c.b.oicoquadratum.a.d.tantumcffcqua/ 
tum cft id quod fit cx.a.b.in.b.d.quatcr cum quadrato.a .c.cft lianq5 pcr fejctam 
barquadratum.a.d.cquumquadrato.a.b.^quadrato.b. d.^ciqbtitex.a.b.in 
b.d.bis:cquia quadratum.b.d.cft cqualcquadrato.c.b.crit qtiadratu.a.d.equa 
lcquadraro.a.b.iqtiadrato.c.b.cciqbfitex.a.b.in.b.d.bisipcrpmiffamautc 
cft qiiadrattim.a.b.cum quadraro.c.b.quantum quadiamm. a. c.cii co quod fit 




IX 

Iinee.c.f.incomdirurabai6inloiigtodine:quarepcr.i9.fupcrficics.c.g.crititicc?t 
ali8:cumliiica.e.f.firr6iiaiisi!oiisirudii!eficur.c.d.;ibicquaii3:culitcr£o.b.ecj/ 
te.e.g.CTit quoqj.b.mcdiafe qo e p:opofitu.CL£ t nota qj omuco fupci ncies me 
dialcs coicantcs coponunt f upaiiciem medialc. 23ndc to.a .d.g.e incdiaii8:q: cii 
oue linecc.f.c.f.g.fmt ronaics 111 porctia tm z no coinuntcantes in longitudine 
feqmtur ut tota.e.g.fit ronalis m poretia tm z 116 c6icas.c.d,i longttudine.itacK 
B.i9.d. S.emedi3lis£odcq5m6fifmtpfes. 

"}fb:opoiirio .22. 

Qftnisoifferentiaquababuudat mediale a mediali:irra 
rionalis eflc p:obatur. 

ffSit vrraqj ouaz> fuperficierii.a.b. c.a. mcdialis ioico g> fupficies 

J.qtie cft ea?z Oiftcrentia c irronalis.Sit eni linea.cd.ronalis i lon/ 

__ jitudinc cui adiungat fuperricies.d.cequaks fupficiei.a.l fupcrfici/ 

cs.d.f.cqualrs totalt fupcrficiei.a.b. boc aiit quaiirer fiat m pjcmilia oocuim 9 :qj 

ergo.d.f.dtcqualis.a.b.^.d.e.equalis.a.eritBcoccprionc.g.f.cqualis.b.Siita/ 
qj fnp/icies.b.no eft irronalis lcd r6nalis:crit «.f.g.fua equalis ronalis. 3i cum 
linca.cg.fit ronalis m longitudine ficut fua equalis.c.d.erit pcr.ifi.lmca. c.f. ra/ 
tionalts in longitudinc « comunicas Itnece.g. p.2o.aur cft vtraq3 ouay Itneanu 
r.ci.cf.porcntialitcr rrii ronalis z lince.c.d.iiicomenfurabilis i iongitudmc: ita 
qj.cf.lmea cft tncomenfurabuis linccc.cin longitudinc.£ t quia pa p:ima icxti 
quadratum lincce.f.ad fupcrficiem que liit ccc.f.tn.c.ce ficut.cf.ad. ccfequtc 
per fcoam parrem. io.ut quadratu lineccf. fit itjcomenfurabilc futficici facre cjc 
cf.in.c.c quare tipfu quadratii crit incomcnlurabilc ouplo fupftcici gc.cf.i.ce 
quadratu vcro.cc.cum fit ronalc cft coicans quadrato cf.totum igitur eianibo 
bus compofitn ait pcr. 9. coicans quadrato c.f.t idco incoinenfurabilc ouplo lu/ 
paficiei eccf.in.cc.£r q: per quarti fcbt quadratti Imcccf.c.equalc oucb'' qua 
dratisoua? lineay.c.e.i.cf.t oupio fupftckt cr.ce.m. c.f. ct ouplu fupcrftaci 
c.e.i.e.f.eincomenfurabile aggrcgato ej ouob 9 qnadratts oua? hrieay.cc.t.c.f. 
rcqnitnr pa ea qne addita funt tn.9.ut quadratii.c.f.fir liicomciifurabilc aggrc/ 
garo cc onobus quadratis ouay lincazj.ccccf.at cu aggrcgatii <? bis quadi a/ 
tis fit ronale:fequif quadratii lincccf.iioclTc ronalc: % tdco Unca.cf.116 c rarw/ 
nalis in potentfa: % idcirco no crtt fuperftcies.d.f.mcdialis neqj.a.b.ltbi cqualts 
quod cft inconueniens cum fit contrannm pofitis:rclinquirur igitur q> fupcriictes 
b.cft irrationalis:quod eft piopolitum. 

IJbzopofuio .2j. 
iXjfrnisfuperfkicsqua^otinte ouelineemedialcs poten 
| rialitcr tantu cdicautes:aut rdnalis cft aut mcdtalis. 
iGSint ouelincca.b.i.b.cmcdialespofenria tm comuincatesiot/ 
co q> fupaficies.a.c abciscontcnta auteft ronalis autmcdialis 
JSint cnim.cd.quadratu linccb.Cf.a.cquadratii linec.a.b. aunt 
cp qc fpotbefi bcc ouo quadrara communicantia 1 crit pcr p:imam fcjcti fupcrfi/ 
cies.a.cmcdialis mcdio loco p:opo:iicnalis itcr ipfa quadrata. Sumarur igirur 
linca.f.g. qnc fit rationalis in longitudtnc:cut adtuugatur fupcrficcs. f.b. cqua/ 
lisqti3drato.3.c.T.b.k.equalisfuperficici.a.c«.k.l.cquali8quadraro.d.c.crHiit 
cfe bce rre* fupcrficies.f.b.b.k.t.k.l.continuc piopomoiialcs licut fuiit fuc cqlcs 

k 




b 

e 

. 

3 



J C 




LIBER 







9 e a cr.d.c.quarcpcrp:im9fc)cticnmtctiamt«6[mcc.g.b.b.m.i.m.l.qiunt 
bafcs carum continue p:opo:tionalee: z cu> fupeTficies.f.b.cfc.l.fint comumca/ 
tcs ficut ouo quadrata.a.e.ccd.eis equalia: fcquitur per p:ima ferti cio.bm vt 
linea.g.b.fit comunicane cum.m.l.vtraq5 autem tarum eft ronalis m potctia pcr 
zo buius:isitDr fugficics vnius ea? in altcram cft ronatis: onmis emj fupcrfiues 
quam continent oue liuce ronalcs iu potcntia : comuuicantes in longitudme ne/ 
ccflario cft rationalis ut patet c% p:ima fejcti t p:ima p.tc. to.buuis c e^oiftimtioe 
fuperficierum ronaliam: i quia er.p:ima Ete.i<s.qnadratum linee.b.m. cit cqualc 
fuperficiei tj:.g.b.in.m.l.crit qnadratu^ linecb.m.ronalc Si crgo lmea.b.m.elt 
rationalis in longitndine fiue coicane Imec.k.m.que cft'cqualie lince. f .g. crU pcr 
i< .fuperficies.b.l;.r6nalis:idcocrj i fua equalis.a.c.fi autelinea.b.m. fit irrona/ 
lis in longitndine fiue incomenfurabilis lineck.m,que e equalis linee.f .g- cu ipia 
fit rationalis faltcm in potentia: eo q> M quadratu eft ronalceru ^.fuperh/ 
cics.b.k.medialis:quare % fua cqualis.a.c.conftat ergo pwpofitu.GB nota cy fi 
oue linee.a.b.«;b.c^iTent mediales in longitudine comunicantes: effet fueficies 
a.c.medialis tm:effet enim fuperficies.a.c. comunicans vtriqj ouo? quadratom 
a e.«.c.d.per pjima ferti i pcr p:efcnte ypotbefim z per. . o.buius:s ideo fuperti/ 
cies b.k.fibi equalis.a.c.cftet comunicas vtriq^ fuperficiei.f.b.ck.l.igit pcr pma 
fetti c..o.bDiu8liiiea.b.m. cffet comunicsns vtriqs oua^linea?. g.b.* Mlkf q* 
bee ambe fint ronalcs in potentia tmmon coicantcs in longitudme linee.f.g. c« 
auocBbm.ronalisinpotctiatm^nocomunicantcsinloitgitudinelineeXg.cio 
ncccomnnicans linee.b.d.qDareper.. 9 . eritfDperficie8.b.k.mediali6tm. cideo 

ctiam a cfibi equalis:6i aute oue linee.a.b.-z.b.c.cffent medialcs ncq-, in longi/ 
tDdineneq5inpotentiac6icante3:fupetficies.a.c.noneftetr6nali6ncq5mcdialis 
ricnimfice(Tetfc5cpoueltnce.a.b.t.b.c.e(Tent medialce necp mlongitudmem 
potentia coicatcs-.ecnt ouo quadrara.a.cs.cd.inc6municantia.itaq5 * oue fu E / 
ficies f b i k.t.eisequalesquoq5:eentinc6iC3tc8:quarci:ouelince.g.b.i.m.I. 
effentinc6mefurabilc8pCTp:im3fetti«perrc63m £ te..o.cq:vtraq5eai;erona/ 
lis tm in potentia pao.clTct fupficics vnius ea? 3d altera mcdialts per. . 9 -cu er/ 
«o anadratii linee.b.m.fit cqoale oictc fuperficici qne fit ccg.b.inmi.l.pcr p:tma 
parte i6 fejcti eet pcr. , 9 .linca.b.m.linea medialis:pcr. . j.ergo no cfTet fuperficics 
b.k.ronalismec ctia pcr.zo.mediatis:quarc nec fua cqualis.3.c. 

1Jb:OpoftttO -24- ,. r 

i^as lineas mediales potentia tantum comumcantes lug i 

1 ficiemq^ rationalem continentes quarnm longtoz Itt po/ 

tentUn b:euio2e-.augmento quadrati Unee comumcantis 

eidcm longioii in longitudine inuenire. 

w C£um omncs ouelince medialcs potcntia tantu c5municantcs co 

tin^fupxrficicm ronalcm aut mediatr, ut e* picmiffa patet: oocct inuemrc cas 

ouas que continent fuperficiem ronalcm z eas quc mcdialcm. Iwdc p:opofitum 

cft mucnire onas tincas medialcs potentia tantum communicantes: quaru 5 on/ 

aio: DoiTit amplius b:euio:i in quadrato alicuine linec fibi comumcantis in lon / 

ctitudinc quc coutincant fupcrficicm ronalem.Gad boc f>m ooctnnam.. 7 .Sumo 

ou3slinca6.a.«.b.potentiatantur6nale6Communicantc3 quarum longto: que 




IX 

fit.a.polTit amplins bieuioii quc fit.b.in quadrato aliauus lincc fccum pmutii / 
cantis in longitudine:? ponam lineam.c.fcdiii ooctrina.9 Jcxti mcdio loco ,ppo2/ 
tionalcm intcr.a.-z.b. •rponam utfitp2opo2tio.a.ad.b.fiait.cad.d.(p qualitcr 
fiat in. lo.fcjcti oictum cft ..Dico tnnc ouas Itneas.c.T.d.clTc quas querimus:patct 
cni ec 1 9. q> fuperficics qua cotincnt onc linee.a.f.b.c mcdialis:? q: g p:ima gte 
is.feyti quadratu lincc.c.cft oictc fupcrficici cquale crit igitur pcr,i9.linca.c .mcdi 
a!is.£u autc fit.a.ad.b.ficut.cad.d.c.b.comuuicat cu.a.in potcntia tm ejc ypo/ 
tbefi'^2 tam.a.ctf.b.ronalis cft in potcutia fcquitur per.io.cp.c.quoq; coicct cum 
d.in potcntia tm.itaq; pcr.21.cu5.cfit linca mcdialis: erit etia.d.medialis : z per 
pjima gte.12.erit Iinea.c.potentio2 linca.d.in quadrato lincc fibi pmunicatis in 
logitudine. 6i ergo oue linee.cc.d.contincant fupcrficicm rationalc lpfc fiit qua 
les inqntrimus.£as aiit cotincre fuEficic rationale fic babcto:cu fit.a. ad.b.fiuc 
c.ad.d.crttpermutatim a.ad.c.ficut.b.ad.d.fcdcrat.a.ad.c.ficut.c. ad.b. igitur 
eft.cad.b.ficut.b .ad.d .itaq^pcrp^imaparte^ie.fextifupcrficies qua continent 
ouc linec.c.c.d.cft equatis quadrato.b.cft aut qnadratu.b.rationalc pcr ypotbe. 
cum ipfa fit rationalis in potcntia:fupcrficies crgo quam contiucnt ouc lince.cs 
d.cftrationalis:quareconftatp2opofitum. 

'Jfbiopofitio .2?. 
F ^Tae lineas mediales potentia tantn comunicates fupcr/ 
ftcicmq^ ronalemcdtinentmquaflongiojfttpotentioz 
taeukm quadrato Itnee eidcm longiozi in longitudine in 
I comenfurabilis inue uire. 

JIGpofitisouabusIineis.a.i.b.ronalibus potctia tfii coicantibus 
quarum longi02 poffit amplius b2cuio2i quadrato linee fccum non comunicontis 
in longitudinc' quc quidc rcpertunt ftn ooctrina . 1 s.cetertfq^ pofittonib" mancn/ 
tibus ficut in pmiffa argumctando modo cofimili:patebit ouas lineas.cz .d.cffc 
quales querimns .£t nota cp oue lince quas bcc z piemiffa oocent inuenire com/ 
ponunt bimediale piima:i minoii carum abfctfa oe maio2i que reliqua cft:oicitur 
refiduum medialc p^imum. 

1fc>:opolitio .2<j. 
1 2£as lineas mediales potentia tantij comunicantes fuper 
ficiemq? medialem continentcs quarum longio: b jenio/ 
:e tanto amplius poffit quantu eft quadratum alicuius li/ 
nee incomenfurabilis ipft longiou i logirudine inuenirc. 
G£u oocucrit iucnirc ouas lineaf mcoialcs potentia tatu coicantcs 
fuperficieq; rationale contincntcsiquay Iongi02 plus poffit b2cui02i in quadrato 
linee fecum comunicantis in longitudine 1 fccum incomenfurabilis iu longitudine 
llunc oocet inucnirc ouas lineas mcdiales potentia tantu coicantes fupcrficicm 
t]5 mcdialcm contincntes quar longio: fit potcntio: bieuio^i in qdrato lince no fe 
cnm coicantis in longitudine. fed folu fibt incomenfurabilis in longitudine.3Uud 
enim facile babetur cjc ifto.Biut itacp trcs linec fumpte ftit 0? ooctnna. is.a.b.c. 
potentia ttn rcmales 1 i ea folu coicantes.fitq^.a.potcntioi.b.s.c.quadrato linec 
fibt incomcnfurabilis in longitudine:? ponatnr.d.mcdio loco ,ppo2tiona!is inter 
a.«.b.utoocct.9.fexti:cfit.d.'Z.e.ficut.3.ad.c oicoouaslincas.d.s. e. cflc qles 
inquirimns.cum ftt cnim quadratu Iiucc.d.cqualc fuperficiet quc continetur fub.a 





) 



LIBER 




c.b.pcrpjimapartf.itf.fcxti.Sitqjfupcrficicscontctafiib.a.c.b.mcdialisrcy.i?. 

cum.a.-j.b.fmt potcntia tirt ronalcs cotiicantes:crit cx cadcm linc3.d.mcdiali s. 

quia.a.ad.cficut.d.ad.c.c5niuiiicat autc.a.cu.c.in potcstia tantfi cjc ypotbcfi fe 

quittirccio.ut.cquoq^comunicct cu.d.in potctia tiii. 3taq5Per.2i.erit.c. IfnM 

mcdialis.ct etia qi.a.eft potentio:.cquadrato lince fibi incomcnfurabilis in lon / 

gitttdiuc crit quoq5p.u.d.potctio!.e.cjdrato Uncc fibi icomcfurabilis i logitudic 

Si igitur oue linee.d.-z.c.contiucant fupficie mcdialc conftat cas cffc qualcs tqui 

rimus:£as autecontinere fuperficiem medialcfic babef :cum fit cjc ypotbefi.a.ad 

c.ficut.d.ad.cerit pcrmutatim.a.ad.d.ficut.c.ad.c.fed.a.ad.d.cft ficut.d. ad.b. 

g5Potbcfim:itaq5.d.ad.b.ficut.c.ad.e.igiturpcrpjimapartc.if.fexti:fuperfictcs 

qua coiuinct.d.t.e.cft eqnalis ei qua ptiiict.ccb.fed.b.cc. contincnt fuperftcic 

mcdiakm per.19.cum ipft fint rationales i potcntia tm coicantcs c% ypotbefi:ita/ 

q^.d.t.e.continent fupcrficie mcdialcjqt) cft pjopofttu.GSi autc cura eiTet inue/ 

nirc ouas liucas medtalcs potcntia tm comunicantcs fupjiciaft mcdtalcm conti/ 

nentcs:quay longio: ellet potentio: b:euio:i quadtato lincc fccum coicanti s i lon 

gitudincSumcrctnus tres liucas tm ooctrina. i7.a.b.c.potentia tm rationalcss 

in ea folnm c6municantcs:cponcrcm 9 lincam.a.clTe potcntio:c linca.c.quadrato 

Blicuius linec fibi comunicantis in longitudinc:cctcra vcro mancrcnt ut p:ius 1 ar 

gumcntationeconfimiliconclnderemusotiaslincas. d.t.c.cffc qualcs p:opomf 

inquircre.B nota cp ©uc lincc quas bic.2<j.oocct iucnirc:c6ponut bimcdiale fcom 

1 mino:i earum abfcifa oe maio:i que rcliqua cft oicitur rcftduu mcdialc fccundii. 

^|b :opofitio .17. 
^aslineas potentialiter incomenfurabiles fuperficieq^ 
medialem contiuentes quaru^ quadrata am bo pariter ac/ 
cepta ftnt rationale inuemre: 

C1b:opofitum eft inuenirc ouas lincas iucomcnfurabiles tam i po/ 
itcntia qJ5 in longitudine que contincant fuperficicm mcdialem 1 qua 
drata ambarum pariter acccpta faciant fuperftcicm rationalcnuad bec aute fumo 
pcr-is.ouas lincas.a.b.T.c.d.porctia tantu rationalcs comunicates quaz; longi/ 
o:qucfit.a.b.fitpoteiitio:.c.d.quadrato alicuiu3 linee fecu incomenfurabilis in 
longitudinc 1 fuper linea.a.b.oefcribo fcmicirculum.a.e.b. % oiuido liucam.c:d. 
per equalia adpunctum.f.? oiuido lincam.a.b.ad punctum.g.itaq5 linea.c.f.ca/ 
dat in mcdio loco p:opo:tionalis inter.a.g.t.g.b. et qualitcr boc fiat in. 1 j.oictu 
cft^ponocpfuperficics.b.b.fiatey.a.g.in.g.b.critq^cjcpjima p.te.ie.fe>tiqna 
dratum.c.f.equale fuperficiei.b.b.'* quia quadratu.cf.cft cqualc quartc pti qua/ 
drati.c.d.cx quarta fc6i:« q: fupficiei.b.b.occft ad coplcndu lineam. a.b.fuperfi/ 
ricsquadratacu^.s.g.fitcqualis.g.b.^quialines.s.b.potcntioKftltncs.cd.q/ 
drato lincc fibi incomenfurabilis in longitudinccx fpotbcfi:crit cjc fcoa partc- 14U 
nea.a.g.incomcnfurabilis linee.g.b.educo igitur a puiicto.g.perpendicularcm fa 
per lineam.a.b.vfq^ ad circufercntiam femicirculi quc fit.g.c.-z pwtrabo lincas.a 
e.c.c.b.quas oico effe quoles qucrimus.erit enim.e.g.equslis.c.f. eo qp vtraq^ ca 
dit mcdio loco p:opo:tionaIis intcr.a.g.'Z.g.b.p:ima quidem pcr p:imam partc 
co::eF.S.fejctt.fc63 vero pcr ypotbefim: p:optcr qb quadratum vtriufqj cartim per 
p:imam partein- ifi.fcr.ti eft equalc fuperficici.a.g.in.g.b.que cft.b.b. ipfi igit fiic 




IX 




equales.at quia pcrquarta fcjti ( ppo:tio.a.c.ad.c.b.c ficut.a.g.ad.g.c. funt mt 
a.g.t.g.c.c.g.b.ptiimc^po2tionalcserit.a.c.ad.e.b.ouplicatafii:ut.a.g. ad.g. 
b.quarcp.i8.fexticritquadraiu[iiice.a.c.adquadratuliucc.c.b.ficut.a.g.ad.g.b 
tumfitigitur.a.g.inc6icans.g.b.critperfc6ametcm.io.quadratu.a.c.iiic6kaii3 
quadrato.e.b.quarc oue liiicc.s.e.?. e.b.funt incomcfurabtles in porcntia. £t q: 
Epcnultima p:imi quadratu.a.b.e eqle qdratis ouay lineay.a.e.i.e.b. gitcr ac/ 
ceptis qdratu aiir.a.b.e r6ale:cu.a.b.fit ronalis i pctctia p jpotbc.erut quocg q/ 
drata oua^liuca^.a.c.s.e.b.p.itcr acccpta ronale.Si vcro bcc ouc lincc conncnt 
fupcrficiem mcdialcm babitu e .ppofitu.crat aut.c.d.ronalis in potctia z in ca tm 
coicans linec.a.b.qnare f.c.f.? io etia.g.e.ftbi equalis crit porcntia ronalis i tm 
ineadec6iC3nscu.a.b.itaq5p.i9.fuEficics.a.b.in.g.c.cftmediali3:q:igif gquar 
ta fexti i per p2ima ptc-i j.eiufde fupjicics.a.e.f.c.b.c fibi.f.fupficiei.a.b. in.g.c. 
equalis coftat ouas lineas.a.e.f.e.b.cffe quales voIumus.Cgt nota ap oue linee 
quas oocet bec.Z7.inueuire coponunt linea maio:e i mino:i ca? abfcifa quc rcli/ 
quacft oicita r linea minoi. 1(£>20pofttio .28. 

|f^i|||?l|^aslineas potcnttalttcr incomenfurabilesfuperftcieq^ 
8*^8 ratiortalem conttnentes qua? ambo quadrata pariter ac/ 
]' cepta lint medtale inuenire. 

| CSit bic p:o:fus cade oifpofitio quc p:ius in p:cmiffa.Sint autcm 
j ouc linee.a.b.c.c.d.qualcs .pponit-zj.cruntqj fimili argumctatioe 
p:emifTeouelinee.a.c.t.c.b.qualc8bcc.i8.p:oponit.£umfitcni.9.b.lincaiiic/ 
dialis crit cins quadratu mediale per- 19.« io quadrat3 oua? lineay. a.e. z. e.b. 
funtmedialepcrpcnult.p:imi:cquia.a.b.i.c.d.ptinctfuEficier6na!cm:fequitur 
etia ut.a.b.in.c.f.'* ideo in.g.e.fibi cquale cotincat fupcrftcie ronaletmttaq} z.z.e 
1n.cb.pat5 crgo q6 querif. C2JSnck ouc lincc quas bcc.28.oocet iucuirc coponut 
linca potente in ronalc % mcdiale z mino:i caij abfcifa oc maio:i que reliqua e oi/ 
citur linea que iuncta cum rationale componit totum mcdiale. 

1|b:opontio.29. 
^aslineaspotenttaliter incomenfurabiks fuperficieqs 
medtale conttnentes quay quadrata ambo partter acce/ 
pta lint mediale tmplo luper ftciei vnius in altera income/ 
furabileinucnire. 

Cbuiusquocpotfpofitioa oua:/ p:emiffa?2 oifpofitioncnonfititt 
quoqua oiucrfa.Sint aut lincc ouc.a.b.?.c.d.quales-2e.,pponit erunrq5 pntifTa 
argumaitationeouelincc.a.e.?.e.b.quasinquiriiiius.£iJeiiim.a.b.fitlinea mc 
dialis crunr quadrata oua? linca^.a.c.t.c.b.pariter acccpta mediale.at cum.a.b 
s.c.d.contineat fuperficiem mediale.fequit ut.a.b.in.c.f.t ideo in.c.g.fibi equa/ 
tcm contineat quoqj fupcrficic medialcrotnnis eni fuperficics mcdiali comunicas 
mcdialis effc conuincit: queadmodu inai-monftratu eft : fup_ficics igit.a.c.t .c.b 
mcdialis cft cu ipfa fit equalis fupficiei .a.b.in.g.e. jQuiz vcro linca.a.b. e inco/ 
menfurabilis linee.c.d.erit ctia incomcnfurabilis lince.c.f.quarc « lince.c.g.qua/ 
rc pcr p:ima fejcti z fceam pte. icbuius :fupcrficies.a.b.in.e.g.quc cft cqualts fu 
pcrficici.a.e.in.c.b.crit incomenfurabilis quadrato lince.a .b .iraq^ z quadratis 
ouarum lincarum.a.e.c.e.b.parttcr acccptis: qo' cu ita fu fequitur quoq, vt ou/ 
plum fupetftciei.a.e.in.c.b.fit incomenfurabtle quadrstis p:cdictis ouai? linearil 

k J 












LIBER 

a.e.c.c.b.paritcr acccptis i boc crat moftrandu .C£)uc lince quas bcc.29.00cc»: 
inuentre coponut lind potentc in ouo mcdialia % minoii ca^ abfcifa oc maio:i q 
reliqua cft oicitur linca quc iuncta cum mediali facit totum mcdialc. 

1[b2opolitio 30. 
jjjjjjj 31 tmc linee potentialtter tant ti ronales comunicantcs in 
i fongum Oirectumq^ coniungantur:tota linea ejc bis com/ 
I pofita erttirrationalie-.oiccmrcpbinomium. 
4iGSint ouc lincc.a.b.s.b.c.in cottnuu oircctucp coiuncte ronates in 

2| potentia tm c6cantcs:quas rw.f.is.rcpcries: oico tota linca.a.c 

cxcis copofita effe irronalcm 1 ipfa vocatur bmomiu. £ft eui pcr quarta faundi 
qnadratu.a.ccqualc quadratis ouay lincay.a.b.c.b.c.? ouplo fupficici vni 9 ca/ 
rum in attera:quadrata aut ambay faciunt fugficic ronatcm c* ypotbcfCoupIu ve 
ro fupcrficici vnius ca? »11 altera facit fugficic mcdiale cp 1 j.itaqj quadrata amba 
ru pariter accepta? faciunt fugficic ineomenfurabtlc ouplo fupficiei vnius csruin 
in altera.erit igif ejc.9.quadratu.a.cinc6incnfurabile ouobus quadratis oucrum 
lincay.a.b.cb.c.EUer acccptis qnarc irronale g otffinitionc cii ouo tl'.a quadrata 
raciat fugficie ronalem.ideoq5 fuum tatus tetragonicu quod cft.a.c irronaie quo 
q5POift»nitione:pltatergo^pofitu. I^Jopofitio .31. 
is^^nl 3 oue lince medialcs potentiatantucoicantes fupcrnci 
jf fjfi^gS emq? rationafe conttnentes oirecte coniunganf :tota U/ 
nea ejc bis copoftta erit irroalis oicetq^ btmediale pmii. 
CSint ouc liucc.a.b.f.b.c. i cottnuu oirectuq5 piuncte quales pjo/ 
ponuntur quas g.24.?-2j.rcpcrics:oico totam linea.a.c.clTe triona 
lcm % ipfa vocatur bimcdiale p:imii.£ft cui ouplu fupficici.a.b. i.b.c. ronale pcr 
jpotbe.ouoq5 quadrata oua? linca£.a.b.s.b.c._p,itcr accepta factunt mcdialc.cu^ 
vrruq3 quadratu fit mcdialc pcr rpotbcfitn 1 vnii coy coicans altj :ouplu igitur fu 
pcrficici vnius ea? in altera cft incoicans ouob 9 quadratis gitcr acceptis : totum 
crgo aggregatu c% ouplo fugficiei * cuobus quadratis « ipfu c quadrati» totf.a. 
cper quarta fcbi e incomcnfurabtle oupto fup.fi.cici vnius eay in altcra g.j.butus 
cfi itacp ouplfi fugficici fit ronale crit quadratu .a.c. irroualc. idcoqj 1 linca .a.c 
qo' e ^pofitu. C3de atiter:fit tinca.d.e.ronalis in longuudine cui adiungat fup/ 
ficies.d-f.cqualis ouobus qu:dratis ouay lincay.a. b. i.b.c. cntqj fuphcies bec 
d.f.mcdiaiis cum vtruQ5 qnadratu fit mediate pcr yposbe .t vnu co^ coicans a!ij 
quare pcr.2o.tinea .d.g.eft ronalis in potcntia ttfimon coicans in longitudinc li/ 
nee.d.e.rurfus ad linca.f.g.quc eft cqualis.d.e.adu1gat fup_ftctes.f.b.cqualis ou/ 
plofupcrftcici.a.b.in.b.c.eritq5.f.b.r6nalisperfpotbcfim:quarcpcr.i6.lmca.g 
b.erit rouali3 in longitudmc:oue (taqj ttnee.d.g.^.g.b. funt potcntialitcr rona / 
les-zin ca tm coicantesxrgo E.jctota linea c% cis copoftta quc cft.d.b.cft bino/ 
miu * irr6nalis:quare p. ic.a ocltrunione pntis fugficics.c.b.c irronalis.at quia 
p quarta fcbi latus ei" tctragonicu e linca.a.c.ipfa crit irronatis p. oifftnitione qo 
1opo2tuitocm6ftrar». ^^iopofitto -32- 
5 One lince mediales potentialirer tanram comnnicantes 
I'aperficiemq5 mcdtaie contmentcs Oirectc coniungantur 
tota linea erit irronalts Oiccturcp bimedtale fecundum . 
CSint ouc lince.a.b.f.b.cin cotinuu o»rcctumq3 piucte ut ,pponit 








TX 

quas per.itf.contiiisit rcpcriri:oico tota.a.c.eccis topoura clTe Crroualem « ipfa 
vocartir bimcdiale fcom.£fto cmm linca.d.c.ronalis in bngitudtnc cui aduwga 
tur fupficics.d.f.cqualis ouobus quadrati3 ouay lineay.a.b.-i.b.c.Eitcr acccptts 
i quia ec fpobefi ouo illa quadrata fuut coicantia:? vtriiqj mediale':erit fupcrti / 
cies.d.fmiedialia qiarc per.20 .linca.d.g.quc clr eius latus fcoin cft ronalis i po/ 
tcntia tm: z linee.d.c.incdmenfnrabilis 111 longitndinc:Kurfus adiungat ad linca 

g.f.qucellcqualislincc.d.e.fueficies.f.b.cqualisouplofucjficici.a.b.iii.b.c.crit 
q, etia fup.fi ics.f.b.mcdialisicrat cni per ypotbefim fupficies.a .b.i.b.c.mcdia/ 
lis.crgo ouplu eins cuicft cqualis.f.b.erit mcdialc per.zo.igitur eft linca.g. b.ra/ 
tionalis iu potcntia tiii 1 mcomcnfurabilis in longitndinc lince.g.f.q: vcro. a.b. 
c.b.c.funt potentialitcr tiii coicautcs erit ppjiira fcjti 1 pcr fcdam gtcm.io.buius 
fupficics vnius in altera incomenfurabilis quadrato vtrinfq,. 3t q: quadrata eau 
coicant per ypotbcfinnerit oicta fup.ficics quarc 1 ouplu cius incoicans ouob 9 qua 
dratis caru paritcr acceptisiouccrgo fupficies.d.f.s.f.b.funt incoicantes :{? p:i/ 
mam itaqj fcjcti 1 fctfam pte. io.buius erit linea.d.g incomenfurabilis Imce.s.b. 
quccu ftntronales in potctiaieritper.jo.rota linea.d.b.binomium •nrronalis:cr 
go per. itf.a oeftructionc pfitis erit fupficies.e.b.irr6na!is.£r q: latus cius tctra / 
gonicfi pcr quarta fcoi cft linea.a.c. fcquitur per oiffinirionc cp liuca.a.c. fit irra/ 
tionalis:qo ^ppofttu etat oftendcre. 

1fc>:opofitio .35. 

Um conimicte fiierint oue lirtee potcntialiter incomcnfu / 
;rabif es fupficieq^ medialc continctcs quaiz ambo qdrata 

rjiteracccptafutr6nalc:totalineaerttirr6nali8 0tceturq5 
lineamaio:. 

CSint ouc lineca.b.cb.c.fibi in continuttm eircctumq; coniuncte 
ficut .pponituriquas coringit ey.ir.retnrcoico.a.c.Q: ets copofita efie linca irrati 
onale 1 ipfa vocaf linca mai02.£u eni ambo quadrata piter accepta fint ronalc fu 
pcrficics Vcro altcri 9 in altcra quare et cius ouplu mcdialis p. ypotbcfim:crit totii 
tf. ouobus quadratis piter acceptis incoicans oupio fupficiei vnius in altcra.itaq^ 
totu aggrcgatu e* ouobus quadratis i ouplo fugficiei z ipfu cft cquale quadrato 
9.c.pcrquartalc6i:critp.o.bui 9 iuc6mcnfurabilcouobusquadratis.a.b.i.b.c.pi 
tcr acceptis:per oiffinittone ergo e quadratu lince.a.c.irronalc z linca.a.c.irrona 
lis qC e pjopofitu. C3dc alitcrficut i pmilTis ad Imea.d.c.quc fit ronalis in longi 
tudine adiungat fupficics.d.f.que fit cqualis ouobus quadratis ouay lincaz.a .b 
«.b.e.parircr acceptis critq^ ronalis pcr fpotbefim quare pcr. is.latu3 etus fcbm 
qe' eft.d.g.crit etia ronale in longitudiuc z coicaus lincc.d.e. Kurfos ad linca.f.g. 
adiungatur fuperficies.f.b.equalis ouplo fupficiei.a.b.in.b.c.crirqs mcdialis per 
fpotbefi^iquare pcr.2o.linea.g.b.que cft eius lat 9 fcbm c ronalis in potentia tatu 
per.jo.igitur eft Imea.d.b.binomiu z irr6naIis:ideoq5 pcr. is.a ocftructionc con/ 
fequenris fupcrficies.e.b.eft irrationalis quare latus eius tctragonicum quod per 
quartaj fccundi cft.fl.cc irrationale per oiffinitionemiqb volumus oftenderc. 




1£>:opofitio .34. 



k4 



b c 

— 1 




b c 



J 






LIBER 

ffim cemmcte. fucrint onelince potcntiaHtcr incomenfuv 
rabilesfupcrficianqirdnalem contiitattes qua? ambo 
,quadrata pariter acceptafintmediale:totalineacritirra 
icionalie oiceturqj potctts iit ronale i mcdiale. 

^GSintutinpttmilYtsouelince.a.b.c.b.c.in continnti oirecrumqj 
coniuncte qualcs «pponif :c ipfe funt g;.2S.fumcndc:oico cp tota linea.a.c. ex cis 
copofita erit irrqnalfe i tlla vocatur linea potes i ronale t medialc.£u fit eni furv 
fkies.a.b.in.b.c.rationalis perfpotbefim.idcoqscouplucius acambo quadra 
ta panter acccpta funt mcdiale-.fcquitur pcr quarta fccudi t.^.buius qucadmodii 
inp:aniffiscpquadratutotiu3.a.c.fitin£6icans cuplo fupcrncici.a.b.iu. b.c.p» 
oiffinitionc igitur ipfti eft irronaic i linca.3.c.trrationaU3 qo e p:opofitu. Cjde 
alitcr.fit vt in p:cmif! is linca.d.c.rationalis in longitudinc fuperficicfq^.d.f. iibi 
adinncta cqualis ouobusquadratis pariter acccptis ouas linea?. a. b.?.b.c.crit 
q, mcdialis pcr ypotbcfiimp.io.isituncrit Itnea.d .g.ronalis in porcntta tm no 
comunicans in longitudinclincc.d.e.Sitq; fupcrficics.f.b.adiuncta ad Unca.g.f. 
equalis ouplo fuperficicl.a.b.in.b.c.critq-, ronalis pcr ypotbc.t io p. is.tatus ei 9 
fm quod e.g.b.ronalein longitudinc quarc per. jo.linea.d.b.c binomiitm i irra/ 
tionalis:? fupcrftcics.e.b.pcr.itf.a oefhuctionc pntis cft irronalts.£um itaqj li/ 
nea.a.c.fit cius latus tctragonicu:per quarta fc6i:fcquif ut.a.c.ftt irronalis g oiffi 
nitioncm:pftat ergo p:opofitii. 

1(b:opofttio .3f. _, 

il^Tm coniunctc fuerirtt oue luiee potentialiter incomenfu/ 

I rabtles fuperfictemqj mcdiale cotincntcs quay quadrata 

ambo piter accepta fit mediale Ouplo lugficiei vin^ i alte/ 

ram incommenfurabtlem tota linea erit irronalis Oicctur 

-Jq^ potcns in ouo mcdialia. 
GSintquoqsouclinccbic.a.b.s.b.c.incotinuu otrectuq^ coiunctc ut p:oponir 
quc cjc.29.fumcnde funf.oico q> linca.a.c.ex cis copofita eft irronalis i ipfa oicic 
potcns in ouo mcdialia.adiungatur eni ad unea.d.e.quc fit ronalis itt longitudi 
ne fupcrficies.d.f.cqualis ouobus quadratis ouay lincay.a.b.c.b.c .paritcr ac/ 
ceptis: critqj medialis per ypotbefij quarc pcr.2o.linca.ct.g.erit ronalis in potc/ 
tia tantu « incomenfurabilis.d.c.linec ronali m tongitudine.Kurfus ad linea.g.f. 
cjue cft equilis.d.e.adiungatur fupcrficics.f.b.quc fit equalis ouplo fugficici vni 9 
in altera erit etia cx ypotbefi media'is quare pcr.2o.linca.g.b.crit ronalis in pote 
tia tfn.at q: pcr ypotcfim ambo quadrata pariter acccpta funt incommcnfurabile 
ouplo fuperftcici vnius in altcra fequitur ut.d.f.ftt incomenfurabtlis.f.b.quare f* 
p:imam fejcti i fccundam parte. io.buius linea.d.g.eft incomcnfurabtlis.g.b.pcr 
jo.igituf eft linca.d.b-binomiu i irronalis.itaqj furftcies. e.b. eft irronalfe i ei 9 
latus tetragonicum q6 e.a.c.ut in p:cmiffis:quarc conftat p:opofitu .Si aut on/ 
ptuinfupCTficiei.a.b.cb.c.noneffctincomenfurabilc ambobus quadratis pari/ 
teracceptiseffctlinea.a.c.mcdialis.dTet eni.d.f.coicans. f.b. idcoqylinea.d.g. 
Itncc.g.b.tota igif .d.b.*flet ronalis in potentia tm i incomenfurabtlis in longim. 
dincIinec.d.e.periij.igifelTetfupficics.c.b.mcdialiseiufqjlatus tetragonicum 
q6 c.a.clinca mcdialis.23t aut factlio: fiat ooctrina fequettu p:emonftranda ar/ 
bitramur bocloco ouo quo:um primum eft. 




. IX 

CSf aliqualinca pcr bno inequalia Oiuidatnr qnadrafa arnbaru fe ' 
ctionum pariter accepta:tamo amplius iiint &uplo fagftcici vm'\-aro 
in altcram quautu c quadratmn em linec qua maio: q:ccoit inmoje. 
GSit cni linea.a.b.oiutfa pcr ouo incqualia in pancro.c.fitq; maio: po:tio.c.b. 
©cqua fumatur.c d.cqualis.a.c.oico cp quadrata ouaplincarum.a.cz.c.b. func 
ampltus ouplofuperficicivnius ialtcram iuquadratolincc.d.b. namqitodfit 
exa.c.in.c.b.biscumquadratisouarumlincarii.a.c.T.c.b. cft cqualcciquodfrt 
cx.a.c.in.c.b.quarcr ctim quadrato.d.b.co cp vrraq, bccequalja funt quadrato ii 
ncc.a.b.pjinuiiu quldem perquarram fccnndi fcom vcro per.s.dufdem. .Dcm/ 
ptis itaqj vtruq^ cqualibus viddicct co q6 fit er.a.c.in .c.b.bts crut rcftdua q ftit/ 
©c p:imo quide quadrata oua? linca^.a.cr.cb.oc fccundo vcro qttod ftt cjc.a.c 
in.c.b.bis cum quadrato.d.b.cquaIia:quareconltat p:opofttu.£r. boc ctgo maiii. 
feitu cft ep (i aliqua linea pcr ouo iucqualia oiuidatur quadrata ambarum partiii 
paritcr acccpta plus funt ouplo fupcrficici vnius carum in altcram. £ t boc e p:o/ 
pter quod iftud p:cmifimus. 

G Si aliqua linea per ouo inequalia.itemq? alta ouo inequalia tmii/ 
datur quadrata magis inequaiium pariter accepta tanto Umt ampli? 

3uadratis minus inequalium pariteracceptis quantu crt tmplu qua 
ratiiUiuslineequeintcrvtrafqicfectionesi quadruplum eius q6 
fit eje eadcm linea in eam quecft inter punctu fcctionis nnuus inequa 
lium i punctum quod Oiutdtt totam lineam per equalia. 
GSit linca.b.oiuifa pcr ouo incqualia in puncto.c.itcmqj pcr alia minus incqua 
lia in puncto.d.rnrfus pcr cquaha i.c. oico cp quadrata ouay partium magis in / 
equalmmqucfunt.a.Ci.c.b.tantumfuntampliusouobusquadratisouarumli/- 
ncarumminus incqualiumqucfunt.a.d.s.d.o.quantum cft ouplum quadrati 
lince.c.d.Tquadruplumciusquodfitqc.c.d.tiJ.d.e.funteuimpcr.p.fccudiqua/ 
drata ouarum lincarum.a.cj.c.b.parircr acccpta oupla quadratis ouarum Imca 
rum.b.c.t.e.c.paritcr acceptis.at per eandcm.^.fccundi quadrata ouas Imcaruj 
a.d.f.d.b.pjrer acccpta oupla fiit quadratis ouaru lincarum.b.c.c.e.d.pitcr ac/ 
ceptissitaqjquadrataouarumlinearum.a.c.c.c.b.paritcr acccpta creedtit qua/ 
drataouarumlincarum.a.d.t.d.b.paritcracccptainco quo ouplu quadratili/ 
nce.c.e. erccdit ouplum quadrati lincc.d.c.boc aute pcrquartam fccundt cft ou/ 
plum quadrati tincc.c.d.? quadruplum cius quod fit c%.c. d.in .d.c.quarc coftat 
pjopofitum.£j: boc manifeftum eft q? quanto fucrint fccrioues alicntus linee ma 
gis inequalcs tanto erunt caru quadrata pariter acccpta maioja iz boc cfl ypter 
quod iftud pjemifimus. 

^fbzopofitio -3«. 

TB alias buas lineas fub earum termino cj; quibus coiun 
ctum«nominatumeftbinoiniumOiuidi'injpoflibilecil. 

[GSit linea.a.b.binomium critq, cx.jo.compofita cr ouabtis liticis 
iin potctia tin ronalib c6icantib°q ftut.a.c.c.c.b.otco cp ipolTtbile 
jc ea oiuidi i alias ouas lineaslfub bac oione Vidclicct q> ipi fint potc 
ria ttfi roalescoicatestficni pot diuidat i.a.d.s.d.b.q fint potctta roalcstm toi 
catcs.£fto quocg linca.c.f.ronalis in logitudine cui. adiuugat ftip.ncics .c.g. que 










LIBER 



I 




fit cqoalis quadratis 00352 Iineai>.a.c. i.c.b. paritcr accepris 1 fugficies. f.b. quc 
fit cqtialisquadrato lince.a.b.eritq^ fupcrficics.e.g.ronalis eo <j> vtriiq* quadra 
toy lincazj.s.c.c.c.b.paritcr acccpii3 cft ronalc pcr yporbefim 1 fupcrftcics .g.b. 
medialis pcr.19.qm ipfa c(r cqualis ouplo fuperficict.a.c. i.c.b.p quarta fcoi.Sic 
tgif rurfus fa^fictes. f. k .cqlts quadratis ouay lincay.a.d s.d.b.pariter acccpns 
quccii fint oiuerfc a ouabus lincis.a.c.s.c.b.erit pcr fcom pdcmonftratoy antc/ 
«dcntium fupcrficies.f.k.oiuerfa 9 fup.ficic.cg.ea22 ergo otffereria ftr.k.g. critqj 
E qrta fc6t ctcelTus fupficici. f.b.fup..f.k.qui fit.k.l.eqlts ouplo ct ? qo fit er.a.d.i.d 
b.i .pptcr boc erit ctia fupficics.f.k. roalis.s fupficies.k.l.mcdiaf: itaq5 fugficies 
k.g.cum ipfa fit oifferentia ouaru fuperficiex? ronalium que funt.cg.T.f.k.crit ra 
tionalts.lion eni oiffert rationale 3 ronali nifi in ronali.? boc oico oirfinirionc 1 
9. buius boc pfirmantibus. £ade quoq^ cii ipfa fit oiffcrcntia ouap fupcrficicrum 
medialium que funt.g.b.t.k.l.erit irrationalis pcr.22-quod cit tmpolTibttc. 
Ofb:opolitio .57. 
Ifmediali p:imo vm termintl fuum in ouas lineas media / 
les oiuifo:fub earum tcrmino in alias ouas linr as mcdia/ 
les idem oiuidi eftimpoflibiic. 
C6itquoq3 biclinca.3.b.bimedialcp:imu oiuifa i ouas lincasme 
dialcspotcntia tsntum coicantcs fupcrficicmq^ ronalcm conriucn/ 
tcs:erquibus.5i.alTcriteac6poiiiqucfint. a.c.c.c.b.oico q? impoffibilceltcam 
oiuidi in alias ouas lineas fub ea^ oiffinirionc.Q6 fi poffibile fucrit oiuidam ca 
inpuncro.d.sffumprsq^linesronsli.e.f.adiungaturci.cg.cqiialisoiiobusqua/ 
dratisouaylineay.a.c.c.c.b.ctfupcrftcics.f.b.cqualisquadrato.a.b.ifuperfi/ 
ries.f.k.cqualis quadratis ouaylincay.a.d.s.d.b.critq^ pcr quarta fcoi.g.b.cq/ 
Its oupto fuperficiei.a.c.i.c.b.t pcr eande erit.k.l.cqualis ouplo fupcrficici.a.d. 
in.d.b. p:opter ypotbefim quoq5 erit vtraq^ OU3X2 fupcrficic? .c.g.c.k.f.mcdia/ 
lis t vtraq^ ouay lineay.g.b.-z.k.l.ronalis. boc aure impolTibile:clTct cni pcr p:i 
mum fuperficies.k.g.irronalis ex.22.per fccundu aute eade eflct ronalis cr oiffini 




tione s.9.q6 eft incoocniens. 



■}fb:opofitio .& 




^fmediale fecudu nifi in ouae lineas fantum fub termino 
fuoOiuidinonpoteft 

GSit vt p:ius linea.a.b.bimediale fco'm oiuifa i ouas lineas.a.cct 
c.b.mcdialcs:potentia tantu^ communicantes fuperficicmq5 medi 
jj alcm continentes:ciqnibus.52.p:oponit cam componi:oico q> im/ 
pofftbilc eft eam oiuidi fub carum oifftnirione i alias ouas:Siu autcm oiuidatur 
in.d.fintq5 vt p:ius fupcrficics.cg.f.b.t.f.k .adtuncte ad linca ronalem.c. f.crut 
q5 pcr p:efcntes ypotbefes vtreqj fupfictes.cg.s.g.b.mcdiales quarc pao.vtra/ 
q5 00322 lineazr.f .g.c.g.l.crit rationalis in potetia tantii no coicas i longitudine 
linee.e.f.at qi oue lineca.c.?.c.i>.erut incomenfurabiles in longitudinc:fcquitur 
pcr p:ima ferti z per fc6am pre. lo.buius cp vtruq^ qdrat022 linca^.3. c.t.c. b-.fit 
incomcnfurabile fupficiei vni° i altera:cuq5 oicta qdrara c6iccnt:er ypoibcti fcquic 
vt ambo qdrata pirer acccpta fint incomefurabile fupcrficiei vm 9 i altcra. ideoq; 
«ei 9 ouplo:quarefupcrficies.e g.incomcfurabif efUfifictci.g.b.tlinca .g.f. lincc 




IX 

g.[.ptfpnmafcxti«fc6amgte.io.buiu3:itaq5per.5o.liitC3.f.l.cbinomiumt)!ui/' 
fa f>m fuu tcrminu i pucto.g.Gfodcqj mo .pbabif tpfa binomiu ciTe nicdiantib 9 
fugftcicbtis.e.ni.c.m.b.oiuifam fcotn fuu ternunu in puncto.m.qo eft impollibi 
k P.36.TI0 cni pot oici cp linea.f.I.oiuifa fit ad puncta.g.s.m. in partcs confitcs 
fic eni cffct linca.f.m.cqualis.g.I.fcd ipfa e maio: linea.m.l.ut patet c% pmo p:c/ 
miflby anreccdentiu b a ? pma fcjcti cu.e.m.fugficies fit maioj.b.m.fupcrficic: bu 
ius aut oemoftrationis modus potcfl effe cois. 3 7.cctcrifqj cam fcquenttbus. 

1(b:opofttio .39. 
3f nea maio: nili w ouas lineas cantti ejc quib^conftat fub 
[ earmn tcrmino oiuidi non poteft: 
I GSit quoqj bec linca maioj.a.b .ciuifa ad puncf~.c.i ouas lincas 
potcnttalitcr incomcnfurabiles fugficieqj medtale cotiuentcs quarit 
. ambo quadrata pariter acccpta fint ronalcex talibuseni copomtur 
vt affirmat.33.oico cp impoffibile e ad aliu punctum in alias ouas lineas fub bac 
©iffinitione ipfa oiuidi q> fi pot.fit bic ad.d.maueant fub bis cade figura ecdemqj 
fpotbefes que pjius z argue queadmodu iti- 3 <5.fupfii:ie.g. k.elTe rationalc % irra/ 
tionalem:q6elttmpolTibiIe. Iffcrtopofttio 40. 

"f 3fnea potens trt ronale 1 medialc ntft in liias ouas lineas 
rantum lub termino luo non Oiuidttur. 
| Gbccquoq5.4o.mancntibusp:io2ibusfigurac pofitionibus qxc/ 
^toq^ ipfa linca.a.b.oiuidatur in punctum.c.iin tllas ouas lincas c% 
quibus.34.oidt ea copont piobabtf :qucadmodi:.37. Si aute alitcr 
fuerit q*5 pioponat crtt fugficies. k.g.ronalis 1 irr6na'is:q6 cffe non potcft. 

1(b:opofitio .41. 
' 3'nea potcnsiitouoinedialianequitOituditn aliasouas 
fub termino eay cr. quibus coniuncta efhled in fuas tantfJ 
onas cr. qutbus componitur cft Otuiftbitis. 
Cbcceiii.4i.oiuifalmca.a.b.adpunctum.c.ieascj; quibus-3f.af/ 
Jferit eam componi ccterifqs ut fupsa tam figira q*5 pofittonibus ma / 
netib 9 ,pbaf ficut.3S.n3 oato oppofito .ppofiti.Seqfoppofirii.3s.q6 e tpoffibtle 
C©ifuerttbinomtjlongio2po:tio b:euio:e potentio: augmetoq/ 
drati lineecoicanris cidcm longio:i tn longitudme fueritqs eadc^ 16/ 
gio: linee poftte ronali cotcans tpfuj: Vocabif binomiu p:imu . <£>i ve 
xo b:euio:ponter6naltc6municetbiccf binomiufcbm.iQofincu/ 
trapo:tionu et 9 pofiter6nalic6icetappetlabif binomiiitertiii. 3fte 
ft longio: b:euio:c tanto amplius politt quantu eft quadratii attcu / 
ius linee ipft longio:t icomenfurabitts i logitudie fueritq^ logto: po: 
tionupofttelineeronalicoicas ilogitudie ipiu nucupabtf binomiu 
binoiiuuquartu.©iverob:euio:poftter6nalic6icet i longitudine 
quintunoia bif. £>i aiit neutra po:tionu et 9 poftte ronali coicet i logi 
tudineeritbtnomtufejctu. I^opofttio .42. 
3fnomiu p:imu tnucnire.GStt. a.linea roalis pofita-.fumafcp 
ouo numeri qdrati .b.e.c.qnoy.c.fit oiuiftbif i qdratu qui fir.d.e i 
u6 quadratum qut fir.e.ponafq^ ,ppo:tio quadrati lincc.a.ad cjdra 
tum liucc.f g. ficut nmricri.b.ad ntjmcy.c.crttqj c;c fcoa p.tc.r.linea 









LIBER 








-■ 4 









b 


, 4 


D 


f 






c 


11 


43 


D 


c 


36 e 



f .g.c6munfom8 linee.a.ronali pofitc i longitudine:fupcr ea igitur linectur.f.g.b: 
fcmicirculus: fitcg ,ppo:tio quadratiltncc.f.g.ad quadratii lince.f .b.ficut.cad.d 
i oucatur linea.g.b.oico ergo ouas lincas.f.g.i.g.b.oircctc coiunctas coponcre 
binotniumpiimum. £ft cnim Unea.f.g.quccftlongiojpotcntioi.linea.g.b.quc 
cft bicuioi in quadrato lince.f.b.pcr.jo.tcrttj i penultima p:imi:coicat autcm U/ 
nea.f.b.!ince.f.g.iiilongitudincpcrfcoamp.tcm.7.cump:opo:tio quadratomm 
ipfaiJ.f.g.c.f.b.fit ficut numeroz; quadratoy qui funt.c.f.d.liiiea Vcro.g.b.con/ 
uincitur cffe ronalfs in potentia tiir.non cotcans lince.f.g.in longitudiuc. ideoq^ 
ncq5 linec.a.ronali pofite:cum fit cnim quadratum lince.f.g.ad qtiadratii linee.f. 
b.ficut numerus.cad numcr.d.crit pcr cuerfam ,ppo:tionalitatc quadratum li/ 
nce.f.g.ad quadratu lincc.g.b.ficut numcrus.c ad numcrum.c. cum itaq5.c.fit 
numerus quadratus.e. vero no qdratus: fcqf pcr vlt.£tcm.7.ut liiiea.g.b.fit in / 
comcnfurabilis lincc.f .g.in longitudine:rclincjuif igitur lpfam.g.b.cffc ronale in 
potcntia ttn t a oionc lincas.f.g.^.g.b.ppoiicrc biuomiu pmu:qb erat iucnicdu, 
Hifitomiuiiifecundumreperire. l|b:opolttto .45. 

G5it ut puus.a.rationalis liuca pofita.b.vcro numcrus quadrat? 

c. vcro fit numcriis no quadratus oiuifibilis in.d.no quadratum et 

e.quadratfi .ita tii q> p:opo:tio totius.c.qui eft no quadratus ad.d. 

qui eft ctia non quadratus fit ficut numeroy quadratoy:talis autem 




numcrus eft. a.i.^s.otuifibilis cni eft.i2.in.9.quadratu niimczj e.j, non qdra/ 
tum:cftq5 ;ppo:tio. u.ad.3 .ftcut. i<$.ad.4.quox; vtcrq^ quadratus codc* 016.48.' 
oiuifibilis cft in. jtf .?.2Z.Ia!es aut numcros ftc repcrtcs.Sit.a.numerus quadra 
tus.b.quoq^ fit vnitatc mino: rcuius quadratii fit.c.at vcro.d .pucniat qc.b.iu.a 
eritq^ cc p:ima incidcntium noni.b.oiffcrctia.d.ad.c.oucatur ide.a.in.cct ,puc/ 
niat.c.eritq5.e.quadratuse):p:imaEteco::ct'.fc6i noni cocpvtcrq^ numcro:um 
a.i.c.cff quadratus per ypotbcfi^: fiat rurfus.f.cca.tn.d.crirq^.f.quale qucrim 9 
eft cium c% vltitna parte p:cdicti co::ci.numcrus.f.non quadrat 9 :co cp.d.numer' 
fit no qdraf.Si cni.d.numcr 9 clTct qdrat 9 :cffct quoqj.b.qdrat 9 c>\z. fJte eiufde 
co::er.2.noni 1 eczz.octaui:cq:.3.c quadrat 9 eflct g. le.ciufdctertiuscontinue 
;ppo:tionalis intcr.a.*7.b.q6 c ipoflibilc cii ftnt fola vintatc oiftatcsmo clt igit.d 
quadratus quarc ncc.f.cft cnim.f.cqualis.d.c.c.qiii cum.b.fit oiffercntia.d.ad.c 
Vt patct cy. p:cmiffts:erit per p:imam incidciittum noni q6 fit eca.in.d.cquii bis 
que fiunt ex.a.in.b.c inx.i quia cca.in.b.fit.d.? in.cfit.e.fequitur ut.d.fit oif/ 
fcrcntia.f.ad.cz quia pcr . 1 s.fcptimt cft.f.ad.c.ficut.d.ad.ccrit pcnnutatim.f. 
ad.d.ficut.e.ad.c.£uq5 vtcrq^ ouoy iiuincro:um.e.t.cfit quadratus manifcftu 
e numezj.f.ee quale volumus.c eni non qdrat 9 ouiifibilis i.d.116 qdratu ?.e.qua/ 
dratu:cui 9 ,ppo:tio ad.d.c ficut qdrati ad qdratu Videlj.e.ad.ccctera oia fint vt 
p:t°:oico cj> linee.f.g.^.g.b.pponut binomiu fcom.cu eni fit qdratu.a^.ad qdra/ 
tum.f.g.ftcut.b.ad.crurfufq) quadratum.f.g.ad quadratum. g.b. ficut.cad.c. 
crit pcr cqua p:opo:tionalitatcm quadratum.a. ad quadratu. g.b. ficut.b. ad.e. 
cu igif vtcrq^ ouoz? numcroy.b.t.e.fit qdrat 9 crit p> fcoant pre 1 linca.g.b.comui 
cas in longitudine lincc.a.rationalt pofitc: oe linca vcro.f.g.conftat q> ipfa fit ra 
tionalis in potetia tm no comuuicans lince.a.ronali pofttc in longitudiue fj vlti/ 
mam partcm.7.que cum fit potcntio: linca.g.b.in imea.f.b.pcr-jo.tcrtiF z penul 
tfma p:imi:comunicct aiit linca.f .b.linec.f.g.in longitudine g fc6am £tc.7. co gp 



IX 




eoz qtiadrata funt irt pportionc numeroj;.c.?.d.qu02/ eft pjopojtio ficut numc/ 
roj; quadratoy pcr ppotbcfim:conftat .ppofitu.GHlifcr quoqj idcm cft linca .g.b 
communicans a ratiouali pofite m longitudine qua facilc eft inucnire fitqj. c.nu/ 
merusqnadratus oiuifibilis in quadratu.d.? non quadratu.c.fitq, ppojtio qna 
drati lincc.g.b.ad quadratii linee.f.g.ficut numcr 9 .e.ad numey.c. entqj.f. g. in/ 
tomcufitrabilis linec.g.b.in longitudinc per vltima p.tem.7.? potcntioj ca i qua/ 
drato lincc.f.b.cui coicat in longitudinc:pjimo pci conucrfa ocindc pcr cucrfam 
pjopojtionalitatcni:? pcr fcoam gte.^.cj: oifFwitioue igirur lince.f.g.t.g.b. copo 
nuntbinomiumfcom. IJbzopofltio .44. 

Snomium tertiuni irmeftigare. 
CBinomtu quoq^ tertiii fic rcperif :pofita ut pji 9 linca.a.ronali i 15 
gitudinc fit.b.numerus pjimus.c. Vero quadratus oimfibilis in qua 
dratum.d.e non qtiadratu.c.cctcra oia fint vt pjius:oico cp oue li/ 
nec.f.g.t.g.b.coponunt binomiu^ tcrtiumeutra eni eayeft incom/ 
mcufurabitis in longitudinc linec.a.rbnali pofite fcd vtraqj incomenfurabilts.f.g 
quidc pcr v Irtma ptcm.?.b.g. vero pcr equa .ppojtionalttatem 1 vltima parte.7; 
£ft cni p equa .ppojtionalitate quadratu lince .a.ad qdratu lince.g.b .ftcut nume 
rus.b.ad numey.c.mcdiautib 9 :binc quidc quadrato lince.f.g.inde vero numcro 
c.numcri autc.b.?.e.no funt iu piopojtione aliquoyquadrarojwu.b.fit nnmer 
pjimus.fi eni effcnt in pjopojtionc nuntcro? quadraroymecelle cffct g. itf.octaui 
octaua ciufde':tcrriu cis in cotinua pjopojtionalttatc intercffe.effet igitur pcr. 17 
eiufde numcrus.b.furjftdalis cp e impoffibilc cu fit pjjmus p ^potbe. incomenfu/ 
rabilis cft itaqj linca g.b. linea.a.ronali pofitc c% vltima p.tc.7 .qj crgo linca .f.g. 
potcntiojelinca.g.b.inquadratolince.f.b.cx-jo.tcrtijipcnuf.pjimique coicac 
eiiiitongitudi ne c% fcba ptc.7.qc oifftnitione butomij tcrtij: pj noftra intentio 
^^^«j^nomtmnquartumfcrutari. TJjbzopofttio .4?. 
H EmzM ^3" imientionc binomij quarti eode modo .pccdcndii e ficut iu in/ 
ueutionc pjimi.eixcpto q> qdratus numcrus.c.oiutdat in ouos no 
qdratos qui funt.d.s.e.cetcra oia ncgocanda funt bic qc oiffimtio/ 
tie binomi) quarti ficut ibi cj: oiffinttione binomij pjimi. 
3fnomiumquiritumqucrere. Ijbjopoiitio .4<j. 
Gbuius inucntio fic e ficut biuomij fcbi:exccpto g> numer 9 .c.n6 q/ 
dratus oinidet in.d.no quadratu «.e.quadratu.ita tame cg ,ppoj/ 
tio.c.ad.d.no ftt ficut numcri qdrati ad numcj; qdratu. Xctcra oia 
[ifut bic pquirenda et oiffinitione binomij quinti ficut ibi queftta fuut 
tt oiffiniiione binomij fcbi. vel ponc cp linca.g.b.fit coicas Itncc.a.rdnali pofite i 
tongitndiucc pone numcjj.c.quadratii oiuifu in ouos no qdratos qui f"ut.d.«.e. 
ponc itaq^ .ppojtionc qdrari linee.g.b.ad qdratu.f.g.ficur numcri.e. ad numq: 
c.ocindc aftrue .ppofitu c% vltima partc.7 .1 pniib 9 ypotbcfib 9 * conuerfa 1 cuerfa 
.ppojtionibus % iterti ejc vltima partc. .ej oiffmitionc binomij quinti. 

1fc»opofitio .47. 
B bmomio fejtfo Oemu oponet iniiftere. GSinomiu fe^tu 
ficut tertiii fcrutadii e«tft erit bic nuer 9 qdrat 9 .c.oiuif i ouos no q 
dratof.d.s.c cctcra ut ibi eritq5 ej: oione binomii.<j.linca qj pponiic 






H 4 




-> 4 




— I 7 



LIBER 



i 



i 


1 


\ 

m\ 






\ 




f.g.^g.b.fibi innicem eircctc coiuncte binomiu fcyt5:q6 e ^pofttun» inucnirc. 
& l|b:opolitio -4S. 
3f fterit ftperfictes binomto pjimo Uneaaj rationali coti 
tenta: latus q6 ftper eam poteft binomium ec necelie eft. 
G5it fuperficies.a.c.contcnta linea ronali.a.b.s binomio piimo cp 
fit.b.c.oico cp latus tetragonicu fuperficiei. a.c.e binomiu :6ir cni 
punctus.d.comunts tcmiiu 9 oua?po«ionu binomij pjim i:b.c.cu 
ius maioi po2tio fit.b.cleritq} ronalis i longltudine ejc oiffinitionc:? comenfura/ 
bilis lineca.b.ronali pofite . ibiuidatur itcm mino: poirio que cft.d.c.pcr cqu3/ 
lia ad punctu e.lineaq^.d.b.oiuidat fub ea couditione ad punctu.f. qb intcr par/ 
tes cius que fut.b.f .v.f d.cadat oe mcdio loco pjopojtionalisi quod qualitcr fiat 
in.ij.oictumeft:oucanturautelinee.c.g.d.b.f.k. equidiftantcs lince.a .b.?quia 
exoiffimtionebinomij piimilinca.d.b.eftpotcntioilinca.d. c.in quadratc lincc 
fibi comunicantis in [ongitudincfequitur c% fc6a parte. 15.$ oue lince.b.f.T.f.d. 
fin t cotcanres: per.o.igitur cft vtraq^ cay comunicans toti Imec.b .d.quarc p otffi 
nitione ambc funt ronales in longitudine.idcoq^ pcr.i j.vrraqj ouaj; fupcrftcicjz 
a.f.c.f.b.eft ronalis :oefcribatur itaq5 qiiadratti.l.m.cuius latus.l.r.cqualc fug/ 
ficiei.a.f.cui circfiponatur gnomo pjotracta eyagonali.l.m.n.ad cam qnantitafQ 
q6ipfiusgnomontsquadratu:q6fit.m.ii.fitcqualefuperficici.f.b.ouoq5ei 9 i'up 
plementa fint.p.m.f.m.q.quc neceffe cft effe cqualia ouabus fugfiriebns. d.g.ct 
gic.qo fic coUige:cu enim fit linea.d.c.mcdio loco .ppojtionalis intcr lincas.b.f.s 
f.d.erit fnpcrficie3.d.g.C): pjima fcxti medio loco .ppoitionalis inter fnperficics 
B.f.c.f.b.quarc^intcrquadrata.l.m.^.m.n.cquiafupplcmentujp.m.cftctiain 
mcdio loco poipoitionale inter quadrata oicta qc pjima fccti:fcquitur ut.p .m.fit 
cqualis.d.g.idcoqs.m.q.g.c.igttur linca.l.p.eft latus tctragontcu fupcrficict.a.c. 
banc linca oico effe binomiu: cu fint eni ambo quadrata. l.m: ?.m.n .rationalia 
crunt qc oimnitione oue lincc.l.r.c.r.p.potentialiter ronales. £ft autem pcr pii/ 
mamfejrti.a.f.ad.d.g.ficut.b.f.ad.d.e.fcd.b.f.cftincomcnfurabilis.d.e.f^j.b.f 
eft .ationalis fimplicitcr Vt piobatum cft.o.c vero quia coicat in longitudincd.e 
ronale ifi potetia tantum eritq^ ipfa ronalis in potcntia tantu pcr- 1 s.q6 cy. pmif/ 
fisypotbefibus manifeftu cft iraq^ per fc6am pte.io.fuEficics.a.f.cft incomcnfu/ 
rabilis fuperficiei.d.g.igitur 1 quadratum.l.m.fupplcmcnto.p.m.quare g piima 
fexti'zfc6amEte.io.linea.l.r.cinc6mcfurabilisliuce.r.p.q:.3o.igit?ftatlinea.l.p 
effebinomiuqoerat monftrandu. 

■]|b:opolitio .49. 

3f fterit ftperficies linea rationalt bmomioq? fecildo co/ 
tenta:latas eias tetragontcum crit btmedtalc p:imum. 
CSit eadcm figura ecdemq5 ypotbefcs q in picmiffa: erirq^ vf. oifli 
nitionebinomij fecundi linea.d.c.rationalis in longttndinc :quarc 
pcr.i j.Vtraq^ onarumfupcrficierum.d.g.c.g.c.idcoqs etouo fup/ 
plcmetita.p.m.m.q.erit rationalis:linea vero.b.d.crir rationalis in potcntia ta» 
tum:et oiuifa in ouas lineas communicantes.f.d.et. b.f.cjc oiffinitionc bmomi) 
fecundi 1 piemiffis ypotbcfibus 1 fecunda parte. 1 j.pcr- 1 o.igitur crit vtraq^ ouay 
fnpcrficiej;.a.f.?;f.b.idcoq5 « vtruq5quadratoj;.l.m;?.m.n.medialc:itaq5 ambe 




IX 




lince.l.r.c.r.p.funt mcdiales in potcntia quoq, comunicantcs :na cum linca.b.f. 
toicctlince.f.d.fequitiirut.a.f.pmunicet.f.b.quarc quadratu.l.m.quadrato .m. 
n.ideoqj i linca.l.r.hnce.r.p.in potcncia:in longitudiue aute non comiiuicattqm 
vna earum ad altera eft (icut.l.m.ad.m.p.£um igitur.l.m.no pmunicct.m.p.eo 
«j&ltera medialis videlicer.l.m.altera vcro ronalis vidclicct.m.p.fcquitur ut.l.r 
no comunicet in longitudine.r.p. q: igitur ipfc contincnt fuperficicm rationakiu 
que eft.m.p.pftat lineam.l.p.ex.? i.buius eiTebimedialc pjimum. 
•)fo:opofitio .50. 
^f btnomio tertio ac linea rationali fuperftcies coutinea/ 
tur linca in eam potens crit bimediale fecundum. 
[ CDifpofitiocypotbefesmancantvtfup:a.£ritq5cjcbis ypotbefi/ 
buscoiffinitionebinomij tertij ■z.ij.vnaqueqjquatuo: fupficicm 
in quas oiuifa e" fupficies.a.c.medialis: quarc vtruq^ ouo^ quadra 
to?.l.m.m.n.« vtruq^ ouo£ fijpplemeto:u.p.m.7.m.q.erit etia mcdiale vtraqj 
igiturouaylinearu.l.r.i.r.p.critmedialis.ccnouefuperficies.a.f.c.f. b.fintco 
municantcs eo q> oue linecb.f .•z.f.d.fint comunicantcs pcr fecuda parte- 1 3.erut 
ouc linee.l.r.c.r.p.comunicantes iu potcntia in longitudinc vero no:q: fugficies 
Lm.non eoicat cu fupcrficie.m.p.eo cp ncq5.a.f.coicat cum.d.g. Tlam linca.b.f. 
no comunicat cum.d.e. cum igir ipfi ptineant fuperficiem medialem quc eft.p .m 
c6ftate)c.32.Unea.l.p.effc ntediale fcbm:quod cft p:opofitum. 
Ifojopoiitio .yi. 
% linea rationalibinomioq^quartofuperficies cotinca 
rar:que in ea fuperftciem potelt eft linea maioj. 
| G£unctis ut in pjennTfis manetibus crit ex ypotb. 1 oiffinitionc bi 
nomij quarti 1. 1 9.vtraq5 ouaj; fugficiexz.d.g.c g.c. quarc 1 vtraq^ 
ou3£.p.m.?.m.q.medialis ouoq3 quadrata.l.m.t.m.n.paritcr ac 
cepta ronalc eo <j> fupcrficies.a.d.e ronalis per oiffinitione binomij quarti i- iy. 
£t quia.d.b.oiuidif in puncto.f .in ouo mcoicantia per fcbam parte. i4.crit fuper 
ficies.a.f. incomenfurabilis fuperficiei.f.b.3ocoq5 1 quadratum.l.m. quadrato 
m.n.oue igitur Iince.l.r.i.r.p.funt incomenfurabiles i potcntia que cu contineat 
fuperficiem mediale.p.m.i earum quadrata ambo pariter accepta funt tationalc 
pftat per-3j.linea.l.p.effe lineam maio:e quod erat monftradum. 
'Jfozopofitio .51. 
j|3f nieritfuperiicies linearationali atq^ binomioquinto 
!contentaquecunq5in eam linea poteft petensinratio/ 
nale 1 medialc e(Te er. neceflitate conuincttur. 
\W§jMK CbatnbacqDoqjealiquidewpnoaim oifpofitioncspofitionib 9 
Iw^BJm l mDtandu:eis 0115 manetibus crit ex bis que pofita funt in oiff ini/ 
tione binomij quiti 1. 1 j.vtraqj ouajz fup.ficie2/.d.g.«.g.e.quaxe vtraqj oua? .p. 
in.«.m.q.r6nali8totaq5.a.d.qnarc«ouoqdrata.l.m.t.m.n.p,iteracccpta me/ 
dia!isex-'9.cuq5e)cfcbaEte.i4.fitIinc3.f.b.ic6mefurabihslinea,f.d.i6q5fupfici/ 
es.a.f.fupficiei.f.b.s qdratu.l.m.qdrato.m.n.crit linca.l.r.icomefurabiti potcV 
tia linea.r.p.at q: ipc ptinet fugfkie ronale.p.m.i eaj/ qdrata abo gitcr acccpra 
funt medialc concludc cjc.34.liiica.l.p,clTc potcntcm in rationalc % mcdia!c:quod 
p:omi(Tumeft, 





s - 






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\ 






\ 



LIBER 






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\ 





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\b 








Ifcoopolitio .53. 

3f binomio fejctohncaoj ronali fuperficiescoutincatur 

Itnca quc ineam poteft:inouo tnmedialiapoteneelie 

p:obatur. 
|K^jS§K Cbcc. 5 3 .adbuc tc fuftinet ociari a pingendo figuras': conrcn ta cnt 
I w^SfXi l eft pxmiffiB oifpofitionc i pofitionibus.Ouib 9 ftantibus nccelTc e" 
cc ipfis pofitis % oifpofitionci.oiffinirione binomi) poftremi i.\ ^.qualibct c% fu/ 
perfiriebu8.a.d.?.d.g.?.g.c.pjopterquod?amboquadrata.l.m.c.m.n.p2ritcr 
acccpta «.p.m.i.m.q.cffe mediale^. Xunq^.b.f.s.f.d. p:opterq6.a.f.c.f.b.idco 
q3-l.m.':.m.n.fintinc6inenfurabilescruntouelince.b.c.«.r.p.incommenfurabi/ 
lcs in potentia.at qnia ipfe continent fupcrftciem mcdialcm.p.m. earumq^ ambo 
quadrata paritcr accepta funt mcdtale qo cft ouplo fupcrficici vnius in alraa in/ 
commenfurabile:qo' er eo pjobatur cp fuperficies.b.b. e incomenfurabilis fupcr/ 
ficiei.b.c.pjopterbocg>linca.d.b.cftinc6menfurabilislinee.d.c. fequiturcx.35.li 
neam.l.p.effc que poteft tn ouo mcdialia. 

l£»opolitio .74. 

3flineerationaliequum quadrato binomij rectangulum 

adiungat : latueeiuefcom binomiu p:imu eHecoueniet. 
j Cbec fet fequentes conucrfe funt fet prcccdentium per o:dinc bui'' 

autemeftbccintcntio.Sitlinea.a.b.binomiu oiuifa adpunctu.c. 

tn ouaslincas.a.ct.c.b.Pm fuam oiffinitione aut termini ciufq^.a 
b.quadratumfit.b.d.fitq5 linca.cf.ronalis in longitudtnc cul adiungatur fupafi 
cies.cg.equslte quadrato.b.d.oico q> latus fcom:buius fupcrficiei quod e linca 
f.g.eft binomiu p:imu. Diuidatur eni quadratu.b.d.in ouo quadrata.b.b.s.b. 
d.que fint quadrata ouarum po:tionu5 binomij : 1 in ouo fupplcmcnta.a.b.t.b. 
k.quojum vtruq^ continctur fub ouabus poaionibus binomij reritq^ et eiffiuitio 
nebinomij que babeturper-3o.vtruq5 iftoy quadraroy ronalc? penip.vtrunq; 
fupplcmcntu mcdiale. £t fuperficic igitur.e.g.abfcindatur fupafiaes.cl. equa / 
lis quadrato.d.b.i.l.m.cqualis quadrato .b.b.c. n.p.cqualis vni ouo:uj fupple 
mentomm .a.b.vcl.b.k.eritq^.p.g.refidua equatis reliquo fupplemento : quare 
pcr p:imam ferti linea.n.q.eft equalis liuecq.g.er prcmiffte aut manifeftu eft cp 
vtraq^ oua? fnpcrficicrum.e.l.i.l.m.t io tota fuperficics.e.n.eft ronalis £t vtra 
q5 ouarum equalinm. n.p.i.p.g.cideotota.m.g. media!is:quarepa.i<?.vrraq5 
ouarum linearu^.f.l.f.l.n.? totalinca.f.n.ronalis in longitudine: 1 lineccf.ra/ 
tionalipofitecomenfurabilis:«per.2o.vtraq5 ouaru^.n.q.i.q.g.itota.n.g.ra/ 
tionalis in potcntia tantum incomenfurabtltslinccm.n.? idco lineccf.ftbi cqli 
1 pa confeques 1 linecf.n.in longitndinc: 6i igif linea.f.a. que eft maio: linea 
n .g. vt er piimo ouoy aiitecedetiu.3 cocmonftrationi fubiunctoji» 1 p:ima ferti 
apparct:fuerit potentio: liuca.n.g.mino:i in quadraro unee fecum comunican tis 
in longitodinc. tunccr oiffinitione binomij p:imi manifcftum eft lineam.f. g.ce 
binomium p:imum.boc autcm ita effe fic babeto.£um inter ouo quadrata. d.b 
«.b.b.fit per pjima fcjcti fupcrficies.a.b.medfo loco pjopojtiona!is:conuincitur 
er p:io:ibus ypotbcfibns fuperfictem.m.q.elTc inter fuperficies.cl.t.l.m. medto 
loco p:opo:tiona!is: quare per pjima fcxtt linca.n.q.que cft medietas lincc n.g 
eft in medio loco p joponionalis intcr ouas lincas.f.l.f.l.n.qb igitur fit ct .f.l. iu 



1 l 



IX 

cr.a.b.in,b.c.bis:iraq5 quadrarum.a.d.rantii e quatti qo cr.a.b.in.b.d.bis ? ejc 
a.b.in.b.c.bis cii quadrato.a.c? q: et.a.b.in.b.ctm fit quantu iu. b.d. conllat 
«r ce quod ^ppofitum eft. Gt£um faerit numerus in ono eqnalia ono/ 
q5 tnequalia oiuifus:quadrata ambo:n5 inequalium pariter accepta 
ouplum funt quadrato medietatis i quadrato eius quo maioz pottio 
cjcccdit minojem partter acceptis. G3dem pjoponit nona fc6i oe lineia 
Sitcnim.a.b.oiuifuspouosequalcs quifint.a.c^.cb.? gouosinequalesqu» 
fuit.a.d.?.d.b.oico q> quadrata ouor numeroy.a.d.T.d.b.parirer accepta funt 
cuplii ouobus quadratis ouoy numcro-g.a.cc.c d.pariter acceptis. j£ft eni per 
ferram ba? quadratum.a.d.quantu quadrari.a.c i quadratu.cd.-z onpli» eiua 
qo fit ct.a.cin.cd.q: aiit.a.ceeqnalis.cb. erit quadratu.a.d.quantii quadratu 
b.cz quadratu.c.d. z ouplu eius q6 fit et.b.c.in.c.d.itaqj quadratu.a.d. cu qua 
drato.b.d.funt quatu quadratii.b.c? quadrarii.cd.-z oupui eius qo fit ecb.cin 
cd. z qnadratu.b.d.ouplu aut eius qo fit ct.b.cin .cd.cii quadrato.b.d. e equa 
le quadrato.b c.?quadrato.cd.p.9.bareTgoquadrataouo: , 2numero-?.a.d;et 
d.b.funt quantii quadrata ouoy numcroy.b.ce.cd.ouplicataw quia.b s.t.c.z 
fuut cquaics:pj ^pofitii. C jCum fuerit numerus in ouo equa oiuifus 
alinfqjadiunctus: qnadratum totius copoftticum quadrato adiuncti 
onplumfuntadquadratummcdietatisiplius cumquadrato compo/ 
liti er, medictate i adiuncto. G^dc p:oponit. lo.fcoi oc lineis.Sit 0115 nu/ 
mcrus.a.b.oiuifus in ouos cquales.a.cz.cb.fitq^ fibi adiunctus numerus.b.d. 
oico quadratii.a.d.cu quadrato.b.d.ouplii ee ad quadratu.a.ccii quadrato .cd 
di fit cni numerus.cd.in ouo oiuifus fibiq^ fit.a.cequalis vni oiuidentiii addit" 
crit pcr. io.ba£ quadratu.a.d.quantii q» fit cr.cd.in.ca.quater cii quadrato.b. 
d.q: vero.a.ce equalis.cb.erit quadratii.a.d.quari» q6 fit er.d.ci.cb.qter cu q 
drato.b.d.itaq^quadratu.a.d.aiquadrato.d.b.critquantuqbfitecd.cin.cb 
quatcr cu ouplo quadrati.b.d.boc aiit p. 1 9.ba?2 ouplii e ad qdratt» .c.d.cu qdra 
to.cb .ciiigif fitqdratii.cb.equalequadrato.a. ccoftat .ppofitum. CThu/ 
mcrum altqnem ita oiniderc ut qo cjc toto i vna eius poJtionc cotine 
tur equum lit quadrato alterius eft impofftbile. CQ6.1 i.fecundi p:o/ 
ponitfacienduminlincis.oemonftratbocimpoffibile cffcin mimeris. Sitcnim 
quilibct numcrus.a.b.oico impofiibilc elTe ipfii fic oiuidi ut p:oponitur:fic cni oi 
uidercf frn p:opo:rione bab *ntcm mcdium i ouo ertrcma: ut patet et oiff initioc 
i.2o.fcptimi.Siautcmpotcftoiuidaturin.cfitq5.a.b.ad.b.cficut.b.cad.ca. 
erit itaq5.a.cmiuo:.cb.octrabatur igitur ab co equalis fibi qui fir. c.d q: igitur 
cft p:opo:tio totius.a.b.ad totum.b.c.ficut.b.c octracti ab.a.b. ad.c d. octra/ 
cruin ab.b.ccritcadem .a.c .rcfidui.a.b.ad.b.d.rcfiduum.b.cquarc .b.c ad.c 
d.ficur.cd.ad.d.b.eritigitur.cd.maio:.d.b.oefraaoitaq5.d.c.oe.cd.utfir.d. 
c.eqlis.d.b.crit etia ,ppo:tio.b.c.ad.c.d.fiC.cd.ad.d.c. qrcficd.b.refidui.c.b. 
ad.ce.refiduu .c.d.p6t igif.ce.octrabi ab.cd.no crit iraq, finis ifti 9 oerracriois 
_ i]q6eipoffibilc.nijcad ( ppolirurcucrtamur. '](b:opOfitio .17. 
3f fuertnt ouo numcri ?tra fe pjimi quatus e pjimus eoy 
ad fcomrtantu eiTe fcom ad tertium qnccjj impoflibtle eir. 
I GSint.a.-z.b.contra fc pnmi:oico impollibilc cffc aliquc cis in con 
tinua #po:tionalirateadiungi.Si C1115 pot fir.c.q: igif.a.ad.b.hcut 





' ? ■M^J/k»» 



D 



LIBER 





b.ad.c.funt aut.a.f.b.in fua p:opo:tiouc minimi per .zj.feptimt: fequitur p.21. 
eiufdcm ut.a.numercf .b.qui cum ctiaj numeret fe: non erunt.a.c.b.contra fc p:i 
mi:quod eft contrarium poni. 

"Jfcttopofitio .18. 
jl 3f quotlibet numero;? cotinue ,ppo:rionalium ouo etrtre 
| ma fiiertnt cotra fe pJtmt quantfcft p:imus ad fcom tantii 
effe vltimum ad aliquem alium eft impofftbile. 
C Sint.a.b.c.cotinuc ptopojtionales.fintq^.a.s.ccontra fc p:imi 
Joico q> in cade p:opo:tiouc non potcft eis adiugi alius. fi cni poteft 
fit.d.quia igitur e.a.ad.b.ficut.cad.d.erit permutati.a.ad.c.ficut. b. ad.d. funt 
aute.a.s.c.in fua .ppojtione minimi pcr.zj.fepttmi itaq, p.n.eiufdem.a. nume/ 
rat.b.quarc etiam numerat.c.numcroy enim continue p:opo:tionalium:fi p:im'' 
nuntcrat fconi: ipfe numerat omncs 1 fimplicitcr quilibct p:ecedes quelibct fcque 
tcm.at q: etiam numcrat femon ernnt.a.^.c.cotra fc p:imi: qo eft mconucnicns. 
1(b:opofitio .19- 
Hlopoutis ouobus numeris an ftt eis tertius cotimte p:o 
poJtionalisperfcrutart. 

GSint.a.t.b.ouo numeri p:opofiti:volo mquircre ait cis polVit tcr 
tius fub continua p:opo:tionatitate adiugi.3gitur fi iP» fwt cotra 
fcp:imi tmpoffibile cft pcr.17.fi vcro copofitt oucatur.b.i te.t p:o/ 
ueniat.c.que fi.a.numcrat crit.fi vero 116 numerat non erit.Tlumcrct cnim eu ftn 
d.quieritquequcrimusper.2.partcm.zo.feptimi.fitcrgo utnoi numcrct cnm 
eft tamcn ut.a.ad.b.ficut.b.ad.d.itaq, q: cx.b.in fc fit.cfequitur pcr p:ima par/ 
rem.20.fcpttmi.ut ejc.a.in.d.fit ide.igit.a.numcrat.cftn.d. fed crat pofitu g> no 
quare feqnit t mpoffibile. 1|b:opofitio -20. 

~~ ijSltis tribus numeris cotinue p:opo2tionalibus an fit ali/ 
|quis quartus eis continue piopottionalis inquirere. 
f GSin t cotinuc p:opo:ti6ales.a .b.c volo inquircre an alius cis fab 
\ continua pjoponionalitatc poffit adiungi.igitur fi»a.f .c.funt ptra 
_J fc pjimi impoffibilc cft per. i s.fi aut copofitus.fit.d.qui p:oucuit cjc 
b.in.cque fi numerat.a.erit.fi vero no numcrat no erit.numcret enim cum ftn.e 
quicritquequerunus:pcrfct3ampartcnj.2o.fcptimi.fitergoutn6 n mercteum. 
eft tamcn nr.a.ad.b.ficut.c.ad.e.itaq5 q: cx.b.in.t.fit>d.fequitur pcr pjima p.tem 
20.feptimi.vt er.a.in.e.fit idem.ergo.a.numerat.dim.e.lcd pofitu crat q> non: 
3dc potes pcrfcrutari quotlibct cotinue p:opo:tionalibus pjopofitis.fi cnim ouo 
extrcmi fint cotra fe p:imi finem babct intcntio per.i s.fi antcm compofiti: oucto 
fcoo in vltitnu (i pjoductum nnmerct piimus:is fct5m que eu numerat cft que que 
rimus per fcoam ptc.20fcp.fi aut pjim 9 .pductu no numerat null 9 crit: quotlibet 
eni pofito p pjima pte eiufde fm ipfu pofitu.numerabit p:int 9 .rjductii: qb pofitfi 
eratnonnmerare. 1fc>:opofttio .21. 

latisquothbetnumerispumus aliquepumuab eis&i/ 
uerliim efie neceffe eft. 

GTlrbil aliud intcndif nifi cp numeri p:imi fint infiniti ccmonftrare 
Sint eni.a.b.cnumcri pjimi.oico effe aliquc pjirou oiucrfu^ ab cis 
fit quide.d.f.mmimus quc numcrat cni addita vnitatc fiat.d.g.qui 





IX 





eft primus aut compofitus .(i primus conftar (ppofitum.fi compofitus numerat 
cu aliquisprimus qui ftt.b.que nou cft polTibilc clTc alique qc p:imis <ppofitis.fi 
cnt cffct aliquis cop cii quihbet ipfoy numcrct.d.f .ipfc quoqj numcratct eundc: 
at q: numcrat.d.g.opojtcrct ipfu^ numerare.f.g.qui cft vniras qoteft impofiibile 
3dc fequitur pofito.d.f.quolibet numero qne numcrant.a.b.cqre pftat .ppofitu 
"Kbzopolitio .12. 
' 5 coaccruenturquottibet numertpares-.totusquoq^ab 
eis coaceruatus erit par. 
I GSit quifq3 iiumero£.a.b.cparioico ejc cis copofitfi ee parcm. ba 
bct cni Cf couerfioue oiffinitionis qnifq^ coy mcdietatc.fint ergo eo 
!jrummcdictatef.d.c.f.q:igiturficur.a.ad.d.fic.b.ad.e.«.c.ad.f.erit 
cv.ij.fcptimi ficut.a.ad.d.itaq^ro^.a.b.cadrotum.d.c.f.itaq^.d.e.f.eftmcdie 
tas.a.b.c.ergo per oiffinitioncni.a.b.c.cft panquod eft p:opofttum. 
1fb20pOl"itiO .23. 

3f numeri impares numero parcs coaceroenf :totus quo/ 
q5 ejc cie coaccruatus erit par. 

GSit quiltbet nnmcroy .a.b.cd.impanoico ej: eis compofitum effe 
parcm:oempta cnim a quoltbet vnitate coftat rcfiduos cffe parestz 
q: ille vnitatcs ocmptc coponut pare.cu fint numero pares:conrtat 
p:opolitum per p:cmilTam. Kbiopofttio .24. 

3f numeri mipares numero intparescoaceruentur.totum 
quoq5 ejc as coaceruatum imparem effe. 
GSitqmlibctuumeroy.a.b.c.impar:oicototue):ci8 copofitu effc 
imparcm.crit cni pcr pmiiTam copofitus cca.t.b.par:? q:.coem/ 
pta vnitatc cft par ertt pcr antc p:cmtffa totus.a.b.cocmpta Vnita 
te par:per oiffinitioncm itaq^ conftat totum effc imparcm. 
^JOpofttio .2j. 
J 3f a numero pari numerus par octrabat reltquus erit par 
jiGSit totus.a.pat' a quo octrabaf.b.qui quoq, fit par :z rcfidu 9 fit 
liic.oico.c.eftepare.fitciii.d.medietas.a.e.quoq^fitinedictas.b.oe/ 
;ractoq5.c.oe.d.fitrcliqnus.f.eritg.i3.fcptimi.c.ad.f.ficut.a.ad.d. 
quarcf.e medictas.itaq5.ccft partqo eft p:opofitum. 

1{b:opofttio -2<s. 

l % a numero impari oetrabat impar reliquus erit par. 

|GSit.a.b.numer 9 impar a quo oetrabaf .b.c.qui etia fit impar:oi/ 

co reliquum qui cft.a.cdTe parc.octrabatur cni ab vtroq^ ouo:um 

iiumcroy.a.b.t.b.cvnitas q fit.b.d.critqj vterq^ ouoy refiduoz? q 

fut.a.d.«.d.c.par.ppmiffaitaq5conftat.a.c.cepare:q6e < ppofitu. 

Ijbiopofttio .17. 
*§f a numero impari numertj parc fubtrabas qui relinqui 
turimpareft. 
I GSit.a.b.impar:a ! quo oetrabatur.ax qui fit panoico.cb.refiduii 
j ee imparc.fit eni.b.d.vnitas:eritq5.a.d.par <j q:.a.ce par crit p.2j 
cd.par cu itaq^ fit.d.b.vnitas erit.cb.impar : q6 eft p:opofttum. 
1^«20pofitio .28. 

f 2 





LIBER 








\6 




c 


9 










b 


4 


i — 




i 




a 


z 







% denumeropariimparctollasquirclinquit impar eft. 

GSit.a.b.par a quo tollaf .a.c.qui fit impanoico.c.b.rcfiduuj elTc 

imparejfubtrabaturcnimab.a.c.viJitasqucfit.c.d.eritcp.a. d.par 

itacp pcr.25 d .b.quoq^ crit par.qs igif .d.c.eft vnitas feqmf .c.b . effc 
_ i imparc:qbe < ppofttu. 1(2>:opofitio .29. 
5 numcrus impar in numeru parem oucatur qui inde p:ocfu / 
cetureritpar. 
C£jh23.mauifcftum cft quod oicitur. 

Ifcjopoutio .30. 
3f in imparem bucatur impar qui pjoducctur erit impgr, 
ITbcc quoq3 c;t.24.mainfcfta eft. 

Ijbjopoutio .31. 

! # numer^ impar numerum parem numeret inumcro part 

euni numerabtt. 

ttSi cni numero ipari cu numcrarct cj: ipari i impare ficret par:qo' 

e incoucnies p pmill a . Ijbjopotilio .32. 
3 impar imparc numcret tmpanter eum numerat. 
GSi cni pariter eu uumcraiet ej: numcro tmpart i nume^ pare fieret im 
parq6cinc6ucnie0p,29. ")|b:opoiltio .33. 

3J numerus impar nuincram parcm metiatur eiufde quo/ 

q5 oimidtum iplimi mctirt ueceile eil. 

GSir.a.numer 9 parcuius otmuhu.b.litcp.c.numertmparqtri 1111/ 

meret.a.oicocp.c.uumcrabit.b.iiumcreteni.aim.d.cruci3E.3i.d. 

iiumcrus par.ffto igif eius oimtdiu.c.oucaturqj.c.in x.i .pucniat 




f.critqsp.is.fep.a.ad.f.fscut.d.ad.c.-jqiettacft.a.ad.b.ficnt.d.ad.e.fcquit.b.c 
f.cffc equales.cu itaq3.c.numeret.f.idc numerabit.b.quod cft pjopofttuin. 

Ifcnopoiirto .34. 

^ numcrus impar ad attquc fuerit pjimusudcm ad eiutde 

ouplumerirp:imus. 

CSit.a.iiuiiicrusiniparp:iinusad.b.aiin3 0uplu fit.c. oico cp.a. 

e p:imu6 ad.c.fin autcm numcrct cos.d.cuq^.a.ttt impar fequif.d. 

elTeimparc:quictiq3 eni iparc nunicrat imparclt g pjcmiffam itaqj 
d.numcrabti.b.non funt tgitur.a.-j.b.contra fe primt :qo cft contra ypoibeft. 
1Jb:opofitio .35. 

^mert a ouobus oupti ftrnt partter parcs tantunr. 

GSint vniras.a.b.c.d.cotimic .ppouioaics.fitqj.a.binarius: oico 

oee eos ec paritcr parcs cifq, $ m banc ,ppo2tionc in inftnitu auctts 

nullu aliu ce parit pare: oc bis quide confiat g oiftinitione cu p.i 2. 

quiltbet pccdens numeret qucltbct fequcte p alique coy.quos omncs 
oporiet cflc parcs: 1 nullus alius numcret aitque cozj pcr. 1 3 xo cp.a.qui e binart 9 
vnitate fcques c p:im 9 ..QD aut null 9 alt 9 ab bis fit paritcr par pftat:ftc poftto cni 
aliquo oiuidaf i ouas medietates eiufq^ mcdtctas i ouas: •; boc toties fiat quoul" 
q5 numcr" aut vnitas oiuifione ipcdiat q6 nccclTe c eucnirc g vlttma pcfitionc.fi 
vero numcr 9 bac .pbibeat ipfe erit ipar q cu numcret pitcr pare pofttii no crat pit 
par q pofit 9 e p.itcr par.fi aut vnitas 116 erir. 1 5 . alt 9 a cotinuc ouplis ab vnita tc. 




IX 




•^>:opofitto .jtf. 
^meruscuiusmedietaseftimpareftpariterimpar. 




GSit.a.numerus cuius medtetas que fu .b .ftt impar oico. a.effe 
pariter impare.fit em.c.binari 9 manifeltu itaqj qin ey.c.iii.b.fit.a. 
itt aut.d.quilibet uumerus par numeras.a. qui numeret eu fctfm.e 
eritcpp.fcbam gtc.2o.feptimi.e.ad.b .ftcut.c.ad.d.igit.e .numcrat 
b.na q:.c.nunicrat.d.erit itaqj.e.numerus impar.erat cui ?.b.g oiffinitione igit 
a.cltparitcrimpar. 1(b:opofitio .37- 

flbnisnumerusaOuobusno oupluscuius medierascfi: 
par cft pariter par 1 tmpariter. 
GSit numer 9 .a. no ouplus a ouobus cuius medietas que fit . b.po 
natur par.oico ipfu effe pariter pare 1 ipariter.fit eni.c.binarius oe 
;quo manifeftu e gp ipfc numerat.aim.b.q? vero.a.no cft ouplus 3 
euobusrnecefle e fi eius medietas quc e.b.in alias ouas medietates oiuidafrme/ 
dietatifq^ medietas in alias ouas vt tande occurrat numerus impedies oiuifione 
qui ,ppter boc cp oiuifione no recipit crit impar.fttq; is in quo ftftit oiutfio.d. tti 
numero qppe neceffe e ftari q: firfqj ad vnitate pucniret otuifio eet.a oe numcris 
oupiis a binario oe quibus no e:oe.d. vcro mantfeftu e <p ipfc numcrat.a.p banc 
coetn fdam:ois numerus numeras aliu numerat omne numeratu ab lllo.Tlume/ 
retCTgocufm.c.critqj.e.par.aiioquin.cu.d.fitmaio: impar fcqucrcf p.ja.a.ee 
imparr.q: igif.b.numerus par numcrat.a .ftn.c.qui quoqj e par eft eni bmarius 
St vero.e.numer 9 par nnmerat eade ftn.d.q e impar.pftat e$ oiffinitioe numey 
a.cep.itcrpare^imp.tter.qoe.ppofitu. 1(b:opofitio .3S. 
R^i^ssi 31 oc fc6o arcjj vltimo namcro^ cotimie ,ppo:tionaliuin 
equale p:imi oematur quantn e reliqnu^ lcbi ad p:imum 
tm ec reliquu vltimi ad coaceroatum e]c cuctis p:eceden 
tibus necclTario comp:obatur . 
jJC5intptinue,ppo:ti6nalcs.a.b.c.d.e.f.g.b.oematq5.oe.c.d.eq/ 
lis.a.b.qui fit.c.k.s oe.g.b.qui fit.g.l.oico tuc q>,ppo:tio.k.d.ad.a.b. e ficut.Lb 
ad cdpofitu ejc.e.f.c.d.-z.a.b.fumat ejr.g.b.equalis.e.f.qui fit.g.m. 1 eqlis.cd.q 
fit.g.a.eritq^.l.n.eqlis.k.d.manifeftu aut e p.a.fcp.cp cu ftt.g.b.ad. g.m. ficut 
g.n.ad.g.n.erit.b.m. refiduo ad .m.n.refiduu fint.g.b.ad.g.m.ideoqj ficut.e.f. 
3d.c.d.fifiquoq5m6erit.m.n.ad.l.n.ficut.c.d.ad.a.b.Emutatimigiterit. b.m. 
ad.e.f.c.m.n.ad.c.d.ficut.n.l.ad.a.b.itaq^coiunctip.ij.fep.erit.l.b.copofitus 
ex.b.m.m.n.«.l.n.adc6pofituex.e.f.c.d.c.a.b.ficut.l.n.ad.9.b.ideoq5ficut.k. 
d.ad.a.b.q6eftp:opofitum. 1(fe:opOlitio .39. 

^m coaptati faerint namert ab vnitate cotinue oupli qut 
coiuncti raciat numeru p:imij qctremus eo^ in aggrega/ 
tum cp eis ouctus p:oducit numerum perfectum . 
GSint ab vnitate ptinue oupli.a.b;c.d.ex eis aut 1 vnitate coaccr/ 
uatus fit.e.qui ponat ee numcr 9 p:im in que.c.multiplicet.d.t p:o/ 
ucniat.f.g.oico.f.g.ee numqj pfectu. Sumat igit.b.k.l.ptinuc oupli ad.e.ut tot 
fint.e.b.k.Lquot fint cotinue oupli ad vnitate fumpti.eritq^ p equa ^po:tionali 
tate.l.ad.e.ficnt.d.ad.3.quareEp:im9p.tezo.fep.cx.3.in.l.^ucnit.f.g.11aipfe 
f.g.^uenit ejc.d.in.e.« q:.a.e btuari 9 e.f.8,ouplus ad.l.funt igit. cb.k. l.c.f.g. 

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LIBER 

cortnue;ppo!tionates;ocmaf igif ct.b. cqualts.e.qmfit .m.b.i refiduus.b. n.q 
crit etia eqlis.e.itcctf ejc.f.g.oemaf cide cqualis qui fic.f.n.eritq^ p pmiffam.n.g. 
quatu aggregatu ejc.e.c.b.i.k.s.l.fedc.f.n.cu fit equalis.c.e quatu aggrcgatum 
cy.3.?.b.i.c.'Z.d.'Zvnitate.iteq5totU8.f.g.eqnantu8aggregat 9 c)coibus bts fcj 
a.b.cd.c vnitate z illis.e.b.lU.oe quibus oibus manifcftu e q> numcrat eii kj.f. 
g.c.quidefm.b.'z.bim.k.q6c)Cpm3Ete.2o.fep.puincifadiuu5tcequa^po:tio/ 
tionalitate ficnbi opus fuerit.fft cnim ut.d.ad.c.ficb.ad.c? ut.d.ad.b.uck.ad 
.e.p cqnam ,ppo:tionalit3te:quare i eccin.b.? et.b.in.k.nccelTc c .pucnire.f.g. 
que oudn (pdujcerat.d.in.e.u igif nullus alius ab bis numcrat.f.g.i pfccrit g oif/ 
finitione^ numerus pfectus.G £>uod autem nullus alius eum uumerct fic patct fi 
eni boc polTibilec fit.p.qui numcrctjcu $ m.q.eritq^ p.j j.fep.vt.e. numcret altc? 
eoy ponafq^ q> numcret.p.c q: p fcoam ptc.2o.,cp.c.q.ad.d.fiait c.ad.p. feqntf 
• Dt.q.nnmcret.d.quarc cu.a.qui fequif vnttate lit pjimus c cni binari 9 erit.q.p. 1 j 
bniusaut.3.aut.b.aut.c.quicunq5autbo?2fucriterit.p.aut.l.aut.r<.aut.b.ficni 
q.fuerit.3. conftat q? p.erit.l.qo fit fuent.b.p.erit.fc.li aut.cp.quoq^ crit.b.non 
c igif.p.oiuerfus ab illis vt fucrat po!"ttu:rdmquitur crgo cpXg.fit numerus per/ 
fectus quod crat oemonftrandum. £xplicit libcr llonus ^ucipit libcr Dccimus 
c^aitfitatesquib^fueritvnaquantitascois 
casnuiiieras:Dicetc6icates:quib'? vero no 
fiierit vna cois qntitas cas numeras oiccti/ 
c6meTurabilcs.£ineeipotetiac6icatesoi/ 
cu nf qua^r fueficies qdratas vna cois fup.fi cv 
esnuerat.lLineeicomefurabilesipotetta&i' 
cunt quay fupficics qdratas no numeratvna 
cois fugftcies:q cu ita finti manifeftu elqj oi 
linee polite/multe alie fut incomefurabtlcs. 
qdailonsttudie tin:c]dail65itudiuel?pote^ 
II tta.i^is aut Imea cn q rociiiamiir pofuaivo' 
caf ronalis.iineeqi ei coicates oicut ronales : £ide aut icotdtes oi- 
cut irronalef fiuefu'rde.i£>is vcro cfdrata fupficief oe cj g Ypotefiroa- 
namur oicif ronalis.0up.ftcics vero ei cotcates oicuf ronales. /Sidc 
autem icommenfurabiles fuperficics Otctltur irrattonales fiue fnrde . 
latera vcro q in illas qdratas polTut/Oicut ronalta.G iQttahb? qua/ 
tttate totics polTe multipltcarivt qualibet eiufde generts quatttatem 
>ofitamejrcedat. Ifittopofitio .1. 

3f a ouabus quatttatibus inequaltbus ^pofttisimaius Oi y 
midio a maiozi oetrabat.iteq.i oe reliquo maius oimidio 
Oemaf/Oeinceps quoq? codc mo.ncceiTe e vt tandc mino ' 
re pofttay mino:quatttas relinquaf . Gsmt oue quan/ 
titatcs incqualcs.a.s.b.cb.cmaioi.Dico cp toties pot mains oimi 
dio octrabi a.b.cvel cius rcfiduo cy ncccffe erit rclinqui quautitate minojein.a. 
fmultipliccf ari.a.quotics ejccedat.b.c.fitq, eius multiplet.d.c.f.maius.b.coctra 
batur itaq^.a.b.cmaius oimidio q' fit.b.g.itcqj cx rcfiduo q6 cft.g. c.mai 9 oimi - 
dio qo fit.g .b.boc quoq^ toticns ftat quoufq^.b.coiuifa fiant fn tot ptcs quotiCG 
a ptinef in.d.e.f.oko tunc <$ vltimu tefiduu vt cft bicb.ccft min 9 .a|niulftpliccf 






ii3mq5.b.c.cjuotienscmultipIic3ta.a.i.d.c.f.fitq5CiusinultipIc)c.k.l.ni.qngirur 
vnaqucq, quatitstu.k.l.m.c cqualis.b.c.fcquif ut i.k.dt minoi.b.g.fcd t.l.mfoi 
. g.b.at qj.m .c equalis.b.c.crit p_ coccptione.k.l.m.minoj.b.c.quare mtnoj. d.e.f . 
cufitcrso.d.e.f.ad.a.ficut.k.l.m.ad.b. c.fttq^.d.e.f.maioj.k.l.m. fcquifp.14. 
quinti cp.a.fit matoi.b.e.qo e pjopofitu. 3decp fequif fi oe.a.maio:i oiniidui oc 
maf .itcq, oc rcliquo otmidm: fitqj roticns quoufq^ maioj oiutdaf in tot partes 
quotiens cotinef m iitoj in quolibct fuo muItiplice:maio:e pofitay quatfilibct cjcce - 
deute.CLattcnderc aut opojtct cp buic Videf.i j .tcrtij pdicerc ,ppoiics angulu coi» - 
tingentie miuo:e fo:e quolibct angulo a ouabus lineis rectis cotcuto : pofito 0115 
angulo quolib^ rectilineo:fi ab ipfo maiusotmtdio oemaf .itcqj oc refiduo maius 
oimidio ". ncccffc videt boc toticii3 polfc ficri quoufq^ angu!u3 rccttlincus minoi 
angulo cotingcntie relinquaf :cuius oppofufl.i j.tcrnj fjilogijatjfcd bi 116 fut vni/ 
uoce 3iiguli:n6 cni ciufde funt gencris fimplr curufi % rcctu.St Vcro ncc angulum 
contingcnric totiens cotingit fumi ut quslccuq, rcctilinefi crccdat: q6 ncccffarifi e 
ut cr pjcbabita oemdftrationc p^tad boc ut pfis cx antccedcwc fequaf :planu S e 
etia qneubct angulu rcctiltncu infmitis angulis coiuingetic cflc mato:cm. 
Kb:opofitio .2. 
3f fucrint oue quantttates inequalesi&etrabatqj maiou 
equaleminoji oonecminuseo lutjfifjacoetnde minou 
ipfms rehqui equale ocmat/ooncc miitus eo rclinquatur / 
ocnuoquoqircliquopjtmo ccilereliqutfcrjiioonec mi/ 
nus eo lupfit aufcrat:? tn buiuftnodi cottnua octractione 
nullii reltquii 06 ante relictu numeremnuentafieas onas quatitates. 
incom cnfnrabiles elfe necefle eft. CSimile buic ,ppof uit p:ima feptimi t 
iiumcns.5(nt ouequatitatcs inequalcs.a.-i.b.maioj.a.quibue fi fiat rccipioca 
quoad pot octractiomo occurrat etta fi infmitics fiat aliq qntitas octractioc^ ipc 
dtcs fiuc antc rclictu numcras oico cas incomefurabiles cflc.Sin aiit fit cois cap 
mcnfura.c.oetrabaftgif.b.cjc a.quotiespot.fitq^rcfiduu d.qo rcfiduii Oetrabac 
ejc.b.quoticns pot % fit refidmi.c.^iatq^ toticns ifta oetractio quoufq, ejc alteru/ 
tra ouaEqnantitatfi.a.i.b.rcmancat minus.c.boc cni ncccflc cfl cflc polfibilc g 
pcedcntc.Siqj bic.e.miuus.c.cu igif.c.mcfuret.b.octracta ab.a.i ctia.a.menfu/ 
rabit pcr coccptionc.d.refiduii.idcoq, cfi menfurct.d.octractu.a.b.c ctia ipfii.b. 
meufurabit.e.rcfiduu.fed crat.e.minus.c.maioi:crgo quantitas mcnfurat mino/ 
rem.qoeftimpofnbilc. 1(b20pofitio .5. 

[ITRopofitis ouabus quautitatibus inequaltb^coicantibus 

inarima quantitatc cottereas numerantc tnuentre. iBj: 

bocitaq5inanifcltumell:que ouas metiturquantitates 

tnarimam quoq^comuntterambasmetientcm metiri. 

liCbuiusoemonftrationcmfifcciainfeptiminon igno:as nopotcs 

igno:are : ( pccfl'us cni vtrobiq^ idcm. 

1{b:opofttio .4. 
iRopofitistribusquantitatibuscommunicantibusman/ 
mam eascdmuniternumerantem inuenire. 
Gbccejc tcrtia fcptimi fic patct ficut pjemifla ex fccunda fcptimi. 
1fc:opofitio .5. 

i 4 





r 



v!tm* fj|'rt»n- 



HH 












LIBER 

ODnium twarum quantitatum comunicantium eft ,ppo:/ 
tio tanq3 numeri ad numerum. 

CSint oue quatitatcs.a.?.b.c6municantcs:oico q> carum ;ppo:tio 
cft ficut alicuius numcri ad aliu nume?.fit cni.c.marima quantitas 
comuniter mcnfurans.a.f.b.reperta ut oocct fcoa buius-.quc mcn / 

furet.aim numey.d.t.bim numem.c.critqj.a.ad.c.vt.d.ad vnitatcco q> ficut 

a.cft multipkr.c.ita.d.c multipfcr vnitatis.ac.c.ad.b. vt vnitas ad.c.qm ficut.c. 

e fubmultipler.b.ita vnitas e fub multipler.e.igitur per cqua ,ppo:tionalitatcm. 

a.ad.b.ut.d.ad.e.quodeftp:opofitum. 

1|b:OpofltiO .6. 

% fijerint oue quantitates qua? fit p:opo:tio vnius ad al 

tera tanfc numeri ad nume£:eas twae comunicantee elle 

nccefleeir. 

Cfoec eft conucrfa p:io:is ut fi fit.a.ad.b.ficut numcrus.c.ad nume 

rum.d.eruntoucquantitatcs.a:7.b.pmunicanres.fitcni.c.toticns 
menfurans.b.quotics cft vnitas in.d.c totiens menfurans.f.quotiens vnitas iu 
c. £umfitisitur.f.ad.c.ut.c.advnitate.ac.e.ad.b.vtvnitasad.d.eritpcquam 
yportionalitatc.f.ad.b.ut.c.ad.d.quareetiaut.a.ad.b.isifperpnmapartem.j. 
quinti.f.eft cqualis.a.cu itaqj.e.mcnfurct.f.perconceptione mcnfurabir.a.igitur 
a.«.b.c6ic3htes:mcfurabat cni s.b.quod eft piopofitum. 
"ftb :opofitio .7. 

XJDuiam tmarum fuperficierij quadrata^lqnay latcra in 
1 longitudtnec6municant|eftp:opoJtiovniu8ad alteram 
I tanqua numeri quadrati ad numeru quadratum .©t vero 

faerit p:opo:tio fup.ficiei quadrate ad fuperficiem quadm ' 
Jtam:tanquap:opo:tiouumeriquadratiad numerijqua/ 
dratu: eruntlatera earu in longitudinecommiimcatitia ./®6 fi fuerit 
,ppo:tio fuperficict quadrate ad fnperficicm quadrata:non velut nu/ 
meri quadrao ad numerum quadratum:latera earum erunt in longitu- 
dine incdmenfurabilia . 

CSint.a.t.b.oue lince quadrate qnay quadrata fint.cr.d.oico cp fi.a.c. b.com - 
municant in longitudine erit .pponio.c.ad.d.ficut numcri quadrati ad numcrum 
quadratu i ccoucrfo:fi aut ,ppo:tio.c.ad.d.n6 fit ficut numcri quadrati ad numc - 
ri5 quadratii.a.i.b.eriit incomefurabiles in longitudiue c ecoucrfo.Zicrutn iflud 
argumctuquartun6p:opontt: £:imup5fic.fi.a.?.b.c6muniC3nt i longitudmc 
ipfc per.f .crunt in p:opo:tione ouo:p numero? qui fmt.e.t.f.quo^ quadrati fint 
g.c.b.qjcrgoe.c.ad.d.ficut.a.ad.b.ouplicataper.is.fextiifeqnitutfit etiam.c. 
ad.d.ficut.c.ad.f.ouplicata.fedctiacper. i i.octani.g.ad.b.ut.c.ad.f. ouplicata 
crgo.c.3d.d.ficut.g.ad.b.q6ep:imu.6c6mfic:fit.c.ad.d.ficut.g.numcrusqua/ 
dratus ad.b.numey quadratuJoico cp.a.c.b.erunt in longitudine coicanres. £5 
enim fit.e.ad.d.ut.a.ad.b.ouplicstap.is.ferti.^.g.ad.b.p.ii. octsui ut.c. ad.f. 
ouplicatarquarccfimpIa.s.Bd.b.ficutfinipls.e.ad.f.p.tf.igiiurfunt.s.c.b.coica ' 
tes qo eft fcom. Icrtiu vcro P5 er p:imo a oeftructionc cofcquentis. Sitr quartii 
patct er (c6o a oeftructionc pfi tis. C£r tertia pte bui 9 not3 oiamct^ ee incomen / 
furabile coftc,£u eni fit qdratu oiameq? oupui qdrato coftc:oupla vero ^po:tio 




X 



no fit ficut numeror qdratoj/jfeqt otemety ee incomcnfurabile cofte t logitudiuc 
aiioquin cu quaternarins fit numcrus quadratus cffent oes paritcr parcs qdrati 
i etia alij infiniti qui no funt quadrati . Ducit aut "By. ad iltud IncOjflteniens fi 
©iameter ponatur comenfurabilis cofte cp impar numerus erit equalis parcquod 
ficpatet.Sitenimoiamctcr.a.b.commcnfurabilislateri.a.c. eritq^per.y.a.b.ad 
a.c.ficut aliquis numerus ad aliu5- Sint ergo bij numeri.c.c.f.qui fint minimi in 
fua pjopo2tione:eritq5 ob boc alter eop impar. 6i eni vterq^ par : no eriit mini/ 
mi: quadratt quoq^ eo2/ fint.g.i.b. fi ergo.e.e ipancrit quoq^ ey.jo.noni.g.ipar 
rititaq^.k.ouplusad.b.critq^.k.exoiffinitionepar.qjtgitut.a.b.ad.a.c.ut.c.ad 
f.erit per.s.fcjcti c. i i.octaui quadratu.a.b.adquadratu.a.c.ut.g.ad.b.e itaq^.g. 
ouplus ad.b.ficenim cft quadratu.a.b.ad quadratu.a.c.g penultima pjimi:? qi 
ctiam.k.eft ouplus ad.b. feqnitur per.9.qumti ut.g.numerus impar fit eqlis.k. 
iiumcro pari. £16 fi.e.fit par c.f.impar:crit ,ppojtio.f.adoimidiu.e.q6 fit.l.fi/ 
cut.a.c.ad oimidiu.a.b.qo fit.a.d.c ideo erit pjopojtio quadrati.a.e. ad quadra 
tum.a.d.ficut pwpojtio numcri.b.qui eft impar per.30. noni adquadramm 
nnmeri.l.quifit.m.cui.k. ponaturce ouplusjeritq^.k.peroiffinitioitcm par. 3t 
qj quadratu.a.c.e ouplu ad quadratu.a.d.per penultima pjimi erit. b. oupl 9 ad 
m.cuq5.k.fit etia ouplus ad.m.erir per. 9. quinti numcrus impar .b. equalis.k. 
iiumeropariqtfepjopofitu. 'jfbzopofltio -S. 

5 fuennt one quantitates vni quantitati coicantes-.ipfas 
quoq? inuicetn comenmrabiles elle neceffe eft. 
GSit vtraq^ ouaz/ quantitatn.a.t.b.coicans quantitati.c.oico.a.c 
b.efie comcnfurabiles:eft enim per. j.a.ad.c. ficut numcrus ad nu/ 
mey: fimiliter quoq^ per eande.c.ad.b.ficut numerus ad numerum 
Sit itaq^ numerus.d.ad numeru.c.ficut.a.ad.c.numerufq^.f. ad numcrum.g.fi 
cut.c.ad.b.atpjopoJtionesquefunt.d.ad.e.t.f.ad.g.contincnturintribustcr/ 
minisquifunt-b.k.l.utoocet.4.octaui:eritq5perequapjopojtionalitate. a.ad.b 
ficut.b.numerus ad.l.numcy.pcr.tf.igitur funt.3.1. b.coicantes q6 eft .ppofitu. 
G £jc bac quoq^ fequitur cp ft fuerint oue quatitates fibi inuice coicantes : cuicuq^ 
vna carum communicat % reliqua:? cuicunq^ vna no comunicat nec reltqua. Sint 
enim oue quantitates.a.s.b.comunicantes: ponaturq^ quelibet quantitas qoe fit 
c.cum qua comunicet.a.oico qj.b.comuntcabit cum eadc^: q6 qc bac octaua patct 
cum Vtraq^ earum comunicet eum.a.ej: ypotbefi.^26 fi itep.a.t.b.fiiit comunica/ 
tcs ut pjius:ponatur.c.qudibet quatitas cum qua non comunicet.a.otco cp.b.no 
communicabit cum eadem.fi enim.c.comunicaret cum.b.cum. a.quoq^ p ypotb. 
communicetcumeodem.b. effentperbanc octauam. a.?.c, communicantes.fed 
pofitum erant <j> uon cffcnt:quare conftat quod oirimus. 

1fc)20pofltiO :9. 

ffej^TSI ^ mermt DUf quantitates coicantesi totum quoq? cjc eis 
^C^^I' con ^ eaam vtri( 15 ^V-cnt comunicans.0i vero foerit to 
* tum vtriq^ comenfurabileerut ambe comenmrabiles. 

GSint oue quatitatcs.a.c.b.comenfurabiles^oico totum cx cis co/ 
pofitum quod fit.c. vtriqj carum cffe commcnfurabile c cconucrfo. 





e a 


s 

k -. 1 



I 




3dbuc quoq^fi totum exeiscompofitumviii earum communicct.oicocp com 
mnnicabit alteri:«ipfefimititer interfc.^dem quoq5 incontrario.fi enim.a.c 



LIBER 



ff' 




b.fiiu incoicantestoico cp.c. vtriq^ earam erit incomunicans t ecouerfo :ac fi.c.al 
tcri carum fit inc6municans:erit quoq^ incomunicans z ahcrv.z ipfc erta intcr fc. 
Suititaq^pjimum.a.-t.b.comunicantes^fuq^carumcomunismcnfura.d.qufcii 
vtr aq5 eay numcrct pcr coccprionc funile anrepennlttme numerabit.i.c.quare p. 
oirTinitionc.c.coicabit vtriq^ ca£.fc5.a.'?.b.£c6ncrfo quoq^ fi.c.comunicct vmcrj 
carum.fit oim cois mcnfura.d.coftat itaq^ pcr oifTinitioiie.a.f.b. comuntcautcs 
eile fed comunicct.c.cu altcra caruin que tu.a.oico cp comunicabit cu.b.t.a .etia 
c.b.communicabunt adinuicem.fit cnim.d.coinntumter mcnfurans. c.z.z. quta 
igitur.d.mcnfurat totum z octractum per conceptionem ipfa mcnfurabit reftdu/ 
um videlicct.b.per otrTinitioncm crgo z .c.communtcat cum. b.f.a.communicat 
quoqj cum.b. 6i autc a. s.b.futt tncommuiucantcs crit .c.iucommunicans vtri 
qj earum:fi cnim cum vtraqj feu ctiam cum alrcra earum communicarct i ipfe co 
monicaret adinuicem: qood cft contra fpotbeftj Stmilitcr quoq^ cconucrfo fi.c.e 
incommunicans vtriq^ caruin feu etiam altcn eaium:crit quoqj incommunicans 
rcliquc:« ipfe inter fc:qo palam cfl c% pjcdcmonftratis a ceftructtoc confcquetia. 

I^btopofirio .10. 

Xlknium quatuo: quantitatum p:opo:tionalium 'fi fiierit 

p:ima communicas fecunde: tertia quoq^ erit communi/ 
i cans quarte. 0i vero p:ima incdmenfurabtlie fucrit fecu 

de:tertia quoq^ mcomenfurabilis erit quarte. 

f!6int quatuojquantitatcs pjopouionales.a.b.c.d.oico q> fi.a.co 
mumcat cu.b.c.quoqj comunicabit cu.d.cp fi.a.efl incomenfurabtlis.b.c. quoq^ 
crit incomcnfurabtus.dfffi.a.coicat cu.b.tn potentta tm. c.quoq5 comunicabit 
cnm.d.in potcntia rantum.ZJcrutame tllud non .ppontt auctoj qffacile patet q: 
ccmoi)ftrationcpiioiu.6ieni.a.c6icatcu.b.eritper.5.a.ad.b.ficutnumcrusad 
numcram.fit crgo ficut.e.ad.f.at q: cft pcr ypotbcfim.a.ad.b.ftcut.cad. d.crit.c 
ad.d.ficut numcrus.c.ad numey.f.pcr.is.igit cft.c.communicans cu.d.qb cft pii 
mum.6com patct ct pjimo a oeftructione confequcntis.fi enim.a. cft incomcnfu 
rabilis.b.opojtet.e.effc incomenforabile.d. nam fi cffct ci comefurabilis cu ftt ut 
c.ad.d.fic.a.ad.b.pcrfpotbefim:clTctperpjimamparte.a.c6municanscum.b. 
fed non crat: quare conftat totu qb pjoponit auctoj. Qx> autc adwnpm^ vidcli/ 
cet qp fi.a.coicat cum.b.in potcntia tm.c.comunicat cum.d.i potcutia tm. fic pa 
tct.£u5 cnim.a.non comunicct cu.b.in longitudine: nec.c.quoq^ er partc fecuda 
buius comunicabit cum.d.tn longitudin £ .at vero cum quadratum.a.communi/ 
cet cum quadrato.b.cjc vpotbcfi cnt pcr. 5 .quadratum lince.a. ad quadratu lince 
b.ficut numerus ad numcrum qui fint.e.i.f.s quia quadratum.c. ad quadratum 
d.ficutquadratu.a.adquadratu.b.critetiaquadratu.c.adquadratu.d.ficntnu/ 
merus.e.ad ftumeru.f.pcr. tf .igitur.c.s.d.cotcant in potentta:? qj non comuni/ 
£atinlongitudine:c6ftat,ppofitij. ^{b:opofitiO .11. 

iRopofita qualibet recta lineaiouas ei incomcnfurabiles 

alteraminlongiradinetanwmialteram in longitudineet 

potenriairectas lineas inuemre. 

C6it linca.a.,ppofita:volo ouas Uneaf repcrire quai/ vna coicet cu 
ya.i potetia tm.altcra vcro ut icomeforabihs ci i logitudic z i potctia 




X 



Sumo itaqj ouos numeros nequaq^ fc babcntes f n .ppojtionc aliqnoi? numcro^ 
quadratoy.fintq^ bij .b. f.cquos facilc cft fumcre cu quilibct quadrat 9 numcr 9 ad 
quclibet no quadratu ea babcat ,ppo:ttoncqua ncquaq^ babcnt aliqui numcri q/ 
dratt cofirmatc bec.22.oaaui:ouob° talib 9 numciis fuptis iucnio Itnea.d.ad cm° 
qdratu fe babcat qdratu linec.a.ficut numerus.b.ad nnmqj.cbanc aut Itnea ita 
rcpcrio oiuido linca.a.in tot ptes cqualcsquot funt vnitatesin numcro.b.qb fa/ 
cilc facio aduinate.ii.vcl. i2.ferti:oebiuc fu^ extremitate linee.a.erigo linca. e.pcr 
pendicularitcr in qua toticns ptincatur vna er gtibus.a.quottcns vnttas eft in.c. 
.Qiiia igif tp pma fcjrti ,ppo:tio quadrati lince.a.ad fuperficie que fit cca. i.ccft 
fiatt.a.ad.c.cioficiitnumcri.b.adnumc^.cfiponaf.d.inmcdioloccppoitio/ 
nalisinter.a.c.e.ficutoocct.^.fextiqjtucperpiimaparte.Kf.eiufdequadratu.d. 
erit equale fupcrficici pductc cca.in.cz erit ,ppo:tio quadrati lince.a.ad qdratfi 
lince.d.ficut uumcri.b.ad mime^.cquare.a.s.d.funt comenfurabilcs in potetta 
ejc oiffinitione c pcr vltima pte.7.ipfe fiit incomcnfurabtlcs in logitudinc.regta cft 
iraq^.d.pnma linca qua .ppofitu erat inquirere.Gattera fic rcp rio intcrpono ut 
cocct.9.fejcti linea.f.mcdio loco ,ppo:tionale intcr.a.f.d.critq^ pcr co2:cl'. \7.fcj.li 
qaadratu.a.adquadratu.f.ficut.a.ad.d.itaq5pcrfcoampartc.io.quadratum.a. 
eft mcomenfurabile quadrato. f.igif linea.f.e incomcnfurabilis lincc.a.i potcntia 
quare z in longitudince iraqj.f.fcda linea qua .ppofiw erat.reperirc£t fic p> p:o 
pofitum. IJbJOpofitio .u. 

£Cmiu quatuoz lineajr «pponionaliu fi piima tanto am / 
plius polfit fcoaiquatu e quadratu alicmus linee coicdtis 
libi in longitudinemcccffee tertia quoq^tanto amplius 
poflequartaiquatu eftquadratu alicuius Itneecoicantis 
libi tnlongitudine:(j>ritueritp2tmapotentioj fctSaqdra^ 
to alicuius lince incomenfurabihs ftbi in longitudine:erit quoq^ ter / 
tia potentio: qrta cjdrato altcui^ linee ftbi tcdmcfurabilis i logitudine • 
GSintqtuo:lince,ppo:ti6alc8.a .b.cd.fttq^. a.maiot.b.s.cmakH.d fitquoq^ 
a.potetioj.b.qdratoliiicc.c.t.c.potetioi.d.qdrato lincc.f.oico cp fi.a.coicct.e.in 
logitudie.c .quoq^ coicabit.f.i logitudie q> fi.a.no coicat.e.i logitudic nccc.cotca' 
bit.f.i logituctine.Qo i ft.a.coicat.e.i potctia tm.cquoq^ coicabit.f.t potetia tiii 
I5e^ tamcn illtid vltimfi no ^ponit auctoi q: facilc patct cjc p:io?2 oemoftrationc . 
ciifitcni ( ppo:tio.a.ad.b.ficut.cad.d.eritquadrati.a.adquadratu.b. ficutqua- 
drati.cad quadratfird.c q: quadratnm.a.cft cquale quadratis ouay lincay. 4se 
-f.b.s.e.fifr quadratfi. cquadratis ouarum lineay.d.f .f. erit ,ppo:tio quadraroj? 
ouaylineay.b.^.e.adquadrattt.e.ficutqdratoy.d.l.f^adqdratu.f. crgooififi' 
timeritquadratfi.b.adquadratu.e.ficutquadratfi .d.adiquadratii. f.ergo. b.ad 
c.ficut.d.ad.f.itcm per equamp:opo:tionalitatcni crit.a.ad.e. ficut. c.ad. f.ergo 
per piimam partcm oecime conftat piima pars buius:? per fecundamifcoa:? pcr 
tertiam ibi ad iunctatnitcrtia^ bic adinncta. 

IfiHOpoftfio .ij. 
3f fiierint oue linee inequales quoJum longio:em in ouo 
communicantia omidar fuperficies fibi adtuncta equalis 
quarte parti quadrati b:euio2is linee cut adinncte fu/ 
perficieioelitadcomplendamtotam lineam fuperficies 



iM. 



;/i*l-| 



/wm/w- 





LIBER 




qnadrata necefle e ipfalinealongio:e Imea bjeniori tato apli 9 pofk 
quatu e qdratu alicutflineecoicantie eidetn longioii in lottgitudine. 
0i ^ero fiterit logio: potetio: b :euio:i augmeto qdrati linee coican 
tis ftbt i logitudine adiugafctt ei fugftcies eqlis quarte pti qdrati b:e 
nioris linee cui oeftt qdrata lugficies farjftcie libi adiuncra eade linea 
logioie in ouas po:tionee comefarabiles oiuidere necefTe eft. 
CBint ouc lince.a.b.t.cmaioj.a.b.? adiugaf ad linca.a.b.cjrta ps qdrati lince 
cita qp ocfit ad pplenda linca.a.b.fup.ficics qdrata.boc cni e poffibile g.a^.fejcti 
qb facilc fiet boc mo.oiuidaf .a.b. i ouas lineas.a .d.?.d.b.ita cp inter cas cadat 
meoictas linee.cptiuue ;ppojtioit8lis:boc aut qualitcr fiat in ftne oemoftratiois 
bui 9 oocebif :eritq5 ejc. icfejcti fupficies.a.d.in.d.b.q fit.d.ceqlis qdrato medie 
tatis linee.cqre ejc.4.fc6i erit cade fub quadrupla qdrati Unce.c. oecft quoqs ad 
pplmdalinea.a.b.fup.ficiesqdratarcu^.a.d.fitequalis.d.g.i.d.b.cqlis.g.e.oi/ 
co itaq^ cp (i fupficies.d.c.oiuidat linca.a.b.in ouo coicatia erit linca.a.b.pote/ 
tioj linea.c.iu qdrato alicui 9 linee feefi coicautis in longitudinc z econuerfo. £um 
aut lit linea.a.b.maioj linca.c.no crit.a.d.cqlis.d.b.fif eni cet fupficics.d.e.qua 
drata i q: ipfa e eqlis qdrato medictatis linee.c.dTet.a.d.eqlis medierati. c.i to 
ta.8.b.toti.c.q6 e p ypotb.no eft igif .a.d.equalis.d.b.itaq3 oe maio:i eay quc fit 
d.b.abfcindaf.d.f.cqualis.a.d.erirq^ p.s.fcoi qdratfi rotius.a.b.cqle bis q funt 
ej.d.b.in.d.a.qterctqdrato.f.b.quarelinca.a.b.eritpotcntiojlinca.c.inqdra 
to linee.f.b.qua naeffe e coicari toti.a.b.filinea.a.d.eft coicas lince.d.b. fi cnim 
boc ftjerit erit.d.b.coicans.d.f.fue eqli quare g.9.b.f.coicat cfi.f.d.c io toti. a.d. 
ippi boc cu rota.a.f.igif i cu tota.a.b.ficq5 P5 pmfi.C£6uerffi bui 9 fic p^ fit.a.b 
potetioi.cin linea .f.b.q. coicet fccum in longitudine.oico tuc q> quarta gs qua/ 
drati linee.caddita ad linca.a.b.ita cp oefit fupficics qdrata oiuidet linea.a .b.i 
ouo c6icatia:oiuidaf cni^.f.a. pcqlia m.d.efiatfu£ficics .d.c .ecd.b. in.d.a.s 
dcerit ad ppleda linea.a.b.fupficies qdrara aitq^ g.s.fc6i:qdratu.a.b.eqlc qdra 
plo fupficiei.d.e.e equale qdrato.f.b. igif qdruplfi fup.ficici.die. e eqle qdrato.c. 
qre fupficies.d.e.fit eqlis quarte pti qdrati.coico igif cp.d.b.e coicas cu.a.d.cii 
fit.f.b.c6icans cu.a.b.fi eni boc fuerit ut cp.a.d.fit coicans cfi.a.b.erit etia comu 
nicas cfi.a.f.g.9.quare 1 cfi.a.d.f^ i cu.d.f.itaq5 t.d.b.e coicas cu.a.d.qo e fcotn 
GTluc aut moftradfi cft quafr linea.a.b.cu ipa pofita fucrit maio: linea.cpoffit 
fic oiuidi ut inter ptes eius cadat mcdietas linec.c. ptinue ^pojtionalis. C£um 
eni fic fuerit oiuifa: fupcrficies q fiet ejc vna in altera erit equalis qdrato medieta 
tis linee.ct ipfa crit fup.ficies eqlis quarte pti qdrati lineccadiuncta ad linca.a 
b.ita q» oefit fuperficies qdrata.boc eni fic fict oiuifa.a.b.p cqlia in.d. lineef fug 
ea femicirculus.a.f.b.? fifr.b.e.ppcndicularis ad.a.b.que ponaf eqlis mcdictati 
linee.ci oucaf .e.f.equidiftans ad.a.b.vfq^ quo fccet circuferentia femicirculi in 
puncto.f.necciTeleft cni vt fccet ea:cfi linca.a.b.fit maioilinea.ct oucaf.f.g.pa 
peudicularis ad.a.b.q cup-Mpmifiteqoalislinee.cb.eritquoq^eqlis medie/ 
Iatilinee.coucafitaq3linee.f.a.f.b.critq5ppmapte-5o.tcrtijangulus.a.f.b.rc/ 
ctus:« io per p:ima parte co::ef.8.fci:ti crit Unea.f.g.medio loco .ppoitioalis iter 
a.g.«.g.b.qre medietas lincc.c.q e fibi equalis erit eria .ppojtioalis itcr eafde qo 
cltnoftrum^pofitum: 

■^JOpofltiO .14- 



X 




„ jf fuerint tme linee inequalcs quaram longio:em binicfat 
i m ouas partes incomenfurabilcs fupficies equalis quar / 
re partt quadrati b:euio:ts (ibi admncta ita q> oefit ad et*? 
copleticncfupcrfictes quadrata crit logio: potctio: b:e 
_juio:i augmcto qdrati linee Icomenfurabtlis ipft longion t 
ongitndmc.©iverologio:potctio:fucritb:euio:i quadrato lince 
incomcnfurabilis flbi longio:i tn longttudine adiuugafq^ ei fupficicf 
equalis pti quarte cjdrati b:cuio:is Oefaeritq^ longio:i iurjficies qua 
drata necene eft ut ipfa fupcrficies fibi adtuucta eundcm fongiorcm li 
ncam iu onas po:tiones tncomenfurabtles o iuidat. 
Gbcc. 14.CX prio arttis pmiffe infcrt prifl prttis pmiffc z non Oiffert eius oifo5 a 
oifpone illtos.fed 1 mod 9 argumetandi vtrobtq^ tdc. 6i cni.a.d.no coicct cu.d.b 
nec.d.f.fibiadequaliscoicabtrcueadc.d.b.itaq^p.j.d.f.no coicabitcu .f.b. qrc 
neqj.a.f.funt eni.a.f.f.e.f.coicantes tanqj numcrans 1 numcratu.io neq>. a.b. 
coicabit cu linea.f.b.Qo fi boc fucrit vidcltcer fi a.b.no coicet cu.f.b.116 cotcabit 
cu.a.f.qre ncq; cu.a.d.aut.d.f.neq? igif.a.b.cu.d.a.^ot quoq^ bcc.i4.oem6ft ra 
ri p pmiffa.pma ps buius cc fcoa illt 9 1 fcoa cjc pma a ocftructioe pfitte.fi cni.a.d 
-J.d.b.n6c6iccittnccetia.a.b.i.f.b.c6icabunt:nafi.a.b.c.b.f.c6uarcntopo:re/ 
rct p fceam pte pmiffe ut.a.d.coicarct cu.d.b.fcd pofitum e cp non. £ode mo oe 
fcoa ptc.fi cni.b.a.s.b.f.no coicant ncc.a.d.s.d.b.comunicabunf . na fi fvc fcqui 
tur pcr piima ptc pmiffe ut. 9 .b.i.b.f.coicct q no coicant.-quare patct piopofitu. 

1|b:opoIitio. .ifi 
|£IDnis fupcrficies rectagula qua continent Oue lineeild 
I gitudinerationales r6naliscflep:obatur. 
GSint ouc Imce .a.b.i.b.c.ptinctcs fupficic rcctagula.a.c.ronales 
in longirudinc: oico fupficie.a c.effe ronalaoefcripto cni quadrato 
^Jcutus vis eay.ut.c.d.ltncc.b.c.crit p pjima fexti.c.d.ad.ax.ficut.b 
d.ad.3.b.q:igif.b.d.c6icatinlongitudiiiccu.a.b.cj:ypotbcficocp.b.c.fuacqu3/ 
lis eritppjim.i ptc.io.c.d.coicans.a.c.cii fititaq3.c.d.r6nalispoiffinitionc erit 
g.a.c.ron alisqOeftypofitu. 1(£>:opofttio .><$• 

~ j| %\\ adiuucta fiierit Ituce in longitudine vel coicata rona / 
|l li fupficies ronalisrcctigula latus eius fcom erit in longi 
», tudinc ronale lateriqs p:imo i longttudine comefurabile 

| Gbcc c quafi pucrfa piiojts ut fi fupficics.a.c.adiuncta ad linca.a. 
_J b.ronalc in longitudinc liicrit ronalis: oico cp latus ctus (c6i qo e.b 
j.crit eti5 ronale in lorrgitudine 1 coicans lateri pjimo.ftt chi.a.d.qnadrattl .a.b; 
critq, ronale c% oiffi nitione ? .ppter boc ent coicans cu fupficie.a.c.ronali: q: igic 
g pjima fcxti ficut.a.d.ad.a.c.ita e etia.d.b.ad.b.c.coicst aut.d.a .cum.a.c. crit 
P pma pte. icb.d.coicas cu.b.c.ergo cii.b.a.fua eqlt fed.b.a.ronalis e qre p oiflfi 
nirionc 'Z.b.c .oftat itaq5 ypofttfi. l^):opofltlO .17. 

^fj ^as lineas inuenire potentia tantum ronaks comenfura 
biles quarum logio: plus polfit b:euio:i quadrato fince 
i tbi comenfurabilis in longitudtne. 

Gpjopofitueincnircouaslincasronalcspotctiatmcoicatcs qrii 
1 loiigio: fitpotctioibieuioji qdratolinccfibicoicasinlongitudine 






a 


b 





- 






I 



LIBER 





Samo itacfl aliqua linea ronatc que fit. a. b.fug qua ocfcribo fcmicirculfi.a. c.b.i 
fumpto aliquo numcro vr.d.e.oiuido ipffi in ouos numcros. d.f. t.f.c. ita cp fit 
;ppo:tio.d.e.ad.d.f.ftcut numen qdrati ad numcru qdratfi uo fit afit .ppouio.d 
e.ad.f.e.ut numcri qdrati ad numqz cjdratfi:tatis afit numcr c quilibj qdrat 9 oi 
uifibilis in quadratfi i no quadratfi.ut-9.qui oiuiditur m.4-?. *. 1 oes bo? cque 
multiplices:« iuueuio liuca ad cuius qdratfi fc babcat qdratfi Unce.a.b.ficut nu/ 
menjs.d.e.adnumcy.d.f.qualitcraut ipfareperiaf in oernonftrationcf.oictus 
e : banc linea inuenta que nacffario c mmoi.a.b.coapto p p:ima quarti mtra fe/ 
micirculum.a.c.b.fitq5.a.c? fubtraba linca.cb.oico ouas lincas.a.b.-cc b.elTc 
quas qucrinV.crit igif g p:ima gte.3 o.tcrtij angulus.crcctus :i io p pcnultimam 
p:imi quadratu.a.b.equalc cft qdratis ouaz? liucazj.a.ci.cb. 1 q: ,ppo:tio qua/ 
drati lineca.b.ad quadratfi lince.a.cc ficut.d.e.ad.d.f.p f potbc.cru p. cucrfam 
;ppo:tionalitatc ,ppo:tio quadrati lince.a.b.ad quadratfi linec.cb.ficut.d.c.ad.f 
e.crgoquadratfi.cb.coicatcfiquadrato.a.b.pCT.(5.bui 9 critigifquadratum.cb. 
ronale per oiffimtioncm cfi coicct ronali fugficici:^ q:.cb.?.a.b.funt iucomcnfu 
rabilcs g vlrima partem.7.conftat ouas liueas.a.b.f.cb clTc ronales potctia tm 
coicantes.at q: linea.a.b.e potcntio: linea.cb.in quadrato lincc.a.c que g fcoaj 
partem.7.coicat fccfi in longitudine coftat babitfi cffe .ppofitu.GSi autcj hbcat 
plurcs ouab" potentia tin ronales coicantcs quayvna potcntio: longto: fit qua/ 
hbct aliaz» in quadrato alicuiua lince fccu coicantis in logitudinc rcgirc.fir ut pu 9 
linca.a.b.ronalis in longitudine fuper qua ocfcribatur fcmicirculus.a.cb.fuma / 
tiirq^ numerus.d.quadratus qui ftt oiuifibilis in multos quadratos z 110 quadra 
tos quoz? 116 quadratoz? mimc fit .ppouio ficut aliquoy numeroz? qdratozntales 
aut numeri vlcro feofferut vt.3tf.qu1 e oiuiftbilis i.zc-z.j.iteq^ i.itf.i.2o.rurfuf/ 
q> in:9.t.27.ac itczj in.4.?. j2.iltoy vero 116 quadratozjqui fuut. 11.zo.z7.j2.ad 
inuice no cft ,ppo:tio ficut alicuius niimeri qdrati ad alifi .£fto igitur ut numerus 
d.quadratu8 0iuidatin.c.qdratfit.f.nonquadratfi:fitq5quadratu linec.a.b.ad 
qdratfi linec .a.cficut numcrus.d.ad numqj.c? oucaf linea.cb. 1 pftat ,ppo/ 
fitum ut p:ius ocmonftratfi e.a.b.?. b.ccffc ouas talcs lineas quas inquirimus. 
Silr quoq^ oiuida.d.i.g.qdratu z.b.nb qdratu fitq^ qdratfi lincc.a.b.ad qdra/ 
tfilincc.a.k.ftcut.d.ad.g.^oucatlinea.ls.b.cruntq^vtpnusouclincca.b.^.b.k 
qualcs inquirim 9 .£odc tno fi rurfus oiuidaf .d.m.l.qdratfi z in no qdratu z po/ 
natur ,ppo:tio qdrati linee.a.b.adquadratfi linec.a.n. ficut. d.ad.l. c .pducatur 
n.b.eruntouelinee.a.b.?.b.n.qualcs inquirim 9 . Oofirurfus oiuidaf.d. in.p. 
quadratfi z in.q.no quadratfi z fuerit ,ppo:tio qdrati linec.a.b. ad quadratuni 
lincca.r.ficut.d.ad.p.«p:otractafueritIiuca.r.b.erutctiaouclinee.a.b.t.b.r. 
quales inquirimus. Sunt itaq^ lincc.a.b.b.cb.k.b.n.b.r.potentia ttii rationa/ 
lcs z in ea coicates qrfi vna videlicet.a.b.e poietio: qualibet aliazj i qdrato linee 
fecu coicatis in logitudine.fi igif quatuo: lineay.b.cb.k. b.n .b.r. nulla coicant 
alij in longitudme pftat ^pofitu.^rtud afit fic ,pbaf P5 cni e% pmiffis cp quadra 
tum lirice.b.c ad quadratum linee.a. b.eft ficut numcrus.f. ad numerum. d.ct 
quadratum lince .a.b. ad quadratum linccb. k-efr ficut numcrus . d.ad nume/ 
rum.b. ergo per equam p:opoaioiialitateni quadratumlince.b.cad quadra/ 
tum lince.b.k.cft ficut numcr 9 .f.ad nunicru.b.fcd null 9 qruo: numcroy. f.b.i.q 
fc babet e?: ypotbefi ad alifi ficut numcr" qdratus ad numezj qdratfi .qrc g. 3 .p.te 




f .oue linee.b.cb.k.funt incomeufurabilcs in longitudine. £ adem rone quclibct 
oue e* illis quatuo: fint incoiiienfurabilcs i longitudinc :liquct crgo q»' volumus. 

Ifbjopolitio .18. 
jl^taslineasinpotentiatantum ronales coicantesquozii 
longioJplnspolfitbzeuiozi.qnantum eftquadratti linee 
fibi mcomenlurabilis in longttudine inuenire. 
IjG^nbacquoqjrcmancateadc oifpofitio eedecpypotbefcs quein 

I pjemiffa boc folu mutato cp ,ppojtio numcri.d.c. ad ncutrS ouoju 

nnmeroy.d.f.«.f.cftt ficut numcri quadrati ad numcru quadratu:boc aut facilc 
fiet:pofito.d.c.quotlibct nnmero quadrato oiuifo in ouos numeros no quadra/ 
tosvtfi.d.e.fit.9.t.d.f.6.c.f.c.5.argument3ndoutpnusbocountaxatcj:cepto 
cp.a.b.f.a.c.fintincomenfnrabilcsinlongttudincgvltimapartc.r.Gitfciendu 
q> ouc lincc quales bec et pjemiffa ooccnt inucnire coponunt binomium:? mino/ 
ri earum abfcifa oe maioii que rdiqua eft oicitur refiduum. Tlota etia cp Imce tm 
poten tia ronalcs coicautes poffut cffc vna ronalis i alia irronalis ficut latera te/ 
tragonica oua:$: fugfictqz qua^z vna fit.ic.pcdu z alia.24.funt ronalia potctia tnt 
coicantia:latus cnim pjime fnpcrficiei cft. 5 .latus vero fcoe no numerat z poffut 
cffc ambe irronales ut latera tctragonica ouay fup_ficicj> quaru vna fit.24.pcdu z 
alia.2}.neutriuseni numeraf latus.funtq^ i longttudine incomenfurabilia ex vl/ 
tima p_te fcptimc. G.Q6 d libcat ctia inuentre plures Uneas ouabus potcntia tm 
ronales cotcantes quazt vna fit potentio j qualibct aliaij in quadrato linee fecum 
no coicantis in longitudine: fumat talis numcr 9 qut polTit plurics ftc oiuidt cj> ipfi 
us ad nulla fua:; partiii nec alicui 9 ad aliqua alia? fit .ppojtio ut numeri quadra/ 
tiadnumcruquadratuut.if-potoiuidiin.^.wj.itcmm.j.-r.^o-iruriusin.?. 
*.iS.£tfic ( pcciTusidec]ruitinpmilTa. IJbJOpohtio .19. 

— I fltbnis fuperficies qua cotinet oue linee potetialiter tatu 
ronalescoieantes e irrdnalisoicitqjfugficiesmedtalis 
eiulqj latus tetragonicum fc? q6 i eam poteft elt irronale 
oiciturqj linea medialis. 

jGSintouelinee.a.b.b.c.ptinctesfufificie.a.c. ronales potetiatm 

c6icatcs:q quatr reperiant et pmiffa % anpmiffa.manlfeftum e:oico fup.ficie, a.c. 
cffe irronalem.5it cni.c.d.quadratfi.b.c.eritq5 ronalc p fpotbefim co cj> linca.b 
c.cronaIisipotetia:7q:c):pjimafqLti.a.c.ad.c.d.ficut.a.b.ad.b.d.nonc6icat 
aut a.b.ro.b.d.qjexypotbcfinocoicatcufua equaliqe.b.c- fcquitg fcoamgte 
lo.utctia.a.c.nocoicctcu.c.d.qrepoitTinitioncfucificies.a.c.e.irronalis.ideoqj 
z futi latus tetragonicu cetia irronale.oicit aiit bec fugficies mcdialis qtn ipfa e 
mcdio loco ,ppo:ti6ali8 inter ouas fuperficies ronalcs videlicet inter qdrata oua 
ru lineay ipfa ptinctiu z tinea potes in ipfa oicif mcdialis .qm ipfa quoqj e me/ 
dio loco .ppojtioalis inter ouas lineas potctia tm roualcs coicantcs z bec oue Si/ 
neefuntlatera oicte fupficiei.JEt boc cft quod votnmus. 

IJbzopofttio -20. 
^fmadiunctafiieritlineeinlogitudine ronali fuperficies 
equalis quadrato linee medialis lat^eius fcOm potentiafr 
tatn erit rdnale lateriq* piimo i logitudine icotneturabile 
Gbcc eft quafi councrfa pjemiffe. Sit .a. linea medialis. fitqj 







LIBER 





linca.b.c. rationalis in longitudine cui adiungatur fuperficies. b.d. equalis qua/ 
drato linee.a.cj? boc modo fier.fubiungatur ouabus lineis.b.cz.a.lmca.c. d.i co 
tinua piopoitionalit3te:ut oocct. io.fcjcti:critq5 fupaficies ci.b.ciu.cd. cqualis 
quadrato lmce.a.pcr.i<!>.cinfdc:oicolatuscius f>m quodeft.cLcclTe ronale in po/ 
tentia tm z incomenfurabilc in longitudine lateri.b.c.£ritq5 ejc pjcmilTa g oiffi/ 
nitione linee medialis ut linea.a.polTit in alique fuperficie contcntam a ouabus 
lincis potentia tm ronalibus comunicantibus que fit fupaficies.e.g.cuius latera 
e.f.«.f.g.cruntq50uefuperficie6.b.d.«.e.g.pcrp2imampartcm.ij.fetti:latcrum 
mutuoium pjoptcr boc q? ipfi funt equales i rectangnlc: #poitio crgo.b .c.ad .c. 
f.eft ficut.f.g.ad.cd.quare p..io.cu.b.ccoicct i potcntia cu.e.f.eo q? qdrata vtri 
ufqj eara^ funt ronalia ejc fpotbcfi.f.g.coicabit in potcntia cum.c.d. cu igit qua/ 
dratum.f.g.f« ronale per jpotbcfim:erit quoqj quadratu.cd.r6nale pcr oiffini/ 
tionem : at qj fupcrficies.b.d.eft irronalis ficut fua equalis.cg. pcr piemilTa.fc/ 
quitur ttquadratum Unee.cd.no coicctcufuperficie. b.d. «quiaquadratulince 
c.d.ad fupcrficiem.b.d.cft per piimam fcjsi:ficut.c.d.ad. cb. cnt pa fccundam 
p3rtem.10-ut.cd.non comunicet cum.b.cquarc cum.b.cfit ronalis in longitudi 
ne ejc fpotbefi:erit.cd.irronalisin longitudme z potentia tm rationalis:patet er 
gopiopofttac onclufio. *$»:opofitio .zi. 

"lifllbnis hnea communicans medialt elt medialis. 

GSit linca.a.medialis cui ponatur linea.b.effc c6munican3 fiuc in 
longitudinc fiue in potcntia tm:oico q> etiam linea.b.eft medialis. 
Sit cnim linca.cd. rationalis i longitudine cui adiungatur fupcrfici 

jjcs.cf.equalis quadrato lince.a.c item fupcrficies.e.g.equaUs qua/ 

drato Unee.b.boc autcm qualiter .iat in picmiffe oemonftratione oictu c. £ritq; 
perpiemiffamlinca .d.f. ronalisinpotcntiatm z incomenfurabilislinec.cd.et 
quiaperpiimamfet:ti.e.g.ad.cf.ficut.f.g.3d.d.f.c6rcat autem. cg.cnm. c.f.eo 
<j> quadratum.b .communicat cum quadrato. a.per ?potbefim: quibus quadra/ 
tis oicte fuperficies pofite funt equalesifcquitur pcr piim35 partetn. io.ut finca.f. 
g.comunicet dum linea.d.f.quare.f .g.eft ronalis i potcntia tm ficut eft.d.f.s in/ 
comcnfurabius in longitudiue Unce.c.f.cu Unca.d.f.fibi comumcans fit incomc/ 
furabilis eidem.cf.co cp fue equali:boc enim piobatum eft in.s.qb fi fuerint oue 
quantitate8c6icantescuicuq5Vnacaru5nonc6icatnccreliqua:it3q5pcr.i9.erir 
fuperficies.c.g.medi3lis z eius latus tetragonicum quod eft.b. mcdisle quod cft 
piopofitii.GSifr quoq> omnes fuperficics coicans fupcrficiet mcdtali mediaiis ee 
conuincitur.Sit eni uiperftcic8.a.medi3lis cui ponatur fupaftcics.b.efTc coicans 
oico fupcrficiem.b.effe medialcm quod fic conftabit.fu ltnea.cd.r6nalis in longi 
tudinc : adiungaturq, ei fupaficics.ce.que fit equalis fupcrfiicici.a.qc boc mo/ 
do fiet.3nueniatur linca.cf.ad qua fic fe babeat vnutn ejc latcnbus fupcrficici.a. 
ficut unea.cd.fe babet ad rcliquum.bec autcm linea qualirer rcperiatur in . io.fe/ 
jcti oiaum eft.frirq^ eci j.eiufdem fuperficies.d.f.equalis.a.itcq5 codcm modo 
ad Uneam.e.f.adiugatur fupaficies.e.g.que fit equalis.b. erit itaq; per.zo.ltnea 
cf.potentia tm r6nalis:ait quoq^ lince.cd.in longitudine tncomcnfurabtlis. £t 
quta.3.s.b.crant coicantcs ejc ypotbefuerunt quoq^.ce.c.c.g.eis cqualcs ioican 
tcs:it3q5 pa piitram psrtem fcjcti z pcr piims^ psrtem. to.buius aunt ouc Unee 
cf.«.f.g.c6iC38tes in longitudine.G£ft igitnr linea.f.g.ronalis in porcntta tm * 





X 

l.I.n eft quantifq6 ey.n.q.ttt fc per- le.kpi-.idcoc^ per.4.fc6t quantu quarta po 
quadrati lince.n.g. 3taq5 per pjima^ fite. 1 3. cum linea.f.n.oiuidatur 3 fupcrficic 
fibi adiuncta cquali qnartc parti quadrati bjcuioiis linec. n.g. ita cp ad coplcnda 
totam lincam.f.n.oefit fnperficies quadnta 111 ouo coicantia ad pnuctu.l.eiit.f.ii 
potentiot.n.g.inquadratolineeftbi comunicantis in longitudinc:conftatcrgo 
pjopofitum. l£>:opofito •**. 

3f lineerationali equa fitperficies quadrato bimcdialie 
pjirm adiugat lat 9 ei? reliquij biomiu lc6m ee opo:tebit 
GSit linca.a.b.bimedtalc puinii oiuifa ad punctum.c. fcom fuum 
terminu. £etera aut fint ut p:iu j:oico linca.f.g.cffe binomium fcoin 
jjeritcnifupcrficies.m.g.ronaiiscocpgtesbimcdialcs pjimi conti/ 
nent fupcrficiem ronalcm % fupcrficies trcs.e.l.l.m.f tota.e.n.mcdialcs coicatcs 
eo cj> pottiones bimedialesptimi funt linec mcdialcs potcntia ttn coicantcs ejcj 1 
pct. i6.igitur erit linea.ti.g.ronalis in longitudine comcnfurabilis linec.e.f. rona 
li pofitc.T per.2o.linea.f.n.r6nalis in potentia tantii que cu fit maioj linea. n.g. 
expjimoouoyaiitecedcntiuocmonftratioiii.jf.adiunctoy^pjima.is.ca qucpo 
tcntioi quadrato lincc comunicantis fecu in longitudine ejc-pjima gte. «3 .crit a oif 
fiiutionelinca.f.g.binomium fcom quodcft p:opofitum. 

lfb:opofitio ?<5 
ilSCm adiuncta fiierit lirtee in longitudtne ronali fuperfici / 
ciee rectangula equalts quadrato bimedialis fceH lar? ei? 
fecundum birtomtum tcrttum elle necefle eft: 
GSi fuerit linea.a.b.bimedia ; e fcom oiuifa pcr terminnm fuum ad 
punctu.c.rcliqua vero oia fuerint ut pjius:crit linea.f.g .binomium 
tertium. £rit cni cj:.i 2 -z noftris pofiiionibus vtraq^ fuperficiey.e.n.c.m.g. mc/ 
dialis:quare perao.vtraq^ ouay lineay.f.m.e.n.g.crit ronalis in potcntia tatu. 
«t q: bimedialis fcoi partes funt coicantcs tn potctia tm crit fugficies.c.l.coicans 
fujMicici.I.m.cio linca.f.l.linee .l.n.potentio::ergo egpiima parte.ij.f.n. 63 fit 
n.g.in quadrato linee fibi coicantis in lougitudine.£uq5 fint fupficies.a.b. z qua 
dratii.b.b.incomcnfurabilia eo cj> lince.a.c.r.cb.incomeuirabiles: ideoqj 1 am/ 
bo quadrata paritcr accepta ambobus fupplcmcntis gitcr acccptis. eo cp quadra/ 
ta fibi inuice coicant ejc ypotbefi fupplemeia quoq^ cu fibi inuice fint eqlia-.feqf vt 

fupncies.e.n.fiticomefurabilisfurjficiei.m.g.iioiinea.f.n.lincc.n.g.goiffinitio 
ne igit e linea. f.g.binomiii tcrtiu qo e ypofuii. 1fb:opofitio .57. 

— 1 3 linee ronali rectigulu equu qdrato linee maio:ie adin 
gataltqrfecotincntium latcrum critbinomium quartum 
GSi bcc qnoq^ fuerit linea.a.b.linea maio: oiuifa fc6m tcrminu fu 
um ad punctii.c. cunctacp rcliqua non fucrint altter q'5 pjius:erit ii/ 
nca .f.g. binomiiiquartu.f uenifintambo quadrata pojtioiui li/ 
nee maioiis giter acccpta ronale erit fugficics.c.n.ronalis :ideoq5 per. is.linea.f. 
n.ronalis in longitudine coicans luiee.e.f.ronali pofite-.fuperficics vero.m.g.crit 
medialis ppter illud <$ pottiones lince maioiis cotinet fugftcie mcdiale.itaq^ pcr 
no.linca.n.g.e in potetia ronalis tm:« qt ctia pojtiones pjefatc linee.a. b.ftit po 
tentialitcr incomenfurabiles fuperftcies.c.l.incomcfurabilis crit.l.m.idcoq) «"£» 
f.l.linec.l.n.(giturperpiim3parte.i4.linca.f.n.cftpotentiojlinc9.n.g.iqdrato 





\ 

\ 

i \ 


D 


I 

I ' 


\b 





LIBER 

Itnec fibi inc6meii(urabilis:cjc oiffinitionc igitur e linca.f.g .binomium quartum: 
quoderarpwpofitum. 1|b:opofitio *s. „ , '. 

-n^ linceronaliquadrato lince potcntis fup:aronale ent 
mcdialecqua!ts:parr.ealr.era longio: fo:maadiungatur 
alterum latus eius binomium quintum clTe neceiTe dh 
G^opofita Isnca.a.b.ea quc pot fup:a mcdtalc t ronalc otuifa ftn 
iiJlcius oirViniiione ad punctu. c.nibil itnutcf oe rcliquis.fcqnifq^ linca 
f.g.cffe binomium quintu £u enim ptes t ut" linec.a.b.contineat ronatc fupcrficie 
neccflfc cft vt fupcrficies.g.m.ideoq^ p. ifi.linca.n.g. fit rationalis. £umq5 ambo 
quadrata partium buius lincc pitcr accepta ftnt medialc crit fupcrficies.cn .mc/ 
dialis t per.2o.liuca.f.n.r6ualis in potentia tm.at q: pojtioncs picdicte lince fut 
incomenfurabiles in potentia:erit fuperficics.c l.incomenfurabiUs fupcrficiei.m. 
l.ideoqj t linea.f.t.Unce.t.n.potentio: igtf e pcr p:ima p_te. 14- Unca.f.n.linea.n.g 
in quadrato linee fibi inc6mcnfurabilis:per ovfftnitionc itaqj binomtf quinti con/ 
cludcpjopofitum. Ifcttopofltio -19-' , , 

^oticnsadtunctafuerithneeronalifugficies rectangula 
equalis quadrato lince potcntis tn ouo medialia ciufdem 
fuperficici latus ic6m bmomiu fejetum efle conuicit ur . 
C3n bac.j9.fit linca.a.b.linea potcns fup:a ouo medialia:queaut 
ai p:cter bcc funt ftcut fup:a mancant t erit tunc linca. f .g. binomium 
fejctu qoigno:arc 110 potcris fi p:cmiffo2J ciufq5 qo.jy.^ppontt imcmo: no fucris: 
cficp5inbacnoftraintcntio. 1fc>:opofitto .eo. 

"IjXIDnis linea cuiuliibet btnomioium comumcans fub ea/ 
lldem fpecie binomium cfle pjobatur. 
1 G5it Uuca.a. binomium cuius uis fpcctei:fitq5 linea.b.fibi coicans 
in tongitudinc-.oico linca.b.cc binomiu eiufde fpcciei cui 9 .a.fint eiii 
J binomiales portioncs.a.c.i.d.cruntqj ambc ronalcs in potctia tm 
cotcantes pcr. jo.Unea vcro.b.oiutdaf pcr. u.ferrt f>m ,ppo:tione.c.ad.d. in.e.c 
f.eritqj pcr coiunctam t euerfam t permutatam p:opo:tionalitatem.c.ad.c.i.d. 
ad.f .ficut.a.ad.b.cnm fint igitur.a .?.b.c6icatcs:erunr ctia pcr putna parte. 10 . 
cz.c.itccp.d. s.f.coicantes.fi igttur fuerit.c.ronalis in potcntia tm crit t. e.fi au 
tcm in longitudine ?.e.£odcq5 modo ft.d.c ronalis in potcntia tm vcl etia tn lon 
gitudinc tm.erit quoq^ 1. f.frtT t ct. 12.fi potctio: c.c.d.quadrato linec ftbi contc 
furabilis in logitudine vd ft forte tncomcfurabihs crit.?.e.potcnrio:.f.in quadra/ 
to linee fibi comcnfurabilts vd etia incommcnfurabilismcccffc cft et otff initioni / 
b 9 fct fpeciei? binomioz? vt ciufde fpecici binomi) fint. a.c.b.Si autc linca.b.co/ 
municet biftomio.a.in potcntia ttii crit ctia ct fic linca.b. 23inominm aiit ciufdc 
fpcciei non cft ncccffariu tmo impofftbilc cft vt ambe fimul cadant ftib putna fpc/ 
rie binomiouim vel fub fcoa quarta vcl quinta.f5 neccffc cft vt ambo cadant fub / 
p:imis tribus aut ambo fub tribus poftrcmis:vnu cnt co? clTc in aliqua cr. tribus 
p:imis fpccicbus t aliud in aliqua e* tribus poftremis eft impoffibile.cum enim.a 
coicet cu.b.in potentia tm .c.quoq^ cu.e.s.d.cu.f.coicabit tm in potcntia c%. 10. 
5i igitur alterutra ouarum Imcarum.cj.d.fucrit ronalis in longitudtnc non crit 
fua copar e^ lineis.c.i.f.ratioualis tn longitudine.llon eft itaq^ poSTtbitc ut .a.ct 
b.cadant fimut fub aliqua cf iltis fpccicbus binomio:um in qmbus altcra ouarum 





poitionu biuomij cft t6ualis'in longitudincbcc aut fpecics futipiima * fcda quar 
ta t qiiinra.at vcro qj pcr. i2-oue lincc.c.T.c.fimul potcntioies funt ousbus li , 
nci3.d.i.f.ii! quadratis ouai/ liiicas fibi in (ongitudine comumcantiu aut incoi / 
cantium:ncccilc clt vt ambo binomia.a.cb.fimnl cadant fub pjimis tribus fpc/ 
ciebus bmomio^ aut fimul fub tribus poftrcmis ejc oiffiiiitione ipfarum fpecicr: 
linca aut.b.qmd oubitas effc binomiu cu fint.cni e.cccoicantes i potentia tin 
fifr quoq^.d.s.f.finr aiit.c.f .d.ronalcs in potentia:c6uiucitiir.c.?.f.cffe ronales 
m potentia tm:quc qj 116 coicant in longitudinc ficut nec eis^poitionales.ccd. 
ipfc coponunt indubitanter binomiu per. 3 o.buius. 

1£nopofttio . 6 ,. 
iJDms Imea alteratri bimedialiu cdmenfurabilis:mb ea/ 
dem fpeae bimedialis elle ejc rtecemtateconuincitiir. 
GjBcritare babct quod oicif fiue in longitudine fiue etia in potentia 
tm coicet aliqua linea altcrutri bimedialium.Sinc cni ouc iince co/ 
_Jmunicaiircs.a.?.b.quouis ouo? modo? piedictozj.fitq^.a.bimcdi/ 
ale pnmu vel fcom:oico g? ctia.b.eft bimcdiale primii vcl fcom ,put fuerit.a.niui 
(0 eni.a.bimcdiali in fuas bimcdialcs poitiones cx quibus coponitur per 5 1.^32 
q fint.c.c.d.b.qnoq5 oiuifa i.ccf.ftn.ppoitioncc.ad.d.vt oocct. i2.fetti pofita 
cp.g.fuefidecontctafub.c.i.d.T.k.fub.cj.f.ftpofito.b.quadrato.d tI f crit 
per coiuncta 1 eucrfam 1 pcrmutata .ppoitionalitarcm qucadmodu m pjcmiiTa c 

ad.cz.d.ad.f.ficut.a.ad.b.ficutigiturexpofitione.a.t.b.fmtcoicantesfiucboc 
fit m longitudine fiuein potentia fic.c.t.e.itcmqs.d.c.f.filr erunt comunicantcs 

atquia.c.?.d.funtmedialcspotentiatatiic6icantes:fcquiturcx.2i.ut.ci.f.fint 
eria mediales 1 c%. 10 .potcntia tantu coicantcs cu ipfc pcr ypotb efi, fint "ppoitio 
nalcs.c.«.d.cuq5 fti P<* Primam fetf i.g.ad.b.ficut.c.ad.d.ck.adXficut e ad f 
mt.g.ad.b.ficut.k.ad.l.tpcrmutatim.g.3d.k.ficut.b.ad.l.quiaigitur.becom/ 
muiucans.l.co cj> ouo coj; latcra que funt.d.cf.coicant m longitudine vcl in po/ 

tentiafmcp.a.^.b.inaltcrutrocoycomunicant.fquifcx.io.ut.g.i.kqnoq^fibi 
muicem coiccnt eite igitur.k.ronalis aut medialis piout fucrit.g.cx oirTinitionc fu 
perficici ronalis aut .21 . 3n boc eni trn oiffcrt bimediale piimu a bimcdiale fecun 
do cp poitioncs bimedialis piimi in qnas fcom fuu terminu oiutdit continct fuo/ 
ftciem ronalem:bimcdialis aute fcoi mcdiale.Si igitur.a.fuerit bimediale piimu? 
ent fupficies.g.ronalis quare s.k.« io.b.bimedialc piimu p. 3 . .06 fi a fuerit bi 
rncdiale fcom crit fuperficies.g.mcdi9lis ob boc ctia.s.k.b.itaq^ p. 3 2.erit bime/ 
diale fcom qre coftat .ppofitu. 3de aliter ad linca ronalc^.cd.pofira.a.altcrurro 
bimedialm s.b.fibi m longitudine vcl poteutia coicante: adiungatur fupficies c e 

cqualisquadrato.a.s.f.g.qualisquadrato.b.cruiitqsfupficies.c.e.s.f.g.comu/ 
mcantes eo q> quadrata cisequalia que fut quadrata lineai/.a.s.b.fuiit coicantia 
cxypotbefixjcpiimaigitur fextis.io.bm 9 :neccffccftouas Imcas.o. c.i c g cffe 
ccncantcs:s quia fi.a.fuerit bimcdiale pnmn linea.d.e.crit binomium fcom o<< 
idcoq5.c.g.etiam binomium fc6m per piemiffam qnare latus tctragonicu fupcrfi/ 
«ei.f.g-.s ipfum eft bbimedtale piimu pcr.49.at vero fi.a.fuerit bimcdiale fecudij 
lmea.d.e.crit binomium tertium per. 5 <j.ideo.e.g.e binomium tertium p piemif/ 
famqnareslat 9 tetragonicu fupficiei.f.g.ipfue.b.bimedia!cfcDmpcr.{o. 2)l3ani 
fcftueigitveitecqd^ponif. ljb:opofttio .«. 

I 2 



3 


b 







! 



3 




s a 


b 








LIBER 

flXHbnis Hnca coicane linee mai02i:eft linea mafc». 

' !G£t bec quoq^ vcritatcm babct.fi vtrolibct modo coicans fuerir a!i 
jqua linca lincc maio:i.£fto cni.a-linca maio:.b. vcro quouis ftbicd 
I mnnicans modo:ctit.b.iiiK9 maioz.Diuifa nanq5.a.i eas pouiocs 
^erquibusconftatper.jj.qucfunt.c.-z.d.-z.b. frn carum ( ppo:tione 
in.cc.f.poTitoq, cp.g.fit fnpcrficics cotenta fub.cz.d.z.k. fub.c.-z. f.z.m.z. b. 
ftntquadrata.c.t.d.at.n.T.l.e-z.f.CTit.m.ad.b.fkut.n.ad.l.perfcrJamrJte.is.fe/ 
*ti i coniunctim.m.i.b.ad.b-.ficut.n.ad.l.ad.l.tpcrmutatim.m.c.b.ad.n. i.l. 
ficut.b.ad.l.q:crgo.b.c6icauu.l.eocp.d.c6icatcum,f.aut in longitudine aut in 
potcntia .put.a.coicat cu.b.fequit ut ainbo quadrata.m.c.b.pariter acccpta com 
mnniccnt cii ambobns quadratis.n.i.l.pa:iter acccptis.cu itaqj ouo p:ima pari 
icr accepta fint rationalc per. jj.erunt quoq^ % ouo poftrema ronale p oiftimrio/ 
nem.at quia fupcrficiem.k.neceffe cft clle mcdiale ficut.g. qc.ai .lincafq^. c.T.f. 
effeincomenfurabilcs in potentia ficut.cz.d.cr. io.concluditur g. 3 3 .linea. b.elTc 
linea quc oicitur maio: qo" cft p:opofttu.G3dc ahtcr. cum fit .a.lmca maio: cm.b 
coicat fiuc boc fuerit m longitudine fiuc in potcntia:fumpta linea ronali quc fit.c. 
d.adiuugatur furiicics ci.c.e.cqualis quadrato lince.a. tcindc .f.g. cqualis qna/ 
drato linee.b.cu igit qdrata dua?lmca?.a .t.b.fint coicatia etypotbcii:crit fupfi 
cies.c.ccoicas fupcrficici.f.g.ioqj p pritna fcjcti 1. io.b*linca.d.e.linec.cg.t logi 
tudie.atq:ex. y7.lmca.d.c.ebinomiucirtncritquoq5p.eo.lica.c.g.binomiuqr/ 

tutigitet.fi.linca.b.potcsifuEncic.fg.clincaniaio:. Kbzopofttio «3- 
71 5 qtta Itnea lincc potenti in rationale 1 mediale piimmcer 
ipla m rationale 1 mcdiale potcns cflc compiobatur. 
Glieruquoqjcftcpqualitcrcuq^lincaaliquafitcoicans potcnti in 
l rationale z medtaie fiue in longitudinc fiuc in potcntia tantum ipfa 
Jjetia eft potcns in ronale 1 mcdiale:q6 ficut p:ius ouplici modo p:o/ 
baturmccclTc cftautequamuad p:imii moduvtficiitouclmce.c.-z.d.fmtipo/ 
tcntia incomefurabiles.ita fint ctia.ci.f .£. 10. £r queadmodu. g.cft fuperficies 
ronalisma talc ptincnt po:iioncs linec potcntis in ronalc 1 mediale. ita ctia per 
©iffinirione fi t.k.r6nalis « qucadmodu ouo quadrata .m.r;b.pariter accepta ffit 
medialc:ficut etia pcr. ai .ouo quadrata.n.?.l.p.iter acccpta crunt mcdiale :igit es. 
94-b.e potes i ronalc z mcdialcquatfi aut ad fcom modu nccclTc c cc &. ut Itnea 
d.c.fit binottifi quintfi.io 5 1 p.eo.ltnca.c.g.c binomifi quintu: c.uare p.ya.lat 
tctragonicu fupficiei.f.g.qf5 cft.b.crit linca potcns in ronalc 1 mcdialr.quod c ,p/ 
pofitum. . Hbiopofitio., ;*. 

njfllbnis linea comunieane potenti 1 ono medialtaupla quo 
q5 potens eft in ouo mcdialia. 

' Gbecquoq^manentibuseifdcmoirpofittone 1 pouttonibus co ou 
I plici modoquop:emilTe:p:obabiturvcraclTe fiuc in longitudine 
j fjue in potcntia comuntcct linca.b.cu linca.a .potcti in ouo mcdia/ 
lia.Ouantfi cni ad p:imu argumerationis modfi crit pcr.3 j.fuperficics.g.mcdi/ 
alis.ideoq^c.k.pcr.ii.cumcoiccteiiouoquoq^quadrata.m.t.b.paritcracccpta 
erfit e% cade.3 j.mcdialc:idecq5 ouo.n.s.l.parircr accepta p-ai .at q: ouo quadra 
ta .m.t.b.pariter accepta cr pdicta. 3 j.funt tncomenfurabile cuplo fuperfictci. g. 
eqr fj.io.? noftraspofiti6e8Vtcuoquoq5.l.?.n.p.itCTacccptafint icomefurabtle 






ouplo fupcrficiei.k.cum itaq^ fiiit.e.c.f.incomcnfurabiks in porcntia qucadmo6 
c.t.d.erit cr.jf .liuca.b.potens in ouo medialia.quautu aut ad fcom folitc argu ' 
meutationis modu erit g. j9.d.c.binoiniu fcjctu. idcoqj etia g.tfo.linca .c. g. crit 

binomiu fextum quarc pcr. 5 5 -latu3 tetragouicu fuaficiei. f.g . qo clt.b.erit potcus 
ln ouo medialia quod eft piopofitu. ^zopofitto .6j. 

3J oue fupcrficies quay altera ronalis altera Vero media 
Us coiunsannmlinea poteus in tota lupcrficiem tiide co/ 
pofiti aliqua erit quatuo: irrationalium linear vtdelicet 
aut binomium aut ounediale pzimanHHit Imeamaio j aut 
potesin rationaletmediale: 
GUtfi.a.fit ronalisfuaficiescb.medialiseritlineapotcnsin tota.a. b.aliqua 
pjcmiffa^quattioi.Sit cni linea.cd.ronalis cui adiuugaf . c.c. cqualis .a.i.f.g. 
equalis.b.eritcpects.linea.d.c.ronalisiulongirudinecoicans linec.c. d. ronali 
pofitc z cr.io.linea.cg.ronalis in potentia tm i cr. ^o.iinea.d.g. binomiu cuiuf 
cum altera binomialiu po:tionu que eft.d.e .fit ronalis in longitudinc coicans li/ 
ncc ronaii pofitc que eft.c.d.ipfu crtt er oiltinitionc fpecicr; binomij aut binomi 
um piimu aut fcom aut quartu aut quwtu:tertiu aiit aut fertu no erit er oiffiniti 
onc.itaqj cx.48.49-5" .«■ jzdinea potcns in tota.c.g .que e cqualis ouabus fimul 
a.?.b.erit aut binomtu aut bimcdialc p:imu:aut linea maio: aut potcns in rona/ 
Ic 1 mcdialejqb eft p2opofitu:bimediale vcro fecudu aut potens in ouo medialia 
non erit:qm fi effct bimedialc fecundunuelTct cr. joMinea.d .g.binomiu terttum 
q6 fi effct potens in ouo medialia ellet cr. s 9-linea.d.g.binomtu fcxtu. fed iicutr 
erat:vndepatetuoftraintentio. IJbJopolitio .66. 

ffflm coniuucte fuerint oue fuperficies mediales incomen 
1 lurabtles linea potens in totam fupficie alterutra erit oua 
ru irronaliu linearum videlicet aut btmedialefecundum 
|aut potens in ouo medialia. 

JGUt fi.a.cb.fint ouc fugficies mcdialcs inc6mcnfurabiles.fi cnim 
cent comenfurabtles elTet copofita er cis mcdialis cr-9.c2t quare % linea potens 
in ea mcdialis cr. 1 0. oico ep linca potens in copoftta er ambabus erit aut bimcdi 
alefctfmautpotensin ouomcdialia. Sitquidelinea.c.d. r6nali3:fupficics vero 
fibi adiuncta.c.cequalis.a. 1 fupficies.f.g.equalis.b.critcp er.Jolinca.d.c fttr 
quoq5 linea.cg.ronalis in potentia triucuqj fugficies.ee. cf.g.fint incomcnfura 
biles ficut.a.c.b.cis cqualcs.ideoqj linec.d.ce.cg.cj: pjima fcyti ?.to.buius:erit 
ecjo.linca.d.g.binomiu cuiuscu vtraqj binomialiu ponionii que fuut.d. c.v.e. 
g-fit incomenfurabilis linee ronali pofite que e.c.d.ipfu crit er oiffinitionc bino/ 
miu tcrtiu aut fertu:linea ergo potcs i tota.c.g.eqlem ppofite er.a.cb.erit er. $- o 
i. ?j-aut bimediale fecundum aut potens in ouo medialia :quod cft p:opofituiii. 

1^)20pofltiO .67. 

ajPmpofitafueritlineabinomialis cetereq? irrationalcs 

»1 fequenteseammon eriteay aliqua fub termino alterius. 

GUult qp (i linca aliqua ut .a.fuerit aliqua cr fejc pbabitis liuets ir/ 

rationalibus que funt binomiu c cius quinq5 comitcs ipfa non erit 

aliqua aliaj;. Si enim quadrato eius equalis fugfkics adiugatur ad 

hnea ronalem.b.c.quc fit.b.d.fiquidem.a.fuerit binomiumierit ey.5-4.lmca.cdi 








LIBER 

binomiu pjtmutquc fi fuerit bimediale p:imu:erit.c.d.ejc.<5.binomiu fcom:fi aut 
buiiedialcfcDin:crit.c.d.c)c.f6binomiufCTtiu.£tfilmcamaio:cnt.c.d.cj:.57.bi 
nomi3 quarm.at fi potcns in ronale i mcdiale.aut fi potcns in ouo mcdiaiia.crit 
cr.58<.d.binomiuquintu:autcx.59.Wiiomiufe)ctu:ctq!impofribiIccft.c.d.ciTc 
fimul fub oiuerfis fpccicb 9 binomioy a oifTinittoe c ipoffibile.a.eflc fimul fub oi/ 
ncrfisfpcciebusfctpbabitay Imca? irrationaliu:Dc linea aut mcdiali coftarcp 
ipfa quoqj no fit aliqua fer. fcquentiii videlicet nccp binomiu neqj altqtia ct ipfius 
comitibua.cu eni furjficies cqualis quadrato lincc mcdialis adiungitur ad liticam 
rationatr.latns cius fcom eft ronale in potcntia cy.iocum afit fupcrncics cqualis 
quadratobinomi) aut alicuius fuaz> comitu:latus cius fcom eft binomiu aut pmii 
aut fcbm % fic oe ceteris per. y 4.?. j-ca fequercs quarc ipfu cft irra tionale ct in lon 
gitudinc 1 in potcntia.pcr.30.ium igitur ftt impofftbiie cande linea cffc ronalcm 
in porcntia 1 irrationalcm ta in longitudine cJ5 tn potentiamimitu impoflibile li/ 
neam mcdialem effe bimcdialem aut aliqua ejc quinqj fuis comitibus. 
Ijbiopolitio -6S. 
1$ liueabelinca abfcindaturfuerintqjambepotctialitcr 
tantu rattonalee c6icantcs:reliqua Imca erit irrationalis 

Oicetorqjrefiduam. 

GStt iinea.b.c.abfcifa ejca.b.fintq^ ambe ronalcs tantu potcntia 
l| coicantes quales oocuit inucnire. w.?. 18.1 lec funt quc coponunc 
binomiu.oico cp.a.c.rdiqua eft irronalis z ipfa vocatur rcfiduum.coftat cnim ej: 
7. fc6i cp quadrata ouay ttneay.a.b.i.b.c.pitcr acccpta quc coponunt fupcrficicm 
ronalcm et ypotbefi % oifTinitione ronalts fugficiei f.ji.buius trn funt quantu ou/ 
plum fnperftcici.a.b.^.b.c.cu quadrato.a.c.cuq^ ejc 19.f11pcrficica.a-b .i.b. c.fit 
medi2lis.idcoq5'Z ouplumci'medialcper.2i.ti6. irronalcper ij).fequif vtam/ 
bo quadrata ouay linea^.a.b.t.b.cpitcr aecepta fmt lncomenfurabtlc onpto fu/ 
pcrrtcici vnius ea? in altera:quare per.9.c quadrato linee.a.c. cf. oirV.nirionc igif 
quadratu linee.a.c.e irronale cii ipfu fit incomenfurabilc ronali vidclicet onobus 
quadratis oua? Imeay.a.b.-j.b.c.fjiter acceptismaqj ctia ey oifTinitionc linca.a. 
c.e irronalis quod cft pjopo:itu.£j:emplariter in figura cfto futjficies.e.g.cqualis 
ouobus quadratis oua?linca?.a.b.«.b.c.tJitcr acccpris:critqs ronalis. itemq3 fit 
fupficics.d.f.equafis ouplo fupficici vnius in altcraxriKp ejc. w.medialis % ent ej: 
y.fcoi fupficies.f.g.cqualis qdrato lince.a.c.cuq^ fuDficies.c.g.fit incomenfurabi 
lis furjficici.d.f.eade ertt ejc.o.inc6mcnfurabilis.f.g.quare.f.g.irr6nalis z eius te 
tragonkiilatus.a.c. 1Jfc:opofitio .«9. 

fl 3f fuerit linea ©elinea abfcifa faerirxtf ambe mediales po 

tentialiter tantu coicantcs fuperftctemq? ronale cottnetes 

reliq lineaerttirrdnalisoicetqjreliduummedialepmti. 

G5itl nea.b.c.abfcifaejclinca.a.b. fintcp ambe quales ^ppoiiitur 
Jjquas ejc.24.c25 .reperics 1 bec funt quc coiungut bimcdiale p:imu. 
oico cj> rcliqua linca.a.c.crit irronalis s ipfa oicif refiduu mediale pjimu:£rut cni 
ambo earum quadrata paritcr acccpta mcdtale:onplu vcro fupficici vnius iivalte/ 
ram ronalc. itacp ambo quadrata piter acccpta incomcnfurabtlc funt ouplo fupcv 
ficiei vni'' t altera q: itaq? abo quadrata Ettcr accepta copcjnutif ejc ouplo fup/iciei 
vni 9 i altera z qdrato linee.a.c.fequif c». 9.ut qdratu lince.a .c. fit incomcfurabtlc 







t i' 




enplo fopci ficici vnt 9 in altera quarc tam ipfu quadratn cfe latus ci 9 .a.c. c irrotia 
k g otfinitionc pftat ergo ^ppofitu £26 queadmodu i pmiffa fi libet potcs oecla/ 
rarc excplariter i fijura Gaiitcr ide fic:fit Iinca.d.c.r6nali3 i logitudineiari adiu 
gatur fupficics.d.f.equaliS ouplo fugficici Vnius in altcra i fupfieics.g .c.cqualis 
ambobus quadratis paritcr acceptis.eritq^ p_.7.fc6i fupficics.f.g.equalis quadra 
to linec.a.c.cii itaq5.p.ypotbcfi fit fuEficics.c.g.inedialis erit p.2o-liuca.d.g.ra 
tionalis in potcntia tm. £u vero fit fupficies. cb.ronalis p ypotbefim crit c%. i<s. 
linca.d.b.r6nslistnlongitudiiie:itaq5per.es.linea.g.b.cftrcfiduiiiirratioiialis 
tdeoq^ p.is.aocftructioncpfitisfupcrficies.f.g.eftirronalis-zeius latus tetra/ 
gonicum quod cft.a.c.cft trrationale.£t fic patet p:opofitnm. 
1|b:opofitio .70. 
3f Hnea ©e Iinea lecetur fuertntq5 ambe mediales poten/ 
ualirer tarttu comunicatescotinentcsq^ mediak:rcltqua 
lirtea erit irronalis oicetqi reftduu medialc fecurtdum. 
GSitbicquoq^linca.b.cabfcifacxlinca.a.b.vtcrq^autca.b.c.b; 
c.untvtp:oponitnmpfep.2<s.reperiuiitsfunt quc coponuntbi/ 
medialc lic6m:oico cp linca reliqua que cft.a.c.e irronalis z ipfa oicif refiduu me/ 
dtale fcom.Sunt cni exypotbefi c.zi.ambo quadrata ouay lineay.a.b.j.b.cpa 
riter accepta mcdiale.fttr quoq^ onplu fupcrficici vnius in alrera emediale.£um 
iraqs ex.22.mcdialc no oifferat a medialt nifi i irronali:crit quadrarum lince.a.c 
in qno p.^.fttii ouo quadrata.a.b.^.b.c.paritcraccepta excedunt ouplu fupficiei 
Vniusin altcrdirronalequarei linea.a.c.irronalis. ^iguraliquoq^exemplopa/ 
tefieri pot iftud ut p:i 9 .Si cni fit.c.g.eqlis ambob" quadratis.a.b.c.b.c.fif t.d.f 
bnplo fupficici Vnius in altera erir.f.g.p.7.fc6i cqualis quadrato. a.c. que cum fit 
Diffcrentia fupficici vnius medialis.cg.ad ftipficie mcdialcd.f.ipfa cft irrationa 
lis per.22' i ei 9 tetragoicu lat 9 .a.c.irr6nale.G3de aliter Sit linca.d.e.roalis cui 
adinngat fupficics.d.f.equalis ouplo fupficici vnius in alrcrd z. e.g. equalis am / 
bobus quadratis piter acccptis.eritqj g.7.fc6i.f.g.cqualis quadrato.a .c. q: vcto 
e.g.cft mcdialis crit ex.ao.linea.d.g.in potcntia tm ronalfe. Silr qn0q5.cu.cb. 
fit medtalis erit ex eade Iinea.d.b.r6nalis:fifr in potcntia tm. £t qm. a.b.t.b. c 
fnnt incomenfnrabilcs in longitudine idcoqj quadrattl vtriufq^ ca 22 fupficiei vni? 
in altcra: z pwprer boc ambo quadrata paritcr acccpta cum ipfa cx ypotbcfi com 
municetit.fnt quoq; incomenfurabtles ouplo fupficiei vnius in alterd :fcquit vt.e 
g.fitincomcnfurabilis.b.e.qua.ppterlinca.d.g.linec.d.b.tgifcx.es-linea.g.b.e 
refiduu 1 irronalis.idcoq^ per.ns.a oeftructione pntis fupficies.f.g.irrationalfe. 
«einslatustctragonicu.a.cirronale, 1(b:opofitio .71. 

3f linea oe linea oerrabaf fiieritq; ambe potentialiter itu 
«Jjjcdmenfurabiles cotinentefbj mediale quadrataqs earum 
abo fjiter accepta ronaleretiqua linea ertt irronalis voca 
biturq5minoJ.CSifint.a.b.i.b.c qles^pponit quep.27.rcpi/ 
Juntur i pponut knca maio:e erit linca.a.cirronalfe z ipfa cft q oi/ 
eit liuea mino:: q6 qui pmiffa ftrmiter tcnnerit pofitionefqs Oiligcntcr attcnderit 
enplici modo vt antccedentes facilc p:obab(t. 





1{b:opofitio 7% 



1 4 










LTBER 

3f linea belinea oemat' faerintq, ambe potcntialitcr ico/ 
mmlurabilesfupficiemq5 ronaie cdttnentesquadrataqs 
earum ambo pariter accepta medialclinca reltqua crit ir 
ratioalis ©iceturqj iucta cu ronali coponcs totii medtale 
^JCE t boc quoq^ nefcire no poc qui p:io:a nouerit nifi a mcmo:ia cp 
cidcruit: qm pofitia rmcis.a.b.-z.b.coc qualtbet,pponif que i paS.reperiunf li/ 
nca potete in ronalc i mcdialc coponunnftt.a.c.reliqua irronalis ipfa oicitur que 
iuncta cu ronali coponit totu mediale. 1gb:opofitio. 75 • 

ji % linea a Unea oetrabaf faerintq^ ambe potenttaliter m/ 
comeniiirabileslupncieqjmedialeconnnentesquadrata 
qj ear ambo giter accepta mcdialc ouplo fuperftcici alte 
rius tn altcram iucomenfurabile : reliqna Unca erit irra/ 
J tionalis oiceturqj iuncta cn medialt facies totu mediale: 
GSiltt etia bica.b.i.b.cquales pponitur quc g.2 9 .rejnunf 1 ipfi fnnt que con» 
ponunt linea potente in ouo mcdialia eritq^.a.c.rcliqua irronalis oicta quc run/ 
cta cu mediali pponit totu mcdialc qo vt facile p 2cmi(Ta ouplici argumcntatione 
concludas ,pcc(Yu.7o.monco oiligcntcr attcndas:e aut picmittcdu bic ans uccef/ 
fanumadocmoftrationesfeqnctiuqoeypofitu. 
C Si faerint quattto: quantitates oiffercria p:ime qna^r ad lcoam Itt 
licut tertie ad quartam • crit pcrmutatim otffcrentta pnme ad temam 
ftcut fecundcad quarta.G3ntelligendu cft boc oe quan watibus codc modo 
rclatis vt cu piima maio: fucrit fccunda fic quocfi tertia maio: quarta cii vcro mi/ 
no: 1 mino:.£jxpli sra fit oria.a.ad.b.ficut.cad.d.oico q> crit.a .ad.c.fic.b. ad 
d.e cni p. bac cocm ai pceptioue of ta cjctrcmo? copofiis cc oirTerentrjs tpfoy ad 
rncdiaofia.a.ad.c.ppofitaccxcaquce.a.ad.b.tcaqueeft.b.ad.catcaquccft 

b.ad.d.p cande pccptione ppouif c% ea que e.b.ad.c? ea quc e.cad.d.t quia c% 
ypotbefi e ofia.a.ad.b.ficut.cad.d.ca vero que crt.b.ad.ccft cois fcqutr e cocm 
fciamvtfit.a.ad.cficut.b.ad.d.qDe.ppofitu. IJbJOpolttio .74. 

^Ualineaniftvnatantu reltduo contunsi poteltvt lmf 

ambe lub tcrmino carum quc ertmt ante leparationem 

G 6« linca.a.creiidunj que fucrit rcliqua abfcifa.b.c.cca.b.crunt 

q^.a.b.i.b.cronales tm potentia coicantcs cx.6S.oico q> ipfa.a.c 

nulli alij lince qj.b.cpotcrit pponi fub bac oiffinitione ncqj maioa 

b c neq5miiio:i.b.c.6iautp6tcomponafcu5.cd.indfntmaionautmino:i qj 

cd.crnntq^obbocambclincc.a.d^.d.cronalisinpotentiatmcoicatesiqKrso 

e%.r.(c6\ qdrara ambay lincap.a.b.-cb.cpucr acccpta c^cdut ouplu fupcrficicj 

vni" eas i altcra i qdrato.a.cfitr quoq^ qdrata ouaf linca^.a.d.s.d.cp.itcr acce 

pta cjcccdut onplii fupficici vni 9 ipa? i altera i qdrato ciufde.a.cfequif c% pmtffo 

atecedetc Vt ofia ouoy qdratop ona? linca^.a.b.^.b.cpiter accepta ad ouo qua 

drata ouajzlinea^a.d.s.d.cprtcr acccpta fit ficut ofia oupli fupcrficici.a. b.i.b. 

cad ouplu fupficici.a.d.in.d.ccum aut fmt ono quadrata viriufq^ fectionis pa / 

riter acccpta ronale cc ypotbcfuouplu vcro fupjiicici vnius in altcra po:tionu vtn/ 

ufq^ fcctionis mcdialc pcr ypotbc.-r. 19-crit vna 1 eadc of ia ouay fupcrftcicy rona 

liu 1 oua? mcdialiu-.boc aut c impoffibilc:r6alcs cni fuperficies 116 oificrant nifi 

tn ronalt fuperficic: vt P5 per oirTinjtionc ronalis fupcrficici 1 per.9 mcdtalis aut 




!!' 




no oiffert 8 inediati nifi ! ronali fupetficie per.22. boc aut fit manifcftius m figu/ 
ra fic.Sit eui fup.ftcics.e.f.9diunct3 9d linea.c.g.equalis ambob^quadratis ouar 
lineaj/.a.b.t.b.c.pariter acceptis.at.g.b.fit c qualis ouplo fuperficiei Vnf in al/ 
tcramtq^.f.b.equalis quadrato Iwee.a.c.er.r.fcdufirr quoq? fit.k.l.adinncta ad 
Iinea.k.m.equ3lisouobu8quadr3tisoua^lineay.9.d.t.d.c.rnter3cceptis s.m. 
n.fit equalis ouplo fupficiei vnius in 3ltera:eritq5 ex.7 .ic6i.n.l. equatis qusdraro 
linee.g.cidcoqj ctiam equalis.b.f .eft fitaq^ oiffercntia.e.f.sd.g.b.ficut .k.Lad 
m.'n.qu9rc p afis p:emiffii erit pmuratim oifrcre'tia.e.f.3d.k.l.c fpfa fit.p ficut.g 
b.ad.m.n.7 qi vtraqj oua^lineay.e.f.^.k.l.eft ronalis vtraq5 vero oua^ lines^ 
g.b.«.m.n.mcdtalis:fcquir impoffibilevidelicet fupcrficiem p. effe rstionalem t 
irrationslem. i 

1£>20pofltiO .75*. 

jl cEfla linea nift vna tm relidno mediali pjtmo coiungi pot 
vt fintfambo fub termmo eay qtie crat ante feparationem 
Gbcc quoq^ .pbabit funili mo.Siut cni i vtraq^ fcctionc 3mbo qua 
| dr«a pariter accepts mcdialc:ouplu Vcro fugficiei vnius iu altcram 
— jrouale % q: vt p:ius cadc e oiffcrciitia quadrato^ vnius fectionis ad 
quadrata altcnus que e oupli fuperficiei vnius ad ouplu fupficiei alterius crit vna 
i cadem fnperf icics oiffcrcwia onarum mcdialui % ouarnm rationalium quod eft 
impolubilc. 

Ifbiopofitio .75. 
HUa linca rcfiduo medialt fecfido comfj gibilis crt ut fub 
termino ca^z fiant mfi tm que ab ea ante lcparata erat. 
(ISir cni.a.c.rcfiduu mcdtalc fcom quc fuit refidus abfcifa.b.c.qr.a 
b.crnntcrj cy.7o.oue lince.a.b.f.b.c.medialcs potcntia titi coicates 

i|m:dialc cotinenrcs oico cp ipfa^a.c.nulli lincc alij q5.cb.fub bac oif 

finitioue coniungipot.Sin autem coniungatur linec.c.d.fitq^ linea.c.f. rationa/ 
lis iu longitudine ad qua ccnungatur fuDficies.c.b.cqualis quadratis oua^j linea/ 
rum.a.b.i.b.c.pariter acccptis «.e.k.eqlis quadrarfe linea^.a.d.c.d.c. pariter 
acccptisa qua abfcindatur.e.g.equalisqusdrato lince.a.c.critq^ pcr. 7 .fc6i fupcr 

ficies.l.b.cqualis ouplo fupcrficiei.a.b.t .b.c.c.l.k.pcr cande ftt cqualis onplo fu 
perficiei.a.d.in.d.c.q: ergo quadrata amba? parctu p:imc feaionis funt media 
le z onplun ctia fuperficici mediale incomcnfurabile ouobus quadratis piter acce 
ptis: que ncfcirc otligcns geometra no porcrit qui pofitioncs oiligenter feruauerit 
crit fuperficies.e.b.medialis cu tpfa fit cqualis ouobus qoadratis gtter acccptis 1 
fapcrficies.l.b.incdialis cu ipfa ftt cqualis ouplo fupficiei vnius i altera: per.20. 
igitur e vrraq^ oua? linea^f.b.f.g.b.ronalis in po*tentia tm. t q: vna eft incotn 
mcnfurabilis aUj:eo ep fijpficics.e.b.eft incomenfurabilis fupficiei.b.l. ficut ouo 
quadrata ouplo fuperfuiei:erit ejc.tfs.linea.f.g.rcfiduti quare Unca.f.g.quecft re/ 
fiduum componitur linee.g.b.vt fiiu ambe fub termino earum qne erant ante fe/ 
parstionem.Silr quoq^ p:ob3bis csndem.f.g.cu^ linea.g.k.componi eade con/ 
ditione mediantibus fupcrficiebus.e.k.c.k.l.qu3runi p:ima cft equaUs quadra/ 
tis onarum lincaru5.9.d.?.d.c.paritcr acccptis: % fecunda ouplo fuperficici vni/ 
ns in alteratmquod eft impolTibile pcr.74.s bic tnodus oemonftrationis poteft 
tffc communis.r j.ceterifq5 quatuoj feqoentibus earn,! 




R 



LIBER 



4 







Ifriopolitio .78. 
W\te Unea rmnoii coiungibiUs eft Vt fub termino fuo fiat 
nifi tatu que antc libi abtcifionc coniungcbatur. 
G3ntclli3C quid fit linca mino::qtf ft oblitus es cofule .xi .% fmc ob/ 
tectionepcludes .ppofitu. Siqucadmodiii.74.,pcefl'eri8:porcrifq5 
fiIibucritqucadmod r 'i.7e.^cedcre. 1jb:opofttio .78. 
3Jnea que coniuncta cum rationali tacit totum mediale 
nili vni tantu componi nd poteft vt fub eay tcrmmo fiant. 
CQuid fit linca que p:oponitur cjc.72.0idicifti.cum crgo oc ca vo/ 
luerisquodperbanc.78.0icimrocmonftrarc a,pcc!Tii-7f.in quoq; 
116 ocuias.fed ficut i.7<sft tc oclcctauent igeto oucc poteris .pccdere 

1(b:opolitio .79. 
i^nee queinnctacumedialifacutotum mediale niftvna 
linea tantum inngi ncquit vt litb earum termino ftant que 
erantantefeparationem. Gbutusluiccque iuncracu^ mediali 
coponit totu medialc mgfa e.7?.oc q qb bcc.r^.cniiciat flc pcludcre 
« cogeris ficut oe rcfiduo mcdiati fcoo qo g.Ts.cnnnciatu cft pcluiiiTi. 
Glfbofiris ouabus Uneis altera rationali altera Vero reiiduo.adtccta 
qiipft reliduolineaaliqua fm eius tcrminum !i fijertttotitm inde co/ 
pbfitumpotentiuslincaadicctainquadratolince ipfi toti coicantis 
tn longitudine:mcritq5 idc totu polttc ronalt Itnce in longimdtnc co/ 
menfurabile qb pofttu crat otcetur reidtiu pJimu .£>t vcrq itnea ad/ 
icctapoftterationalicoicamlongitudine&icet reliduu lcom. /Qolt 
fueritvtraqjronalipofitcin longmtdine iucomcnfurabilie vocabic 
reftduu terriu.Si fuertt tota Unea potenrio: adiecta augmcto quadra 
tilineeiplitotiincomenlurabiliseadcqitota polite rcnali cotcctin 
longitudine nuncupabitur reliduu quartu :8>i vero linea adtccta po/ 
fite ronali coicet in longitudtne vocabit' reftdnii qutntu. £}6 It tuerit 
Vtraq^ poftte ronali i longitudine icomcnfurabilis appellabtt rchcsu ' 
nmrejctum. l£>:opolirio .so. 

~ =r£ftdnu pjimuinncftigare.Gab iimcntioncomniu5 fpecicm 

Jrcfidui facilc nos abfoluat inucntio p o:dinc omniu fpcciqz bmomij 

, hlam i qualibet fpccic biomioy fi mino: po:tio abfcindaf oc maio:i 

t" f^^P nca r£UC ! u9 ** rcnc!uu ulte f P" vt P5 c * cirfinitiomb 9 tam binomi 
flssail o:u q5 rcfiduoy:,pp:iis tfi inucntionibus rcfiduo? ififtcntcs fic in/ 
quiram" p:imu.6tt linea.a.ronalis pofiia cui comefurabitis i logitudic.fumaf .b. 
c.ritq5.c.namCT 9 quadratu6 0iuifusin.f.nonquadratum.iinquadratum.g.fitq5 
^ipouio qdratilince.b.cad qdratu linee.c.d.ficut.c.ad.f.eritq5p,vltimaparte. 
cd.ronalis i poreria tm.cu ttaq? fit.c.b.potetio:.c.d.i qdrato lincc fibi cotcatis t 
logitudine qo' P5 ficut t qcplanatioe binomij pmi pftat qc oiffitioe linca.b.d.ec re 
uduup:imii. 1ft>:opofltio .81. 

/£liduu fc6m patefacere.GSd bndu rcfiduu fcpm fir.a.lica ro 
nalis pofita:eiq5 coicas in logitudic.c.d.i fit qdratu.c.d ad qdratu 
b.c.ficut.f.ad.e.eritq5.b.d.rcfiduu fcdm c* oione:fi oubitas aut po/ 
fitas no fcraas j-potbefcs aut binomij fecudi repetitione indiges. 







! X 

1(b:opofitio .si. 
1 £!idtmm terttum pericrutari. 

| GKcftduum tcrtiuin fic babcmrtpofita vt pjtus.a.ronali numcroq; 
c.quadrato oiuifo in.f.iion quadratum.«.g.quadratum:affumpto/ 
q^.b.numero pjimo ac q::.adratuni tincc.a.ad quadrarii linee.b.cfi 
cut.b.ad.c.fitqtiadratulince.b.c.adquadratiilince.c.d.ficut.c.ad 
f. critq, ej: oiffinitione: oe quo fi fcciitas cofule binomiu tcrttii: liuca.d.b.vefidmT 
tcrtium. l|b:opofttio .S3. 

/Sftdunm qnartum muenirc. 

Cbic ficut in inucntione refidui pjimi ftt liuea.b.c/communicans (i 
nce.a.rationali pofitemnmerus autctn.e.quadratus fit eiuifus i.f. 
«.g.quoium fit Vterq^ non quadratus-.fitq; quadratum linec.b.cacl 
iJquadratumliiiec.d.c.ficut.c.ad.f.«fcicse):oiffinftioficlincam.d.b 
effc rcfiduum quartum.fi coium quc in inucntione binomij quarti otdiceras obli/ 
rusnonfucris. 'Jfbzopofitio .S4. 

r/£ftduum qnintum oemonftrare. 
C£um refiduum quintum inuenire libucrit erit Iinea\c.d. comuni/ 
I cans lincc.a.rationali pofite in longitndine ficut crat in inquifitionc 
fccundi:« erit quadratus numerus.e.ciuifus in.f.«.e.quo5U5 ncuter 
jquadratus ficut in piemiffa:« erit quadratum linee.c.d.ad quadra / 
tum.b.c.ficut.f.ad.e.ex quibus s oiffinitionc cocludcrc licct:babita furf icienti 110/ 
ticia binomij quinti:Iineam.d.b.effe rcfiduum quintum. 

Ifcttopofttio .s^. 
/£ftduu lejctumftem um p:efto ftt reperirc. 
CKcfiduum fejtum fic rcpcritur.erit ut piius linea.a;r6iiaIispofita 
«.c.ntrmer 9 quadrat" oiutf 9 tn.f.«.g.non quadratos « erit.b.nume 
rus piimus « quadratum linee.a.ad quadratiT linee.'cb.ficut.b.ad 
e.3t vero quadratii.b.cad quadratu.c.d.ut.e.ad.f.eritq5 ejc oiffi 
nitione linea.d.b.refidunm fcxtum.cui fi no planc animus tuus affenferit ejcerce/ 
ri te conuenit in inuentione binomij ferri. 

1fc>:opofitio .$6. 
% fuerit fugficies linea ronali atcK reftduo p:imo cotenta 
fatua eius tetragonicu neceffe eft efle refiduum; 
CSit fupficies.a.ccoteta linca ronali.a.b.« rcfiduo piitno .b.c.ci 
co latus tetragontcii fupficici.a.cee refiduu: adiungat cni ad linca 
b.c.Iinea.c.d.fitq5 tlla cnius oeiractione.b.cfuit refiduii piimum. 
£rttq5 vf. oione.b.d.ronalis ejc longitudinc «.c.d.in potentia tttvb.d.qitoq5 erit 
potetioi.d.ci qdrato lince fecii coicantis i logitndine.oiuidat igif.d.cp eqlia i.e 
« tota.b.d.oiuidar ea pditione in.f.cp intcr.b.f.«.f.d.fit.e.d.medio loco .ppotfi 
onalis-.eritq^ qc fa>a tjtc. 1 j.b.f.coicans in logitudinc.f .d.rj.9.igit vtraq^ cay coi/ 
cat cri tota linea.b.d.qrep. oiffinitioneambc funt ronalcs in longitudine: oucanf 
itaq^ Iinec.f.g.c.b.«.c.k.equidiftantes .a.b.eritq^ p. iy.vtraq5 ouay fugficic^.a 
f.«.g.d.ronalis:fit quadrattl ergo.l.m.eqle fupficiei.a.f. eritq^ ronalc « lat 9 cius 
rcnale i potecia.intra illud qdrattT .ptracta oianogali Iiuea.l.m. ocfcribat qdra/ 
tum.l.n.equalf uipcrficici.g.d.critq5ipuimr6nale« ci latu3 ronale in potcntia 





9 




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LIBER 



\ 


11 




\ 



p:otrabantur aut oue liuee.m.p .q.n.vcl equidiftater latcribus totalis quadrati. 
oico ergo quadratum.p.r.eiTe equale fuperficiei.a.c.« cius latus quod e.mp.e rc/ 
fiduu.£um cni linea.d.e.fit cx ypotbefi mcdio loco ,ppo:tionalis mter.b.f.«.f.d. 
erit exp:imafe)iti fupcrficics.d.b.medio loco p:opo:tionalis inter ouas fupficies 
a.f.l.g.d.idcoqj « intcr ouo quadrata.l.m.«.n.l.cuq5 q: p:ima fejn fit fugncics 
l.p.mcdio loco ,ppo:tionalis inter eadem ouo quadrata crit. l.p. cqualis. d.b.ec 
etia.b.c.« q:quadratu.l.n.cftequale.g.d.erit.t.r.equalc.g.e. totusitaq^ gnomo. 
circufcriptus quadrato.m.n.cft equalis.c.g.« q:.l.m.erat equale. a.f. rcliuquitur 
m.n.equale.a.c.cp aut.n.p.lat 9 quadrati.m.n.fit refiduu fic colligc.£ft eni vtra / 
q5 oua£.p.t.«.t.n.ronalis in potentia eo cp vtruq^ quadratu.l.m.«.n.l.e rouale 
vnaq? cay eft incomcnfurabilis alij pcr p:ima fetti *. io.buius:co <j> q'iadratum 
l.m.eftincomenfurabile.l.r.fupcrficieificutfupficies.a.f.fuEftciei.b.d.ocquibus 
manifeftu eft cp ipfe funt incomenfurabilcs:eft eni per p:ima (cjxi vna ea? ad al/ 
tera ficut linca.b.f.que e ronalis iu longitudine ad hnea.d.e.quc cft ronalis i po/ 
tentia tantii ejc. 6S.igit linca.p .n.que pot in fupftcicm.a.c.eft rcfiduum: « boc eft 
quod ihtendimus. 

IJblOpoftttO .87. 
3f fuperficiesaltqualinearationalirefiduoq^ fecundoco 
tineatur: linea in eande potes erit relidun mediale pztmn 
Gjjn bac quoq^ arguc ficut in p:emi(Ta c* oiff initione rcfidui fecun 
di«fc6ap.tc. i3.«nona«oecimanonaz.i>-.«.tf9. 
IjbJOpOftfiO .88. 

3f linearonalireftduoq^tertio luperficies contineaf erit 
linea fug eam potens reftduum mediale fecundum. 

Cp>:io:i oemonftrationi infifte«facilec6dudes p:opofitum ejoif 
fimtionerefiduitertij «fccundaete. 15.1.9.1. 19.2.70. 

1[b:opofitio .98. 
3f fuerit fupftcies linea ronali rel tduoq? quarto contenta 
linea iuper eam potens erit linea mtno:. 

C3n bac quoq^ no aliter .pccdas q'3 p:iu3. facile cni crit ibi ^pofito 
pcludcrc.fi p:emiffam 116 ocfpicis cr oione refidui qrti « fcoa pte. 14 
«.9.«.i9.'Z.i5.«.7i.«ficpatcbit,ppofitum. 

Kb:opofitio .90. 
3f fueritltnearonalirefiduoq^quinto fupficies contenta 
latus eius tetragonicum erit cu ronali copones mcdiale: 
CTlitere p:cmiffa argumcntatione c% oiffmitione refidui quinti « fe 
cunda parte. i4.«.<>.«.i9.«. 15-t.72.quod p:opofitu5 eft coucludcrc. 

1|b:opolitio .91. 
3f linca ronali reftduoq^ fejcto fuperficies contineatur la / 
1 tus tetragonicum qo fuper eam poteft cum mediali confti 
tuens totum medtale cl le compzobatur. 
CTluncquoq^vltimoquodperbancoicitur p:emilTomodo fatagc 
cocludercejiOimnitionc refidui fcyti 1 fctfa parre. 14.7.9.7.19.« -rj. 






ifi bis autauoibtis p:occffum taum nibil ofTeuderc potcrit fi pzima earum i pfe/ 
ctc oidiccria c mcmo:itcr tcnucris:? quidquoq^ fupponat folcrtcr attendcris. 
jQ6 ft fo:fan oe aliquo in quadrato.l.m.tc oubitare contigcrit ad fuum cquaic in 
fupcrficic.a.d.tibi recurrcndum erit:ct patcbunt tuo ingenio. 

1|b20pofitto 192; 
^f ad litream rationalcm fuperftcies cqualie quadrato re/ 
lidni applicct:a!tem lat 9 reftduu pjtmfi clTe necelie elr. 
Gbec fex fequcres fut pucrfc fcx pcedctiu p o:dinc.bui 9 aut pme bcc 
cft intentio <$ fi fit fucficics.a.c.adiuncta ad linea ronalca.b.cqua 
lis cjuadrato rcftdui qo fit.d.e.crit eius latus fcbm q6 eft.b.c.necef/ 
fario refiduii p:imu.adijciatur eni lmcc.d.c.que p:opon:tur cffc rcfidufi :Itnea p 
cuius abfciftone ipfa fuerit rcfiduir.fitq^ ci adiuncta.c.f.eritq^ cx.es . vtraq^ ouarii 
lineay.d.f.c.f.e. ronalts in potcntia % vna ea^ incomcnfurabilis alij :oe(cribatur 
crgo quadratu lincc-f .c.qd iit.e.g.? quadratu.d.c quc pofita cft eflc rcfidufi qo 
fit.e.b.i adijcianf fupplcir.cn ta.d.k. -j.f.l.eritq^ quadratu,g.b.tanq*5 quadrtum 
linccd.f.c quadratu.cb.crit ficut fupcrftcics.a.c.crit ctia vtrfiq^ quadraroy.g. 
b.c.g.cronale.Sitigitur fupficics.a.m.adiuncta adlinea. a.b. cqualis qdrato 
g.b.eritq^ ob boc ronalis:quare pcr. is.linea.m.n.cft ronalis in logitudinc: fup/ 
ficies vcro.p.u.fit cqualis quadrato.cg.que ctia .pptcr boc erit ronalis 1 p. ic.li 
nca.m.n.r6nalisinlongitudiiie.itaq5tot3liiiea.b.n.eftr6nalis p.9.oiuidaf aiic 
c.n.pcrcqualia.m.q.coucaf.q.r.cquidiftans.a.b.eritqjejcpumafcxti.c.r.equa/ 
lis r.n.aOanifcftu vero c cp cu tota fupficics.a.n.fit cqualis ouobus quadratis 
g.b.ccg.paritcr acceptis quc funt quadrata ouay lincarum.d.f.cf.c? fupficics 
a.c.fit cqualis quadrato Itnecd.cqo eft.cb.erit pcr.7. fcoi fupcrficics refidua cr 
a .n.qne eft.c.f.cquaUs ouplo fuperficici ccd.f.in.f.cquarc z bo:um oimidia quc 
fuiit.r.n.cd.g.ucccffe cft effe cqualia.cuq^ igitur cy. p:ima fctfi fit fup/icics.d.g. 
mcdio loco (ppouionalis intcr ouo quadrata.g.b.s.g.ceritq^ fuperficics.r.n.mc 
dio loco .pponionalis intcr ouas fupcrficies.a. m.f.p.n. idcoq^ pcr p:ima fexti 
erit ct linea.q.n.mcdio loco ,ppo:ti6alis iutcr onas Imcas.b.m.cm.n. cumq^ ftc 
q.n.oimidifilinccn.c.tlinca.b.n.oiuifappunctum.m.inouocoicantiaitcrquc 
cadit.q.n.medio loco ,ppo:nonali8:fcquit cjc p:ima ptc 1 3 .q> linca.b.n.fit potcn/ 
tio: linca.n.c.in quadrato linee fcctl cotcantis i longttndincq: ergo fupficics.d.g 
cftmcdia'isex.i9.erypotbcfia«fupncics.c.r.fibi cqualis mcdialis dinea.c.q. 
ronalis in potetia tm per.2o.idcoq5 ctia cuplii ci 9 q6 e linca.n. c.c ronalis tatu i 
potcntia:q: crgo.b.n.c ronalis tn longitudinc coicans Imcca.b. poftte ronali ct 
poterio:.n.c.i quadrato tnce fibi comtuiicatis i longitudincfcquitur cj: oiffmitio 
nelinca.b.c.certfiduup:imu:q6e;ppofitu. ']|b20politiO .93. 

^madwnctafaeritfuperficiesequalis qnadrato reftdui 
mcdialispztmiad lineam rationalem: alterum latuseius 
ertt rdiduum fecundum . 

Gbic crit linca.d.crefiduum mcdiale primom 1 linea.cf. erit linca 
ita per cuius abfcifioncm.d.cfucrat refiduum medialc p:imum:oi/ 











s 


n 


t 




















1 



co cp.b.c.crit rcfiduum fccundum quod ncfcirc non poteris fi ocmonftratione p:c 
iniflc quoufqj eam folido amplectaris babitu inftite:is 1 qnalcs lincas opozteat 
cflcd.f.cf.e.vigi"anter attenderisioe quo fi oubitas.e>requircnda erit. 



LIBER 






llbjopoiitio »94. 
^fupCTftdcscqualisqdratorefidui medialis fc6iappli/ 
catafaCTitadltncamr6nale:alterum latuseius reftdtmm 
tertium efle conuenict. 

Cbic ctia crit.d.e.rcfiduu mcdialc f?6m 1 fcquctur ut fit.c.b. rcfidu 
Jumtertimq6utfacile?cwdasp:imeocm6fhationi ififtas ^ qles U/ 
ncaspueniateffe.d.f.i.f.c.ej.ro.collige. 'jjbjopofitio -?j. 

"1 ^madtunctameritltnee ronaUfuperficies equalts qua/ 
drato linec minozts latus eius lcrini eru reftduti quartum: 
C5i fucrit.d.e.lincamino: afierit bcc.9 j.cp.b.c.erit rcfiduu quar/ 
iu:eft aiit fumendi e;c.7i.qualcs lincas elTe necclTc fit.d.f.s.f.ccum 
d.c.fucrit linca mincn:? eft aftrucndum .ppofttfi pmilTo modo:exce 
pto q> in bac 1 ouabus fcquentibus nccefic cft linea.b.n.oimdi ad punctu. m.in 
ouo incomenfurabilia qnc in tribus piemilTis oiuidebat neccffario i ouo comenfu 
rabiliamamlin tribus pmiflis fuerant oue linec.d.f.U.c.c6icantcs i potentia ttn 
1 ideo carum quadrata c6icantia:p:opter q6 1 fugfiacs.a.m.i.p.n. quadratis ea 
rum equales coicantcs.Ouap:optcr etia 1 oue Imce.b.m.i.m.n.ideoq) fuit i tri/ 
bus p:cmiffis linca.b.n.potentio: linca.n.c.in quadtato Imee fccum comuntcan/ 
tis inlongitudine ejc p:ima gtc. 1 5.3" bac aut 1 ouabus fequctibus fuut oue lincc 
d. f.i.f.c.incomcnfurabilcs in potcutu ut apparet q.,7 1 .1.72.1.7^.1 idco earum 
quadrata .pptcr qo 1 fupcrncics.a.m.c.p.n.incomeufurabilcs ^ppter q6 1 oue li 
nccb.nni.m.n.incomenfurabtles idcoq^ pcr p:ima ptc. n-tam m bac q*5 in oua 
bus fcqucntibus ueccffe eft linca.b.n.efie potcntiote linea.n.c.in quadrato lin ce 
frbi komenfurabilis i longitudinccetcra pcrquire ut p:ius. lj£>Jopofitio .9$. 
1 % ad Uneam rationalem quadrato linee cum rationali co / 
mtuentis mediale equale fuperfkies adiungatunlat ems 
fecundum eritreftduum quintum. 
I Cponefimilitcrbiciinea.d.e.eficillaquciuncta cu ronalipponac 
totu medtalc 1 attcnde ejc.7i.quales lincas opo:tcat clTcd.f. i.i.c. 
1 concludes linc olrcndiculo fi p:ius babitc ocmonftratiom opoitunc inftiteris li 
ncam.b.c.effcrcfiduumquintu. IjbjOpofltiO .97. 

Y§ adlinearationalefuperficies equalts quadrato linee 
cum mediali componentis medtale adtungatunlatus cms 
1 alterum eritreftduu lepim. 
CTIunc vltimo conucnit Imca.d.c.efle illam quc iuncta cum media/ 

jjli coponit totum mcdiale cui adtuncta Imca.e.f.quc viddtcct ftt illa 

pcr cuius abfcifionem Iinca.d.c.fucrat quc p:oponitur fi qualce lincas.d.f.i.f.c. 
cffc opo:tcat cc.7 3.0'diccris p:io:c argnmctationc firma tncittc tcnucris finc obt 
ce quoq5 linea.b.c.cffc refiduu fcytu cocludcre potcris.fi afit fo:talTts in aliquo re 
bcfitarc ptigerit qutcquid illud fucnt oc quadrato.g.b.ad fibi equale fuj>ficic.a.n 
B]e>fercdumerit:cficpatcbit^pofitfinoftru. *][b:opolitto .98 
gj-Qfjnis Itnca reliduo pmefurabifipfa quoqj i termio 1 ox 
dineeidereliduu 

C£>6 .(fo.z.quaiuo:.cafcquc'tcs oebinomioeiufq5Coniitib 9 qnq5 
.ppoftterut bcc .98.7 .quatuo:.cam fcquentes oe reiiduo fuifqj qnqj 






X 



tomittibus vcrum cffe pjoponuntfquibus qui vfcp ad foiitum babitum inftitcric 
bas ignotarc non potcrit.Ouicquid autcm in illis oe coicantia in longitudinc et 
potcntia tantum eictum cft:in bis quoq^ idem opo:tct intdligi. nam omnis linea 
rcfiduo comwicaus in longitudinc fine in potcntia tm ipfa etia cft refiduum. fcd 
fi commuuicat in longitudine: non folum cft ipfa refiduum.fcd ctiam ciufde fpei 
refiduum.23erbt gratia:linea comunicaits in longitudine rcfiduo piimo cft rcfi/ 
ciuu pmu: c fccfido coicans cft fcom.fic quoqj in ceteris:.Q6 aut iiuca communi/ 
tat rcftduo in potcntia tantum:ipfam quoqj ncceffc eft clTe rcfiduum fed no eiuf/ 
dem fpecici:imo ipofftbile eft vt linca comunicans in potcntia tantu refiduo p:i/ 
1110 aut fc6o aut tcrtio aut quarto aut quinto cadat fimul cum eo fub eadem fpecie 
fcd neccffc cfr vt abo cadat fimul fub tnb 9 pjimis fpeciebus aut abo fimul fub tri/ 
bus poftremis.Sit itaq^ eyempli gratia.a.rcfiduu cui comunicct.b. in longitudi/ 
ne:oico gp.b.erit rcfiduu ciufde fpecici cu.a.adiungatur enim liuca.c. ad lincaj 
a.? cum tlla fit pcr cuius abfcifione.a.fuit refiduu:c ad.b.adiftgat alia quc fit.d. 
ad qua fic fc babeat.b.ficut.a.ad.c.fitxp compofita cca.t.cc. compofita vcro cjc 
b.«.d.fit.f.eritq5cypermutata ( ppo:tioiialitate.a.ad.b.ficut.c.ad.d.cp.i5.quiti 
Iierit.c.ad.f.ftcut.a.ad.b.vdftcut.cad.d.cumitaq5.a.c6mumcctcum.b.critper 
io.c.c6municans cum.d.c.cquoq^ comumcans cum.f. 1 quia ctiam eft neccffa/ 
rio c% pcrmutata p:opo:tionalitatc.c.ad.c.ficut.f ad.d. fcquitur p.. u.vt fi fuerit 
e.potentioz.cin quadrato lince fibi coicantis tn longitudinc vcl fi fo:te incomen/ 
furabilis:fit fimiliter.f.potentioz.d. at qm omnis linca comuuicans in longitudi 
nc linec rationali eft ftmiliter illi rationalis:fimiliter oico quia ambe erunt ratioita 
lcs in longitudinc velambe in potentia tantum:fequitur c% oifftnitionibus relidu 
o:um Vt.b.fit refiduum eiufdem fpeciei cum.a.Si autc.b.comunicat in potentia 
rantii tum.a.ipfa quoq> erit refiduum non tamen ciufdem fpccici neccffario.fed 
qucadmodii oictfi cft:cuius oemoftratio c% bis quc in.eo.oe binomijs oicta func 
cotfigendaeft. IJbJOpofttio .99. 

Qfonis linea \tril1b5 rcfiduo medtali c6municans:eft fub 
ipfiue termio 1 o:dme reliduumedtale. G23c?2 cft qo" owc 
fiue coicct linca cum vtrolibet rcfiduo mcdiali iu longitudine fiue iit 
potentia.Sit cnim.a.vtrulibct rcfidufi mcdiale cui.b.coicet in logi/ 
tudine vtpotetia.oico cp.b.c etia rcfidufi mcdialc qlc fucrit.a.adifi 
gat cni linca .cad linea. a.i fit.c . p c 9 abfcifionc.a.fuit rcfidufi mcdialcw ad.b. 
adiugataliaqfit.d.fitq3.b.ad.d.ficut.a.ad.ctotaq5ppofitacj:.a.c.c.fit.e.ecy; 
b.d/it.f.oefcrib3ngitqdrata.c.'Z.d.qfint.g.'Z.b.tfu2ficics.e.i.cfit.ls.'Z.f.i.d.'Z 
fit.I.£tq:cvtp:i 9 .c.ad.f.ccad.d.ficuc.a.8d.b.futafit.c.'Z.cmediale8potcntia 
trti coicatcs c%-6^.z .7o.fequit ejc.2 ■ . vt.f.c.d.cis coicates. fint etia mcdialcs po 
tctia tm c6icates:pftat afit cjc pzima fcjcti cp fit.k.ad.g.ftcut.c.ad.cs.l.ad.b.ficut 
f.ad.d.cqje.c.ad.cficut.f.ad.d.fequitutfit.k.ad.g.ficut.l.ad.b.ftpmutati.k. 
ad.l.ficut.g.ad.b.cug.g.c6icctcu.b.fequifvt.k.c6icet.cu.l.Sitgit.k.cr6iialcq6 
ejn refiduo mediali p:imo erit etia g oiffinitfone.l.ronalis qrc p.ep.b.ctia e rcfi/ 
dufi medialepzimii.fi aut.k.fit mediatqbei refiduomediali fcoo: critg.2i.etia.l 
mcdialis:ideoc|}.b : g.7o.refiduu mcdialc fto, qre pftat,ppoutu.3dc alitcr Si lica 
b.coicat cfi liea.a.q e vtrulibet refidufi mcdiale i logitudieil' i potetia fit fugficies 
t.e.8dificta ad linea roalc.cd.eqlis qdrato.a.i.f.g.eqlif qdrato.b.erfitq} ob boc 





LIBER 




c.e.-j.f.g.coicantes queadmodu i quadrata lincarum.a.i.b.eis cqualia.idcoq} £ 
piimam fcjctt **• iobntus.d.e.*.c.g.funt coicantes in longitudme: i quia fi. a.clt 
refiduum mcdiale pjimu:cft:linca.d.e.cft rcfiduum fcbm pcr 93.? fi.a.eft reftdufi 
mediale fcc>m:linca.d.e.eft refiduu tertium pcr-94-at cum.d.e. eft reiiduum fiOin 
linca.e.g.eft etiam refiduu fcbm 1 cu ilia e tcrtiunufiir 1 bic cft tertiu per^s.fequi 
tnr itaq5 er.-87.?-8s.vt.b.fit rcfidufi mediale pjimfi aut fecundu piout njerit. a.ct 
fic patct qnod intendiinus. 

l(b:opolitio .100. 
5 linea aliqua linea mii w:i comunicet.ipfa quoqj eritli/ 
neamino:. 

d^acilc cft banc pjobare ouplici modo ficut pmilTatn:fiue cotnuni/ 
cct linea aliqua cum linca minori in longitudtne fiuc in porentia boc 
afit appofito quattl ad primfi modu cp cum fit.f.ad.d. ficut.c.ad.c. 
ent c% fcba gte. iS.ferti quadratu.f.ad quadratfi.d.ficut quadratu.c. ad quadratu 
c.c toniunctim quadrata ouai/ Unearum.fa.d.ad quadratu.d.ficut quadrata ou 
arnmltoeamm.e.cc.adquadratum.c.cpcrtnutatimquadrataouaylincarum.f. 
t.d.ad quadrata ouay lincarum.ccc.ficut quadratu.d.ad quadratum.c. coicat 
aute quadratu.d.ad quadratfi.c.ergo ouo quadrata oua? Iine3£.f.cd.pariter ac 
cepta coicant cfi ouobus ouaj/ Iinea2;.e.«. c.rjitcr acceptis:? quia er-i 7.quadrata 
ouarumlineay.e.c.c.pariteracceptafuntr6na!c: ent afitper oilfinitionccouo 
oua? tinea^.f.c.d.panter accepta rationalc. Xuqj fit fupemcics.k. mcdialis cnt 
etia.l.fibi communicans medialis:igitur ey.7 1 .b.cft linca rnino:. Quantu autem 
ad fc6m modfi ait per.9 j.linca.d.crcfiduu quartum:idcoq5 per^s.t linea. e.g. 
erit etiam refiduum quartum.ideoq^ etia per.8j.l.nea.b.eft Itnea mmoj. 
1J£>:opoi'mo .101. 
]flC>nis linea comunicans linee cum ronali componcti me 
diale cft cum rattonalt componens mediale: 
Gbanc quoq^ ouplici pjcdicto modo no cft oinicile piobare:fiue oc 
communicantia in longitudinc fiue oe coicantia iu potcntia tantum 
intctligatur:fcd quantum ad pjimum modfi crunt ouo quadrata ou 




arum linearum.f.?.d.pariter acccpta mcdi&lc per.2i.qncadmodu funt ouo qua / 
drata ouay uncaj/.e.c.c.pjrer accepta qc.72.quibus ipfa comumcant z fuperiici/ 
es.I.crit rationalis:per oiifinitioncm qucadmodu cft fuperficics.k.er.72.cum ipfa 
comunicatrigitur ex.72.b.eft cum rationali componcns mediale:quantfi ad fcom 
modfi:crit.d.crefiduum qmntum cr.<S9.ideoq5 ?.c.g.er.9S.quare.b.cft cu ronali 
tomponensmediale.per.90. "](b:opontio .102. 

~ dfcnis linca comciurabtlis Unee cum mcdiali conftituen/ 
ti mediale eft cum mcdialt conftituens mediale. 
Cbic quoq^ ponc liuca aliqua cotcare cum ca que cfi mcdiali compo 
nit mcdiale indiffcrcntcr in longitudinc vcl potcntia ttn ,put volue/ 
ris:i ouplici modo pmtfio ftnc oifficultatc pdudes ca quoqj cfi mc/ 
diali pponere mediale.erit etia quantu ad pjimfi modfi futficics.l.medialis que/ 
admodfi z.k.z ouo quoq^ quadrata ouay lincaj/.f .i.d.piter acccpta mcdialc fi / 
tnt 1 ouo quadrata duay.e.c.c? qj ouo quoqj ouay linca2:.e.?.c.ad.k.ficut ouo 
onay.f.?.d.ad.l.cfi ouo prima non comnnicet cu ouplo.k.cr.7 j-ncq^ ouo fccuda 






coicabuntcu ouplo .l.ccio.fgiturejc.yj.b .cflcumedialicoponcsmcdtalc.quan 
tum aute ad fcom modu erit.d.crefiduu fexcu ejc.97. idcoq^ c.e.g. ejcYjcquareb 
drcumedialic6ponen8medialce)c.9i. ']jb:opofttio .105. 

3f oelupficte rattonali fuperficies medialis abfcindatur 
linea i reliqua fuperficiem potens erit alterutra twarum 
irrationalium aut reltduum aut linea minoz. 
GSit cni tota fupcrficics confrans ci.a.^.b.ronslis a qua oetraba 
cur.b.que fit mediali8:oico <j> linea porcns in.a.refiduu aut e rcftdu 
um aut linea mino:.£fto nanq5 linea.c.d.rattonalis fupcrfuic8q5.cc. fibi adtun 
ctafit taqVa.c.f.g.taci^.b.i.tota.c.g.ficuttota.a.b.critqj.c.g-ronalis.idcoq^g 
ns.linea.d.g.roualis in longitudine c.f.g.ent mcdialis.idcoq^ per.20.cg. rona/ 
tts iu potcntia tmteft igit c% oiffinitioe line a.d.erefiduu p:imu aut quartu: ergo 
per.Stf.?.So.line3 potensinfupncicm.ee lioinfupficie.a.fibiequalemeft refi/ 
duuautlincaminoj:q6e',ppofitum. "Jjbzopofltio .104. 

5 oc faperficie mcdiali fuperftcies ronalis oetrabatur \i 
nea in reliqua luperftciem potens erit atterutra ouarum 
irrationalium linearum aut relidunm mediale p:imfi :aut 
cmn rationali componens mcdiale. 
abecquoq5ficutp:emilTa^baf.£ritciutot3.3.b.m cdialis.b. aut 
ronalis:? tunc oico qo in.a.rcfiduum pot: aut cft rcfiduii mcdialc pjjmfi aut cum 
ronali coponcns medialc£tieni.c.g.equalisfit.a.b.critper.2o.liiiea.d.g.r6n3/ 
lis in potcntia tmt cu fit.f.g.cqualis.b.crit per. 1tf.linc9.cg. ronalis in longitu 
dine ergo 9 oiffinitione erit lines.d.ercfiduu fc6m 3ut quintii quarc per. S7.C90. 
latus tetragonicu fuperficici .c .e.cidco fupcrficici.a.eft rcfiduii iucdialcpjimum 
aut cum rationali componens medialc:quod cft p:opofitum noftrum. 

1(b:opolitio . ioc 

% fuperftcies medialis fuperhctci mediali oetrabatur fue 

ritqj reliqua toti incomenfurabtlis que in ipfam reliqua 

potefh alterutra erit oua? irronaliu^ videlicct aut relidu 

nm mediale fcbm aut cum mcdiali componcns mediale 

GSiaouajzp^emilTszjoeinoftrationenon ocuias concludcs fine 

oirTicultate pwpofitu.Sint eni tota.a.b.c.b.medialcs % fit.a.rcliqua incomenfu 

rabilis toti:alitcr cni e(Tet.a.medi3lisct.2i.cciuslat 9 tetr3gonicumedialeejc.i9 

tunc oico <j> linea potens in.a.cft rcfiduti mcdtalc fc6m aut cu mcdiali coponcns 

mcdialcnam cu fit.c.g.equalis.s.b.erit p.2o.lmca.d.g.r6nalis in potcntia tatu 

per cande quoq^ cum fit.f.g.equalis.b.erit ctia.eg.ronalis in potcntia tin « cum 

fit.3.inc6menfur3bilis toti.3.b.erit.f.g.inc6mcnfurabili8.c .g. ideoq^ per p:ima 

fexti t. lo.biiiuseritctia.e.g.incomenfurabilis.d.g. igif a oifflnitione linea .d.c 

crit refiduu tertiii aut fejctu:qre g.88.?.9 i.fatus tetragonicu fup/icict.c.e.s io fu/ 

pficici.a.e rcfiduu mediale fcom aut cii mediali compohes medialc 

K T i&ttSfl l 1[b:opofirio .ioe. 

I fljSS ^nea^trroitalifjquefuntfefiduiwpoftiplamfiibfccute 

h K?§SR vllamaltjterminoeto:dinefubelTcimponibileeftrcli/ 

t KfiP Oitoquoqjbtnomijtermtnuvclozdmccouemrenoucfi: 

Bl^glfll pollibile. GZJult aut p. banc. iotf.g> refiduu % alie qmnq^ linee 

m 





LIBI3R 






irrdnaks cam fcquentes otfTcrant fpccic i oione abinuice i nnlla linca vna poreft 
cc fub ouabus ncq^ fub pluribus fpccicb 9 ba:e fcjc linear lrrdnaiiu que funt refidu 
mti? ctus quinqj comitcs:'» cp oes fpes rcftdui oirTcrunt ab oibus fpcciebus bmo 
mij ncc e polTibllc liitca vna fimul cffc rcfiduu i binomtii cuiufoiqj fpccici rcftdui 
vel btnomij: pars p:tma fic oflar:qtii fupficies equalis quadratis rcfidui i fua^ 
quiuqj comitu at adiugant ad tinca roalc babet fcoa latcra nccclTatio oiucrfa ab/ 
tnuiccm cji.yi.i quinqj ea fcquenttbus.funt autc fcoa latcra rcfiduu p:imu i fe/ 
cudu i ocinceps vfq> ad fextii . 5coa ps pftat boc modo:fi cadc linea pot ce fimul 
rcfiduu i binomiu.fit.a.cut 9 quadrato adwgat ad ronalc liuca.b.c.fitq3.b.d.ent 
q5 cjc.y4-Unca c.d.binomiu p:imu i er. 92.refiduu p:imu.iuquanru crgo binomi 
um p:imu oiuidat iu fuas binomialcs pouiones ad punctii.e.fuq; maio: po:tio 
c.e.q erat roalis i logitudinc p oiftinitionc: iquatu aut e refiduu pmu adtugaf d 
d.g.p c 9 abfcifione" fuerat refiduu p:imu:cntq3 ctia cjc oione.c.g.roalis i logttudic 
£ii ttaq5 ftt vtraq^ ouar Imcay.c.g.t.c.c. ronalis i logitudic erit et p_.9.lica.c.g. 
ronaf i logitudic: at q: linca .d.e.e ronahs i potctia tm cu ipfa ftt p ypotbc.mioi 
po:tio binomij pmi:ertt pcr .«s.linea.d.g.refiduu zq: ipfa crat roalis i potcntia 
tm cu pereius abfcifione cct linea.c.d.refiduu fequtf impoiTibtleg.<ss.i26 ut ela/ 
rius pateat:efto fupficics.b.d.adiuncta ad linca rattonalc.b.c. equalis qdtaro li/ 
nce.d.g.cn itaq; linca. d.g.fit rarionalis m potcntia etit per. icUinca.c.d. rona/ 
lis in lougitudincat cu etia lmca.d.g. fu rcftduu erit ex.92.linea.c.d.refiduu pmu 
quod ciTe no poteft cum linca que oicitur rcftduum fit irronalis per.e s. 
Ijbiopofttio .107. 
1 ^fnea que rdiduu oicif vilave trrationaltu quc, polt eam 
lunt nequit efle lbb termino biuomtj aut liib tenntno i ot 
dine vllius cereray lineay irronalium que binomui fubfe 
qnutur :cum aut pofllbile (it lincay irrdiialtu lerie in m/ 
fmitum pioduci non eit poflibilc vll* carum cum ca que 
p:ecellerit in termino i o:dine conuenire. 

GUuIt pcr banc vltima libri. io.cp.1 j.irronales lincc oe qmb 9 in boc cccimo oe/ 
inonftratu e i ipfe funt Jinca mediaiis btnomiu i ci"quinq5 comitcs rcfiduu, i ei* 
quinq^ comites fiut abinuicc finguic a fmgulis fpecie oiftcrentcs-.t q> nulla linea 
vna pot ee fimul fub onab 9 aut pluribus fpccicbus cay.i cp fpcs linca? irronaiia 
pfit i inftnitu .pduci qr nulla cu alia pucmt t otone i oidinc.Qo aut bcc. i j.Uttcc 
videl^ mcdialis binonnu i ei 9 . j. comitcs rcfiduu i ci".j.comitcs fint irroales oc/ 
monftratu effe fuperius memcnto: oc mcdiali quide c%. 19. oc binomio aut 1 cius 
quinq3 comitib 9 cx.jo.i quinq5 ea fequctibus:at vero oe rcfiduo fuifcpj qutnq3 co 
mitibus ejt.eS.i quinqj ea fequctibus.Tlulla aut bar. ij.liucar trronalium polTc 
puentre in fpccie cu aliqua aliar luicar fic ccligc.f fto cni vt ad vna cadeq^ linea 
ronale tn longitndine adiungant fupcrncics equales quadratis piedictac. 1 j. linc 
ant irronalin^ ^m q> otdinc fc muice fequunt :aitq5 ct .zo.kcudu latus pume ifta 
rum. 1 j.fupcrficicrum 1 quinq^ cam fequcntiu rarionate in potentia tm.fcta aut 
latcra fcoe ifta?. 1 j .fupcrficiey 1 quinq^ eam fcqucnttfl erut omnes fpes bmomio 
ru5 g oxline viddicet binomiu p:imu fcom 1 ocinceps vfq5 ad fertu cc \<n.i qnir» 
q5 ca feqnetibns oemonftratn cffe memincris.fcoa vero latera octauc fiipcrficici t 
quinqjeafcqucttufuntfpcsrcfiduor in o:dine vidchcct reftduu p:imu «rcftdu» 




X 



fceundti i oeiiiccps Vfqj ad fejctu q6 cx. 91.1 quinq^ ea fequctibus oidicifti. £um 

igtt ipa linca ronalis i potctia tfnno coucniat cu aliq fpccic bmomtojz aut ctj ali / 

qua rcfiduoz?quonia omnc binomiu £.30.? oc refiduu g.eS c linea irroaiis 1 i 16 

gitudine 1 i potcnfia.fr cfi nuila fpcs rcfiduoz; coueniat cil altqua fpc" binomiorii 

ex feciida gtc pcnut'.b"oeeimi:fcquit ut oia fcoa latera bay. 1 3,fupcrticie2> fint ab / 

inuiccm oiuerfa: idcoq^ p. p:ima fcxti cipfc.15. fuperficies funt oiuerfe cu caxj om 

nium altitudo fit vna quarc eria bec. 1 j .liucc irronales ,ppofuc funt fngule a fm ' 

gulis oiuerfe.Gpoffunt aut bap. 1 j.lmea? irronaliu fpccies in inftnitu .pduci.in 

finite eni fut fpcs linca? medialium.infinitc quoqj binomio:; 1 fic oc fmgulis Qo 

bocmodo pftaticlfoltnca.a.mcdialis.fumaturq^viiitassqtiotlibetnumcri pmi 

vt-3.5 1.7.1 fiut totidcm lincc.b.c.d.quot funt fupri numcn pnmi.fmtqj qdrata 

Cftai? lineazj.b.c.d.ad quadratu.a.ficut bi numcri p:itni ad vnitare:cruntcrj lince 

b.c.d.mediales ex.21.qtii ipfe coicant in porctia cii lmca.a.mcdiali. oes aute erut 

oiucrfe in longitudinc ab.a.i a feinuice g vlttma p.te.7.qm nullius iftojum nume 

roy ad vnitarc nec altcuius coy ad altez? per. \6.i. $ .1 co::elanu fcoe octaui 1 p:e 

fcntis ypotbefts e ,ppo:tio ficut numcri quadrati ad numerii quadratu:erit ergo 

a.i omnes fibi coicantcs in longitudtnc fub pma fpecie lineaij medialui.b.vero 1 

oes fibi coicantcs in longitudine fub fcoa.c.aut 1 oes eide coicantcs vel comenfu/ 

rabilesfub tcrtia.d.quoqj 1 ocs ftbi coicanrcs in longitudiuc fub quarra:? q: nu/ 

mcri p:imi fnnt infiniti vt cx.21.noni otdiciftimeceffe e fpes lincaz? medialiii e'e in 

ftnitas.Qo aut c Oictfi oe linea mcdiali itdlige oe binomio fuifq5- f.comirib";? re 

fiduo fuifcp.j.comitib^naficutois lineacoicansmcdialie medialisfiuccoicec 

ei in longitudtne fiuc in potcntia ut p:obatu cft in.21.ita etiam omnis linca com/ 

municans binomio aut alicui fuazz quinqj comitu vcl etia refiduo aut alicui fuazz 

quincp comitu in longitudine vel in potenria cft fecti fub eade fpecie vt pwbatum 

cft in.60.1 quatuo: cam fequentibus C9S.? quatuo: cam fcquentibus. 5unt igit 

fpecies bay. 1 5 .lineazz irronaliu infinitc quaz: nulla coucnict cu pccdcnti in o:di/ 

ne vel oionclonuenitquoq^ ofic aliter fpecics lincarum irronaliu effc infinitaa 

namomnclatustctragonicufupcrficicioictcauumerond quadrato cft irronale 

g vltitna pte.7.c g oiftinirione.cum iracij tales uumeri fint infiniti:erunt ctia fpe/ 

cies baflincayirronaliiiinfinitcXcrtiomodocontingitfcdamptcmbuiusvlti/ 

nie conclufionis libri oecimi fic exponi: vt oicamus ab vnaquaq^ linea ronali i po 

tentia rantii infinitas lineaz? irronaliu fpes p:oduci quaz> nulla cum aliqua caru^ 

que ipfa p:ccefferint:poffibilc cft in oiffmiriofte 1 o:dtnc conueiiire.23erbi graria 

Sumatur aliqua fupncics ronalis oicta a numcro no quadrato ut quicp:eritq5 la 

tus cius retragonicu irronale in longitudinc:qm ipfu e iucomcnfurabilc latcris te 

tragonico fupcrficici ronalis oicte a numcro quadrato ex vltima ptc.7. oico crgo 

cpbui 9 laterislatu8.itemcj3fc6ilaterislatusc rurfus buius terttj latcris latusc 

fic in infimtihfunt linee irrationalcs tamin longitudine q'5 in potcntia:^ qp nulla 

carum conuenit oiffinitionc vel fpccic cum aliqua quc ea p:ccefl"crit in o:dinccftq5 

latus tetragonicum p:emiffe fuperficiei quecunq, oicta fucrit a numcro non qua/ 

drato carum omnium ficut radix 1 p:incipium 1 quelibet ipfa? cft p:incipiu oim 

ipfam fequentiu^: 1 quecunq^ ab aliquo tetragonico latcre cuiufq^ talis fupcrficici 

p:oficifamtur oiucrfc funt in longitudinc 1 potcntia ab omnibus quc a quoquam 

alio tetragonico latere talis fupernciei gcncrantur « boc oico cum ipfa? fupficicj? 

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LIBER 



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1196 



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non fuerit #po:tio ficut immcroy quadratoy.bee aut vt poflumus firma ocmon 
ftratione colligcre antecedens ad ipfa piemittcre oponct.fitq^ iftud. 
G£httbullibet ouobus iituicetn ouctis fi quid licet pzoducatiir qtiora 
latcra tetra§oiucaouo:ump:eccdmtiuminuiceinouce6tomm tctra 
gonicum lauts ipfius p:oductt p:oduces. 

Glterbi graria fit vt ejc.a.in.b.fit.k.ad.c.t.d.fint latcra tctragonica. z.i. b.fiat 
I aute-e.cx.c.in.d.fintq5 itey.f.c.g.lateratctragonica.c.f.d.ifist.b.cx.f in.g.oi 
b co cp.b.clt latus tctragonicu.e.t cp.e.rarfu6 eft latns tctragonicu.k.cum eni cjc.f. 

~^ ■ in fe i in.g.fiant.c.i.b.erit.cad.b.ficut.f.ad.g.fed i fit.b.ad.d. ficut f. ad.g.co 
o c$ ejcg.in.f.? in fe fiunt.b.c.d. fint igir .c.b.d.continuc ,ppo:tionales itaq^ ecb. 

"^ ' in fe quanta c;c.c.iij.d.ciuarc.b.eft lams tetragonicu.c. eade qnoqj rone cu c%.c. i 
' g ' ■ s fcfit.a.in.d.fit.e.ccx.d.inlcfit.b.erunt ctiam.a.c.b.c6tinne < ppoHionalcsi ( p/ 

\ /i porti6e.c.ad.d.cuigite)C.3.in.b.fic.k.fcquitetia«ex.e.tfefit.lv.qre.e.eftiatus 

\ i/ tctragonicu.k.conft3t itaq^ qo' oicit.rcftst itaq? oemonftrarc q6 p:opofitum eft. 

i Sit igif fuphcie3.3.r6nalis oicta a nuinero no quadrato.ut.y.fitqj liiiea.a.ei" tc/ 

tragonicu latus i fumanf qnotlibj linee ronales i logitudie q fint.b.c.d.c.Sint cg 
oictc a numeris quo^ quifqj p:cccdcs fit tetragonicu latus p:oximo fcquentis: vt 
fi.b.fit c.c.4.d. 16. c. vcro.2 j<f .ad bas aut liueas ronales in longitudinc adiunga 
tur fngficics cqualis.a.crunrq^ fcoa latcra fingula^ ronalia in lougitudiue per. \a 
vtfc6mIatus.b.2.toimidin:fccundu.c.vnu5?quarta:fccundtt vcro.d.vnaquar 
ta i vna. i<s. at vero fupcrficiei.e.fccundu latuscrit vna.e4.fcVn3.2jcs.fit ergo.f. 
tetragonicu latus.b: g.vero fit tetragonicu latus fcoi lateris fupcrficiei.b. entq^ g 
picmiffam ans ut cx.f.in.g.fit.a.rarfus fit.b.tctragonicum latus fccundi latens 
e .k.quoq5 fit tetragonicu latus.b.eritq^ pcr p:edictu ans vt ex.b.in.b.fit.a.c ex.f 
in.k.fit tetragonicfj latus.a.qo fit.l.fit ite^.m.tctragonicii latus fccfidi lateris fu/ 
perficici.d.fed cfi.n.fit tctragonicu latus.m.^.p.tetragonicum.n.entq^ pcr p:cdi 
ttu antccedcns vtex.c.in.m.fiat.a.tejc.b.in.n.I.j.ex.f.in. p. tetragonicu^larus 
l.qo' fit.q.amplius aut fit.r.tetragonicu latus lateris fecundi fupcrficici.c. fit quo 
q5.f.tetragonicfi.r.«.f.7.t.f. fit et.u.tetragonicu.t.fcqnit que per oictu antcccdcs 
vt cx.d.in.r.fiat.a.iex.c.in.f.I. ■zqc.b.in.t.fit.q.tetiam ejc.f.in.u. tctragonicfi 
latus.q.qo fit.jc. i fic in infinitu:oico ergobas lineas.a.l.q.jc.qua^.a.cft tanqua 
radicale p:incipium effc irrarionales.a.qnidcm in longitudineitantum rcctcre ve/ 
ro in lougitudine «in potentia % oico <j> nulla carum conuenit cu alta in oiffiniti/ 
one vcl o:dine .£u5 eni cx.f.in.g.?.k.ftant.a.«.l.erit.a.ad.l.ficut.g.ad.k.i q: vt 
P5 cx oictis yporbel'ib 9 .g.?.k.fut incomcnfurabilcs in longitudinc i in potentia. 
fequitur etia vt .a.t.l.fmt incomenfurabilcs in longitudinc i in potetta:cadcm ra 
tionc.a.i.q.eftenim.3.3d.q.ficut.g.ad.p.ip:optCTcandecaufametia.a.'Z.x.cfi 
fint ficut.g.i.u.T bsc via quoq^ nccelTe eft vt.U.q.fint fimplicitcr incomeufurabi 
les ta i logitudinequa in potetia.cum eni gc.f.in.k.c.p.fiant.I.c.q. eriul. ad.q. 
vt.k.ad.p:at.k.3d.p.ncccommenfurabilesfintinlongitudine nec in potentia. 
6i enim fint crunt.b.s.n.comnienfurabiles.fcd non fur:at vero.U.):.opo:tet ee 
vtroq^ mocio incommcnfurabilcs:eft enim.l.ad.x.ficut.k.sd.u.co g> qc.f.iu. k.z 
u.fiunt.l.c.x.funt sutem.k.s.u.vtroq^ modo incommenfurabiles.Sinaute acci/ 
- dct.d.s.b.effc commcnfnrabilcs quod eft inconucniens: q.vero z.x.q? fint quoq^ 
incoramenfurabiies potcntia i longitudiuc cx.eo patet cp e.q.ad.)c.ficnt.p. ad.u. 



XI 

c bnftat autc cy.p.c.u.funt incomcnfurabilcs.nam fi no cruiu.n.'?. c. comcnfura 
bilcs.idcoqs.m.c.s.fcd non funt.GDOanifcftum cft itaq^ infinitas lincas irrati 
tionalcs in iongitndine c in potcntia incommenfurabilcs i idco oiffinitioe i fpe 
cic otffercrcs p:oduci et linca.a.ronali in potcntia tantii.Kcftat aut nunc oftende 
re cp quccuq^ irronales linee ab aliqua linca ronali in potcntia tantu bac via ge/ 
ncrantunoiuerfc funt ab omnibus tam in longirudiuc % in potcntia quc a quali 
libct alia linca ronali in potcntia tm quadratu cuius ad quadratu, piioiis no fit 
ficut numcri quadrati ad numcru quadratum bac cadcm via cgrcdiunf:boc quo/ 
cj5 fic conftat.Situ.a.^.b.ronales iu potcntia tm fiue tctragonica latera ouaru^ 
fupcrficicrum oictarum a numeris non quadratis.fitqj ut illi numcri no fint i ,p/ 
po:tionc aliquomm numcromm quadratomj: linec quoq^ que p:occdutu bac via 
ab.a.fmt.c.d.c.c a.b.p:occdant.f.g.b.oico q> nulla e;c lincis.c.d.c.commnuicat 
iu longitudiue vclpotcntiacum aliqua exlmeis.f.g.b.cumcnimfint.c.c.f.tctra 
gonicalatcra.a.^.b.at.d.cg.tetragonicalatera. cz.f.c.e. ?.b. tctragonica.d ? 
g.no cft poflibile vt altqua cx.c.d.c.coicct cumfua copari ej.f.g.b.vl' longitudt/ 
nc Vcl poretia.Si cnim altcrutro modo comuuicet.c.cum.b.fequitur ut.d.comu/ 
nicet cum.g.i.c.cnm.f.quare f .a.cum.b.ctiam in tongitudiue quod cft cotra fpo 
tbefim.23niucrfa!itcr autcm vcrum eft oiccrc quclibct baru effe vtroqj modo in/ 
commenfurabtlem cutlibet iftaru. Dzto nanq^ cp.d.communicet cum. b. etiam i 
porcntta tantum.fcquitur ut.c.quoq^ coicet cum.g.f.a.cum.f.quod no e polTibi/ 
lc.Strcndcre autcm opojtct q> cum oico latus latcris nibtl aliud iutclligo qj latus 
fupcrficiei ocnominate aIaterep:io:i.Vnderctragonicumlatus lincc.a. vocoli/ 
iicam iilam qnc potcft in fuperficicm oictam a linea.a.talis autcm fuperficies cft 
qua continct linca.a .? Siuca ronalis in longitudinc oicta ab vno.Si crgo libct iue 
nire tctragonicum latus cuiufiibct lince.fit Itnea.a.cuius tctragontcit lat 9 volo in / 
uenirc.b.vcro fit lincaronalisinlongitudinc oictaabvnitatccipfacft minima 
omnrom linearnm ronalium numcratarum ab iutcgris mcdio bco pwpoaiona/ 
lis intcrcas.fit.c.cft igitur g. is.fcrti.c.rctragonicum latus.a.idcm cnim fit ey.a. 
in.b.c cjc.cin fc.at vero cx.a.in.b.fit fugficies oicta ab.a.Quicquid cnim a quo 
tibet in vnum oucto p:oducitur ab eo ap viuim multiplicat ocnominatur .£t no/ 
ta cp cum.c.fucrit latus reteragonicnm Itnce^a.indiffcrcnter contingit lincam.c. 
elTc iuaio:cm Imca.a. i mino:em pjout.b.ctiam fucrit maio: ant mino:. JExpli/ 
cit Itbcr r>:ciinns -.inapit libcr I5ndectmu3. 

£>jpus eft qt3 longtwdtrtem i latimdtnem i 
altitudine bobct cui^terminiumt fugftcics 
2.inea erecta mp:a Jugftcie e que cu Iin3tilis 
ftbi pterminaltbus lincie in ea litp/tcic cjrpa 
fts angulos rectos facit.linea aut bcc fup:a 
ca fuperfkieperpendtcularis cfleiadcadc 
ojtbogonaliter mliflerc oicitur. 
C^ntclligat cni linca.a.b.eturgere fup:a planu: ita 
cp puctus.a.imaginctiaere s.b.inplanotapikto 
b.oucanf plurcs liuce in codcm plano ut.b.c. b.d.? 
quothb^ altc.Siigitita fucrit q> linca .a.b.cii linca 





1. X 
164 



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IJS 64 



b.c.i cti linca.b.d.? cu qualibet alia Imca prracta a puncto.b.i plano illo angulu 

m 3 




LIBER 

rlcta cotineat ipfa oicctur cffc perpendicularis ad illa fnpcrficie in qua .ptracte fut 
bedinec vidclicet.b.cs.b.d.? alie cu quibus ipfa ponif contiucre angiilii rcctU). 
G£5uperficies ante erecta fup fugficie eft quoties puncto vno codem 
Imec que eft comunts terminus illay lupficiey oue pcrpendicularcs 
cotermmales fupftantquerecrocotinentesangnlu tnetfde fup,ficie/ 
t>U8 fite funt.GZierbi gra imaginemur fupficie.a.b.cd.ejcurgerc fupfiae vero.c 
ct.cf . iacerc: i intelligamus lineam .c. d.effccommuncm tcrminum ambarum 
in ca itacp fignef punctus.g.a quo ad linea.cd .eytrabanf ouc lincc pcrpcndicu/ 
larcs vna vid; i fuperficie.cd.c.f .que fir.g.k:? alia i fup/icie.a.b.cd.quc fit.g.b 
fi igitur angulus que continent bcc oue tinee perpendicularcs Vidclicet.g.b.c.g.k. 
erit rcctus fupficies.a.b.cd.oicitur ortbogonalitcr crccra fupcr fuEficie.cd.c.f v 
Ggmperficies equidtftates funt que m vtralib? partem p:otracte no 
concurrentetfimmfinitum p:oducantur. C3mciiectum eft quodoicif . 
Scire catne oebes <$ omncs planc fupficics aut funt cquidiftantcs ab inuiccm aut 
in omne partc .ptracte cocurrent alicubi i fupcr rccta linca fe fecabunt lincas aute 
rectas no e neceffariu vtce equidiftantcs vel in vtraq? gtcj pwtractas concurrcrc 
■Quippequeineade fupficicndfuntnccequidifrantabinuiccncc tii quantuUbet 
pwtracte cocurrcnr. G<£qua co:po:a funt atqs limilia quoy termtna 
les fnperficies numcro ac quantitate cquales vnius creationis lint at 
ojfimiles ftmiuaco:po:afuntque limiltbus fuperficiebus numero 
equaltbus continentur. CSi bas ouas oiffinitioiics oc cojponbue cqua / 
libus z fimilib 9 no intdligis ad oiffinitione ftmilium fupcrficiqz pofita in p:inci/ 
pio fejcti recuire.GCo:pus leratite Oicitur q6 quiq^fuperficiebus qua/ 
rum tres paralellograme funt Oue vero trtaugule continentnr. 
G£>omniquatuo:parictcsequidiftantesbabcnti tectu vnico faftigio fup:cmis 
ouarum parictumlatcribus cqualisequidiftanti fuppofitum fciatilis co:poris 
e]cp:ciTamfimilitudinemgcrit.GSperaefttranfttusarcuscircuferentie 
Oimidij ctrculi quotiens luinpto vel fupp:emo femicirculo lineaqj t>t 
ametri fir^oonecad locum iuum redeat arcus ipfe ctrcumducitur . 
GSuper qualibct linca fcmicirculo oefcripto fi Imca illa f lja fcmicirculus tota rc 
uolutionc circuducatur co:pus quod oefcribitur fpcra nominaf cuius centrii con / 
ftat cffc ccntrum fcmicirculi circuducti. G^iramts laterata elt figura co:/ 
po:ea qua cotinent fuperficies ab vna qua? relique funt ad vnu op/ 
pofttum punctn furlum erecte. G3n omm latcrata piramidc cunctc fu£hci / 
es ipfam ambicntes ab ipfius bafi ad vnum punctu fublcnatur qui conus pirami/ 
dis oicitur funtqj omnes bec lateralcs fupficics triangu!c:bafis vero frcqucrer 116 
eft triangula. Cljbiramis rotunda eft figura folida:cltq5 tranlicus tri 
anguli rectanguh alterutro fuo:um laterum rectum angulum contmc 
tiumfrtosOonecvfqjad locumvndemoueri cepit redeattriangulo 
ipfo ctrcuducto.Si autem latus fir.um lateri circuducto fuerit equale 
erit figura rectangnla.SM Vero longius acutiangula.Si vcro b:au* 
obtultangula erit. 3t.risautipfi9 figureelarus frtu. 30afi|q5 ftta cir/ 
culus IKncitur autcm figura bec piramis columne rotunde. 
GSit trigonus.a .b.crcctu angulu babcns qui fit.b.figaturq^ altcr ouoy btcru 
ambictiu rcctu angulii .b.fitqj latus -.6 ftgif .a.b.quo fijco circuducaf trigon 9 quo/ 



XI 



ufqj ad loftl vndcinoueri cegit rcdcat:co:po:ea ergo figura que buius trigoni mo 
tu oefcribirur rotunda piramis appcllat-.cui 9 tres fu t of ic. aiia eni eft recrangula 
alia acutiangula.Iertia obrufiangula £t p:ima quide e qn latus.a.b.lateri.b.c.fu 
erit equalc.£fto eni ut linea.b.c.cu rotatu trigoni gucncrit ad fitii lince.b.d.ita q> 
punct 9 .c.cadat fug puctu.d.fiatq^ linea vna.boc c vt ipfa tunc piungaf fuui a quo 
moueri ccpit fcbm rectitudinccritqj linea bic qfi.b.c.d.i q: cx.52.pmt ■c.y.einfde 
angulus .c.a.b.e mcdietas rccti erit angulus.c.a.d.rectus.idcoq^ piramis bec oi/ 
citur rectangula.Si aute latus.a.b.fit longius laterc.b.c.crit acuttanguli:crit ent 
tunc ef. 5z.p:imi 1. i?.eiufde angulus.c.a.b.mino: mcdietatc recti. idcoqj totus 
angulus.c.a.d.e mio: recto « acutuslquare piramis acutiangula.-Qb fi latus.a.b 
fuerit b:euiuslatcrc.b.c.eritangulus.c.a.d.maio: mcdictati recttex.32.p:imiet 
ij.eiufde? totus.c.a.d.quieouplusadipfu.c.a.b.maioucctot obtufus. igitur 
1 piramis couenientcr tuc oicif obtufiangula.axis aute buius piramidis oicif li/ 
nea.a.b. bafis vcro eius circulus que ocfcnbit linea.c.b.fupcr ccntzz.b.oicif quo/ 
q5 bcc ptramis columnc rotunde illi 9 vtdelicet qua motu fuo ocfciberet galdlogra/ 
mum^ucnicnseca.b.f.b.c.latcrc.a.b.mauenrcfijto. 
G^tgura co:po:ea rotunda cuius bafes funt circnli Ouo plani ejctre > 
mitartbus 1 cralTttudine tdeft altitudine equales ert traniitus paralel/ 
logrami rectanguli latere rectii angufum coutinente fijeo iplaq^ iug/ 
fictes oonec ad locu fuu redeat circunducta oiciturq^ bec ftgura co/ 
lumna rotudaXolumueitaqjrotundeatqjlperecirculiqj vnu atq? 
ide elt centrn. GSit galdlogramu rectangulii.a.b.c.d.figurafq} larus.a.b.c 
eo fixo totu palcllogramu quoufq^ ad locu fuu cadat vcl rcdcat circuducaf : co:po/ 
reacrgofigurabuius galellogrami motu ocfcriptarotundacolumnanominarur 
cuius bafes funt ouo circuli ccntrum eft puncrus.b.aLcr vero cft quem motu fuo 
eefignatlinea.d.a.ceiuscentrum eftpunctus.a.arisautcm.buiuscolumne 
oicitur linca.a.b.que manct fija in motu palcllogrami.Ob fi imaginati fucrimus 
paralellogram m.a.b .c.d.cum peruenerit rotatu fuo ad fttum.a.b.c .f.comun/ 
gtfttuiaquomoueri cepit fecundum continuitatcm fupcrftciei plane: vt fctltcet 
totu fit vnu galellogramu.d.c.e.f.t p:otraximus in eo oiametru. d.e. crit quoq, 
oiameter .d. e.oiameter colune. £16 aute oicif columue * fpcre 1 circuli idcm cfl c 
centru:intelligi 05 cu boy vna e eadeq5 oiamctcr.2JScrbi gra oijcimus eni cj>. d.e.e 
oiameter iftius colune Spera igif atq^ circulu quo^ oiamcter cft linea.d.e. necef / 
fe eft ide cent^ babere cn ccntro ^ppofttc colune.Sit eni vt linea. d.e.fccet lincaiu 
a.b.in puncto.g.eritq^ .g.centz» columne :oiuidit cni ajccm coliine g equalia % oia 
merzj coluncf>cquauaqbp5p..2y.p:iminamangul; qui funt.a.d.g. funtcquales 
ejc.i f.primi 1 anguli qui funt ad.a.t.b.recti c% ypotbefi:linea quoqj.a.d.c equa/ 
lis linee.b.e.itaqj.d.g.cft equalis.e.g.c.a.g.equalis.g.b.cunq) anguli.c.i. f.fiut 
rccti fi fuper punctu.g.fcbm fpaciu.d.g.ac fuper linea.d.e.circulus oefcribaf tra/ 
ftbit cy couerfa p:ime gtis.jo.tertif per puncta.c.c.f.ttaq^ punctum.g. eft centru 
circuli cuius oiameter eft oiameter columne.ideoq^ 1 fpere:quare manifcftum cft 
omni paralellogramo rectangulo circulum omniq^ columne rotundc fpcram elTe 
tircufcriptibiles.Sicq5 patet ap voluit iftud tbeo:euma. 
C&nguluscojpozeusfiuefoliduseft quem continent anguli plaui 
plures q5 t>uo qui m vna fuperficie firi ad vnum punctum angularem 

m 4 







s 



LIBER 





COHUeuiunt.GDuo anguli plani angulum folidum pcrficcrc ucquconr ficut ncc 
oue recteliucencqueuntfuperficiem clauderc.Sngulosquoqjplanos folidiian/ 
gulum coutincntcs in cade iupaftcic no conuenit cfle fitos fed m oiuerfis quead/ 
modu ouasrcctaslmeasplanupcrlkicntcsangulumnon conucnit fibiinmcem 
fecudii fitii rectitudinis applicari.G Similes funt figure cojpojce rotude 
iiuc iitcolune fiuecarupiramidesquayatxsoiamctrisluarobafiu 
funt pJopoJtioitales.Gpwpofitis enim ouabus piramidibus rotundis aut 
ouabuscolumnis rotundisfifucritp:opo:tioaxisvniusc3f ad oianutrum fue 
bafis ficut aps alterius ad oiametrum fuc bafis ille ouc columnc aut piramidcs 
fimilcsadinuiccmelTcoicuntnr. Ijbiopofttio .1. 

3f nee recte partem efle iit plano 1 pattem m fublim i e int 
pofftbile. 

G5it.liuca.a.b..rccta.C i icocpnonclt poffibilcut pars ciusfitin 
plano i pars furfum dcuata .fi cni eft poffibilc fit pars ei"quc cft.a 
c.fita.in plano z pars cius qucc.c.b. in fublimi pofita 1 pjotrabaf 
oirccte.a.c.in plano iu quo ipfa fita cft vfq^ ad.d.crirq, vc vni cidcmq, lincc quc 
eft linca.a.c.ouc linee penit"' oiucrfe que fiit lincc.c.b.i.c.d.ex cadc partc oirccte 
adijctanf q«5cfl ipofltbilcrejc. 1 j.pjimi. IJbJOpoiitlo .2. 

jnlXHSneslinceOucquaruiiialteraalteram iccat invnaftip 
f ficie fite limt onmclqi triangulus in vna iupftcic totus cort 
ififtit. 
vg.GSintouc [iiiccrccte.a.b.c.c.d.fcinuicctnfecantesmpuncto.c.ei 



1] co cas cfie in iupcrficic vna 1 omne trianguln oico clTc iu fupcrfuie 





irnatotn.figneturenipunctus.f.inlinca.c.d.^punciu.g.inlinca.a.b.ttucat Ii/ 
nea„f.g..Quia igitur impoflibilc eft ptes trianguli.e.f.g.elTc iu plano 1 gtcm i fub 
limi quin cttam fuarum rerminaliu Imea? vnius ant plurium pars finnlitcr fit m 
plano.c pars fimilitcr in fubl.mi cum oe lincis boc fit impolTibilc pcr p:cmiffam 
erir quoqj impoffibile oc triangulo.itaqj totus triangulus.e.f.g. eft in fuperficie 
vna .£% bac igitnr feciida partc 1 p:emilta coftat prima ps buius fccunde p:opo / 
fitionis. Ilbjopofttio .3. 

IflDnium ouarum fuperftcicy feinuicefecantiu comunis 

Ifectioeftlincarecta. 

lc.Dc planis fuperficiebus inrdlige 1 verum erit q6 oicitur. 5int ita 
q$ oue fupcrficics plane.a.b.i.c.d.fc inuicem fccantcs oico cp caru, 

comunis iectio crit hnea recta.£fto cni ouo piicta.c.l.f.tcrmini co/ 




munis fectionis eay quc cotinuenf pcr linea recta quc fit.e.f.fi igitur linca.e.f.cft 
in vtraq^ ouay fu£ficic£.a.b.?.c.d.?ftat ,ppofitii:at vcro fi m ncutra aut fi no in 
alterarcu ambopuncta.e.i.f.fint m vtraq^ fupficiey.a.b.-z.c.d .111 ea fupcrficie irt 
qua ipfa no fuerit p:otrabaf linea recta qne fit.c.b.f.crut igif ouc rectc Imec.ef.s. 
e.b.f.biites ouos terminos coes qb e ipoffibile.fic cni oue recte linee iucludcret fu 
pficie qo e p petitioue vltima pmi lib:i. IjbJOpofttio .4- 
§f fueritlineaoJtbogonaliterab inlciftoneouarumunea 
rum erectainterfecantium fe: tpfa adearundem fuperficte 
perpendiculartserit. 
[|GSit linea.a.b. otfbogonalitcr crecta fup«r infafione ouay Imcarii 





XI 

c.d.c.c.f.fecatiu fe in punrto.b.cc quibus pftatg antcpicmiffa q> ipfc funt (Itc iu 
vna fupcrficic cico q> unca.a.b.gpcudicularis c ad ipfa^ fupficic. Sint cni.c.b .z 
b.d.cqnalcsatvcro.f.b.c.b.e.cqualcsc.ptrabanftincc.c.d.s.c.f.que crutcqua 
lcs pcr.4.p:iinucquidiftantcsg.27.ciufdc.Siguatoitaq5pun(to aliquo ilmca 
c.d.qui fit.g.oucat Imca.g.b.b.critq; cx.^eJ.pnmi .e.g. cqualis.f.b. igif a punuo 
a.vcl quouis pimcto lincc.a.b.ocmittanf ypotbemifaUtcr lince.a.c.ad.a c.a.f.a. 
g.a.b.critq5cx.4.pumi.a.c.cqua'is.a.d.^.3.c.eq!is.3.f.3tcp.s.eiufdceqlis eric 
agulus.a.c.d.cqlisagulo.a.f.c.crgopcr.^.ipffcrit.a.g.eqlis.a.b. ctdcoqjp.S. 
ciufdcm <-ritaiiguws.a.b.g.cqualisangulo.a.b.b.quarc <$ oimnirionevtcrq; e 
rcctus i linca.a.b.ppcndicularis ad Imca.g.b.Simtli quoq, mo pbabis cadc clle 
ppcudiculare ad oes lincas ,ptractas a puncto.b.in fup,ficic oua^ lineaxj.c.d.f.c. 
f.igit e% oione conftat linca.a.b.ec ppcndiculare ad fupficic i qua fitc fut oue liuce 
c.d.c.c.f.fciiiuiccfccatcsqbc^ppofitti. IJbJOpoiitio .5. 

3 lupertrcslineascoterminalcscoieaytermiiio erecta 
Unea quedaoJtbogonalitermlilTatcedetrcslincc ivna 
luperficie lite erunt.CSit liuca.a.b ortbogonalitcr crecta fuper 
cocm teniiinu triii lineay.b.c.b.d.b.c.angulatitcr fe cotingentiu in 
puncto.b.qua? nulla ali) oirectc applicctur qb idcm c" ac fcinuicem 
fccent in puncto.b. p:otractc eni fc fccabunt oico q> trcs lince.b.c.b.d.b.c.funt iu 
vna fupcrficic fite.£onftat aute oc quibufqj caz: ouab 9 q> ipfc funt in vna fuper/ 
ficic fitc per fcoam bui° vcl p prima pte.2 .bui^fi igit linca.b.d.116 fuerit in fup/ 
ficicouarlincay.b.c.t b.c.fcdillcouoi plauo:bocautemfublimi:eritvt becfu 
per ficics in qua fitcfunt oue Imcc.a.b.s.b.d.fi p:otrabatur % p illud qb notu cft 
fnp, quartafecctilliinqnafitefunt.b.Ct.b.e.etitq^pcr.j.buiuscois ea^ fcctio 
linea recta 1 ipfa fit.b.f .q: igitur cjcp:enuffa linca.a.b.e ppendicularis ad fuperfi 
cie ouay lineaE.b.c.c.b.e.fcquif cx ciffmitionc vt ipfa f ,t perpedicular.s ad Imca 
b.f.quare augulus.a.b.f.cft rcctus cunqj ctia angulus.a.b.d.lTt rcctus ej: fpotbc 
fi.fequitur ipollibile vidclicct gtc fuo toti cc equalc. 

Ifbjopofttio .6. 
3f fuerintouclinecfupervna fnpficie ppendiculareseas 
eqdiftates ec uecclle elt. GSint ouc lince.a.b.c.c.d.ppendicu 
lares ad vna fupcrficic oico cas cflc cquidiftantes:pjotrabaf enim li 
itca.b.d.crnntqj ejc oionc 0110 anguli.a.b.d •z.c.d.b.rccti.ft igtf ouc 
lince.a.b.t.c.d.lint in fupcrficic vna ipfc funt cquidiftantes p fcca} 
parte.23.p:imi:ipf33 autcm elTe in fupct ftcie vna fic co!ligc:a puncto.b. fupcr h/ 
ncam.b.d.in plano cui perpendiculariter mfilTunt.a.b.c.c.d.ptrabc o:tbogona 
litcrlincam.b.f.ccxlinca.c.d.fumc.d.e.equalcm.b.f.tpMtrabclincas.e.b.^.e. 
f.erunt igif ouo latera.c.d.f.d.b.trianguli.c.d.b.cqualia ouob 9 latenbus. f.b.-z 
d.b.trianguli.f.d.b.? angulus.e.d.b.cqualis angulo.f.d.b.cu vtcrq, fit rcct 9 . ita 
q3 pcr quarta p:imi linca.b.e.e equalis Imcc.d.f .itcq, cu ouo latcra.c.b.s.b. f.tri 
anguli.c.b.f.fiutequaliaouobuslateribus.f.d.i.d.e.trianguli.f.d.c.ibafis.c.f. 
cois crit p:8.p:imi angulus.e.b.f.equalis angulo.f.d.c. cu vtcrq; nt rect 9 :q: igif 
angul 9 .f.d.c.c rcct 9 a oionc crit etia angul 9 .e.b.f.rcct 9 :itaq3 linca.f .b. ppcdicula 
ritcr e crccta fup cocm tcrminu triu linea^.b.a.b.d.b.e.fe ptingetiu angularitcr i 
puncto.b.qrc p_ ptniffa ipfe fut i furjficic vna:cn igit e? pma parte b 9 fcbe linea.c.d 







LIBER 





fit t'n eadcm fupcrficiCi cum vtraq^ lincarum.e.b.cb.d.fcquitur.a.b.f.c .d.cffe i 
fuperficievna^onftatergopiopofiram. 

Ijbzopofitio .7. 
1 3f in tmabus lineis equidiftantibas ouob^punctis figna/ 
tis ab altero ad alterii recta linea oucaf :in qua fuperttcte 
illeouelineefitefunteamquoqsineandemfttam ee ne/ 
ctfkrio compzobatur. 
CSint oue linee. a.b .1. c.d. cquidiffanres oe quibus conftat 
per oiffinitionem q> ipfe funt in fupcrficie Vna:in cis autem fignentur ouo puncta 
e.t.f.z pioducatur linca recta.e. f.oico itaq, lineam.e .f.effe fitam in fuperficie li 
nearum.a.b.s.cd.Sin autcm fit.cf.in alia fuperficie vt in fublimi ocpendens q 
fupcrficies fi piotrabatur fecabit neceffario fuperficie" in qua fite funt ouc lincc.a. 
b.c.cd.eritq^ pcr. 3 .buius comunis fectio earam linca rccta eifdem punctis tcr/ 
minata quod eft impoffibile.fic eui oue rcctc linee codudercnt fupcrficiem. 

Ijbzopofttio .8. 
^finidemplanuouerectelinee eqnidiftanter erigantur 
altera vero earum oitbogonaliter fiftat reltquam quoqj 
ad idem planum perpendtcularem elle conueniet. 
Obec cft quaft conuerfa fcxtc.Sim enim oue lincc.a.b.i.c.d.cqui/ 
diftantes et fit carum altera vt.cd. erecta perpcndicularitcr fuper 
fnperficte qualibenoico rcliqua carum quc eft.a.b.effe pcrpendicularem ad eande 
fuperficicm. jjiatenimpioifus eadcm oifpofitioqucinfejcta:eritq5 utibivtcrqj 
ono^ anguloy.f.d.b.?. f.b.c.rectus: p:imus quidem per pofitionem.fccudus au 
te per .s.p:imi:quare rj.4.buriinca.f.b.c gpendiculariter erecta fuper fugficiem 1 
qua funt oue linee.b.d.^.b.e.cuqj per piemiffa ouc iinee.a.b.^.cd.fint in eadem 
fuperficie cum otiabus tineis.b.d.t.b.e.fequitur linea.f.b.effc gpedicularirer cre 
cta fupra fuperficic in qua cft linea.b.a.a oiffinitione igitur erit angulus.f.b.a. re 
ttnsz qietiam angulus.d.b.a.eft rcctus per vltima parre.29.p1um :fcquiturper 
quartam bnius lineam.a.b.elTe perpcndicularcm ad fuperficiem in qua fite funt 
oue linee.b.d.«.b.f.quarc conftat piopofitnm. 

1Jb:opofitio .9* 
^f Oue linee vni non in vna iiiperftcie equidiftat eas quo/ 
q5 fibi inuicem equidiftare necefTe eft. 
OSit vtraqj ouarum linearum.a.b.f.cd.equidiftas linee.e .f. ncc 
fint omnes in fuperficie vna: oico cj> ccdcm quoq^ ftbi inuiccm funt 
cquidiftantestoe bis quide que funt omncs in fur>ficic vna p:obatfi 
eft per.5o.p:imi:at vero oe bis que in vna fugficic non funt vt eft bic.e.f. quein/ 
tclligatur furffi erecta i fublimi. reftat boc loco piobandu.fignettir itaq^ in ca pfi 
ctus.g.a quo cducantur oue pcrpediculares ad ouas lincas .a.b.s.c.d.que fint.g 
b.«.g.k.eritq5per.4.buiuslinea.e.f.perpendicularisadfupcrficic videlicetillam 
in qua funt fite oue lince.g.b.c.g.k. itaq^ pcr piemiffa bis affumpta vtraq^ illa^ 
oua£linea£.a.b.7.cd. ppendiculariseadeaitde futjficievidelicct adillainqua 
fite funt eicre oue linee.g. b.s.g.k.g feyta bui 9 igitur ipfe funt fibi innice equidt/ 
ftantcsq6cftp:opolim. . 




XI 





1|b:opofitio .10. 
3f One Uncefe angulariter contingentes ouabnsalijsfe 
cotingentibus eis oppcHitis eqnidiltantcs fuerint mo aut 
in fuperficie vna qui ab eis fiunt ouo anguli eque fibi mui 
cem efie compiobantnr. 

GSint oue linee-.aib.t.a.c.fe angularitcr coutingentes in puncto.a 
cquidiftantes alijs ouabus que funt.d.c.s.d.f.fe quoqj angulawer contmgcnti/ 
bus in puncto.d.ncc fint cum eis i fuperficic Vna:oico angulii.a.effc cquale angu/ 
lo.d.£fto eni linca.d.c.equalis linec.a.b.cui ipfa pofita cft cffe equidiftans. i.d. 
f.equalis.a.c.cui eria ipfa cquidiftare pomt i oucanf lincc.d.a.?.c.b.?. f.c.entqj 
ev.3 j.pjimi bis affumpta vtraqj mi% Uneaf .b.c.z.e.f .equalis i cqmdiftans U/ 
ncc.a.d.per conccptione igitur % p:cmiffam cede funr cquales ? equidiftantcs fi/ 
bi inuiccm.? itac|5 per. 3 j.p:lmi oenuo rcpecita ouc lincc.b.ci.c.r.funt ctia cqua 
lcsiequidiftatcsiigif per.s.p:imic6ftat#pofitii. 1{b:opofitk> .11. 
Slncto in acre allignato ab eo ad oatam inperficiem per/ 
pendicularem oucere 

| GSit punctus.a.furfum in aere a quo volumus ad fupcrficie fubia/ 
centem perpcndicularcm ouccreoucaf igitur in plano illo:linea.b.c 
vtcuq$ cottgerit ad qua ab ipfo puncto.a.oucaf perpcdicuiaris.a.d 
fcbm ooctrina. u- p:imi rurfufqj a puncro.d.in plauo illo ad q6 ouccnda cft pcr/ 
pcndkularis apuncto.a.ejctrabaf Uiica.d.c.qucfit perpcndicularisadlinca .b.c 
vt oocet. 1 i.p:imi.3d bauc quoqj linca.d.c.oucaf alia Unea perpcdicularis a pun 
cto.a.que fir.a.f.banc oico elTe ea qua intedim^.Sit eni Unca.f.g.equidiftas hncc 
b.c.^q^vtcrq^ouoy anguloy.b.d.a.i.b.d.f.cft rectus: crit c^quarrabui^linca 
b.d.pcrpcndicularis ad fupficic in qua cft triaugulus.a.d.f.idcoqj etii g.8. bui 9 
crit Unca.g.f.ppendicularis ad candc fupcrficie :igif a oiffiuitionc crit augulus.g 
f.a.rcctus:ciiq5 ctia angulus.d.f.a.fit rectus:fequif cjc quat.a buius Unea.a.f.elTc 
ppcndiculare ad fupcrficiem in qua funt oue linccd.fa.f.g.qo' eft pwpofitum 
*l£>:opolitio .12. 
] ^perficie .ppofita punctoq^ in ea aflignato ab eo pnncto 
jad oatam fngricie linea o:tbogonaliter ertgere.CCii a pun 
cto quolibct in fupcrficie ,ppofiia aflignato gpendioilarem educcrc 
Iibucrit a quolibct puncto furfum m aere ad libitum pofito ad eande 
fugficie gpcdicTarc qucadmob pmiffa oocuit oemittere quc (i i alTi/ 
gnatu punct» cccidcrit ipfa c qua qucris .Sin aut ab ipfa aflignato pijcto ad oe / 
milTa perpcndicularc cquidiftantcm oucito:caqj per.s.buius pwbabis ce quam 
'qucrts. 1^520pofttio .13. 

■§(as Uncas fuper puctti vnu ad fupficie vna onbogonatt 
ter ifillerc e ipoflitulee.GSi cni pollibilc e vt ouc lincc vni cide" 
qj fupficiei fug punctu vnn ppendtcularitcr infiftat fugficics t q ipfe 
tjpcndicularcs fitc fut itdligaf .pduci quoufqj fecct fu£ficic cui oicte 
lincc ppcndiculariter ififtur crirqj pcr . 3 .bm 9 comunis ca^ fcctio Unea recta:? q: 
ej; oiffinitionc vtraq;, illay ouaru pcrpcndiculariu cii comuni fcctionc corinet an/ 
guliim rectu fequitur ut angulus rcct 9 fit ps anguli rccti qb cft impoffibilcQuead 
modn aiit oemonftratu cft impoffibile cfle ab vno cockm puncto cjctra fupftcicm 






LIBER 




ouas lineasfuper punctum vnum ad eandcm fupaficicm effepcrpendicularcs 
itactiam ocmonftrabimus impofltbilccffeouas lineasabvno codemq^ pun/ 
cto extra fuperficicm fignato ad eande fupcrficiem p:otractas ad ipfa efl c perpei» 
diculares. 6i enim boc fuerit ipfe erunt equidiftanres ejc.e.buius qo eft impoffibi 
le c% oiffinitionc linca? equidiftantium.£onftat igirur c% bac <$ ft aliqua fupcrfi/ 
<ies plana alia plana fupcrficicm o:tbogona!iter fccet i ab aliquo puncto fccantis 
fiiperficiei ad fupcrficiem fectam pcrpcndicularis oucaturrin comunt eaj? fectioue 
eam cadcre neccffc cft.Slioquin ab codcm puncto fecantis fupcrficiei ad contune 
carum fectioncm pcrpcndicularis p:otrabatur ut oocet. tz.p:imi i a puncto i quo 
tncidit cu comuni fectione alia perpendicularis ad cande comune fecrione in fupcr 
ficic fecta cducatnr ut oocct. t i.p:imi:critq5 c% oifftnitione fuperficiei fupcr aliam 
fupcrficiem oubogonaliter erecte angulus que cotincnt bce oue lince pcrpcndicu/ 
lares rectus:quare per quarta buius p:ima b&y ouarum.pcrpendiculartum ctiam 
cft perpendicularis ctii ad fuperficie fecta.crgo ab vno puncto p:otracte funt oue 
Itnec perpendicularcs ad candc fuperficiem quod cl t impolTibilr.rclinquitur itaq5 
p:opofitumnoftrum. Ifbjopofttto .14. 

3f lineavna fuperouas fuperfictce affignatas oztbogo/ 
nattter tnliftatalie oue fuperficies li etta 111 tnfimtu i qua/ 
cunq^ partem pjotrabantur mmquaconcurrer. 
Gpoitta cni linea vnaouabu3fupcrncicb 9 03tbogonalttcrinfiftcre 
fi polTibile e fugficies tllas cocurrcrc in ca^z coi.fecttone quc pcr.j.bu 
ius crit linea rccta: punctufq^ quocunqj modo fignet a quo ouc liuee in illis oua/ 
bus fupficicb 9 adlineaillaquctpfisgpendicularitcrfuEftat^ptrabat: entq^con/ 
ftitutus triangulus cc bis ouab 9 lincts 1 perpcdiculari bm 9 itaq^ triangult vrcrq^ 
ouo:u angu!o:u qui fupcrpcndiculare cofilluc c rect 9 vt P5 ejc oionc linec fup:a fug 
ftcie ppcndiculariter ftanrie boc aut c ipolTibile per. j2.p:imi. 
C/gconuerfoquoq^vtdeUcetftlupcr Ouas fuperfiries cquidiftates 
linea rectacecideritque adaltcratn earum perpendiculans lit ipfa 
quoqjperpcndiculartseritad reltquum. Gpofitis cnim ouabus fupcr 
ficiebus equidtftan tibus intelligatur linca rccta ambas pcnetrans que alteri caru 
ppendicularitcr fupcrftat:oico <j> eadem linca rcltque fuperfinci gpcndicularitcr 
fupcrftat.6it cnim fupcrficies vna fccans pofitas fuperftcies equidiftantcs fuper 
lincam eas penetrarc critq^ cois fectio buius fupficici fccatis 1 altcn 9 fccraru vide 
licct ilU 9 cuilinca pcnctraBponitppciidiculariterinfiftcrecottncsangiilu rcctum 
cii ipfa linea pcnctratc c% oione lincc gpcdtcfaris ad fugficicfi igif alia cois fcaio 
ipfi" fugficiet fccatis 1 rcliq ouarti fcctaru cu cadc linca penctratc 116 ptincat an/ 
gulu rectu ertt c% vltima pctitiouc pmi vt lllc ouc coes fccttocs i alrerutra prc p:o/ 
tracte ncceffario pcurut quarc ? fupficiesquc pofttc fut cquidtftantcs neccflario 
pcurret.s q: boc e ipolTibilc cnt tlle aiigui°rca 9 eodcq5 modo crit oc qualib^ alia fu 
jficie cafde fugfiaes cq'diftatcs fecatc lug eaudc linca: igtf cjc qrta b 9 1 cy. ifta . 14. 
conftatveni ceqoorcim 9 . *]jb JOpolitiO .15 
5 fiicrint Ouc linee fe continentcs angalanter equidtftan 
tes alijs ouabus le contingcntibus non autem tn fnpcrfi/ 
cic vna ab ctfdcm lincis contente oue fupaftctes tn nulla 
parte quantucunq^ p:oducantur polTunt concurrere. 




XI 




C5int oue lincc.a.b.s.a.c.fe angularitcr contingcntcs in puncto.a. cquidiftan / 
tes oaabus lineis.d.e, c.d.f.fe angularitcr contingcntibus in puncto.d. * no fint 
in fuperficic vna: oico ea? fupcrfiicics i quacuqj pte i quatucuq^ p jotrabant nun 
cJ5 concurrae:p:otrabatur?eniapuncto.d.,putoocct.f.buiusperpendicularis 
ad fuperficic ouay lincaj/.a.b.s.a.c.firq^.d.g.? a puncto.g.oucatur.g.b.cquidi/ 
(tas.a.b.s.g.k.cquidiftans.a.c.eritqj c% oifTinittone vtcrq^ ouo£ angulo:uni.d. 
g.b.d.g.k.rectus z per.9.erit linca.d.f.equidiftans linee.g.k.c lince.d.e.equidi/ 
(lans lince.g.b.quare p vltima ptcm.29.p:imi vterq, ouo^ angulo:um.e .d.g.f. 
d.g.erit rectusiideoq^ per quarta buius linca.d.g.erit ppendicuiaris ad fupficicm 
ouaylinca^.d.c.t.d.f.cunqjipfacadem fitetiacj: fpotbcfi perpendicularisad 
fuperficie ouarum hnearum.a.b.i.a.c.igitur c% p:emiffa liquet quod e .ppofitum 
IfbJOpolitio .\e. 
% onas fnperficics equidiltantes vna (uperficies fecctco 
munes cay feitiones equidiftantcs erant. 
G£onftat cquidcm c% tcrtia cp vna fupcrficie quafcuq, ouas fupcr/ 
ficicsequidiftantcsfccantecomunescarumfccrioncs eruntoue li/ 
nee recte:que cfi fint ambe fite in fupaficie fecantc. fi ipfe no fuerit 
cquidiftantes ponantur ad quotlibet vnum punctium concurrere:crit ttaq^ w W 
atqj ide punctus fit in Vtraq^ illay ouajj fcctioiifj comunium cunq^ vna illa^ com 
mnnifi fcctionfi fit in vna ouai/ fupficic^ kaap i rcliqua in altcra.fequif fupficies 
illas que pofite funt cffe equidiftantcs concurrere:boc amem impolfibile eft.£rut 
igitur coes carum fcctioncs cquidiftantcs quod eft p:opofitu.G£x bac i p:emif i 
fa poteseliccreconclufioncvna fimilem.jo.pnmividelicctiftam.Si fuerintouc 
fuperficies vni cqnidiftantes ipfc quoq, crunt adinuice equidiftantcs.pofitis cui 
tribus fupcrficiebus quarum vtraq^ ouay cj:tremarti equidiftct mcdie oico c$> ne/ 
ceffc eft ipfas ejrtremas cquidiftarc adinuiccm.fccentur omnes illi trcs fuperfici/ 
cies ouabus fuperficicbus fe qnoq^ inuicem fecantibus:erutq5 cjc bac. i6.comunes 
fcctiones ouajzejrtrema? fuperficie:/ equidiftantes fationibus medic:quare ey.jo 
p:imi ipfi ctia fectioncs oua^z cj;trcma? fuperficie? crant equidiftantcs adinnice". 
£t quia ipfe contingunt fc iu comuni fcctione ouay fupcrficiey tres pofitas fuper 
ficies fecantium ej: piemiffa cuiden tcr conftat quod oijamus. 
Ifcaopofitio .17. 
|3f fuperficics trcsvel plures eqnidiftantes ouasrcctas 
lineas feinuicem contingcntes vel eqnidiftantes fecet ilta 
rum lineanim ponionespjopojrtonales efle pjobantnr. 
(L3ntelliganteniouerectcl{nccpenetrantcsqualitacuq5 cotigcrit 
ires fuperficics cquidiftantes aut etia plures tribus.oico itaq^ ouas 
po:tioncs iWaz? lincarum intcr quaflibct ouas lincas fupcrftcics interccptaspjo/ 
po:tionalcs cffe quibufque ouabns intcr alias ouas e* illis equidiftanttbus fupy 
ficiebus interceptis.£oniungant cnim oue extrcmitatcs illa:; ouay lincay oncta 
inter cas linca vna oiagonalit:eritq5 boc oiagonalis cu vtraq^ illarti ouay linca^ 
pcnetratiu fupficics.ppofitas in fupficic vna tllas equidiftantes fupficics pofitas 
fccatc.fi crgo ba^ fupficic? coes fectiocs q p p:emiffa cnlt cquidiftates cogitatoe 
pjotrajxris er. prima parte fecundc fejcti conftabit pjopofitnm. 
Ijbzopofitio .18. 





LIBER 






\ in fuperftcie afftgnata otfbogonaliter ffeterit : linea 
ois fuperftcies a linea Ulaquozfmn libet oncta ad eandeni 
afftgnatam fuperficiem erit o:tbogonaltter erecta. 

GSit eni linca.a.b.erecta perpcndiculariter fup. affignata fuperficic 
i a linea.a.b.^ducat fuperficies quo:fu libuerit :qua oico fup p:o/ 
pofitam fupcrficiemclTepcrpcndicularircrcrcctam.cumenimipfa fccet fuperfici 
cm affignatam: erit earum comunis fcctio linca rccta ej;.j .buius.fitqj.b.d.in bsc 
ergo comuni fectione fignato puncto quoltbct qui fit.d.etfrabatur ab co 3n fupcr 
ficie que p:oducta eft a linca.a.b.linea qucda ppcndicularis ad linea .b.d. que fit 
d.c.critq5exfecundatJte.2S.p:imiltnea.c.d. cquidiftans:lincc a.b. tdeoqjccS. 
buius linca.c.d.eft etia perpcndicularis ad fupcrficte p:opo!Tta:quia crgo boc mo 
do quelibct linea p:otracta onbogonaliter a quolibet puncto hncc .b. d.ad ipfam 
lincam.b.d.in ipfa fupcrficie quc p:oducta cft a hnca.a.b.cft pcrpeudicularis ad 
p:opofita fuperficiem eje oiffinitione fupcrficici fup:a fuperficie o:tbogonalitcr ere 
ctc:coftatve^cffcq6p:opofitueft. 1(b2opofitio .19. 

Jouefuperfjcies feinuicefccantes liip:avnam fuperft/ 
!ciem crectcfuerinto:tbogonaliterc6muni8carum fectio 
adeandem fuperftciem perpendiculariserit. 
GSint oue fupcrficies.a.b.i.cd.fcinuiccm fccantes crccte o:tbogo 
naliter fupcr affignara fupcrficiejifitq; comunis cai> fcctio Unca re/ 
cta.e.f.banc oico cffe pcrpcndtculare ad affignata fupcrfKicm.alioquin a puncto 
f.qui eft cois termin 9 fectionu oua^ fuperftciqz fccanni3:-r tcrtie fupjktei fccte p/ 
ducaf vna linea recta quc fit.f.g.tn fupcrftcica.b.perpcdtcularis ad fupftcie afit/ 
gnata.iteq;abeode pucto oucaf aliapcrpcndicularisadeande fupficie que ftta 
fit in fupcrficie.c.d.c ipfa fit.f.b.cruntq; ouc linec.f.g.c.f.b.oubogonalitcr infi/ 
ftentes fupcr punctu vnu ad fupftcie alTtgnata:boc aut impofTibile per. ij.buius 
lales aut lincas poffe ,ptrabi a puncto.f.in vtraq; oua? fuperficiey.a .b.z. c.d. 
cu.cf.no fuerit perpcdicularis ad alTignata fupcrficic oubitare 116 coucntt.^ntel 
ligaf quide linea.f.b.cois fcctio fupcrficici.a.b.t fupficici afftgnarc 1 linca.f.d.fu 
perfictci.cd.? fupficici affignatc.Si igif linca .c.f.fucrit ppendtcularis ad vtratiq^ 
oua? lineay.f.b.t.f.d.ipfa etia crit perpcndicularis ad fnpficie affignata c% qrta 
buins.fi aut ad neutra fit.f.g.ppendicularis ad.f.b.^.f.b.perpendicularis ad.f.d 
oeindc a puncto.f.,ptrabe in fuperficte affignata vna linca ppendicularc ad lined 
f.b.q ejc oione fupjkiei fup alia fupjicic oubogonaUter crectc cu liuea.f.g. ptincbit 
angulu rectu:p quarta igif bui 9 crit linca.f.g.fjpendicularis ad fupcrficic afiignata 
£ode quoqj mo .ptracta alia linea a puncto.f.i fupficte affignata q fit pcrpcndi/ 
cularis ad linea.f.d.fequcf c% oionc p:edicta 1 e% quarta bui 9 linea.f .b.ce ppedi/ 
culare ad fnpficie affignata qb e impolTibile p. 1 3.buius.£26 fi pfitcarc linca.cf. 
cffe ppendiculare ad linea.f.b.fcd no ad linea.f.d.fcqucf modo confimili ouas li/ 
ncas.cf.t.f.b.elTc perpcndicularcs ad fuperficiem alTignatam :q6 nibil minus c 
tmpoffibilc. l£>:opofitio .20. 

3f tres anguli fugficiales folidii angulu ptinea t illoy triii 
anguknum quiq? ono piter accepti reliquo fut maio:es. 
C Sint tres linee, a.b.a.ca.d.piramtdalitCT erecte fup:a fupcrfici/ 
jem.b.c .d.continentestresfuperficia!e3 anguloscjc quib 9 folidus 




XI 

perficitur angulus iiipuncto.a.oicoquollibcteuoscyipfefopcrnctalib^ansU)' 
tis folidum angulum in puncto.a.confittncntibus pamcr acccpto3 tcrtio ce maio 
:cs. Si cni bi trcs anguli fupcrficialcs fucrmt f ibi inuiccm eqles:aut fi ouo tantu^ 
equalcs tcrtio epttc minoic vtroltbet ouoy cqualtu^tpftat g cocm fcicntia vcram 
effe qb oicitur. Qt> fi eoy vnus vtrolibct ouo2z rchquoiz maioi fucrit ftue tlii ouo 
ponant cquales fiue uon cquales-.adbuc conitat illum maiojem cum vtroltbet ouo 
ru rdiquoy pariter acccptoy tcrtio elTe niaioic.Scd i illos ouos minoies panter 
acccptos boc tertio qui maioi vtroltbet pomttir ellc mat02cs:fic coUigc. cfto cnim 
crium piopofitoium anguloium fupcrnciahum angults.c.a.d. maioi vtroiibet re/ 
fiquoium ouozajEj: tpfo crgo abfcindam angulum.ca.d.cqualem anguto. b.a.d. 
^ptracta linea.a.e.s fuma cr. bac luiea.a.c.linea.a.g.i cjc linea.a.b.ltnea.a.f.quaf 
ponam effe cquales t piotrabam Uncam a puncto.g.qualttercucrj coutingat in fu 
pcrficic oua? Uncaru3.a.c.i.a.d.quoufq3 fccct.a.c.in puncto.b.-z.a.d. in puncto 
k.i ipfa fit.b.g.k.t p:oduca lincas.f.b.T.f.k.cum fit igitur.a.f.cqualis .a.g. pofi 
ta.a.k.comuni erit per quarta^ piimi.f.k.cqualis.k.g.c qi ex.20.pnmc oue Imce 
b.f.«.f.k.futitmaio:cslinea.b.k.eritpcrc6ceptionc.b.f.matoj.b.g.idcoq3pcr 
aj.piimi cu ftt linea.a.f .equalis lince.a.g.crit angulus.f .a.b.maioi angulo.b.a. 
g.per coceptione igitur coftat ouos augt.los.b.a.f.f.a.k.pantcr acceptos ce" ma/ 
ioics angulcb.a.k.qb erat ocmonftrandu. 

IjbtOpolttio .ii. 
■QfcnteanguluslbUdus quaruozrectisasnUs minozefle 
pjobatur. 

CLangult folidi quantitts cr. angulo? fuperficialiu ipfu folidu con / 

tincntium quantitate octcrminatur.bac crgo.2 i.piopoitl6alitcr < p / 

J ponif quoqj quoflibet fap.ficiates angulos folidu quclibct cotinetcs 




panter acceptosquatuoirccttsanguliscffe minojes .Sit eni triaugula ptramts 
a.b.c.d.cuffapremus angulus cu polTit cffe quiiibct fuo? anguloiz bic tn fit.a.oe 
quo oico cp tres farjficiales angult ipfu.a.ptinentcs fint minoies quatuoi rectts. 
fonftat eni ec ji.piimi. o.angulos tnu fangulo? banc piramidc circultantium 
i Cpfi funt.a.b.c.a.c.d.a.d.b .cfTc cqualcs fex angulis rectisioc trtb 9 aut angufe 
bafis ei 9 que e triagulus.b.c.d .coftat quoqj p eande cp ipft funt cqttales ouobus 
rectis.cnm igiturfejcangulitriumtrtanguloypjcdicto^bauc noftram piramide 
©e cuius fupiemo angulo oifputamus circudantukqui tnq, fcjc anguli cum tribus 
angulis bafis rcliquos tres angulos folidos piramidis contmcnt:fmt cr picmiffa 
tcr affumpta maioics tribus angults bafis:fcquif ipfos fer. angulos elTc maioics 
ouobusrectisiejr.nouc-igitangulistnumtrianguloy piramtdc circudantiu bis 
fqc angulis oemptis crunt cr. comuni fcia rcltqui tres i ipfi funt qut conftituut fo/ 
lidti angulu.a.mioies^-rectis.Si aut angul 9 .a.fupmus i afiupta piramidc plu/ 
rib 9 angulis fugficialib 9 qua mb 9 p,ineat qb crit fon multitudtne angloy fue bafts: 
eu igit oes attguli oim trianguloy ipfa piramidc ctrcudattn piter acccpti ftnt cjc. 32 
pmi tot rectis angulis eqlcs quat"c numer 9 angtbiz fue bafis ouplicat 9 :co cp tot nc 
ccffe e ee triangulos piramide circudatcs quot fucrit anguli fue bafis.Xuq^ omuea 
anguli fue bafts fint tot rcctis angults eqlcs quanrt numcr 9 angulo22 fao£ cupli/ 
catus: ocmpti» indc.44it in. j2.pni ocmonftratnm eft. Xunqj tgttur omncs an/ 





LIBER 









guli triangulo^ piramide circudatiu qui fug latera bafis ipfi 9 piramidie cofiftunt 
panter accepti fint maio:es omnibus augulis bafis gitcr acccptis vt euidercr con/ 
ftat c% pxmiiTa totiesquot angulos bafis babuerit repenta.adbuc necclTario fe/ 
quitur c% coi fcia fugricialcs ang uios folidii angulu.a. continentcs curer acccptoa 
elTe minoKs quatuo: rcctis :eo inqua minojcs quo oes anguli trigono? pirami/ 
dem circudantium qui fup latera bafis ftatute piramidie conuftant ejccedunt oes 
angulosbafisparitcracceptos. Ijbzopofitio .22. 

3f tres anguli fuperftctales quo;£ quinqj ouo pariter ac/ 
| ceptitmtofmtmaiojescunctislibiiniucem equislineis 
contineantur t>e tribus baftbus augulos Ulos ab tpfa? li/ 
jneayequalium terminisfubtendetibustriangulum iiibfti 
i|tut vel conftitui pollibile eft: 
C5int tres fup.ficiales anguli.b.a.c.e.d.f.b.g.k.vt ,pponit:taIes vidclicet ut qui 
q5 ouo co:uj tcrtio fmt maio:es .fintqj te% latera eos contincntia cqualia que fint 
a.b.a.c.d.e.d.f.g.b .g.k.sfubtcdanf cistresbafesquefint. b.c.e.f.b.k. £% bis 
ergotribus bafibus triangulu aio conftitui poffe.£ftocniangulus.b.a.l. equa/ 
Usangulo.d.tlinca.a.l.lincc.d.cjpwtrabantur.l.b.l.c.critq^ cx.4.p:imilinea 
l.b.equalis linee.e.f.cr ypotbcfi Vcro pftar to talem angulu.a.elTe maio:em angu 
lo.g.eraut eni quiq; ouo cr tribus angulis.b.a.cd.s.g.rertio maio:es igif er. 14 
p:imi linca.l.c.iinca.b.k.c maio:.cunq3 fint er..2o-pumi ouc linec.l.b.s.b.cmaio 
res Imea.l.c.fcquitur ouas liueas.l.b.c.b.c.clTe mnlto fo:tius maio:es linea.b.k. 
quia igitur.t.b.cft cqualis.e.f.erunt oue lince .b.c?.e.f.maio:es lince.b.k. £on/ 
ftat itaq^ boc modo quafq^ ouas lineas er. tribus lincis .b.c.e.f .b. k. clle longi/ 
o:es tertia:igif cc22.p:imi conftat verum elTc qo oicitur:boc outarat addito q> ft 
onoanguli.b.a.c.i.d.paritcracccptifintequalesouobus rectis etunr oue lincc 
l.a.^.a.c. c%. i4.p:imilincavna:quecumfitequalis cr.ypotbefiouabus lineis.g 
b.i.g.k.que cc2o.p:imi longio:es funt linea.b.k.cunq^ cr. eade Imee ouc.l.b.c.b 
c.fint longio:esling3.l.c.fequiturvtp:ius.b.c.«.e.f.gtter acccptas ec longio:es 
b.k.at vcro fi ouo pxdicti auguli funt maio:es ouobus rectis:erunt er.. 21 ,p:imi 
oueunee.a.l.?.a.cidcoq5?due.g.b.?.g.k.b:cuio:es ouab 9 qfut.l.b.?.b.c.qu8 
re vt piius.b.c^.e.f.paritcr acccpte funt longio:es linea.b.k. 

Ifb 2opolitio .2j. 
IfAibus angulis fupftcialtbus pjopoiitis quoy quiq^ tmo 
ptter accepti tertio funt matojes om nes aut tref limul qua 
tnoi rectts angulis mino2es:er. trtbus tllis equahb? qug 
lefcunqj fint folidum angulum confhtuere. 
G5iut ^pofiti tres anguli fugficiales qui funt.a .b.c .oe tribus illis 
cqualibus volumus vnu folidu anguluconltirnere opo:tct: igit er..n.b 9 vtquiqj 
ouo co? pariter acccpti tcrtio fint maio:es 1 ec2i.buius vt omnes piter acccpti 
quatuo: rcctis angulis fint minotes er. ipfis iiaqj fint bcc pofiia:Iatera vcro eos 
continetia cuncta adinuiccm fint equalia eisq3 fubrendantur tres bafes 1 ipfe finc 
d.e.e.f.?.f.d.eritq5 er. p:emiffa poffibile oe tribus lineis bis bafibus cqualib 9 tri 
agulum conftitui.Sit igit er. cis coftitut" i m obctrina.22.p:tmi rrianguius.d.e.f. 
conftitutus: cui fficut oocuit quinta quarti circufcribat circulus. d.c. f . fupra cen / 
tram.g.f ,ptrabat:g.d.g.c.g.f.que cii fint adiuice eqles cr. oione circuli latcraqj 




XII 



trcs ^>pofit03 angulos ambtctitta cqualia ejt fpotbcfi ncccffe cftvt ca^qnclibct 
quolibct illomm iatct u fit miuo: equalc attt aut maio:c cilc cft impoffibilc Si cni 
linca ejciens a ccmro.g.ad circufcrciiam arculi.d.c.f.ciTct equalis alicui Utcp.a.d 
a.e.b.e.b.f.c.f.c.d.fcqucrcfiirp:optcrcaquepofitafutaniiuciitc.8.p:imitrc6an 
guIos.a.b.c.^ppofitavciTccqualcstribusangulis.d.g.c.e.g.f.f.g.d. cuqjbitrca 
fint cqua'.C3 quatno: rcctis augulis vt facilc p, er. 1 3 .p:imi:p:otraaa paulrfcj vna 
linca^ ejccntiiiaccntro adctrcufcrcntiamincontinuunuoircctu:elTent cttdtres 
anguli.a.b.c.cqualcs ctia quamo: rcctis qo cft cotra poftta . £16 (1 clTct maio: fu/ 
pcrpofitis tribus triangufo quo:nm funt anguli.a.b.c.tnb 9 tridgulis oiuidcnti/ 
bus triangulum.d.c.f. vnoquoqj tlli ctt quo coicat in baft itacp bafcs fupponant 
bafibus cquales Vidclicet equalibus 1 anguli.a.b.c.cadant ad fjtcm puncti. g. fc/ 
querctcx.zi.pmitrcsaguIo3.a.b.c.ciTcmaio:cstnb 9 quiiut.d.g.c.e.f.g.f.g.d. 
eent itaqj maioies qtuo: rectts qD e amplt 9 ptrartu politis Kciinquif itaqj Vnii/ 
quodqj cjc fejc latcnbus tres ,ppoi'ttos angulos dbientibus maius ei lc linea egrcdt 
entc a ccntro.g.ad ctraifcrciuid.d.e.f.idcoqj ctid porentiu6.6it igitur potcntius 
i linca.g. b.quc fit fc6m. iz.b 9 o:tbogonalitcr crccta fug fupfiac anguli vcl circuli 
d.e.f.ocmittdturqj tres fpotbemife.b.d.b.e.b.f.quas oico cottuere anguios trcs 
fupcrficialcs equales tribus p:opofitis conftituentcs angulu foltdum tn puncto.b 
cu ent quadratu lince.a.d.fit cquale ouob" quadratis ouaylinca^.d.g.?. g.b.ejc 
fpotbcfiatquadratu lince .d.b.fitcqualecifdeexpemiltimap:imi necelTccltli/ 
ned.a.d.cffecqualcm linee.d.b eodcq, mododined.a.c.liKc.c.b.igircjc.S.pmi 
cii bafcs ctia fiut equales erit angulus.a.cqualis angtilo.d.b.e .filr quoqj 116 ent 
angulus.b.equalia angulo.c.b.U angulus.c.cqualis angulo.f.b.d. quare coltat 
factu ee quod faccrc oifpofuimus. ']f&20pofitio . 24. 

•^fuperficiebusequidiftautibus folidimi cotineatureius 
pppofite fupficies libi inuice equalee funt 1 equidiftatttiii 
iaterutn.CQuicquid oicant alij fottdii cquidtftantibus fupcrficic/ 
bus contentunt fupcrficicbus partbus ncccffc clt cotineri que ftcut cc 
i>6 polTunt paucioies fejc ita polTunt clTc tit omui numcro part fe/ 
narium ejccectcnrc.£onftat cni columnd ejcagond poflc. s.fupcrfkicbus quc binec 
bine oppofitc ftbi inuicem equidiltant contincri:fic quoq, ocrogond. io.z occago/ 
nam. 12.1 ad iltay fimilitndine" in infinitu.fj boy omniu folidoy cquidiltantibus 
fupcrficicbus con tcntor quc inftnita cffe p:onuncio folu illud oicit paralcllogra / 
tnu cuius omnes fupcrficics ipfu ambicntcs palellograme 1 unt z iitud fejc fupcrfi 
cicbus ountajcat neceiTe cft ambiriroc talt iraqj qd fcy tiii fupficicbus ambit oico 
©ebercitclltgi cpbec^.^poniufkigittalc foltdum co:pus.a.b.cuiusomnmo 
fupcrficics fac vt folido babitu mente c6p:cbendas:patebitq5 tibi vndquaqj cartt 
quatuo: q. reliquis fecare cuius quatuo: latcra cum fiut comuncs fectiones ipfius 
fecantis 1 quatuo: fcctay.Sint aute ille quatuo: fccte bine-zbiuc fon cp adinuiccm 
opponunt equidiftantcs cxypotbcfi:fcqutt e*. ic.bis alTumpta ut quatuo: latcra 
bui" fupficiei fecantis % quatoo: fectay fint adinnice bina % bina equidiftdtia. £6 
Itat 1130.5 fcom. 3t vero 9:. j4.p:imi manifeftu e oia latera oppofita iftay (cx fup. 
ficie? ce cqualia:crut igif bina latera angulu planu cotiuctia cuiufqj cay cqualia 
binis lateribus angulit planu in fugncic ftbi oppofita ptinerittb 9 .anguli quoqj ab 
illi3 bini3 « binis lateribus ptenti cquaics g.i o.b 9 : igit c* puena pcnultimc cois 





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LIBER' 

fde itt p:imo lib:o poftte ncceffe eft quafci, ouas fuperficics in folido.a.b.oppo/ 
fitascfrenblitmic«qualesq6eftp:opofitu. 1[b20pofltiO .2j. m 

fuperficiesquedaTccetfoUdu paralellogranm eqdifta/ 

1 ter tmabus ipltus folidi iugticiebus oppotins tmo paraa 
lia co:poza que ad illam fecantem fnperftcic velut ad co/ 

I tuune terminii copulant fuis balibue liint pzopomonalia 
^GSitco:pus.a.b.folidupalcllogramu? fccet ipfum fugfiaes.c.d. 
eqmdiftanter ouabus ctus oppofitis fupficicbus que funt.a.e.c.f.b.? lit fueficicf 
g.b.bafis ipfius fotidi.a.b.oe qua conftat pcr piemiffa q> ipfa fit cquidiftantium 
late? i fit cois fcctio ouay fup.ficiejz.c.d.t.g.b.iinca.b.d.oe qua conftat g. .bu/ 
ius cp ipfa.fit linea rccta * p. is.buius $ ipfa fit equidtftans.g.e. tdcoqj funt oue 
foperficies.g.d.s.b.b.eqsidiftantiu latqz i ipfe funt bafes ouoj; grialiu co:po£ 
in que fufjficics.c.d.oiuidit folidum.a .b. oico itacp cp ,ppo:tio folidi.a:d.ad foli 
du.b.ce ficut bafis.g.d.ad bafim.b.b.piotrabant eni vtrinqj quatit libucrit.qua 
tuoi linee penetrantes fugficic.c.d. fop. cius angulos i ipfc funt.a.f.c.e.b.cu oua 
bus rctiquis ftbi cquidiftantibus. Sumanfc[5 ejc eis omnib 9 pojtioncs cjc prc puii 
cti.b.quot libucrit que ponant fingule cqles lincc.b.d. i c? parte pumti.calie fitr 
quot libnerit quc ponanf cqualcs lincccd.fug quas Vtrincrj pftttuaf folida rale! 
lograma fc6m foay longitudine etfgcntiu.Sinrq^ cf p tc puncti.b.folida f.k.-z.l. 
m^cxptepuncti.e.folida.a.n.t.q.a.critqjcyoionccojpoycqualiuatq^fiini/ 
liu vnuqoq^ folidoy.f.k.z.l.m.cquale folido.e.b. i vnuqeq^.a.n.i.p.q. c equale 
a.d.fiat igif argumetii cneadmodu i piima fejcti e eni foltdu.c.tn.ita multiplcx fo 
lidi.b.c.ficbafis.b.m.bafi3.b.b.cfclidu.q.c.itamItipIexfolidi.a.d.ficbaiis.q.b 
bafis.g.d.1 ft bafis.b.m.c cqtis bafi.q.b.folidu.e.m.eft eqle foltdo.q.c.ev oione 
to:poy equaliu atq5 fimiliu i fi bafis e mino: bafi i folidu e rnin 9 folido i \\ maio: 
mai 9 q6 p 5 ct oione eade rcfecata maioii bafi ad eqlitate mino:is 1 ocfcripto fup. 
eam folido palellogramo.itaqj ejc oione icotinue ,ppo:tionalitatis ,ppo:tio folidt 
a.d.ad folidu.c.b.licut bafis.g.d.ad bafim.b .b.q6 cft ^pofitu. Q6 (i fupcrftcics 
aliqua fccct co:pus fcratilc equidtftantcr ouabus cius triangulartbus fnpfatcbus 
oppofitis ouo partialia co:po:a que ad t!la fecante fupcrficic vclut ad coem tcrmi 
num copulanf fuis bafib 9 erut p:opo:tionalia.GSit cnt.a.f.coipus fcrattlc cuius 
fint oue trigone fopficics.a.b.cd.e.f.£6ftat igit ej: oione fecratilis vnaquaqj tri 
um fopficiez; que font.3.b.d.e.b.c.e.f.3.c.d.f.ce paraldlogramu: fecet igif fugli/ 
cies.g.b.k.iftudfaatilcequidiftanterouabuseius oppofitis fopficicbus q funt 
a.b.c.d.e.f -oico cp ,ppo:tio feratilis.a.fe.ad feratile.g.f.e ficut bafis.a. k.ad ba/ 
fim.g.f.qo' ficut oc fclidis palellogramis .pbaf ,pti actts eni in vtraq^ pte lincis.a 
d.b.c.c.f.factifq5intercasej:ptcpnncti.e.feratilibuscqualibus fcratvlt. g.f. ity: 
ptc puncti .b.alijs cqualtbns fcratile.a.k.vtrinq^ quouis nnmero cc oionc mcon 
tinuc^pojtionalitatis.fi cuncta vigili mcnte plult res no crii tibi oirTictle cocludc/ 
""Tjlreqnodoijcimus. ^zopofitio .2<j. 

1 ©Pperoatumpunctubatelineeangulo folido p:opofito 

' equaleangulufoliduconmmere. CSolidusangulus 
p:opofitus fit.a.qui cotincaf trtbus lineis.a.b.a.c.a.d.trcs fuper/ 

J| ficialcs angulos ipfu folidu pficientes cotinentib 9 cui fup puncttl x. 
linee.e.f.^pofite que ad libitti ^pponentis iaceaf.aut in fnbltmi cofurgat iubcmnr 




XI 



cquale angulum folidu coftitucrc qualifcucg fit fitus linee.e.f.9 puncto.g.vbicuqs 
volucris fignato:,pducito linea.g.e.cruntq) cjc fcoa b 9 oue lince.e.f.c.g.c.i fupfi i 
cie vna.in bac itaq> fupcrficic fupcr punctu.e.oatu in afiignata liuca fcom pfiliu^ 
aj-pnmi cortftitue angulfi cqualc angulo.b.a.c? ipfe fit.f .c.g. oebinc q. linea.a . 
d.abfcincic lincam.a.b.ficut volueris ? a puncto.b. p:oducito pcrpcudicularcm 
b.k.ad fupcrficie in qua funt ouc linee.a.b.^.a.cqo qualiter faciendum fit. i i.bu 
ius oocuitmcc fit igitur tibi cura oe puncto .k. Tlibil eni refcrt vt£ ppcndicularis 
b.k.occurrat fupficiei in qua funt ouc liuce.a.b.t.a.c.intcr ipfas lineas aut ejtra 
aut in cayaltcra oudto tii linca.a.k.pofttoq; puncto.l.in Imea.a.b.vbicuqj Volu 
eri8,ptrabelincas.k.l.?.l.b.?poncangulii.f.c.m.in fupftcie linea^.c. f.t.e.g. 
equale angulo.b.a.k.? linea.e.m.cquale linee.a.k.s c% linea.c.f. fumc linea .e.p. 
equale linee.a.l.c a puncto.m.educ liuea.m.n.ppendiculare ad fuperficic in qua 
funt oue linece.f.^.c.g.i portc ea equalc.b.k.? pjotrabc lineas.e.n.n.p.?.p.m. 
oico igit tres lineas.e.f.c.g.e.n.cotincre angufu folidu in puncto.e.equalc angu/ 
lo.a.p:opofito: cu fint cni ejc fpotbcfi ouo latcra.a.k.c.k.b.triaguli.a.k.b.equa 
lia ouobus lateribus.e.m.t.m.n.trianguli.e.m.n.z anguli qui funt ad.k.s ad.m 
recti c% oiffiniiione lincc perpendiculantcr erecrc fup:a fup/icie erunt ej: quarta p/ 
miouc Iinee.a.b.i.c.n.equalcs:pcrcandequoq5cruntouelinee.k.I,'Z.m.p.equa 
les.idcoqjctiageande.b.l.c.n.p.cqualcsicumfint.b.k.t.k.l.equales.m.n.t.m 
p.canguli.b.k.U.m.n.p.rectip.s.igitprimicritangnlus.n.c.p.cqualisangu/ 
lo.b.a.l.Similiquoqj modo ,pbabis angulu.g.e.u.effe equalcangulo.ca.d.con 
ftat itaqs nos crTecific qo volumus:bmc fi ftudiofus mftiteris quotcuqj lateribus 
8.foIidus angulus ^ppofitus cotincaf qo a tc petit fine offediculo perficere potcris 

']jb:opofttio .27. 
fflpev aflignati lineam oato folido eqnidiftantium fnpfici 
ernm fimile folidom conftituere.GSit affignata linca.a .b.oe 
cuius fitu vtrii in plano iaccat vel furfum cjcurgat nibil curcnfitqj af 
fignatu palellogramn foiidu co:pus.c.d.cui fug linea.a.b.iubcmur 
fimile folidu fabricare.Sint igit trcs lince ptinentcsfuperficialcs an 
gulosejcquibusponitfolidusangulus.c.mfcriptelittcris.c.e.c.f.c.g.atfcomp/ 
tcpta p:emiffe fuper punctu.a.linee.a.b.coftituat angulus folidus cqualis. c.quc 
totincattrcslinee.a.b.a.b.a.k.^auxilio. lo.fc^tifit.ppoHio.c.e.ad.a.b.^.e.f.ad 
9.b.?.g.c.ad.a.k.,ppo:tio vna : ocbinc a trib'' puncris.b.b.k. ( ptrabant fcjc lincc 
b.l.cquidiftanslince.a.b.i.b.m.cquidilTanslinec.a.k.itey.b.I.equidiftasIinec 
a.b.^.b.n.equidiftanslinee.a.k.rurfusquoq^.k.n.equidiftans.a.b.c.k.m. equi 
diftans.a.b.ampliusaut^trabanf.m.p.cquidiftans.b.l.^.p.I.equidiftans.b.m 
.ptrabat quoqj z linea.p.n .critqj coplctu folidu palcllogramu.a.p. quod oico ee 
fimilc folido.cd.boc aut ejc oione fttium fujrficiei/ % oione fitium co:po2/ fi carum 
meminerisfacilecocludes. 1(b:opofitio .28. 

% fugficies aliqua lblidij palellogramu lup Ouas quaflib? 
oppofitasfugficicseiusterminales 1 fupeay ouasoia'' 
inetros fecet eade fupftcie co:p9iliud pequalia fecare ne/ 
| cefle eft.GSit tojpus.a.b.folidii palellogramii oe quo fit pofitum 
cp fupficics.a.b.cd.fccct tpfu fiip. oiamctros ouay fupcrficicru op / 
pofita:/ ipfu folidu terminatiii q fint .a. d.?.cb .oico cj> ipfa oiuidit iftud folidu^ 

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LIBER 











^ppofitu pcr ccjualia .coftat cni cp ijpa oiuidit tllud folidu in ouo fcr3tilia quo? fug 
ftcies quadrilatcras biuas z binas ad inuicc rclatas fcom cp ipfc funt oppoftta la/ 
tcra foltdi ppofiti man ifcflu c cx.24.bu1 9 cc cqualcs cu fohdunt oe quo loquimur 
pofitu fit ciVc palellogramu^qccadc quoq^ C4i.p:imi coftat trilateras fup/tcics ot 
cto? iaatiliii cffc equalcs:igit 3 otone folidop cqualiu liquct quod ptopofitum cft 
IfrlOpofltiO .29- 

^ncta foltda cqiudiftantium Tuperftciey equc alta atq? 1 
eadc bali fop vna linea conftituta p:obautur elle equaha. 
C ZJqz e q? fohda equidtftantui la cq? equc alta ftuc iter fugftcics cq 
dtftantcs fuper vtta 1 eadc bafim coftituta funt adinuice equalia fi/ 
cut oc fupcrficicbus equidiftaiitiu larq? fupa vna bafim z inter line 
as cquidiftantes pftitutis ut i1t.5j.pnmi ocmonftratii eft.fed talium folidoij que 
da oicunt conftitui fupcr linca vna « funt illa quozj fupp:ema%2 fugficie^ ouo op / 
pofita latera ftmt fcn rccritudinc ^ptracta linea vnai« oe talibus bec.29.p:oponit 
ocmonftrandu ipfa oia cffc equalia adinuiccm.funt aut cozj alta que 116 oicuntur 
coftituta fuper linea vua z funt illa quoy fupp:ema!jfnperftcic£ ouo latera oppo 
fita quecuq> fumant ftn rcctitudmc" ytracta 116 funt linea vita z oe taltb 9 fcquens 
ocmonftrandu ,pponct ipfa quoqj oia ec adtuuice cqualia. Situ itacp ouo folida 
galellograma eque alta fiuc inrcr fugficics cquidiftautes.a.b.ca.c.coftituta fug 
vna bafvm quc fit.a.d.quof fupp:cmc fucjficies finr.c.b.cf.c.Sinrq, baz: fupp/ 
ma? fupficiq: ouo latcra oppofita cu fcbm rcctitudtne .ptrabant linca vna z ipfa 
funr.c.f.f.b.c.oico itaqj cp folida.a.b.t.a.c.wnt equalia:boc aut fi figura ci 9 frn 
<j> opo:tet actu vel cogitarione fab:icaucris z qucadmodu (n . 3 j.p:imi p:ocefleris 
idcm faciens bie oe fcrattlibus qb ibi oc triangulis facilc codudere potcris occur/ 
runtq^ tibi bic ecdcm oincrlitatcs itt folidis que tbi in f ugficieb 9 occurriffe noutfti 
1Jb:opolitio .30. 
] ^ncta folida eqnidinanttu fugficieir eque afta que 1 eade 
I baii no au t fup Unea vna faerint pftitnta ^pbanf efTc eqlia. 
i GSint nuc ouo folida galcHograma equc alta fiue intcr fugftcics eq" 
diftantcs fintq, fug vna z cade bafim fed no fug linea vna pftituta: 
Oico itqj ca ec cquaIia.£fto cni ouo folida ftalcllograma.a.b.f.a.c 
cque alta fiue inter furjftcics equidiftares pftttuta fup vna bafim que fit.a.d.fj 110 
fuper vna lincsUfintq^ eoy fupp:cmc fup.ficies.c.b.t.f.c.quaij oppofita latcra tim 
rcctitudine ,ptracta no erut lutea vna.cuq^ ipfa cy. ypotbcfi fint i vna fuperficie co 
cj> folida propofita funt intcr fupcrf icics cquidiftnatesntcccflc e vt ouo latcra Vni 
us earum .ptracra fcbm rectitudtnc fccc t ouo altcrius csvz .ptracta fcoin rcctitudi/ 
tte:p:otrabaf itaq; ouo oppofita latcra fupaficici.cb.que fmt.c.g.^.b. b.c ouo 
oppofita fupcrficici.f.cque fint.k.f.^.c.l.tfcccntfe furjquatuo: puctom.n.p.q 
ctttq5 fupcrficics.m.u.p .q.cquidiftamii» latcr cqualis vuicuiqj triu fupcrficicru. 
quas vna e bafis .ppofttis folidis cois z ipfa ca.d.t ouc rcliquc fut fupp:cme fu/ 
pcrftdC3 eo:unde folidoi; 1 ipfc funt.cb.i.cf .ouctis itaqj lincis a quatuo: pun / 
cti3.m.ii.p.q.adquatuo:augiilofbafis.a.d.ftbifcbmoirectababitudincrclatos/ 
q fit.ti.a.m.r.p.f.q.d.perfcctucritfoliduparaldlogramu.a.q.icadebaficuvtrc» 
q, ouo? pno? z cque altu z fug linea vna cu vtroqj ipfoyt per p:emilTaj igit vtrii/ 
lit>5 ouo£ folido? .ppofitoxj quc iut.a.b.t.a .ce equaie folido.a.q.p. pceptioncm 





XI 

ergo cft folidii.a.b.eqlc folido.a.c.qrc conftat .ppofitfi. G£otes quoq> puerfas 
buins z p:cmiffe .pbarc fi libet oucchdo ad impoffibilcpoucs cni qudibct ouo fo 
lida galdlograma cc cqlia z prtttuca fupcr cande bafim cquidiftatia 1 ocmoftra / 
bis ca ec cque alta.friitq^ bce z piemiffa tuc ocmoftrationis medifr.impolTibilc 
aut ad quod ouccs crif.parte fuo toti cffe equalcqo euidentcr patcbit fi oc illo foli 
do qo altins ce mcntit aducrfarius cu th ambo pofita ftnr equalia 1 fug candc ba 
fim coftituta vmi foltdti paraicllogramii cque altu oemiffto:i abfcideris : boc autc 
abfcjfuuuquale cffc ocmiffioii couinces c-c bac z p:emilTa.idcoq5 z toti illi 3 quo 
tpfumabfciderisc^coifcia. 1(b:opofitio .31 „_ 

-~}ii©Udaeqntdiftaimul'ut!Rcie?:iiibafibu0 equis coftttuta 

fi fuermt eque alta Uiiecq^ eiue angularee fup:a bates 0: 

tbogonaliter fteterint erunt equalta, 

G£t boc quoq, vqz e cp oia folida paralcllograma i» 'equis 'bafib* 

, J| atq^ iutcr fuperficies equidiftantcs fiuc cquc alta conftituta funt ad 

inuice equaliaficutocfuperftcicb^equidiftantifilaterufupcrcquales bafes zin/ 

rcrUnca3equidiftatcsconftitutisin.36.p:imip:obatue.attaliufolido^aliafut 

quoy angularcs linec fupcr fuas bafcs o:tbogonaliter erigunt oc quib" bec. 5 1 .p/ 

ponitoemoftrandu cllccaceequaiia.aiiavcrofuntquoyangulares linee fupcr 

fuas bafcs no funt oubogonalitcr crectc:oc qutbus fequcs ocmoftradu p:oponit 

ca ce equalia:intelliganf itaqj fupcr ouas bafcs.a.b.t.c.d.que fint equalcs z cqui 

diftantiu latey no tfi vnius creatioms.fcd fit.a.b.tetragonus longus.c.c.d. fimi 

lc bclmuaym ouo folida cquidiftautiu latcrii coftituta cque alta fintq^ lince crccte 

fupcr angulos ppofitay bafiu ppcndiculares ad ipfas. oico bec ouo folida ad in / 

uicedTecqualia p:otrabanf itaq^ouolaterabafis.a.b.^fintilla qne cotinetan/ 

gutum.b.vfqjad.f.t.cjfiatangulus.f.b.g.cqualisangulo.c.bafis.c.d.^fumaf 

oue linccb.f.t.b.g.cqualcs onobus latenbus bafis.c.d.que cotinent angulu.c? 

pcrficiaf fuperficics cquidiftantium latcrum.b.b.que crit equalis z filis bafi. c.d., 

ocbinc ytrabaf.b.e.cquidiftans.b.f.-r.f k.cquidiftans. b.e. critq5 quadrilatera 

fupcrficics.b.k.cquidiftantiu lateru equalis.b.b.ejy j.pjimiicuq^.b.b.fit cqua/ 

lis.cd.crit per c6ccptioiie.b.k.equalis.a.b.£6pIcaf itaq^ fupcrficies cquidtftan/ 

tium laterum.b.l.p:otracta linca.k.f.quoufq^ coiurrat cii vno cy. latcribus conti/ 

ncntibns angulu.a.in pnncto.l.age crgo fupcr trcsfupcrficics cquidiftantiu late/ 

rum quc funt.b.b.b.k.b.l.coftituatur cquc alta folida (olido coftituto fupcr bafim 

a.b.fiiitq^ lincc omniii folidoy iftomm crccte fupcr bafcs pcrpcndicularcs ad ip/ 

fas 1 appcilentur bafcs z folida fnpcr eas coftituta eifde nominibus .manifcftum 

cft crco c% oiffimtioiie folido^ equalium arq^ fimilium cp ouo folida.b.b .z.cd. 

equalia atq^ fimilia funt:oc folidis aut.b.b.i.b.k.conftat c1c.29.cp ipfa fut cqua 

lir.funt cni cque alta z coftituta fuper vna z eande bafim z ipfa e fuperficics ere/ 

cta fupcrliiiea.b.f ? fupcrlineavna:eautg.zcp:opo:tio folidi.a.b.adfolidum 

b.l.ficnt balis.a.b.ab bafim.b.U pcr eandem folidi.b.k.ad folidum.b.l.ficut ba 

fis.b.k.adbafim.b.l.cunqjfitvtriufq^ouarumbafium.ab.^.b.k.adbafim.b.l. 

vna p:opo:tio:cy p:ima parte.7.quinti erit vtriufq^ ouo£ folidomm.a.b.s.b.k. 

adfohdum .b.l.p:opo:tio vna igiturcjcprima partenoniquinticruntouofoli/ 

da.a.b.c.b.k.cqualiaiatquiafolidu.b.k.eftequalefolido.b.b.foliduq^.b.b.fo/ 

lido.c.d.fcqmt c% coi fcia folidum.a.b.ec cqlc folido.c.d.quod eft p:opofitum. 

n i 







LIBER 



-ib 




1^»20pof«tO .52. 

3f folida equidiftantiu fuperficiey in cquts baiibus tont 
ftituta eque aita fuerint linee aute angulares fup:a bafes 
o:tbogonaltter no fteterint-.ipfa ee cqualia necefie cft. 

C$ab:tcatis ouob 9 co:po:ibusvtp:oponiturvidclicetqfiiitcqui 
diftantifi termino2j z equc alta z fup. bafcs cquas perpendicularircr 
no afit fuper bafes fuas erccta fect ambo fuper eas inclinata. Si autem a quatuo: 
angulis fuppxmai» fuperficiqz ipfoy ad bafes fuas perpcdiculares oucantur q c% 
e.crut fmgularcs cquidiftantes 1 etia c% ypotbeft fingule fingulis equalcs ipfe aii 
«olidoi? .ppofitoy altitudine oifTmiunr.c fi inrer cas folida equidiftanrifi laterum 
Eficianf conltabit qc pxmiffa bcc ouo folida vltimo conftituta effe adinuicc equa 
lia.Xunqj ouoz? p:ioi2 1 OU022 pofterioy fint ccdem bafcs vidclicct eoz? fupcrfirief 
fupp2emc: conftat ex.29-Vd.50.ct bac comuni fcietiatquecuq^ cqualibus fut equa 
Ita fibi inuice funt equaliave^ effe q6 .ppofitfi cft.£ j: bis potcs coucrfas buius z 
pxmiffc cifde mediantib 9 indirecte oemoflrarc fi libct code mo 1 ad idc icoucnica 
ficut in couerfis ouay iftas antccedentiu ocducedo:poncs cni ouo folida paralcl/ 
logramaeeequaliasfugequalcsbafesscouinccs caelTc equc altavdponesca 
ec eque alta 1 eqlia 1 couinces ca ce fup bafes eqlcs. ^jbzopofltio .33. 

^-QDniafolida equidtftanu fuperfictey equeaitafuteba/ 
fibusfimt pJOpOJttonalia.GSint ouo folida equidiltatifi fur> 
ficic^equealtac6ftitutafupcrouasbaf£s.a.b.c.c.d.oicocp,ppo:/ 
tioilloyouoy folidorumvniusadalterumcftficutppouio fuaru 
bafium quc fut.a.b.s.c.d.vni 9 ad altcra.£6ftar quide e;c.24.Vtraq$ 
bai? ouarfi bafifi effe cquidiftanrtfi lateru:ouo igitur latcra oppofita 1 equidifta/ 
tia in fnpcrficie.a.b. ptrabanf 1 inter ea fiat fuperficics cqmdiftantifi latcru^ que 
fit.f.c.equalis.c.d .ocbinc fup:a fupficicm.f.e.coplearur folidum ctalcllograiiium, 
equ*altfi ei <\6 coftiturfi eft fup. baftm.a b.firqj ambo? cois tcrminus tlla fugfici/ 
cs quc eyurgit fup linei.b.f.bec aut folida 1 fue bafcs cifdem nuncupenf nomini/ 
bus.q: igif bafis.f.e.e equalis bafi.c.d.crit cjc.j 1 . vel.52.folidu.f.e.equaIc folido.c 
d.St q: totalc folidfi.a.e.fecat fupcrficics cpirgens fupa linca. b.f. cquidifrantcr 
onobuslateribns oppofitis:erk cjc.ay .pponio folidi.f.e.ad folidu.a.b. ficut ba/ 
fis.f.e.ad bafim.a.b.cunq5 fint.c.d.t.f.e.tam bafcs 63 folida equaita:bafcs qui/ 
deexfpotbcfi:folidaauteej:.5i.vel.}2.Scquitur ej:.r.quinti bis alTumpta fcmd 
$> bafibus 1 fcmel p folidis cp folidoz? .a.b.c.cd.bafiumq5.a.b.c.c d.fit ,ppo:/ 
tio vna qo' oemoftrare volumus: buius quoqj oucrfam cade ipfa mcdiatc ccmo 
ftrare queadmodfi pucrfas p:ecedentifi no e oifficile.poncs eni ouo foltda para/ 
Ullograma ce fnis bafibus ;ppo:rionalia % puinccs ca ce cque alta abfcifoq; ab co 
q6 alti 9 metief aduerfan 9 vno folido palcllogramo eque alro ocmiffio:i erilt abfci/ 
fficoemifii 9 fuisbafib 9 .ppojtionaliaejcfpotbcficcxbacj^.cuq; ctiaccnttota 
lealti 9 agnop tiale abfcidifti % ipffi ocmiffi 9 eifde bafib ^)po:tionalia cy. ypotbcfi 
[lfeqnif tf. pma ptco.quinti totalc q6 aducrfari 9 oicit alti 9 c ptialc qi> 
abeoabfcidtltiefiecqualia; 'JfbJOpoittio .94. 

3f Ouo folida equdiftanti» fuperficiey linets altitudinum 
fuper bafes ojtbogonaltter erectis fucrint equaha eo:uj 
bafes eo:fide altintdinibns mntuas ellc. £>i vero fiicrint 





XI 



tnie bafes fuis altitudinib 9 mutue ipfa folida fibi ittuice eqnalia effe ne 
cciTe eft.CQuoamqj ffnt ouo folida cquidiftantiii fuperfkic^ cqualia coij ba / 
fcs i altimdinc3 neccflc cft cffc mutckefias t cconuerfo qucadmodii qc fupcrftcic/ 
buscquidtftaiitmlafcpcquiangulisaj.fcxti^ppofuit.attamcbacj^.iftudocmo 
ftrandfi pioponitur oc illis folidis galdlogramis iu qmbus linec altitudinum fuis 
bafiV palcllogramis ojtbogonalitcr infiftut .ca vero quc fcquif pponit ide oc cc/ 
tcris.Sint crgo nflc ouo folida paldlograma.a.b.?. c.d. equalia quoi> bafes fint 
a.e.-z.c.f.lioccqs altitudiuu ipfoz? ftnt fupcr bas bafcs oubogonalitcr crcctc -z fit 
altitudofolidi.a.b.linca.c.b.-Jfolidi.c.d.liuca.f.d.fiigiturfuerintoticlincc.e.b. 
s.f.d.oeterminantcs ipfoy folidoz? altitudincs equalcs adinuice :cum ipfa quoqj 
folida fint c% ypotbefi cqualia.erunt ejc couerfa. 31 .bafcs cop que mnt.a.e.s.c.f.cq 
les.idcoq, bafes z altitudincs crunt mutueificcp coftabit ppofiti p:ima ps.i eco / 
uerfo coftabit fc6a vt fi altitudines 1 bafcs fint mutuc.ponanf altitndines cqua/ 
lcs erut quoq> bafes cqualcs.idcoq^ p. 5 1 .z folida cqualia 1 fic coftat fccunda ps; 
2t vero fi lince.c.b.i.f.d.no fucrint equalcs fit. f.d.maio: z cc ea refccef .f.g. ad 
cqua!itate.e.b.tribufq5 ceteris lincis quc funt altitudinis folidi.c.d.ad eacie mcn/ 
furainpnnais.b.b.l.refccatisperficiatfolidupalcllogramu.c.g.equealtfi folido 
a.b.eritcge):p2emilTa.a.b.ad.c.g.ficut.a.e.ad.c.f.cuitaq5.c.d.fitequale.a.berit 
cc pjima p.te.7. quinti.c.d.ad.c.g.ficut.a.c.ad.c.f.p. pjemiffa afit e ,ppo:tio. c.d. 
ad.c.g.ficut.m.f.ad.f.l .qb* p, fi vna c% lateralib 9 fupjicieb 9 folidi.c.d.? ipfa ftt.f. 
m.mtelligaf bafis ipfi 9 .at per pjima fcjti.f.m.ad.f.l.ficut.d.f.ad. f.g. idcoqj per 
7.quinti.ficut.d.f.ad.b.e. igif.a.cad.c.f.ficut.d.f.ad.b.e.coftat itacp pjima qs. 
Scoam p_tc cu fit coaerfa p2ime coucrfo mo ,pbabi8:fit cni eade oifpofitione ma/ 
ncntc ppojtio.a.c.ad.c.f .ficut.d.f.ad.e.b.oico tunc fo!ida.a.b.?.c.d.ce equatia: 
crit eni cx.7.quinti.d.f.ad.f.g.ficut.a.e.ad.c.f.fede>: pmiffae.a.b.ad.c.g.ftcut 
a.c.ad.c.f.igifea.b.ad.c.g.ficut.d.f.ad.f.g.c): pjiinaautfextie.d.f.ad.f.g.ficnt 
m.f.ad.f.l. 1 erpmiffa .c.d.ad.c.g.ficnt.m.f.ad.f.l. itacp.c.d.ad.c.g.ficut.a.b. 
ad.c.g.igif ex-9- j.a.b.i.c.d.fiit eq(ia:q6 e pjopofitij. 

Ilbzopofitto .?y. 
I % ouo folida equidtfrantiu termiuo^z fijerint equalia co% 
jbafes eoztlde altitudinibus crut niutne 0i vero baies fue 
akitudinibus fais mutue merint quelibct ouo cojpa equi/ 
diftantium fnperficierum pjobatur efleequalia. 
>}€.Q6 pjemifla .ppofuit oe folidis palcllogramis quo? linee altitu/ 
dinu fupcr bafcs fuas o:tbogonaliter eprgunt.bec. 3 f .pponit indiftinctc oc om 
nibns:ocm6ftrare aut coucnit bac c% p:emilTa queadmodu ocmonftrauim 9 .^.? 
53.§abricatiseniouobusfoIidis equidiftantiu lateru quibufcuqs filinccaltitu/ 
diuu fuis bafibus ojtbogonaliter infiftunt:coftat vey effe q6 oicif ec piniffa .Sin 
autc a quatuo: angularib 9 punctis fuppjcma? fup.ficie:j? in vtroq^ folido quatcmc 
lincc oemittanf pcrpcndicnlariter ad bafcs vcl a punctis angularibus infimarnm 
fupficiej; quatemc criganf :iter quas ouo folida palcllograma pficianf eque alta fo 
lidis pjiojibu3.eruntq5 9C.29.?. jo.bcc ono folida ouobus pjioiibns folidis cqua 
tia.cnm igitur bo:um z cora fmt eedc bafcs % eedc altitudines: fit aut c% p:cmiffa 
oc poftcriojibns verum eft quod bec. 5 ^.pjoponit vernm erit ide ctia oe p:io:ibus 
ll&jopofitto .36. 

n 4 


















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LIBER 







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^fcnololida equidtftaiitium fupcrficieranj fueritfintilia 
pzopoJttocritvmufq^ adalterii tanq^cuiuflibctfuiiate 
risadfuum rclatiuum lamealtcrius^ppouio triplicata. 
CSint cni ouo folida .a.b.s.c.d.palclbgrama i filia:oico cp ppoi 
1J tio vnius cop ad altqjcficut vnius latcris cius ad vnu latus aitcri 9 
c^fibireferf ;ppo:ttotripIic9ta:quc'3dmodu oua^furjftcicyfilium^ppoHio clt fi 
cnt fnoi? rdatiuoy latc^ ,ppo:tio ouplicata ut in. i~s~. u?ti oemonfl ratue. na ft foli 
da.a.b.i.c.d.fucrint equalia cu ipfa ponanf fitia erunt e? oiftmittonib^fiftu^ co:/ 
po:u «fimiliufup.ficicy cunctalatcra viiiusequaliafuisrelatiuislatcrtbus alrcri 9 
idcocrs cu onty quantitatum cqtialiu ,ppoHio triplicata aut quofceufkbct fumpta 
noefficiatnifiequalitatis ,ppoHione:conftat inboccafu verccqopioponif.Si 
aute inequaliatfit .a.b.maius cuius longitudo fit.b.c.latitudo. cf.alritudo. f.a. 
bafis.c.r.s iupp:ema fuperficies.a.n.Solidi vero.c.d.fit longitudo.d.g,latitudo 
g.b.altitudo.b.c.coftat itaqj c% oionc fimiliu co:po2? 1 ej: ciffiiiitione fimiliu fug 
ficieru i pfenti rpotbefi q> ( ppo:tio.a.f.ad.c.b.t.f.e.ad.b.g.c.e.b.ad.g.d.fit ,p/ 
pouio vna.fumafigtfexlinea.a.f.quamanifcftuecemaio:e.c.b.linca.f.k.cqu9 
lis.b.c.cetereq3 tres oeterminantcs altitudinem folidi.a .b.rcfecentur ad cqualita 
tem eius i intcr eas coplcatur folidu galellogramu. k.b.equc altu folido.c.d.? p/ 
trabanfouelinecbafis.c.b.vfqsad.l.t.r.b.vfq^ad.m.fitq^.b.lequalis.gd.i.b 
m.cqualis.b.g.t pcrficiaf fugficics cquidiftanriu latcru.m.t.quc ei it cqualis i fi/ 
milis.b.d.fug ca igif erigaf folidu galellogramu .p.qim altitudine p:efcifam cy 
altitudine folidi.a.b.eritq^.p.q.cquale i file folido.c.d.msTtjfq; intcr lineas.r .b. 
•z.b.l.pficiaf fuperficicsequidiftantium laterum.b.t.fugquaquoqj crigatur foli/ 
du paratellogramu.x.l.cquc altii vtriqj ouo;> felido2?.k.b.?.p.q.rcplendo altertt 
trum 01102: anguloi? byantium tuter ca:cu aiit ouo fcLda.a.b.p.q.fint fitia eo q> 
abo pofita fint fitia folido.c. d.co:pa vero vni 1 cidc co:po:i fitia iter fe funt fifia 
vt p5 ct oione ftnum coipoij c.2o.fej:ti manifcftum e cc.z^. tcr affumpta q> inrer 
ouo folida.a.b.i.p.qim contiuua ;ppo:tionalitatecadunt ouo folida. k.b.-r.i:.!. 
oppoitune crgo coftitnta Vcl conftrucra figura:fpotefibufq5 mcmoiie lirme con / 
mcndatis ejc p:ima fcjti facile pdudes p:opofit~'.£jccurc to:po:e 1 oiligcntcr atte 
dcfcicfq^ec.ij.buius^ppoKionc folidt.a.b.ad 'olidu.k.b.ecficut fugficici .a.r. 
ad fupcrficie.k.r.ioqj ec p:ima fejcti f icut lince.a.f.ad linca.k.fa .pponioiic foli/ 
di.k.b.ad folidu.)c.l.ficut fupficiei.k.r.ad fupficic. jc.t.ioq^ ficut lince.f.r. ad line 
am.r.t.i.ppoHionefolidi.x.l.adfoIidu.p.q.ficutfuperftciei.r.l.adfugficie. l.m: 
ideoq, ficut lincc.r.b.ad linca.b.m.£x ypotbefi vcro liqucr q> ^pponio lincc.f.r. 
ad linca.r.r.ilinec.r.b.ad linea.b.m.e" ficut lineca.f.ad liuca.k.f.itaqj c% oione 
.pponioiiis triplicatc pofita in ,pbcmio qiiintircoftat q> ,ppo:tio folidi. a.b.ad fo 
lidum.p.q.ideoq5 etia ad folidu.c.d.e ficut linec.a.f.ad lineam.k.f.triplicata 1 qi 
l.nca.k.f.pofita eft cqua'i8linec.c.b.p3 vqs cffc quod oictf .CScirc aut opo:tct cj> 
quicquid p banc. j<s. 1 p.7.ea cotinuc p:ecedcntcs oemotiftratu e oc folidis galcllo 
gramis.ide quoq^ vez; e oe feratilibus quor bafes coitcr funt trigonc aut comuni 
ter retragone.bocautejc.2S.'Jb3c.js. ?.7.eac6tii!uep:ccedcntibus eoftabitige/ 
niofo infpectoii.Si eni fucrint feratilia quelibct equc alta fup eande baftm vcl Wro 
balcs equales coiter tn trigonas aut eoiter tetragonas cum ipfa fint oimidia foli/ 
do^ paralcllogramomm ftuium altitudinfi ex.28.ipfa crut equalia cf.29.1 trib 4 



XI 



c i fcquetibusiej; bts eni conftat folida paraleltograma ipfis feratilibus oupla ee 
cqualia .Silr qnoqj fi fucrint ono feratilia fng bafcs coircr tgonas aut coitcr tctra 
gonas eque alta ipfa erunt fuis bafibus ,ppo:tionalia qucadmodti oc folidis pa / 
ralellogramiscx» j?.babct ipfa eni funt ex.zs.oimidia folidoE gaIcllogramo:uiii 
foc atttt udinis-.folidor atit palellogramos fue altitudiuis comq; bafiu c vna p:o / 
po:tio ex.35.a1m itaq> fit folidor paralcllogramoy ,ppo:tio ficut feratilui q: iicat 
limpUi ad fimplfi fic ouplii ad ouplu cv. 1 5 .quinti atq; bafiu f olidor paralcllogra 
mo? e p:opo»(o ficnt bafiii feratiliir.aut cni eede erut bafcs fcratiliu z folido:um 
paralellogrimoz/ :« boc quide erit cti bafcs feratiliu fuerit retragone tunc entin cc 
fcrattlibus ftrpcr eafdc bafcs crut folida palcllograma c6plcnda:aut bafes ferarili 
om crut fubduple ad bafcs folidoy paieiiogramoj/:? boc quide crit cu bafes fcrati 
lium ruerintcomunitcrtrigone:tunccuteruntexferatiltbus folida palcllograma 
coplcuda adiunctis ad bafcs fcratiliu fupcrficicbus trigonis vt ftant bafcs fcratt ' 
liu cii fgonis adiuctis fupncieb':fugficies eqdiftatiu laterii.fcqt ut fit ,ppo:rio fe/ 
ratiliu ficut fuay bafiu.fodeq; mo fi feratilia fuerinr eqlia fueritq; comunitcr fu 
pcr bafcs rrigonas vcl coitcr fupcr bafes terragoitas:bafes coy altitudinibus ipfo 
runt mutue crunt.Qo fi bafcs cor futs altitudinibus fucrint ntutue ipfa fcratitia 
crunt cquati qucadmodu oe folidi8p.alcllograrmB.34.'?. 3 j.,pponum:boc autem 
facile P3 1% bis quc oicta funt in.35.fi vcro feratilia fuerit adinuice fitia :cnt p:o/ 
po:tio »nius ad altertt .ftcut ,ppottio lateris vm" ad fuum rcliquum latus attertus 
,ppottio triplicatatqucadmodii oe folidts palcllogramis . 3fi.,f>ponir q6 cx cadem 
3«.facile tibi patcbit.fi cx illis feratilibus fitibus folidis palcilogramis completis. 
fotida ipfa ptobaucris cffe fimiliazqb ex oitfinitione fimiliii co:por z ftlium fuper 
ficicrum 1 c% boc cp feratilia ponunt adiuuicc fiiia cx. 34.^:11111 lcuc e negociari. 
"IfbJOpolitio .37. 
3f fuerint tmo anguli plant equales fuper quos oue fpo/ 
tbemife in aere ftatuant cum lateribus anguloy fubiacen 
tium ftngulos ftngulis equos angulos continentcs atq; 1 
ilUsYpotbemifis ouopuncta fignenturaquib^pnBCtis 
oue gpendiculares adfuperrkiesangutorupiopolito?: 
Ocmittantapunctis autfuperque ppendiculares ceciderttadeofde 
t>uos angulos planos bue recte linee oiicanr ono anguli qni ab tllts 
tmabus lineis atq5 Ouabus fpotbemifts cotinent' equi ftbi inu tce cfle 
,pbantur .GSint ouo anguli plani.a.«.d.equalcs contcnti lineis.a.b.?.a.c.«.d 
c.«:d.f.« fuper eos crigantnr ouc linec fpotbemifalitcr.a.g.^.d.b.fitq; angulus 
g.a.c.equalis aitgnlo.b.d.f.? angutus.g.a.b.cqiialis angulo.b.d.e.atq; in oua/ 
bus fpotbcmifis .a.g.^.d.b.figncnt qtnoilibct ouo puncta.k.t.l.a quib" f^m p:c 
cepta.ii.buinsocmittaitturadfuperftciesangulo:um.3.7.d.'ouc pcrpcndicula/ 
rcs que fint.k.m.^.l.n.? ptotrabantur ouc lincc.a.m .c.d.n .oico igitur angulum 
g.a.m.effccqualemangulo.b.d.n.filinea.a.k.cftcqualis.d.l.benequidcm.Sin 
autem ex linea.a.g.fumatur.a.p.equalis.d.l.at a puncto.p. oemittatur pcrpen/ 
dicularis ad fuperficicm anguli.a.Iinca quc fit.p.q.manifcftum cft igitur cp pun/ 
ctum.q.cft in linca .a.m.quod ex.s.buius 1 oiff mittone linearutn equidiftantium 
qs nccdTe c ee tit fupficie vna facile pftat ftudiofc intucnti ocbica pucto.q.oucaf 
SPcndiculares ouc vna ad linca.a.b.quc fit.q.r.s alia ad linea.a.c.cj fit.q.f.Sitr 





LIBER 






quoqi a puncto.n.oucanf ouc alic pcrpcndicularcs vna ad Unca.d.c q fit.n. t.z 
alu adlmca.d.f.quefit.n.cc ;ptrabant.r.f.«.t.jc.ircriiq5 a punctis.p .cl.ocmit 
tauf/potbcmifc. p.q.p.r.p.s.cl.n.l.t.l.cbisitaq^poiuis figuraq) pmdecoi/ 
fpofira ocmonftratione ,ppofiti fic colljgccoftat ejc pcnulcia p:imi g> quadratum 
lincca.p.c eqnalc quadratis oua^ linea^z.a.q.i.p.q.ac ejc cade cp quadratu .a.q 
e equaic quadratis oua? lincaru.a.f.cf.q.itaq^ quadratii.a.p.c cquale qu3dra/ 
tis triii Itnearu.a.f.f.q.t.q.p.Sed excadequadratu.f.p.e cqualc quadratis oua 
rii linearij.f.q.s.p.q.crgo quadratu.a.p.c cquale quadratis oua^linca^. a.f.-z.f 
p.idcoqj cjc vltima pniniangulus.a.f.p.crecrustfitkft mo .pbabis vnuqueq^ triu 
angulo^.d.cl.a.r.p.d.t.l.c rcctu.cu igitur ct ypotbeli fit augul°.f.p.a.cquat'an/ 
gulo.y.d.l.i linca.a.p.lincc.d.l.erit cjc.atf.pjimi linea.d.x.cqualis.a.f.i.x-1. eq/ 
lis.f.p.eodequoqjmdcucjcypotbcfifitangulus.r.a.p.cqualisangulo.e.d.l.erit 
e% eade linca.a.r.equalis.d.r.s.r.p.equalif.t.l.quarc p quarta p:imi linca.r.f.crit 
eq :alis lincct.jc.c angulus.a.r.f.cquaUs augulo.d.t.jc.? angulus. a.f.r. angulo 
cft enmt cjc ypotbefi angulus.a.equalia angulo.d.a coccptiouc igitur crit angulus 
f.r.q.equalisansulo.x.t.n.tangulus.r.f.q.ansulo.t.jc.n.fuiiteni rcfiduiouo:u 
rectoui oemptis equalibus ncceffe e itaq^ cr.2<y.p:imi vc liuea.r.q.fit cqualis. t.n 
t.q.f .equalis.n.r.jCiiq^ er penutcima p:imi quadratu lincc.r.p.fit equalc qdra / 
tisonarumlinearum.r.q.^.q.p.^quadratuinlince.t. l.cqualequadratisouaruj 
linearum .t.n.s .I.n .fintautem ouelince.r.p .■z.t.l.cquaksiouoquoqjquefunc 
r.q.ct .n.cqua!es:fcquitur er communi fcia oua* quc funt.p-.q.?. l.n.ce cqualcs 
£ode mo cu quadratn lince.a.p.fit equale quadratis ouay Imcatu quc fiit.a. q.i 
q.p.ftfrquadratu lincc.d.l.quadratis ouarii l neayque fiit.d.n.cn.l.ft aut.a.p. 
cquaUs.d.l.s.p.q.equahs.l.u.fcquifcrcoi fcia.a.qce^quacdn.cx.s.igifp:imt 
cocludo .ppofitu Viddicet angulu.p.a.m.ce equalcm angulo.l.n.d. 

Ijbjopofttio .36. 
ili©lidutribu0ltnei3 r ppo2tiort3Ubuscotcrttitm cquu eric 
fblido q6 a mcdic linec equie latertbus contincf ,!i angult 
fui ambojum ftbi inutccm equales fuerint. 
I C.Dc folidis galcllogramis tntclligaf :oe bis eni qualiacuq^ fint ou 
tamecquiangulaveruecpcdccniu atrtbus lincis,ppo:tion3libus 
cqualc e et qo a media earu cotinef qucadmodu oc fnjrficicbus rectangulis p:oba / 
tum eft in. itf.fcrti 1 oe non rectangults clicitur cuidcutcr cr fecunda prc 1 3.ciufde 
Sint igit tres linec.a.b.b c.cc.d.continue ;ppo:tionalcs fiatqj cr cis vnus angu 
lus folidus ad libitu x pficiaf folidii equidiftantiu latcru cui 9 linca.a.b. fit logttu/ 
do.b.c. vero altitudo.fcd.c.d.latitudo 1 ipfum foiidum oicatur. a.d. fumpta quo 
q3 alia linca qualibct equali.b.c.quc ctia vocctur.b.c.fup ipius crtremitatc q e.b. 
pftituat angulus folidus cquaiis angulo folido. a. ftn qo oocet.ie.lutccqj cetere 
folidnangulu.b.cotinetesrcfcccntadcqualitaielincc.b.CiTEficiat folidu equidi/ 
ftantiu fupcrficicru cuius longitudo latitudo 1 altitudo fit linca.b.c .1 ipfum ap/ 
pcllef .b.coico itaqj ouo folida.a.d.cb.c.ce equalia. mamfcftum c cui cp cuncre 
fugftrtcs vnius funt cquiangulc fuis rclatiuis fupcrficieb 9 alteri 9 qd cx. 34-pmi ps 
tcrcp6t.n3cufolid 9 augur.b.ponafccili8folidoangulo.a.ncccnccvtvn 9 angl'9 
vniufcuiufqjfupftcicifolidi.a.d.fitcqlisvniagulo fuc rclatiue fupficici tn folido 
b.citaqj pcr.}4.p:imi eoy oppofiti crunt cquales .3t q: Vnmfcumfq) fupcrficici 




XI 



cjuadrilatere oes angnli funt cqualcs quatuoi rectis cr. 3 2.p:imi:ncccffc e ouos re 
liquos vniuseffeequales ouobusrcliquis fucrelatiuc.cumq^ipfiouorcliquiin 
quahbct fint ctia adinuice equales couincitur nccciTario vt vnaqqj er fupficicbus 
folidi.a.d.fit cquiaugula fuc relatiuc i folido.b.c.quare er fcoa gte. 1 j.ferti bafes 
ouoy folido^ ;ppofitop crunt eqles.fut eni cquiangule z latcru mutuoy.St itaq, 
linee altitudiuii fupcr balcs ipfoy otfbogonalitcr tnfiftunt conftat cr. 3 1 .ipfa effe 
equalia.cu eni bec liitce ftnt equales 1 ipfe oeterminent altitudinc folidom crun t 
folida cque alta.ac fi lince altitudinii ipfoiu no tnfiftunt fuis baftbus ojtbogona 
literabipfa? fumitaribus adbafes pcrpcndiculartbusoemtiTiscrunrerpmilTa 
bcc ppendicularcs adinuice equalcs ipfc eni etut ficut crant z in p jemiffc ocmon / 
ftratiouis ftgura ouc lincc.p.q.s.l.n.quas oemoftrauimus opo:tctc ce cqualcs. 
£2uia igif omniti foiido^ altitudo cr ppcudicularibus a fttmiratib 9 ipfof ad fuas 
bafcs ocfcedcrib 9 oiffinif crut er. 32.OU0 folida.a.d.t.c.b.cqualia. Xouerfa quo/ 
r 5 buius poffumus ft oelcctat couerlo mo ,pbare vt fi galellogramu coipus. a.d. 
fitequale^cqutaitguIucoipouBalellogramo.b.c.-iCoipus.b.c.cotineafa media 
trui lincaru cotiueutiii coipus.a.d.erunt trcs lince cottnetcs cojpus.a.b. cotinue 
^>po:tionalcs.cu cui ouo folida galcllograma.a.d.^.c.b.ftnt equalia 1 cque alta 
er ypotbefi ipfa crut fuper bafes equalcs p coucrfas. 3 1 .z. 3 2.1 q: ipfe bafcs co:u 
funt cquiangule fequif cx pntna pte. 1 j.ferti g> ipfc funt mutuom latcru itaq? p:o 
po:tio.a.b.ad.b.c.ficut.b.c.ad.c.d.quarc coftat pjopofitum. 
'llbjopoiitio , 59 , 

^ fucrint quotltbet Imee ^poztioiiales iblida quoq^ fug. 
equidtfrantium atq^ iimilium viuulcuinfqjcreariomsfu/ 
perikie^ erut ^poztionatia.ii vero folida equidifrautiu 
atq^firmmvmuicuiuiqjcreattoislupficieyfuermt.ppoj 
ttonalia Unee quoq? a quibus ipfa fohda continent crunt 
,ppo:ttona es. Sile ^ppouit vtgeiima p:ima fejctt oe fuperfciebus. 
CSint cni.4.linee.a .b. i.c.d.,ppo:tt6alcs z mjj bas fabiiccnf quatuo: folida p_a 
Icllograma eifdc noibus oicta q fint crpflc nlia.ouobus cni ad tibiru fab:icatis fu 
pcrouasline3s.a.c.c.ceteraPmpcept3.27.c6ftitueudacrut.oicobcc.4. folidace 
^tponionalia z ecouerfo.fubiungauf cni ouabus Iineis.a.c.b.in coiitinua .ppoj/ 
tioue ouc:q funt.e.e.f.qucadmodu oocct. lo.fexti ejc ouabus lineis.c.c.d.alie oue 
que fmt.g.c. b.conftat igif er. ?e. ct cr oifftnitionc ,ppo:tionis triplicate quc po / 
fita c in p:incipio quinti z cr bac y potbefi cp foltda.a.?.b.fibi inuicem z foltda.c. 
s.d.fibi adiuice funt erp:effe filta cp ,ppo:tio folidi.a.ad folidii.b.e ficut ^>po:tio 
lince.a.adlinea.f.folidiquoq5.c.adfolidu.d.licutlincc.c.adlinc3.b.iquiap.22. 
quinii p:opo:tio linec.a.ad linea.f.eft ftcut lincc.c.ad linca.b.crit ci. 1 1 .qutnti foli 
du.a:ad folidu.b.ficut foltdihc.ad folidii.d.pftat igttur p:ima pars. 5ccunda fic 
fint ouo folida.a.c.b.ftbi adiuuice ouoq, quc fiitt.c.c.d.fibi adinuice erp:c(Te fi/ 
milia.Sintqj cuncta paldlograma z ponat ypoitionaha.oico cj> linee.a.b.T.c.d. 
fup. qs fut pftituta fiit ^poitioales .fit eni ex.10 .fcxti ficut linca.a.ad Itnca.b.it3 
linea.c.adlinea.k.t fiat ftn.27.b* fup liuea.k.folidu erpffc file folido.d. qo etia^ 
oicaf .k.eritq^ cr oiffinttionib 9 filiu, co:po:u z fifiu^ fugficiqz «.20, ferti co:p 9 .rc. 
erpffc fitecojgi.c.ioctf p p:ima ptc buius.39.ia .pbata? erit ^>pojtio folidi.a. ad 
folidum.b.ficut foiidi.c.ad foIidum.rc. z quia eadcm crat folidi. c.ad foliduiu .d. 




b c 



\ 




\ K 


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b 


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V 


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CTitejc fecundapartcnoni quinttfolidum.k.cqualcfolido. d.cunq> effct ftbi qc/ 
p:effc fimi le fequitur Itneam. k. effe equalem tinee .d. £qualitas cmm nou p;o/ 
ducitureicaliqua p:opo:tienc triplicatavelquoticnflibetfumpta nifi cxcqualt: 
igtf ejc fcoa pte.7.quinti conftat ctia b"m6i ps fcba.occigis aiit fv arbitrarts opoi 
tere Vnuqoq^ quatuo: folidoy.a.b.c.d.ce fite cuiUbet alioymccclTe e cni ouo fo/ 
Uda.a.c.b.fibiadinuiccm.itcqjOuo.c.i.d.fibiadinuiceccfimtliaifoUdaailt.c.i 
d.fotidia.a.i.b.effe fimtlia contingcns cft-.ncccffariu autc no. 3dc ejc bac.59.oc 
feratilib 9 factle poteris concludere. 

IfMopofitio .40. 
% mfcifa fuerint latera tma? oppofitay fupficierum cubt 
vnuquodq-, in ouo media:e;aerintq5 a punctte fecttonuin 
oue furjficies ie viciffim fecantes 1 cubuni coem eajjz fectto 
\ffltVM ^ ne oiantetrum cubi per equalia fccarc 1 ab ipfa oianiecro 
|iffl|i|fcE| verfauice per equalia fecare necelle eft. 
GStatue cubu qui fit.a.b.oc quo conftat pcr oionem q> oniucs linec ipfu ccnti/ 
ncntes fint equales t ci 9 fuperftcies rcctaugule-.talc cni:co:pus cubtt otcim 9 :bui° 
igif bafis (it fuperficics.a.c.d.e.fuptTcics vero cius fuppicma.b.f.g.b .ocjctra ve 
ro eius fuperficics fit.a.c.g.b.finiftra aut luperficies ftt.b.f.c.d.citcrio: quoq, ftt 
d.c.b.b.fed vlterto.a.c.g.f.ciufq, oiarnctcr fit.a.b.oiuidanf itaqj oia latera oua 
ru quarulibet fup.ficiqz oppofitay ei 9 per cqualia:? fiut nfic fup.ftcies quap latcra 
oiuidaf oejctra atq, fmtftra: oiuidanf inqua quatuo: tatera:oe)ctre quide fup. qua/ 
tuo: puncta que funt.o.p.q.r.finiftrc vero fuper quatuo: quc fmt.h.l. m. n.s pnT 
ganf puncta in bis fupcrficicbus oppofita ouctis lincis.o.p.e. q.r. quc fcccnt (c i 
puncto.t.itemqj.k.l.c.m.n.qucfcccntfeinpuncto.f.iperficianturouefuperfi/ 
cics fccates fe inuice 1 cubu:,ptractis itc lineis.o.k.s.p.l.q.m.c.r.n.fitq} ba? ou 
aru fnpcrficiey cois fcctio tinea.f .t.oico igif cp linea.f.t. oiuidit oiametp.a. b.ct 
oiuidtf ab cade otamctro p cqUa:q6 p-> vtraqj cni ea? tranfit g ccnt? cubt. Cair 
vero pucnit qb .ppofitu e ocmoftrare ,pducanf cni oue liuce.t.a.c.t.b.« itcm ottc 
f.c.f .b.critqj cM.pnii.a.t.cquaUs.t.b.t.f.c, equalis.f.b.coftat aut cj: p:ima p.tc 
29.p:imi:cpangulus.p.t.q.ccqualisangulo.a.q.t.'zej:.4.p:imi3ngulu8.b. t.p. 
c equalis angulo.t.a.q.itaqj e*.3z.p:uni totus angulus. b.t.q. cii angulo. q.t.a. 
valct ouos rectos quarc et. i4.p:imi linca.a.b.crtt linca Vna:fit'r quoqj linca.a.b. 
crit linea vna 3t q: cy.. 9:b 9 linea.a.c.e cquidiftans linee.b.b.vtraq5 cni c cquidi 
ftas ltnee.d.e.cuq5 ipfe Unt cquales q: latcra cubi:fcquif cc. 3 5.p:imi ouas lincas 
a.b.t.c.b.effe equales z cquidiftates.idcoqj g coccptionc eap mcdictatcs que fut 
a.t.i.b.f.erunt equalcs:cjc. 7.aut buius manifeftu c q? linea.f.c.e i fupcrfictc cua 
ru Uneay.a.b.t.b.C'7 qc cadc linca.a.b.que cft oiametcr cubi.c etia oiametcr fug 
ficici paralellograme.a.c.b.b.itaq-) linca.f.t.fecat oiametru.a.b.fecet ergo ipfam 
i pucto. u.oico ergo Itnca.f.u.cffcequalc Imce.u.t.i linca ctia.a.u.lincc.u.b.iiitcl 
ligantur ouo trianguU.9.t.u.b.f.u.quo:u anguti qui funt ad. t. i.L funt cqualcs 
adinutcem-.fimilitcr anguli eo:udem qui fut ad.a.t.b.equalcs adinuicem cjc pma 
parte.29.p2imi: ( ppter id <$ tinca.a.t.cquidiftat lince.f.b.t quia ctia ipfefilt adi/ 
uicc equales: fequit ejc.2e.p:imi cp ^ppofttu e. C^dc quoq^ eodc mo cocludat c fi 
folidum.a.b.no fit cubus fed fotidu co:pus palellogramu fiue cqualtbus liucis ft/ 
ue no equaltb" cotentu fuerit fiuc quoq^ fug bafim o:tbogonaltter ercctu fiuc ctia 



XII 




« fuper ipfa indinatu.Zmde ampliat in bac.4o.figuratio cubi ad ocs figuras pa/ 

ralcllogtamasfoltdas. IJblOpoiitto .41. 

3f onocoipoia ferattltaqttoyalte^ baftmtriangttlaalte 
ruvcro balim babeat cquidiftantiu latcru tpli bali tnan 

gule tmpla eqtte alta fucrtnt tllg ouo cojpoza neccfic c ee 
cqttalia.CStt fuperfictc8.a.b.c.d.cquidiftarro lareru oupla trila/ 
tcrc fuperficiei.e.f.g.? fuper bas ouas fuperficies fiat ouo co:pora 
feratiliaequealtaifitq^fcratilcqDeftfupjabafimqdranguU.a.b.b.d.c.k.cui^ba/ 
fis eft fupctfiaes equidiftantiti later .ppofita.a.b.c.d.alia cius fupcrficies cquidi 
ftantiu later e.a.b„d k.tcrtia vero c.b.b.c.k.oue aut ei 9 triagularcs fup/tcies fuc 
altcra quidem triangulus.a.b.b.reliqua vcro.trianguIus.d.c.k. feratilc aut qo cft 
fuper bafim triangula.e.f.g.fit.c.f.g.Lm.n.cui 9 aItera ouar trilarcrar fupcrfidcr 
i bafis p:cdicta:rcliqua vero triangulus.l.m.n.triu aut fagficicy ci 9 cquidtftariuj 
later-.piima quide e.e.f.l.m.icda vcro.e.g.l.n.tertia vero.f.g.m.n.oico itaqj bcc 
ouo fcratilia,ppofita effe adinuice equaii3:pcrficianf cni ouo folida palcllograma 
adiungcndo vtriqj ouor p:opofitor fcra. tiii aliud ferarile fibi equale: pumo qui 
deferatili fupcreandebafim fitq^ adtunctu ferattte.a.p.b.d.q.k.cuius ouc trtla/ 
terc fupcrficies funt.a.p.b.d.q.k .tres aut quadnlatcre:p:ima qutdc.a.b.d.k.qui 
i terminus cois fibi 1 ci ori adiungif :fcoa vcro.a.d.p.q.fcia quoq^.p.q.b.k.fcbo 
jiut fcratili adiungaf aliud feratilc fibi cqualc boc modo:adiungaf p:imo triangu 
lo.c.f.g.alws triangulus cqualisqui fit.e.g.r.ita q> tota fa^ficies.e.f.g.r. fit cqui 
diftatui latcru 1 fupcr bunc trianguluj fiat feratilc.c.g.l.r.l.u.f.qb cu iiio cui ad/ 
iungif perfkiat co:pus palcllogramu buius feratilis adtunctuoue trilaterc fupcr/ 
ficies funt.e.g.r.l.n.f. trcs aut palellograme funr.pnma quidc. c.l.r.f.fcba.c.l.g. 
rt.i tpfa e comursis tcrminus fibi 1 ei cui aditigif :tcrtia viro.g.r.n.f.manifeftum 
jgitur ejc oiffinititione folidor cqualiu atq^fimiliu cp ouo fcratilia paralcUogamii 
coponentia folidu.a.k.fibi inuicem.itcq^ ono coponcnria folidum paralcllogra/ 
mum.e.n.fibi ad inuicc fiit eqlia.St vero ej. j i.vcl ej. -yt.b 9 cuo folida.a.k.j.e; 
n.funtfibiinuiceequalia:q:crgoborfoltdor mcdietatcs fuut feratilia^pofita 
pcr cocm fciam pftat ca elfc cqualiaiquccunqj cni fucrint cqualia cor mcdietates 
neccffe e effc equales:liquct itaqj qb .ppofitu e. £xplicit libcr Undccim 9 ^ncipit 
liberGuodccrmus. 'JfbJOpofltio .1. 

jQDmiu oua^ fupficic^ ittiu, multiangula?: 
iter ouos circulos oefcriptay e „ppo2tio al/ 
terius ad altera taq? ,ppoitto qoratojr q ej: 
Otanietris ctrculo? eas ctrcufcribctiu ,pue/ 
tlinnt.G5int ouo circtui.a.b.c.d.c.f.quib 9 infcriba 
turouequcltbafigure poligonicqponant adiuice 
ftfcs:fintq5 nuc pentbagonc infcrtptc vt ooccr . 1 i.qr 
ti 1 ipfe fint.a.b.g.b.k.aliud pentbagonu.d. e.l.m 
n.otamctri quoq^ circulor fint.a.c.c.d.f.oico itaq> 
cjp p:opo:tio pentbagoni.a.b.g.b.k.ad pctbagonii 






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d.e.I.m.n.e.ficut qdratu oiametri.a.c.ad quadratri otametri.d.f. p:otrabantur 
cnim in vtroq^ circulo ouc lince ab cxtrcmitatc oiamctri ad ej:trcmtratem vnius 
lateris pcntbagoni oiamctro no contcmtinalts fc inuice cancellantes infra ipfum 



LIBER 







") 




petbagonii i boc qmdc.a.g.c.c.b.iillo at.d.l.cf.e.eritcfl g:.6.fejtri triangul 9 .a.b 
g.cquiangulus tnangulo.d.c.l.na cu pctbagoni ponanf adinuice ftfes erut c% oif 
finitiotie fifium fugficiey angulus.b.cqualiatangulo.c.c latcra ipfos contmentia 
.ppo^tioftalia videlicet .pponio.a.b.ad.d.c.ficut.b.g.ad.c.l.cu fint autem ex.20. 
tcrti) ouo anguli.f.t.l.iibi inuice cquales.^tecp ouo alij x.i .g. fibi inuicc equalcs 
erunt ouo qui fuut.c.s.f.adinuicc cqualcs qc bac coi fcia:que equalibus.funt cqua 
lia fibi quoq^ cqua effe necelTe eft.£t q: c;c p:ima pte. jo.tcrtij vterq^ ouoy angu/ 
lo?.a.b.c.d.c.f.cft rectus fequitur ej:.32.p:imi ouos triangulos.a.b.c.d.c. f.clTe 
equiaugnlos quare per quarta fcjcti ^pponio oiamctri.a.c.ad oiamctp. d.f. e ficut 
latctis.a.b.ad ilatus.d.e.,ppo2tio ouplicata 1 per candc.cii itaqj c% fcoa gtc. 1 s.fe 
jcti .ppouio ouo^ pentbagono:$z c ficut ,ppo2tio latcris.a.b.ad latus.d.e.,ppo2td 
ouplicata 1 g eande ,ppo2rto quadrati oiamctri.a.c.ad quadratu oiamctrt.d.f.fit 
ficut oiametri.a.c.ad oiamety.d.f.ouplicata per banc cocm fciam:quozj oimidia 
funt cqualia ipfa quoq^ adinuice clTe cqualia. manifeftum cft q6 pjopoiitum cft. 
Ijbjopoiitio .2. 
XHbniu ouo^rcirculo? e pzopoztio alteriue ad altex: tan/ 
cJ5,ppo2tio quadratilue oiametriad quadratu oiametri 
I alterius.CSit ouo cirtuli.a.b.c.c.d.quozj otamctri quoq^ oicat.a 
b.«.c.d.oico ttacp cjp^ppOHO.circuIi.a.b.ad circulu.c.d.e ficut qdrati 
_J oiamctri.a.b.ad quadratit oiametri.c.d.manifemfeni c c% bac cd/ 
muni fcientia quanta cft quclibet magnitudo ad aliqua fccunda tantam nccclTc cft 
effe quamlibct tertiam ad aliquam quartam q> piopoitio quadrati oiamctri.a.b. 
ad quadratum oiamctri.c.d.eft ficut circuli.a .b.ad fupcrficicm aliqua que fit.c. 
cuiufcuq5 figure aut fojmc ponaf : banc autcm impoffibilc c maio^e elTe 3 t mino / 
rem circulo.c.d.Si eni eft poffibile ipfa cc mino2e circulo.c.d.fit itaq^ mino: i fu/ 
perficie.f.itacp circulus.c.d.fit equalis ouabus fuperficicbus.cz.f. pjrcr acccptis 
conftatigiteypiima. lo.cptotienspoflitcjceirculo.c.d.fuifg^ rcfiduis fubtrabi 
maius oimidio quoufq3 rclmquafquantitas aliqua minoi.f. infcribatur crgo fibi 
vt oocet.e.quarti quadratu.c.d.g.b.oc quo conltat cp ipfum fit matus mcdieta/ 
te circuli:quadratii eni quod cft ouplum ad ipfum e circulum circufcribeus vt pat^ 
cjcpcnultimap2imi7.7.quarti. Siigiturpo2tioncscirculie>:iftentes fupcr latcra 
qu adratt pfter accepte fucrint minus fupcrficic. f.fufficit. Sin aut quatuo: arcus 
exftentes fuper oictalatcra pcrcqualia oiuidanturtpunctaipfosarcus oiui/ 
dentia cum cxtremitatibus latez; cotmcnt per lincas rcctas. vcrbi gratia arcus.c. 
g.oinidafperequaliainpuncto.k.c^pttabanf linec. k.c.k.g.ficqjoccctcns.frit 
q3 quilibj triangulox? oefcriptoz? fup latcra qdrati maio: mcdictate po2tionis i cj 
ejciftit co o/ois triangul" yfocbcles e mcdictas palcllogrami fuc bafis pcr.4t.p2i/ 
mi. Sint itaq3 po2tioncs cjaftcntes fupcr latcra octogonij infcripti pitcr acccptc 
minus fupcrficie.f.fi cni nondu boc effctmo ccflarc oiuidcrc arcus quoy latcra vl 
time oefcripte figure funt co^dc pcr equaiia:? ifcribcrc ftguram cquilatcram ouplo 
plut ium laterii p:ime fcmper fubtrabcndo ab ipfis circuli po^ttonibus maius oi/ 
midio quoufq5 p pma. lo.portioes fupcr larcra altcui" talis figurc circlo ifcriptc c% 
iftctes pjt accepte crut min 9 fuperficic.f.fint s nuc q oictc fu t:critq5 c% pceptioe oc 
togonu.c.d.maius fuperficie.c.in circnlo igif .a.b.cade^ via iufcribaf fife octogo/ 
numiquod oicatur.a.b. fitq5exp2emilTa p2opo2tiooctogout.a.b.adoctogoiium 



XII 




cd.ficut quadrati oiametri.a.b.ad quadratu 0iamctri.cd.toq5 g. 1 1. quiuti ficut 
yponiociraili.a.b.adfuEficic.c.itaqsgmutatimpoligonij.a.b.adcircuIu.a.b.fi 
cut poiigomj .c.d.ad fugficic.ccuq5 fit poligoniu.cd.maius fupficicc. crit poli/ 
goniu.a.b.maiuscirculo.a.b.bocautipoflibilcnocicrgofugftctes.c.minoi cir/ 
culo.cd.Sed ncc maio:.£lto cnt fi poltibtlc fit:cu igit fit ,ppo:tio qdrati oiamc/ 
tri.a.b.ad quadratu oiamctri.c.d.ftcut circuli.a.b.ad fur>fictccerir ccouerfo qua 
dratioiamctri.cd.adquadratuoiamctn.a.b.ficut fuperfitici.cadcirculii.a.b.i 
oftat et coi fcia iu p:incipio buius ocmonftrationis pofita g> cade e circuli. cd. 
ad aliqua fupficie quc ftt.f.eritq^ et. i4.quinti fugficics.f.mino: circulo. a.b.itaqj 
,ppo:tio quadrati oiamctri.cd.ad quadratu oiametri.a.b cit ftcut circuli.c.d.ad 
fup.ficie.f.mino:c circulo.a.b.fed ct boc oemoftrauimus paulo antc fcqui impof/ 
fibtle vidclicet poligoniu infcriptu circtilo maius elTe circulo:ficu: crgo fuperficies 
e.116 pot cifc mino: circulo.cd.ita ncc maioj:erit: ergo ncccffario cqualis quarc g 
fc6ampartc\£qnintiliquetq6,ppofituc ^(biopofitio .3. 

.QDnispiramiscmus bafts trtangula fcindi potinonas 
equas ptramides ftbi inuiccni totiqj piramidi JiUes Vnaqs 
in tmo ferattlia q ambo piter accepta Oimidio totius pira 
midis necelTc eft efle mai02a.C5it piramts.a.b.cd.fup bafi^ 
triaugulu.b.cd.eiufq, vcrtcjc folidus angulus.a.a quo ocmittat trcs 
fpotbcmife.a.b.a.ca.d.ad tres angulos bafis:? oiuidant oia latcra bafis p_ cqua 
lia in tribus punctis.e.f.g.tres quoqj fpotbcmife pcr cqlia in trtbus punctis.b.k 
l.« piotrabanr in bafi oue lince.e.f.c.cg.eritq^ bafis cius oiuifa in trcs fupcrftci 
es quai; ouc funt ouo triar guli.b.c.f .e.g.d.quos ct fcoa partc fc6e ferti % oione 
fifium fupcrficic£ oftat ce files fibi iuice z tottbafi 1 cqualcs ad inuicem et.s.pmi 
tcia e tetragona-.rjaldlogranta 1 ipa ce.f.g.cqua pftat ee oupla ad t jgnlu.cg.d 
ex.^o.-z.+t.pmi^ocmittantcrgorurfusapucto.b.oucjpotbcmifcb.cf.b.capu 
cto.k-ipotbemifa.k.g.? .ptrabanf liitecb.k.k.U.l.b.oiuifa e iraqj tota piramif 
a.b.c.d.in ouaspiramidcsque fint.b.b.cf.ca.b.k.l.? ouo fcratilia quo?; vnfi 
c.c.b.f.g.k.c.iefuperbafimquadrangula.c.f.g.e.taliude.e.g.d.b.k.I.'rcftfB 
perbafimtriangula.e g.d.oeouabusautpiramidib 9 .b.b.c.f.a.b. k.l. qnpefnt 
eqles adinuicc fibiq^ 1 toti piramidi.a.b.cd.fites:pftat er oione co:poj2 equalt» 
c fiuutn 1 cr. 10. 1 i.libri 1 er fc6a parte.2.fetti: oe ouob 9 aut fcratilib 9 cp ipfa lint 
ecjlia.pftat ct vltia.i 1 .Ub:i..Q6 vcro ambo feratilia gitcr acccpta fint mai 9 mcdi/ 
etate toti 9 piramidis:c)c boc mantfcftu c cp vrruq3 illo^ oiuifibilc c t ouas pirami 
des qua^ altcra triagula cqlis vni ouay in quas 1 feratilia rotalis pitamis oiuidi 
tnr.altera vero quadrangula q oupla e ad reliqua quare P3 ambo fcratilia paritcr 
accepta tres quattas ce totalis piramidis oiuifcbac ,ppo:tione fi fetre oefideras. 
fcrta buius. iilib:i pfule.fcd fufficit tibi fcirc quantit ad ^pofitu illa ouo fcrati/ 
lia pariter acccpta ouas partiates piramides in quas z feratilia totalts oiuiditur 
paritcracceptasquatalibetquatitatcetcedcrc. Ifbiopofltio .4. 

~~~|3f onepiramidcs equealte qnay baiestriigulelingule 
i binaspiramides eqlesftbiiniceactotifimilesbinaqj 
fcratiiia eqlta Oinidanf erit «ppozno balis vntf ad baftm 
alreri? riq5,ppo:tio Ouojz feratiliu fuoyad ono feratilia 
altertf.eritqspalaoia feratilia qfueritinvtralibjiUa?: 





LIBER 







piramidu pjter aecepta ad cucta feratilia q t altera piramide faerit in 
eade bfe ,ppo:tionc 03 bafs ei? piramidis ad bafi aiteri 9 ptramidis. 

GSint oue ptramidcs quay bafes triangulc cqne alte bec quidc.a.b.c.d.cuius co 
nus pnnctns.a.bafis triangulus.b.c.d.ypotbemife.3.b.a.c.a.d.illa vcro.c.f.g.b 
cuius conuspunctus.e.bafistriangulu3.f.g.b.fporbcmifc.e.f.e.g.c. b. bccante 
euc piramides oiuidant ficut in p:cmiffa.Sintq5 bafcs cay oiuifc bcc quide p:o/ 
tractis lincis latera bafis ipfius pcr equalia oiuidentibus quc fint.k.l. z. k.m. ilU 
vcro p:otractis lincis que frnt.n p.n.q.oico crgo cp ,ppo:tio bafis.b.c.d.ad bafij 
f.g.b.eft ficut OU022 feratiliu piramidis.a.panrcr acccptoy ad ouo feratilia pira/ 
midis.c.paritcr acccpta. 2)(3anifeftu cft afit cjc. is.fcjcti ptc fcda cp ,p?o:tio tnau/ 
guli.b.c.d.ad triangulfi .fc.m.d.c ficut liucc. b.d.ad liuca.k.d.oupltcara g cande 
quoq^e.ppoitiotrianguli.f.g.b.adtriangulii.n.q.b.ficutlince.f.b.adhnca. n.b 
ouplicata.jCuq5fitIinca.b.d.adltnc3.k.d.ficutlinca.f.b.adlinc35.n.b.vtiobiq5 
eni e oupla #po:tio crit triangulus.b.c.d.ad triangulfi.lx.m.d.fiair trangiilas.t' 
g.b.adtrisngulu.n.q.b.^Emutstimtriangulus.b.cd.adtriangutfi.f.g.b. ficuc 
tri3itgulus.k.in.d.adtriangu;u.n.q.b.triangulus3ut.k.m.d.3dtri3iigulu.n.q; 
b.c ficut feratilc cjciftats fupcr ipfu ad feratilc cpis fug illii p. 5 j . vitdecimi buius 
quoq^ fcratilis ad illud e ftcut amboy feratiltfi piramidis.a.giter acccptp? ad ani 
bo fcratilia piramidis.e.paritcr accepta cj. i? .quintimcccffc e cni vt fit oupifi ad 
ouplum queadmodu fimplu ad ftntplu.itaq^ codude cc. 1 i.quinti qo .ppofttfi cft; 
£>o:mitas aut fi oubitas fcratili3 vnius bay piramidu cquc alt3 cffc feratilib 9 pi 
ramidis altcrius.cfi cni ftnt piramidcs cquc altc:ftt quoq^ vtraq^ caiJ oiutfa i ou/ 
as piramides cquales fibi totiq^ fimiles % in ouo fcratilia cqua!i3 z ftut cuc ptia/ 
les piramidcs cquc altc co q> fimiles 1 cqu3les qtJ facf.e pstcbit ocmifft3 3 vcrtict/ 
bus ptialium piramidu ependicuiaribus ad bafcs ipfajz: oc quibus pcrpcndicuia/ 
ribusec.}7.vndccimi conftat effc cquales.£uq5 sititudiues bap partialifi pirami 
dum pariter acccpte coponunt altitudine totalis piramtdis oiuife. Sintq^ ambo 
fcratilis eque alta vni partialifi piramidfi ei vidclicct quc fup. p_tia'em triangulum 
bafis totalis piramidis coponit non cft pbas ambigcre feratilia Vnins ea? pira/ 
midfi effe cque alta feratilibus altcrius eay . £o::cLuiu vcro c% co mamfeftfi e <j> 
fimilitcr bafes parti3lifi piramidu fic (c babeanrad inuice ficut bina fcratilia vni'' 
adbinsfcraiiliaaltcrius.-tq^bafespartialium ficfe babcntadiuuicc ficutbafcs 
totalium ejcfcca prc. is.fejcti % pcrmutats ,ppo:tionc conftat cj:. 1 3. quinti Vcrfi ee 
quodcoj:elariump:oponit. 1Jb:opofttio .j. 

£C>nes oue piramtdcs eque alte quarum bafes triangule 

fuis baftbus liut p:opo:ttonales. 

C.Q.6. j j .vndccimt ,ppofuit oe folidis galcllogramis 1 i finc. js. vn/ 

dccimi Vq2 effc oemonftrauimus-.oc fcra tihbus.bcc quinta . u.,ppo/ 
|nit oe piramidibus triangulis.^ntclugatur cni oue piramides cque 
alte quaz? bafcs funt ouo rrigoni.a.s.b.oico <j> ,ppo:tio piramidis.a.ad pirami/ 
dem.b.eft ficutbafi&a.adbafim.b.qeeedcm oemoftrationis vcl argumctattois 
gcnere ocmoftrandii e quo fcosm bui 9 oemdftrautmus.fit cni ut bafts.a. ad ba/ 
fim.b.ita piramis.a.adco:pus.c.ocquookocpipfun6 crit minus ncq^maiua 
piramide.b.na fi pofftbile e vt fit min' 1 efto min' 1 i folido.d.vt piramis.b.fit eqlis 
onpbus coxpojibus.cj.d.paritcr acccptis oiutfa itaqj piramide.b.vt .pponit- J- 




XII 



oetrabantur ab eo ouo fcratilia que c% pjcimlTa funt maius incdictatc piramicfe 
ipfius: itcmcp c% vtraqj ouarum panialium refiduarum piramidum ouo caviint 
piedicto modo oiuifarum fcratilia ocm3iuur i fiar boc roricns quouiq, ct pira ' 
midc.b.cogatur aducrfarius pcrpjimam.io.confitcri rcimqui ininus foiido.d. 
cruntcp ejccommunifcicutia fcratilia oetiactamaius.c.fiarigiturspiramidc.a. 
fimilis fcratilium octractio.c iiitcliigamus tot fcratilia octracta dTc c% piramidc. 
a.quotoctrajcimus cxpiramidc.b. critqj cjc couclario pjcmiffcficutbafis.a. ad 
bafim.b.ita feratilia oerracta a piramidc.a.ad fcratilia octracta a piramide.b.fic 
fcd erat piramis.a.ad coip'\c.itaq5 fcratilia piramidis.a.ad fcratilia piramidis 
b.ficnt piramis.a.ad cojpus.c. % pmutatim feratilia piramidis.a.ad piramidc.a 
ficutferatiltapframidis.b.adcoipus.c.Iunq^fint fcratilia piramidis. b.maius 
cojpoie.c.crunt feratilia piramidis.a.maius piramidc.a.£t quia boc c tmpoflibi 
bile no erit coipus.c.minus piramidc.b.fcd nec maius.boc eni pofito cum fit p/ 
pojtio bafis.a.ad bafim.b.ficut piramidis.a.ad cojpus.c.crit ccouerfo bafis.b. 
ad bafim.a.ficut coipcjis.c.ad piramidc.a.fritq, cadc c% comuni fcia piramidis 
b.ad aliqb coipus qb fit.d.fcquefq^ e%. H.quinti cj> coipus.d.fit minus pimmtdc 
a.eocppiramis.b.ponitininoicoipe.c.£ritigitbafis.b.3dbafi5.a.ficutpir3mis 
b.ad coipus minus piramide.a.£x boc afit ocmonftratu c fequi impolTibilc Vidc 
licet feratilia octracta ab aliqua piramidc maius ec ca piramidCja qua octrabunt 
ideoq^ relinquit coipus.c.cffc equale piramidi.b.cum ncc minus ea pofiit ee nec 
maius z j>po«ione piramidis.a.ad piramidem.b.clTe ficut bafis.a.ad bafim.b. 
boc aut erat oemonftrandu. 

1fb:opofitio .6. 
' fl&neco:pu6feratilemtrespiramideseqnales bafefq^ 
triangulas babentes eft oiuifibile. 
C Sit fcratile.a.b.c.d.c.f.ipffi oico clTc oiuifibilc in tres piramidcs 
triangulas cqualcs .ptrabat eni in vnaquaq^ fua2; triu^ fupcrficierit 
jpalellograma? linea oiagonalis ita q> vna ea?2 oiagonaliu fit cotcr/ 
minali3 rcliquis ouabus ut fi ^ptrabas lineas.b.d.b.f.c.f.a.quas ^ppter cofufio/ 
ne piotrabere cotempfueritq, totum feratile in tres triangulas piramidcs oiuifu 
quas qc piemiffa bis affumpta-facilc coftat ee cqualcs..Qm aiit euclidcs nibil oe/ 
monftrandum pioponit oe pirsmidibus lateratis cxccptis folidis bis qua^ funt 
bafes triangule vt omiiiu cognitione ejc elemctis q ponit:fumcicnter dicerc poffi/ 
musiqueda arbitramur no inutile oemoftrationibus bic pofitis adiungcrc :folis 
eni elemetis contentus cuclides multa ptermifit quc quauis cx eis confequant non 
tamen fiue oifficultate patent ftudentibus:bo2; piimum eft bec. 
C0i ono folida qno:nj alterum feratile alterum vero piramis cuius 
baftstriangulafuper eandembalimautfuper equales trigonas aut 
feratile fuper quadrangnla:piramis vero fuper trigona que quadran 
gute bafis feratilis ftt oimidinj conftituta fuerint eque alta leratile pi 
ramtdi triplum effe conueniet 

C5i feratile .ppofitu fuerit fuper bafim trigonam tunc cjc piramide ^ppofita fup_ 
piopiiam bafim perficiatur fcratile piramidi ,ppofite equc altum . 6i vcro feratile 
fuerit fuper bafim quadrangulam tunc bafilpiramidis adijciatur triagulus c% quo 
i baft piramidis perficiatur fuperficies equidiftaiuium laterum fuper qua c% ipfa 







LI5ER 










Piramidc compleainr feratile piramidi c uc altum:qj igif iftud fcratile fcratili pji 
oji cft cquc altum ? vrromq^ bafcs funt equalcs cj: vpotbcfi.fcqmtur ipfa ce cqua 
ha Jwc ent ocmonftratii cft mo«. vudecinii.at qtn cj:.(j.but°- i2.Ub:i feratilc fcom 
tripluui eft ad piramidc .ppofita.nam ipfa eft vna ejc tribus piranudibus in qu38 
ipfum feratik oiuidif .£rtt quoq^ per comuiiem fUcnttam p:opofitam fcratile tri/ 
plum ad pjopofitam piramidcm. 

GSiquotliberpiramidcsquarumbafestriangule iupervna eandc 
q5 bafun iiue fuper equales confhtute fuermt:equc altc eas efle adin/ 
UlCC mequales necellc eft. G^abiicato cni vno fcratili equc alto piramtdib 9 
pjopofttis fup bafiin triangula equalc bafib 9 pjopofita:; piramidti aut furj baftm 
quadrangula oupla bafibus carnde:crit ipfti feratile triplu ad piramidcs fingtas. 
boc cnt conftat c% pjcmiffa addita fiue tntcrpouta:igif c% cot fcia ciictc p:opofite 
piramidcs funt vt oipmus adinuice cqualcs. 

e.0mnc& piramides quarum bafes triangule eque alte fuis baftbus 
funt p:opo:tionatcs.G §iant f upcr bafcs pjopofitat um piramtduni aut fug 
alias trigonas cquales aut fupcr galellogramas otiphs feratilia ipfis piramidi/ 
bus cque alra eruntcp ob boc feratilia libi adinuicc cque alta i q: fcraf ilia fuis ba/ 
fibus funt .ppoaionalsa ut pjobatum c in.je.vndecimi.j j.ipfius mcdiante. £u/ 
cp cj pjima barum additarum manifeftum ftt bec feratilia tripla cffc ad p:opofi/ 
tas piramidcs vnuqoqj vidclicct ad fua re!atiuam:bafcfq5 ipfoiu, equales aut ou 
plas clTc bafibus ipfarum .fic autem oc.iy .qmuti vt tnplum ad tnplum ita fim/ 
plum ad fimplum crunt quoq^ pjopofttc pirarmdes fuis baftbus pjopojtionalcs. 
G0i fuerint ©uequehbet ptramtdesequealtcfueritq^ alteriusba 
lismgona:reliqucautcm tetragona autplunlaterapiramidesipfas 
iuis baftbus pjopo:ttonalcsclTe conuemct. 
G£x«:inplt gf a:ia.3ntclli3antur ouc piraiiudcs cqne alte fuper onas bafes.a.s.b. 
fitq^bafis.a.triangula.b.vcro pentbagona. £toicantur becpiramides .a.t.b. 
itaq^oicopjopojtionempiramidum.a.'! b.elTeficut bafium.a.s.b. oiftinguatur 
qnidem peittbagonus. b.i trcs triangulos.c.d.e.critq, tota piramis. b.oiltincta 
in trcs piramides eque altas quarum bafcs funt trianguli.c.d.e. que etia oicatur 
nominibus fnarum bafium.quia igitur cj: p JcmtlTa intcrpofita pjopojtio piramt 
dis.c.adpirarmdem.aeft ficut trigoni.f.ad trigonum.a.t piramidis.d.ad pira/ 
midem.a.ficut trigoni.d.ad trigonum.a.ttcmq^ piramis.c.ad piramidcm.a. fi/ 
cut trigoni.e.ad trigonum.a.c)C.24.quinti bis alTumpta fcquitur q> fupjopo:/ 
tio aggregati ejc omnibus piramidibus.c.d.c. % ipfnm eft piramis.b.ad pirami/ 
dcm.a.ficut aggregati qc ommbus trigonis.c.d.e .1 ipfum eft pcntbagonns.b. 
ad trtgonum.a.conftat igitur ouod volumus. 
G£>miieslateratepiramides equealte futs bafibus p:opo:tiona/ 
leseflep:obantur. 

GBialteraearumfueritfupcr bafim trigonam cjcpjemiffa intcrpofira conftat 
quod oicitur.Si autem bafis vtriufq^ fuerit poligonia vtralibet ipfarum bafmrrt 
refoluta in triangulos 1 ipfa piramide i piramides trtangulas-.crit ejc pjemiffa in 
terpofita p:opojtio vnmfcniufq^ barum tnangularium piramidum iter quas alte 
rapjopofitarumoiuidimradreliquaficutfuebafis ad bafim altcrius.itaq^pcr 
24.quintt qaotiens oponet affnmptam-.conftat vcrum effe quod oirimns. 



XII 




llbzopofitio .7. 

3f bue piramides triangularam bafium fuerint cquales 
earumbafcsearundemaltitudmibus mutueerunr. £>ive 
ro ba!es i altitudmes faerit mutue eafdem piramides iibi 
irtuicem eiTc equales necclle clr. 
CQotrigcfima quarta?rngcu:uaquinravndecimi pjopofucrunt 
Oe folidis paralellogramis:? uos iti . ?<S-eiufdcm oemouftrauimus oe feratilibus: 
bcc fcptima. 12-pjoponir oc piramidtbus babcnrtbus bafcs triangulas. ^ntelltga 
tur ciii ouo piramidcs cqualcs fupcr ouos trigonos vcl triangulos.a. z.b. que oi 
cautur.a.z.b.oico itaq> cp ,ppojtio baiis.a.ad bafim.b.cft ficut pjopojtio altitu 
dtnis piramidis.b.ad alcitudutem piramidis.a.c fi boc fuerit oico piramides.a. 
■r.b.effe equales.adbibcantur quidem ouobus rrigonis.a.s.b.ouo alij qui fint.c. 
s.d.vr fiant ambe fupcritcies.ac.s.b.d. cqutdiirantium latcrum a c% ipfis pira/ 
midibus fupcr bafes .a.c.e.b.d.copleantur folida paraicllograma piramidibus 
piopofitis cquc alta quc fimiliter oicantur.a.c.i.b.d.manifcftu igitur cft ejc fejcta 
buius. a.cp piramis.a.c fctta pacs folidi.a.c.c piramis.b.fcjcra folidt.b.d.iraqj 
qc., j-vudecimi argue pjopofirum*.pjima quidem partem cy. piima:fecundam au/ 
temcjcfecunda; 

GiQofioue quclibetpiramideslateratc faerintequalesearumba/ 
fes earuudem altttudtnibus mutue erunt. Si vero bales earum altitu 
dinibus ipiarum mutue faerwt eafdcm piramides equales ellc opo:/ 
tet. 

G5i bafes vtraruq) fucrint triangulc oemonftratum eft verum effe q6 oijcimus. 
6i altcra riiv.fit igitur.a.baftfcg altcriu3 piramidis fit.b.? fumatur trigonus.c.cq 
lis poltgonio.b.fiatcp fuper.c.piramis cque alta piramidi quc cft fupcr.b.c fint.a 
b.c.cquiuoca nomma piramidum e bafium.Ouia igitur et yporbefi ouo pirami / 
dcs.a.^.b.fut cquale3 1 c,c vltima iuterpofitaz? ad fctram butua ouecp piramides 
b.z .c.funt cquales:? eriit c% communi fcicntia ouc piramidcs.a.?.c.cqualcs:igit 
bafes carum funt mutuc ad altitudines earum cjl pjima partc.7. buius.£uuq5 ba 
fes.b.c.c.fint equalcs:altitudmes quoqj piramidu.b.t.c.equales crunt et p:ima 
pc i fccunda.7.quinti bafes.a.-z.b.murue altitudinib 9 piramidum.a.?.b.5c6a 
pars couerfo modo piobatur.nam fi fuerit bafis.a.ad bafim.b. vt altitudo pira/ 
midis.b.ad altitudinem puamidis.a.erit cjc .2. parte « piima .7. quiuti bafis.a: 
ad bafim.c.ficut altitudo piramidia.b.ad altitudtne piramidis.a.itaqj ejc fccuda 
Ete bui" .7.ouo piramides.a.i.c.funt eqles quarc p> comune fcicntiam ouc quoqj 
piramidcs .a.t.b .funtequalcs.Siveroncutrapiopofitaiii piramidum fucrit 
trigona fed vtraqj poligonia.23crbi gratia altcra pentagona altera cjagona que 
adbuc oicantur.a. c.b.fumarurfimilitertriangulus.c.equalis cjagouo. b.fuper 
qucm fiat piramis cque alta piramtdi.b. erunrcp oue piramides. b.i.c. equalcs. 
ideocp oue que funt.a.^.c.etiam per coceptioncm cquales quare bafis.a. ad ba/ 
fim .c.ficutaltitudo piramidis.c. adaltitudtnem piramidis.a.boc entm nuper 
oemonftratum eft.£ft ergo ejc feptima quinti bafis.a. ad bafim.b. ficur altitudo 
piramidis.b.adaltitudme piramidis.a.£onuerfa connerfo modopatct.fi enim 
bafis.a.ad bafim.b.fuerit vt alritudo piramidts.b.ad alritudmcm piramidis.a, 

2 






LIBER 






crit quocg V feptima quintlbafis.a.ad bafim.cvt altitudo piramidis.c ad alti 
tudine piramidis.3.idcoq5 ut patct ct p:io:ibus erunt ouc piramidcs.a.z.ceq/ 
Ica quare etia ejc comuni fcientia i ouc que funt.a^.b.erut etia equalcs.ft boc e 
pjopofitum.' 

IJbiopofuio .s. 
£Hbniam oaarum piramidum limiliam quarnm bafes tri 
angnleep:opomo alteriusadalteram tancjj laterisad 
latus etus relatiuum p:opo:tio rriplicata. 
G p:opofttis ouabus piramidibus bafes triangulas babcntibus fi 
milibus cjc ipfio pcvticc ouo folida paraldlograma qiiauadmodti 
oictum eft in ocmonftratione p:cmiffc:eruntq) bec ouo (olida paralellograma fi ' 
milia eo cj> piramides ponuntur fimiles ad inuicem.na ouo folidi anguli qui fuut 
comunes piramidibus «folidis paraldlogramis fuperficialibus angulis numero 
i quantitate equalib 9 continentur: « latera quoq^ iltos angulos fupcrficialcs cori 
tinentia funtp:opo2tionalia quareejL.34-pHmttresfnperficic3folido:um para/ 
ldlogramo:um comuncs angulos folidos conftitucntcs funt cquiangule i latcrti 
p:opo:tionalium.ideoq5 fimiles e* oiffinitionc fimilium fuperficicrum: quare ej: 
24-«.i j.quinti concte fejc fupficies boy ouowm folidoy paralcllogramoy funt.fi/ 
mtles adinuicc-.igitur a oiffmitione coiponun fimilium crunt ipfa folida funilia: 
quarc cnm p:opo:tio folidomm i piramidu fit vna ejc. ■ j.quinri.natn folida funt 
fejccupla piramidibus c% fcyta buius.ctmq^ fit p:opo:tio folido^ vua ficut (uo:um 
rdatiuo52laterumtriplicatac)c.?<J.vndccimiUb:i:funtautlatcra folidommeadej 
quoq^ latcra piramidu.erit quoq^ ejc. n .quinti p:opo:tio p:opofitap piramidum 
ficut fuor relatiuor laterum p:opo:tio triplicata-.quod cft p:opofttum. 
C £16 ti fuerint oue quelibet piramides latcrate limiles erit ^ppojtto 
alterins adalteram ficut fui lateris ad ftbi relatiuumlatnsalterius 
p:opo:tiotriplicata. 

G6int oue latcrate piramides qua? coni.a.t.b.fimilcs fintq^ fupcr bafcs pen/ 
tbagonasquefunt.c.d.ef.g.b.k.l.m.n.oicocp^ppo:tioca?2efl.ficut fuoy rdatf 
uo:um laterum ttiplicata .Xonftat cnim cjc oiff ininonc fimtliu fnpcrficiej: % co:/ 
po:um g> pentbagoni qui funt bafcs p:opofitarum piramidu fibi ad inuice cun/ 
ttiq^ rdatiui atVcliqui triaguli ipfas abicntes fibi inuice fut fimilcs.oiuidanr iracrj 
bafes atnba? in triangulos files i numero equalcs ^put. iS.fejrt .pponit effe pof / 
fibile:p:otractis in bac quide lincis.ce.s.cf.i illa vero.b.U.b.m .oico igit iftas 
piramides effe oiuifas in piramidcs triangulas fites i numero equales.£onfcrat 
cnim adinuicem oue piramides.a.c.d.e.b.b.k.l.quay coni funt.a.i.b .coftat au 
tcm er ypotbefi triangulu.ca.d.effe fimile triangulo. b.b. k.s trianguln.d .a.e. 
triangulo. k.b.U q: etia ejc ypotbefi angul 9 .d.c cqualis angulo.k.s latcra .cd.i 
d.ccotinetia angulu.d.funt j>po:tionalialatcribus.b.k.z.k.l.c6tinctibusangu 
lu.rceruntcjcc Miouo trianguli.cd.c. i. b.k .l.equianguti. idcoq5per.4.fej*i 
erit ( ppo:tio.cd.ad.b.k.ficut.ce.ad.b.l.cuq5 ejcypotbcfi fir ,ppo:tio.ca. ad.b. 
b.-jetia.a.e.3d.b.l.ficut.cd.ad.b.k.critejc. n.quinti.ca.ad.b.b.e.a.e.ad.b.1. 
ficut.ceiad.b.l.igic ejc. * Sqxi i oiffinitione fimiliu fuperficicy triangulus.ca.c. 
erit fitis triangulo.b.b.l.manifcftum eft itaq^ ej: oiffinitione .fitium co:po:um cj> 
piramis.a.cd.e.e fimilis piramidi.b.b.k.l.fttr quoq) coftat piramide.a.ce.f.ee 



XII 



fircmpir3midi.b.b.I.m.?pir3tiudc.a.c.f.g.pitamidi.b.b.m.n.q2CTgo£)cb3C.8 
.•ppoitiopiramidis.a.c.d.c.adpiramidc.b.b.k.I.eficutlatcris.c.d.adlams.b.k. 
tnplicata z etia piranudis.a.c.e.f.ad piramidc.b.b.l. m.ficut.e.f.ad.l.m .tripli/ 
cara.acetiapiramidis.a.c.f.g.adpiramide.b.b.m.n.ficnt.c.g.ad.b.n.triplicata 
cii fit cx ypotbcfi ,ppo:tio.c.f .ad l.m .?.c.g.ad.b.n.ficur.c.d.ad.b.k. fcquitur c?. 
i j.cpiinti vt ppo:tio totaliu piramidu.a.s. b.fit ftcut vnius bay ptialium ad alia 
vna.igif c% bacs.c vndccima quiuti conftat veru eequod oiximu3. 
Cj0innescoli5nelaterateequealtefuis baftbus fiit.pponionales. 
G23er5eq6oiciturfut3 qualefoiqjbafespoligonias fint.coluiie, £oliinasaute 
latcraras vocamus folida co:po:a latcrata quo^ bafes i fnpficies fuppremc funt 
fifes lequalcs.cunctc vcro rcliquc fupcrftcics ipfa folida ciraiftantcs:funt equidt 
ftantiii laterum lalium aute folidoy p:ima fpes e fcrattlc ca fuper vna fua^ trila 
teraru fugficic^: intelligif ce ftatuni Sc6a vcro fpes c coluna cui" bafis fit qdrilare 
ra qua cjc ouobus fcratilibus neccffe e cffc copofita : z tertia c cuius bafis e penta/ 
gona i ipfa cy. tribus fcratilib 9 pficif .Simpliciter atit oico q> ois laterata coluna 
tn tot co :po:a fcratilia pot oiftingui in quot triagulos fua bafis 3n telligant itaqj 
Oue colune laterate.a.^.b.pftitute fug ouas bafes.a.s.b.eqne altc.oico cp ppo:/ 
tio coliinar.a. z .b.c ficut bafiii. a. t.b .otftinguat naq? bce bafes i triagulos z bce 
columnc in feratilia:bafis quidc.a.quc ponatur clTc quadraugula in ouos trigo / 
nos.f.c.?.d.'Z coluna.a.in ouo feratilia.cz.d.bafis vct o.b.que fit pentagona oi 
ftinguaf in trcs trigonos.e.f.g.c coluna.b.in rria feratilia que fitr vocent.c .f.g. 
Ddanifcftu e igif cj: bis quc in.jtf. Vndecimt oicta funt cp ,ppo:tio feratilis .c.ad 
feratile.e.eft ficut bafis.c.ad bafim. c.i itcru feratilis.d.ad fcratile.e. ficut bafis 
d.adbafim. e. quare pcr.24.quinti crit columne .a.ad feratilc.e.ficut bafis.s.ad 
bafim. e.cadem rationc crit columna.a.ad fcratile.f.ficut bafis.a .ad bafim.f.at 
rurfus columne.a.ad feratile.g. ficut bafis.a.ad bafim.g .igif cjc.a4.quinti quo/ 
tiens nccdfc fucrit affumpta facile cocludes pjopofitu.conftat itaq; ey boc <p 
GJ@mnes colune laterate fuper cande baftm vel fuper equales con/ 
ftitute ft fu crint cque alte erunt equales. 

CCum cni vt p:o^imo pwbatum cft eque alte colunc latcrate fint fuis bafib" p/ 
po:tionalcs.ponantur aut bafcs clTe aut cafde aut equales ncccffe e ej;.24.quimi 
vt etiam colune fint cquales.conftat quoq; q>. 
C©t fuerint quelibet folida paraleltograma feratilia i laterate coln / 
ne eqne alta ipfa quoqj fuis bafibus pzoponionalta ee neceflario co 
pzobantur. 

GOmnia enim bce fpecies funt lateratar colnmnarum oe quibu3 paulo antc vni 
uerfalitcr p:obatum elt vernm effe quod oicitur. 
Cjg>mnis laterata columna tripla eft ad fuam ptramidem. 
GDiftinguatnrbafiscolumneintriangulcsc frnnumerum triangulo:um ilto/ 
rum oiftinguatur columna in fcratilia t piramis columnc in piramides babentes 
bafes triangulas quevidelicetfuntbafcs fcratilium. conftat itaq; vnumquodq; 
fcratikadeapiramidemquefupereandembafimciimipfo fcratili confifrit tri/ 
plum cffe.boc cnim ocmonftratum cft in fejcta buius ouodccimi lib!i:igitur c%. 1 5 
quinti omniaferatiliaparircr acceptaadomnespiramidcsparitcracccptas nc/ 
ccffccfteffctriplum cumqjcy omnibus feratilibns pariter acccptiscolumnact 

? 




LIBER 



ct cfomnibuspiramidibns pariteracccptispiramis columnepcrficianturcon/ 
ftat vcram effc banc noftram p:opofitionem. 
CSi ruerint oue quelibct columne laterate equales: earum bafes ea 
rundem altitudinibiis mntue erut.Si vero bafcs carum i altitudines 
mutue mcrintteafdcm columnas equalcs dle necelle eft. 
CSi cnim columne ftnt cqualcs carum piramidcs crunr equales co cp omnis la/ 
tcrata coluna e tripla ad fua piramide.fi autcm piramidcs fuerint cqujlcs fuc ba 
fes fuis a!titudinibus mutue crunt qucadmodu ocmonftrarum cft m fcptima bu/ 
ius:quia igitur cclumnarum fuarumq, piramidii ccdcm funt bafcs ? altitudincs 
funt ccdcm.conftat p:ima pars .ppoliti.Sint lgitur bafes <i altitudincs .ppofita/ 
rum columnarum lateratarum mutucoico q> columne crunt cqualcs. cum eni ce/ 
dcm fint bafcs cedemq, altitudincs coluna? fua^q^ piramtdunueruiit bafcs ? al/ 
titudines piramidu ^ppofttay colunarum mutue.fi boc vt pofitii cft vc£ tiicrit oe 
columnis.cntnt itaqj piramidcs cqualcs ,put tn fcptimo buius oemoitftratum e 
igitur i columne cquales cum ipfc triplc ftnt ad fuas piramides:quare patct fccii 
da pars eius quod p:opofttum cft. 

Gj£>mnwmouaranicolumnaraml9terataramfimilium cft p:opo:/ 
no alterius ad alteram tancjj latcris ad fuarn relariuum lattis p:opo:/ 
tiotriplicata. 

CSi columnc fucrint ftmilcs crunt cc oiffinitionc fimilin co:po:nm bafcs carum 
cctcrcq3 fupcrficies cas ambicntcs fites Diuidant itaqj bafcs carum in tnanglos 
fimilescnumcro equalesqucmadmodum . is.fcjcti p:opouitciTepo(Tibilc:?ipfe 
columnc oiutdant in feratilia fupcr bos tnangulos cpftentia.ftudc igitur p:oba/ 
re feratilia vnius fuis rclatiuis fcr3tihbus altcrius cc fimilia:qo facilc pjobabis c% 
ypotbcfi i (qxa z quarta i quinta ky.K\:ct oiff mitione ftmilium fuperftcicy z oiffi/ 
nitionc fimilium co:po:um boc autc pjobato crit ex.je.vndccimi p:opo:tio vitiuf 
cuiufq5 feratilis vnius ad funm rclatiuum fcratilc altcrius ficut fui latcrts ad latus 
illtus ,ppo:tiotriplicata:£tquiaomniuuitatcnimcft p:opo:riovnacum cuncta 
fcratilta vnius fint fimilia fuis rclatiuis fcratilibus alterius. fequitur e,t vndccima 
quinti vt cuncto:um fcrattlir m vnius ad fua rclatiua feratilia alterius fit p:opo:/ 
tto vna:quare pcr. 1 5 .quinti que cft p:opo:tio vnius fcratilis ad fuum feratile rcla 
titiumaltcriuseadcmcftomuiumparitcracccpto:umad omnia pariter accepta 
cquiavtrobiq; omniafcratiliaparitcracccpta componunt columnas i relatiua 
tatcrafcratilinmfuntrclatiualatcra columnarummcccITc eftcjc vudccima quinti 
vt p:opo:tio columnarnm fit ficut fuorum rcla t iuoium latcrum p:opo:tto triplica 
taquodcftpwpofitum. 

1{b:opofitio .9. 

0bnis colnmna rotunda piramidi fue tripfer: cfTe cop:o/ 

batur. 

OSup:a circulum .a.intclligantur vna columna 1 vna piramis fecu 

dum eande fua altitudinc crectc:oicanturq; cquiuocc ipfa piramiset 
J columna 1 circulus nomine vno fcj.a.oico itaq> q> (oluna.a.eft tri/ 




pla ad piramidc.a.cuius ^batto c quia ncqj maio: ncqj mino: pot clfc qj tripla 
Sit eni p:tmu fi polTibtlc cft maio: quam tnpla quantitate «cporis.b. its q> li.b. 



XII 



to:p" octnatnr oc coluua.a.crit rcfid u ci 9 triplu ad piramide .a.^nfcribaf crgo 
quadratuj circulo.a.fnp. qo crigantur ouo fcrattlia cquc alta colune.a. oe quibus. 
euobus fcrattlibns pjtcr acccptis coftat q> ipfa ffit plus medictate coluuc.a .quc / 
admodu ipfum qua<fr3tu confrat cffc plus mcdictatcciraili.a.5i eni c% ipfis fcra 
tilibus pcrficiauiur foltda p_alellograma quoy ipfa fuut medietarcs:crit ipfa colii/ 
na ps ipfoy ouoy foudo^ gitcr acccpto£:ocinde fuper iatcra quadrati infcripti e 
hcia quatuo: triangulos ounm equaliu latcy in po:tionibus circuli qua^ poitioni 
nuj latcra quadrati funt cbo:de ouiifis arcubus illa^ po:tionu g cqualia i fint tlli 
trianguli.c.d.cf .fupcr quos ctia crigc fcranha ad altitudtnc" couine.a.? manife/ 
ftu eft cg bcc fcratili3 funt maius mcdietatc pouionu coltimne fupcr po:tioes cir/ 
culi confiftentiii qucadmodn i ipfi trianguli fuut maius mcdietate po:ttouu circu 
li. §iat aut boc toticns quoufq^ p p:ima . io.cogaf aducrfarius cofiteri po:tioncs 
colunep.iteracccptaseffeminasco:po:e.b.£ritigit columna latcrata ocrogona 
qua coponunt omnia ferattlia paritcr accepta qua? bafcs funt trianguli oiuidcn / 
tcs poligonifi infcriptii circulo .a.mai 9 triplo piramidis rottidc.a. i q: ipfa latera 
ta coluna e tripla ad fua piramide ftcut ocmonftratu e in cis que p:cmilTa funt. fe 
quitur ejc fc6a gtc. lo.quinti lib:i vt rotunda piramis.a.fit miuo: latcrata pirami 
dclateratecolumnccuiusbafiseinicriptfipoligoniu bafi rotunde piramidts.a. 
qb eft impolTtbile.£ft eni piramis latcrata ps ipfius piranudis rotundc :uo c igif 
piramis.a.min 9 tcrtia ptc fuc columnc.fed ncc plus tcrtia.Si cni poffibtlc e:ftt pi 
ramis.a.plus tcrtia ptc columnca.quatitatc co:po:is.b.ita q> octracto co:po:c.b 
oe piramide.a.ftt refiduu iplius piramidis tcrtia pars colunca.igif qucadmodu 
p:iu3 ejc piramtdc.a.intclligaf octrabi piramis latcrata fibi eque alta cuius bafis 
fit qoadratu circulo.a.infcriptfi qua lateratam piramidem conftat dTe plus oimi/ 
dio piramidis rotundc.^tem oc refiduo piramidis.a. rurfus intel!iganf octrabi 
piramtdcs eque altc ftatutc fupcr triangulos.c.d.cf.qui funt in po:tionibus ba/ 
fis i boc totics fiat vt er p:ima occimi rclinquaf e* piramidc.a.minus co:po:e.b 
crit itaq^ piramts laterata infcripto poligonio fugftaus qua coponunt latcrate pi 
ramidcs cx rotunda piramide octracte maius tcrtia gte rotundc coliine.a. i qnia 
ut p:obatu e iu pccdcntibos bcc piramis latcrata e tertia gs fuc columne tatcrate 
a.fcquif oenuo ei fcba gtc lo.quinti lib:i columna rotunda.a.cffe mino:e colrina 
latcrata eiufde altirudinis cutus bafis c poligoniii bafi rotunde piramidis infcri/ 
ptu:boc aut impofftbtlema bec coltina rotunda laterata ps e colunc rotude. £um 
igitur columua rotunda no poffit ce minus triplo fuc piramidis neq3 maiustcrit 
ncceffaria tripla ad eam quod oemonftrare volumus. 

Ijbtopoittio .10. 

XIDnium tmarum rotundaypiramidum fimiltu columna 
ramve rotundarum fimtlium epjopoJtioalteriusadal/ 
teramtanq^oiametrifuebafisadoiametru bafis alteri* 
p:opo:tio tripltcata. 

OSint ouo circuli.a.i.b.fuperquos conftituantur ouc rotudc pira 
mides ftmlcs oucqj colunme rotundc fimiics i oicantur circuli % piramides icoj 

i 4 














LIBER 







3 



C 




lumnc z oiametri circulojum bis nomtuibus.a.f.b.equiuocctoico itaqj cp ppov 
tioouarumpiramidum.a.i.b.ouaruqscolumna^.a.c.b.cficutoua^oiametro^ 
a.t.b.pjopojtio triplicata:boc autcm fi oe piramidibus conftiterit :oe columnis 
autem conflabit tx- 1 ? .quinti.cum onmis columna rotunda fit e% pjcmiffa rripla 
ad fuam piramide:oc piramidibus autcm conftabit boc oemonftratione ouccntc 
ad impoffibilc.fft cni pcr comunc fciam pofita in pjincipio fcoe ocmoftrationis 
buius. n.Iibri : que pjopojtio oiametri.a.ad oiametru.b.triplicata: cadem pira/ 
midis.a.ad aliqo cojpus:illud igif cojpus fit.c.oc quo oico <j> ipfum non pot effe 
minus ncq, maius piramidc.b.5it pjimo iniuus l'i fucrit poffibile quantitate co: 
poiis.d.ita cp ouo cojpoja.c.cd.pjter accepta fint quatum piramis. b.itaqj que 
admodninfcDaptcpjemiffccrpiramidc.b .octrabaf Istcrata piramis fibieque 
alta cuius bafis fit quadratum infcriptii circnlo.b.z et refiduo eius oetrabanf pi/ 
ranndes eiufdc altitudinis confiftentes fupcr trigonos pojfiouu circuli.b. fiat ita 
q} boc totiens quoufq^ cogentc pjima. icfit refiduu piramidis.b. minus cojpojc 
d.eritq5 etcoifcialatCTatapiramisoetractaquacoponunt partiales piramides 
oetractemaius coipoje.c.3nfcribaf itaq^circulo.a.poligoniiifimilcilli quod eft 
bafis laterate piramidis octractc a piramide.b.c ad angulos buius poligonif in / 
fcripti circulo .a.oemttte lineas a cono piramidis.a.pcrficicns fnpcr illud poligo 
nium laterata piramide eque alta rotundc piramidi.a.banc igif ftudeas oemon / 
ftrare effe fitem htcrate piramidi octracte a rotunda piramide.b.qo boc mo fa/ 
cies:in vtjaqj piramidc crigcs axcm ipfius quc erit et oiffintone linea cotiimans 
Vertice piraniidis cu cctro bafis i erit perpcndicularis ad bafim:ocbinc a centris 
bafium pjotrabasin vtroq, circulo fcmidiamctrosadomncsangulosvtriufqj 
poligonij infcripti.cunq^ er oiffmitione fimilium piramidum rotundarum fit ,p/ 
pojtio arisvniusadaxem alteriusficutoiamctribafis vniusadoiametrnmba 
fis altcri 9 .ideoqj ctia c%. i y.quinti i equa ^ppojtioalitate ficut femidiamctri ad fe 
midiamctrij .fiitt aut vtrobiq^ omncs auguli quos axes cum fcmidiamctris conti 
nent recti.ncccffc c q. fexta ppofitionc fejcit libji i quarta ciufde i oiffinitioc fimi 
lium fupcrficief i funiliu cojpoi; oiffinitione vt latcrata piramis.a.fit fimilis latc 
rate piramidi.b.quare p addita ad.s.buius ,ppojtio laterate piramidis.a.ad la/ 
tcratam.b.e ficut lateris vnius ad fufi rclatiuu latus altcrius .ppojtio triplkata. 
ideoqj i ficut oiametri.a.ad oiamctru.b.triplicata.igif quoq3 ficut rotunck pira ' 
midis.a.ad cojpus.c.ex. i i.quinti quare pcrmutattm pjopojtio laterate pirami/ 
dis.a.ad rotunda piramide.a.ficut latcrate piramidis.b.ad coipus.c.c qj latcra 
ta piramis.b.maioj e cojpoje.c.erit laterate piramis.a.maioj rotunda piramide 
a.q6 e impoflibile cu fit ps ciusmo eft ergo cojpus.c.minns rotunda piramidc.b 
Keftat itaqs ^pbandu g? nec maius.fi eni aduerfarius oicat ipfu ee maftunc arga 
atur c% coucrfa pjopojtionalitate ^pojtione oiametri.b.ad oiametmm.a.tripli/ 
cata effe fitut cojpis.c.ad rotunda piramide.a.fcd qccoccptionc cade eft rotundc 
piramidis.b.ad aliq6 cojpus aliud q6 fit.d. i qj cy. ypotbefi cojpus.c. maius e ro 
tunda piramide.b.fcqutt cc. i4.quinti cp rotunda piramis.a.fit maioj «npoje.d. 
itaq^ piopoJtio rotundc piramidis.b.ad cojpns q6 e minus rotuiida piramide.a 
videlicet ad.d.cft ficut fuc oiametri.b.ad oiamct? altcrius ^pojtio triplicata.boc 
3«t eft impoffibilc .na cj. boc oemoftrauim 9 fequi cp ps fit maio: fuo toto.cu crgo 



XII 






«wpus.c.no poffif min 9 cc ncqj mai 9 rotundapiramide.b.crit nccctTario fibi cq/ 

le.idcoq3e^fcoa i Etc.7.quii«icoiitot^pofituffl6l3tcatautcmiiosbuiti8oemoii H«m ftd.f. «i . . 

ftratioms piocciium ad cas outaxat colunas « piramidcs rotundas coartari qua *iU*m n if ^MnMif-. tf 

rum axes fuis bafibus pcrpcndicularitcr infiftunntates cni oiffiiiitc fuetut i p:in l**l**"t. \l lf^,w^u> 

cipio vndccimi:cum tame palTio bic ocmonftrata comunitcr conueniat ommbus 

coiumnis rorundis fimilibus piramidibufqj rorundis fimilibus fiue ea^ ajccs fu/ 

pcr bafes fuas fucrint o:rbogonaliter ercctc fiue fuper eas fucrint inclinatc: i ap / 

pcllent oiffcrcutic ca bee rorunde colune i pirammides qrum bafib 9 a^es o:tbo/ 

gonaliter fupcrftant crcctc:rclique vero oicant inclinatc :* q: m p:incipio. i i.non 

funt oiffinitc coliinc aut piramidcs rotundc nifi ille tm quas ercctas vocam 9 :bcc 

quidc pcr motu palcllograrni rectanguli.illi vcro pcr motu trigoni rectaguli. idco 

conueniens arbitramur oiffuiire columnas rotundas i piramides oiffinitionib 9 

comunitcr i vniuocc conucnientibus crectis i inclinatis columms i piramidibus 

rotundis.£um igit ejctra fupcrficiem alicuius circuli ocfcripti figuatur punct 9 qui 

cu circiifereutia ipfius circuli per lineam rectam continuamr fi tinca ipfa fignato 

punctomajienrcfixooefcriptocitculoquoufq^ad locum vndc moueriinccperit. 

circuducafvcoipusqbacuruafurjficicquamotufuooefcribitbec Imeac ab ipfo 

circuto cui circuducitcotinct voco piramide rorunda.et circulii cui tinca bcc circff 

ducitur voco bafim ipfius piramidis. fixum au t punctu ejctra circulu fugficiem fi/ 

gnatu voco conu piramidisUineamqj recta cotinuante ccntrn bafis cu cono pira 

midis appcllo ap:m feu fagitta piramidis.£unq> bcc fagitta fucrit perpendicula/ 

ris ad bafim oico piramide effe erectam.cii vero inctinata oico etia piramide incli 

natam.cum ailt fucrint ouo circuli cqualcs oefcripti in fupcrficicbus equidiftanti 

bus quos Vna ptaua fujrficies p eoy ccntra tranfiens fecucrit fucrintq5 continus 

tc per linca recta oue rctariue fecriones ouarum circufcrentiarum ipfo^ circuloiu. 

Si linea bcc iu circufercutijs ipfo? circulo? cquidiftanter fitui a quo moucri ince/ 

perit quoufq, ad locu fuum rcdcat circuducaf :co:pus q&' a curua fupficie qua mo/ 

tu fuo ocfcribit bec linea i a ouobus .ppofitis ciiculis continenvoco cotumna ro/ 

tundam.cuius ajis fiuc fagitta e linea rccta ccntra ouoy circulop cotinuans. £ t 

cum bec fagitta fuent pcrpendicutaris ad fuperficiem vtriufq^ ouo:um drculo/ 

rumroico columnam cffe crectam.£um vero fuerit fupcr bafim indinata oico co 

lumnam cffc inclinata5.£unq5 fuerint oue rotunde piramidcs aut columne a qua 

rum axibus cgrediantur oue fuperficics fupcr bafcs carum oubogonaliter erecte 

fucrintq^ anguli quos a>es i communcs fectioncs barum fupcrficicrum i bafiuj 

conttnent ad iuuiccm cquales: ? ruerit p:opo:tio atfs vnius ad axem altcrius fi/ 

cnt femidiamctri bafis vnius ad femidiametrum bafis altcri 9 :tunc iltas ouas pi 

ramides adinuiccm aut illas ouas cotumnas ad inuicem oico fimilcs cfTc.bis oif 

finitionibus pofitis oemonftrandu eft cp omnium ouarum rotundarum pirami/ 

dum fimilium columnaru vc rotuudarum fimilium fiue erecte fiuc inclinate fue/ 

rint eft p:opo:tio vnius ad altcram ficut oiametri bafis vnius ad oiametrum ba 

fis alterius p:opo:tio triplicata quodocfotiserectisoemonftratum eft adboc 

autcm p:emittimus anteccdens neceffarium. 

Stfoerint ouerorunde ptranrideeadinuittmfimilee vrranq^qua? 



■ 



LIBER 







■ ) 




C 


• ) 



6ue plane fnpcrficies fnpcr ajrem fcccnt fiicrttqj ba;e ouaiz fnpficiqr 
altcraiiivtraqjpiramidcfupcrbaftm eius onbogonaltter crecta at 
arcus bafium uitcr illas ottas fupcrficies cotttenti liimlcsxrmtt angu 
liquosajrescOuecommunesfectiones baftum?carum Itipcrficicy 
que fup bafcs rto ponut onbogonaliter erectc cotinet adinuice cqlcs 
GBint ouc rotundc piramidc3.a.b.?.c.d.qtia2/ bafcs lut circuli.c.f.g.s.b.k.l.ct 
a^csouclincc.a.b.c.c.d.eoiamctribafiu.c.g.t.b.l.ccntrabafiufuntouo piicta 
b. c d.coni piramidu.a.c.c.fimilcs ad inuicc:? ab carum conis ad fupcrfic.e ba/ 
fii pjotrabaut vt oocet. i i.vndecimi libn ouc ppcndiculares que funt.a m.c.c.u. 
«continuenturpuncta.m.^.n.cuccntrisbafiu.ptractislmcis.b.m.c.d.n.critqj 
t%. lS.vndccimi fupficics.a.b.m.quc egrcdif ab atca.b.crccra fuo bafim pirami/ 
dis.a.b.ojtbogonaliter.f ode modo furjncics.cd.n.quc cgredtf.a.b.axc.c.d.erit 
erecta fuper bafim piramidis .cd.02tbogonalitcr.fint itaqj ouo arcus.f.g.t.k.l. 
fimilcs^intelligautouefuperficics.a.b.f.c.d.b.cgrcdiabapbuscfccarcpirami 
dcs .a.b.c.cd. fit/es:oico igitur ouos angulos.a.b. f.c.d.k.cffc adinmcem cqua/ 
Ie3.p20trabaiifcmouelmce.f.m.c.k.n.q:igifoucpiramidcs.a.b.c.c.d.fuiitfi/ 
mile3? ouefupficies.a.b.m.c.d.n.rtanteso2tbogonalitcrfuper bafcs cgrcdiuuf 
ab earum axibus:crit cjc otffmitionc fimiliu piramidii angulus.a.b.m.cqualis ati 
gulo.cd.n:? q: ejc Otfftnittone lince fupra fup/icicm ppendiailantcr crccte vtcrqj 
euo2/ aguloi/ .a.m.b.c.n.d. e rcctus crunt cx.52.pnmi % .4. fcxri ouo p:irni triarc 
guli .a.b.m.i.cd.n.lateru ,ppo2tionaliu vt ;ppo:tio linec.a.b.ad linca.cd.ficut 
b.m.ad.d.n.ificut.a.m.ad.c.n.cq2ej:oiffinitioncfiftupiramidu^>po:rioaxi3 
a.b.ad ajccm.c.d.c ficut femidiamctri.b.f.ad fcmidiamctp.d.k .ent cc 1 i.qutnti. 
p2opo2tio.b.f.ad.d.k.ficut.b.m.ad;d.n.j;unq5fmtouoanguli.f.b.m.c.lN.d.n. 
eqnalcscoq'Otioarcu3.f.g.c.k.l. funt fmiiic8etvpotbefi:critcj:fcjtta? quarta 
fcxti p2opo2tio .f.m.ad.k.n. ficut.b.m.ad.d.n:idcoq5 ficut .a.m.ad.c.n. cqnia 
itez/ e% oiff initionc linee fuper fnpcrficic pcrpcndtcularitcr ercctc vtcrq, 01102U ait 
guloy.a.m.f.cn .k.c rectus-.crit cx fcjta 1 quarta fcjcti ,ppo2tio.a.f. ad .c.k. ficut 
a.m.ad.c.n.idcoq^pcr.ii.quintificut.a.b.ad.c.d.^ficut.b.f.ad.d.k.igifcxqnin 
ta fexti ono angult.a.b.f.c.cd.k.funt adinuiccm cqualcs quod cft p:opofitum. 
G3dem ,pbab>6 lcuiter oc rotiidis columnis fimilibus:boc itaq^ oemonftrato oi 
coepomniumouarumroturdarumpirantidum fimtlium quccuuq^ fucrintfiue 
crcctcfiucmcliiiateep2opo2tiovniuscanimadalteram ficut oiametri fue baft3 
ad oiamctrum altcnus bafis p:opo2tio triplicata.5int cnim vt p^ius ouc rotun 
de piramidc8.a.?.b.qua2um bafcs funt circuii.a.t.b.? bo^um circnlo2um oiamc 
tri fint etiam.a.c.b.fitqj p2opo2tio piramidis.a. ad co^pus.c. ficnt oiametri.a. 
ad oiamctrum.b.p2opo2tio triplicata.non crit igitur «npus.c.minus ncq, mai/ 
U8 rotunda ptramidc.b.Sitcnimp2tmofi pofftbile cftminus quantitatc C02/ 
po2is.d.ita q> ouo co2po2a.c?.d.parircr acccpta fint qnantum rotunda piramis 
b. abajceigitm" piramidis .b. p^odeat fupcrficics qncfit o2tbogonalitcr crect» 
fuper circulum .b. Sitq^ commnnis fectio buius fuperficici ct circuli. b. Imca 
e. f. tranfiens per ccntrum .b. quc erit oiamctcr circuli .b. 1 p^otrabatur in/ 
ter circulum .b.alia oiameter fccans banc 02tbogonaliter qne fit. g.b.Sicq^ in/ 
fcribatur circulo.b>.uadratum. c.g.f.b .«a rotunda piramidc .b. tntelligatur 



■■■^H 



XII 

eetrabilateratapiramiscuius bafiseftquadratumclrctilo. b. infcriptumrquc vt 
pjobatumefuptamaius eritoimidio romndcpiramidis.ftcxrcfiduo ciusoe/ 
trabantur pirarnides riufdc altitudinis conftftcntcs fupcr trigouos po:tionu cir/ 
culi.b. fiatq^boctoticnsqnoufq) rcfiduumfitrotundepiramidis. b.miuus co:/ 
poie.d.e^piiinaoccimi. frttqje^conccptionclatcrata piramis octracta quam 
componuiit Iatcratc partiales piramidcs oetracte maius coipojc.c. tunc crgo pio 
dcat c% ayc piramidts.a.fupcrficics alia que ftt ojtbogonalttcr crccta fupcr circu/ 
culum.a.? ftt comunis fcctio buius fupcrficici t circuli.a.linca.k.l.quc ob boc crit 
eiamctcr circuli.a.piotrabatur aut in circulo.a.alia oiamctcr fccans banc ojtbo/ 
gonalitcrqucfit.m.n.ficq^infcribaturiucirculo.a.quadratii.k.m.ln.ioiuidcn/ 
do arcus pojtionu circuli.a.per cqualia pficiatur in circulo.a.poligoniii fimile illt 
quod cft infcriptuiu circulo.b.^z ssd fingulos angulos buius poligoni) oemitte Ime 
as rectas a cono piramidis.a.pficiens fupcr illud poligonium latcratam pirami/ 
dem cquc alta piramidi.a.banc auc latcrata piramide .pbabiseffc fimiic latcrate 
piramidi octractc a rotuuda piramide.b .quod boc modo facics ,pduces ajccs co / 
gitatione vcl actu Vtriufq^ in vtrifq^ piramidib 9 .a.t.b.z 3 centris bafium .ptra/ 
bas lincas rcctas ad omucs angulos infcripto? poligonioy. £runtq5 c% picmiffo 
antcccdcntcomncsanguliquoscotinet apspiramidis.a.cum ftngulis liurisou 
ctis a centro circuli.a.ad angulos poligonij fibi infcripti cqualcs fuis relatims an 
gulis quos continct aris piramidis.b.cu fingulis lincis ouctis a ccntro circuli.b. 
od agulos poiigonij fibi lnfcripti.£t qi c% oiff initionc roiunda^ piramidii fimiliii 
pjopoitio ajcis piramidis.a.sdaxempiramidis.b.cft ficut fcmidiamctrt circu/ 
li.a.ad fcmidiamctrii circuli.b.fcquittir c% fejcta % quarta fcjcti coiffinttionib 9 fimi 
lium fuperficicrn 1 (imiliu cojpojum q> ouc lateratc piramidcs.a. c.b. fint fitcs. 
£etera argue ficut pjius in oecimo.conftat iraq, oe omnibns rotundis piramidi/ 
bus fimilibus g> pjopoJtio eas fit ficut oiamctroy fuar bafium triplicata.c quia 
omnis columna rotunda e tripla ad fua piramide.boc cni fufficicter e oemoftratfi 
fiue colune 1 fue piramidcs fuerint crcctc fiuc inclinate: fequif cjc. 1 ? .quinri vt ctia 
quarumlibet columnar rotundaj: filium fit pjopojtio ficut fua^ oiamettojti tri/ 
plicata. 

lfc>:opolitio .11. 
£Cmes tmas rotundas piramidesfiucxolumnas eqtie 
altas liiis balibus p:opojtionales elTc necelfe eit. 
CSupta ouos circulos.a.i.b.ftatuantur nt pjius ouc rotundc p£/ 
ramidce cqucaltequcoicanf fmtcr.a.s.b.soucrotundecolumne 
cque alte cifde littcris affcripte .a.f.b.oico itaq; cp ,ppoitio oua^ piramidii .a.c 
•b.ouariiqj coluna^.a.cb.e ficut 0110:5: circuloju.a.c.b.quod oc columnis rnam 
fcftum crit fi boc p jius oe piramidibus ocmoftrabif omnis cni rotnnda columna 
tripla e ad fuam piramidemioe piramidibus autem coftabit indirccta oemoftra/ 
ttone boc modo. £ft eni c% coi fcia ^poitio rotundc piramidis.a .ad aliqo' cojpus 
ficut circuli.a.ad circulii.b.illud cojp 9 fit.c.oico iraqj cp co:p 9 .c.no pot ee maius 
ncqj min 9 rotuda piramide.b.fit eni pmo min" qntitatc coipjs.d.igif circto. b.in 
fcribaf qdratii 1 octrabaf a rotunda pitamidc.b.piramis laterata cuins fit bafts 
quadratiicirculo.b.infcriptu xcf. po:tionibus piramidib 9 oetrabanf piramides 





LIBER 



fuper trigonos potfionum circuli confiftcntes fiatq; boc totiens quoufq^ fit i% pi 
ramidc.b.rcfiduum minus co:po:c.d.eritq5 lataata piramis oetracta qua com/ 
pouunt partiales piramides oetracte maio: co:po:e.c.infcribatur crgo circulo.a. 
poligonium fimile illi poligonio quod eft bafis laterate piramidis. b. i perficiat 
fuper ipfum piramis latcrata onctis lineis a verticc piramidis latcratc.a .ad an/ 
gulos poligonij infcripti.JErunrqj oue laterate piramides.a.-z.b.equc altc.boc eni 
eft p:opofitum o: rotuudis :quarc p:opo2tio latcrate piramidis.a.ad latcrata pi 
ramidem.b.e(t ficut bafis eius ad bafim illius videlicet ficut poligonij .a.ad poli 
gonium .b .boc enim ocmonftratum cft in fe»:ta buius .at vero poligonij . a. ad 
poligoniu .b.e ficut circuli.a.ad circulum .b.quod manifcftum e" ejc p:ima z fecun 
da buius:itaq5 latcrate piramidis.a.ad latcrata piramidcm.b.ficut rotundc pira 
midis.a.3dcojp 9 .c.qrcpamutatimlateratcpiramidis.3.adrotundampirami/ 
dem.a.ficut toterstc piramidis.b.ad cojpus.c.cumq; fit laterata piramis.b.ma / 
io:co:po:e.c.fequiturlatcratampir3midcm.3.elTc maio:cm rotunda piramidc 
a.boc autcm impoffibilc:cft cnim pars eiusmon crit ergo co:pus. c.minus rotun 
da piramide.b.Si vcro ponat aducrfarius qp fit maius oemoftrabimus. rurfum 
idcm impoffibile confequi:erit enim pcr conucrfam p:opo:tionalitatcm ,ppo:tio 
eo:po:is.c.ad rotundam piramide.a.ficut circuli,b.3d circulum.a.fit quoq j eade 
rotundc piramidis.b.3d sliquod co:pus qo fit.d.cilm igit co:pus.c.fit msius ro 
tuiids pir3midc.b.pcr vpotbel'im:erit c%. 1 4-quinti rotunda piramis.s.msio: co: 
po:c.d.it3q5 p:opo:tio circuli.b.ad circulum.a.erit ficut rotunde piramidis.b.ad 
quodds co:pus minus rotunds piramidc .a.fed boc oemoftratu e p:ius effc im/ 
poflibilc .fic cnim fequit cp pars fit maio: fuo toto.non cft igit co:p 6 .c. neq5 min 1 ' 
ncq^ maius rotunda piramide.b.fed tm equale.itaq^ ejc fcba pa:te feptime quinti 
concludep:opofitum.Z5t sutfscilius incoculTiufq^ocmonftraretqbfequitutisd 
ipfam cft antecedcns vtile p:emittendum quod eft. 
C0t fuperficies qnedam rotundam columnam equidiftanter bali ei? 
fecuerit:erunt ouo partialia co:po:a que ad illam fecantcm fugftctem 
terminantur pouionibue ajcis columne p:opo:tionalia. 
CBimilc c boc ei quod ^pofuit.2 y.vndecimi lib:i oc folidis paralcllogramis ncc 
folum vcrum cft boc oe columnis rotundis imo fimpliciter oc omnibus columnis 
fiue laterstc fucrint fiue rotundcQb qui argumentationem p:ime fctfi vel.25.vn 
dccimi firmitcr tcnucrit facilc oemonftrarc potcrit:bic cni no aliter q> ibi cjc oiff i/ 
nitionc incontinuc p:opo:tion3iitatis que pofita e in p:obcmio quinti hbii argu/ 
cndum cft pwpofitum.Sttendere aut opojtct cp quecunq^ fupcrficics fccst colu/ 
nstn equidift3ntcr bafi ipfius fecat ctiam eam cquidiftantcr fupcrficici bafis cius 
oppofitc.nam quecunq^ fupcrficies vni fupcrficici fnnt cquidiftantcs ipfe quoq^ 
ifunt cquidiftantcs adinuiccm ut c% bisquc oicta funtcx; occimsfejcts vndeci/ 
milib:ioidicifti:qu3rem3nifeftum eftcpomnes rotundccolumncqusrum fuut 
bsfes eqles sltitudinib 9 fuis funt p:opo:tionalcs:3dem quoq^ oe latcratis.idem 
quoq^ oe piramidibus rotundis-i etiam oc latcratis quod oc piramidibus cofta/ 
bitfip:iusoccoIumnisp:obetur.£ftenimomnis columna triplcj:ad fuampi/ 
ramidem rotunda quidem e% nona buius:laterat3 vero cj: bis quc fupra in occs / 
uaoemnoftratafunt 



XII 




'Jjbiopolttio .it. 
% Oue ptramides rotunde fiue columne fuerint eqles fae 
bafes i altitudines eriit mutue.gji ver® fue bafes i altitu 
dinesmutuefuerintipfas piramidesliue colunas eqles 
ee necelTe e.Gaititudtne piramidu ocrerminanc linec a couis ad 
bafes cpendiculariter ocfce'dentes:colun3:rautetn a fuppjemis ea/ 
rufupficieb^ad bafes.Sinritaq^onerotudc piramidcs.s. b.i.c.d.eqIcs:oncq5 
rotudecclune.a.b.c.cd.eqlcstfinteftcoee bafesram piramiduqj colnns^ouo 
rirculi.a.c.ccoes quoqj altitudines tam piramidii q*5 coluna? octcrminate g li/ 
neas .a.b.f.cd.oico o? .ppojtio circuli .c.ad arculum .s.e ficut altitudinis. a.b. 
ad altitudine" x.d.z cconcrfo.boc aut fi oe colunis ,pbatu futrit oe piramidibus 
certu erit:qfn ois coluns rotuda tripla e ad fua piramide .fi itaq; oue slritudines 
a.b.s.cd.fuerint eqles e* pmiffa coftat ,ppofitu.Si aut incqles fit.a.b.maioj fu 
inaturq5-.a.c.eqlis.c.d.^fccetcolun3.a.b.3fup.ficie.e.equidirtaterbafiei 9 .a.erit 
q5 c% pmilTo antcccdente coluna.a.b.ad coIuna.a.e.ficut altitudo.a.b.sd altitu/ 
dine.a.e.ioq5 e* pjims gte.7.quinti coluua.cd.ad coluna.a.e.ficut altitudo.a.b. 
ad altitudine .a.e.quare g fcoam gte.7.quinti ficut altitudo.a.b.ad altitudine.c 
d.exp2cmiff33utecolun3.cd.adcoIuna.a.e.ficut circulus.c adcirculu.3. itaq^ 
g.i i.quintic altitudo.a.b.adBltitudtne.c.d.ficut bafis.cadfcafim.3.conftat igi 
tnr piims ps.Scea coucrfo mo coftabit eade oifpofitione manctc.ftt eni vt bafis 
c.ad bafim.a.fic altitudo.a.b.ad sltitudine.cd.oico q> oue colune.a.b.c.cd.fut 
cqlcs.erit cni ex fcos gtC7.quinti altitudo.a.b.ad sltitudine.s.e .ficut baiis.c.ad 
bafi5.a.'zqierpmiffacolun3.cd.3dcoluna.3.e.e.ficutb9fis.cadb3fi5.3.«exp 
miffaantcccdentecolmia.s.b.adcoluna.a.c.ficutaltitudo.a.b.ad altitudine.a.e 
fequit ejc. i i.quinti vt coluna. c.d. ad coluns.a.c.ftt ftcut columna.a.b.ad candcm 
a.cigitur cjc piima £te .^.quinti ouc coluue.a.b.ccd.funt cqualcs rquare coftat 
etiafecundapars. libiopolitto .13. 

3lm ^pofiti fuerit ouo circuli ab vno cctro circuducti fu 
perficie multiangula equalitt latqz circulu mtnoie mini/ 
tne tangcntiii intraicirculum matozem fcefcrtbere. 
GSint ouo circult.a.b.cd.c.e.f.sb vno coj cecro q6 ftt.g. circudu/ 
cti.oico cp intra maioiem qui ftt.a.b.cd.poffibilc e vnn poligoniu^ 
q6 fit equtlatc? oefcribi minoie circulu qui ce.f.nullo W032 larey tangens. Qm/ 
drcnf cni bi ouo circuli ou3bus oismctris fug ccnty ipfo? oirbogonaliter fcinui/ 
ce fccsntibus quc finr.s.cc.b.d.fitq^.cf .oiamcter minojis ps otamctri .a.c.q i 
oiamctri maiojis.ficqj igit a puncto.e.oucst vtrinq^ vfq^ ad circufcrentia traio / 
ris linee ojtbogonaliter fuperoi3mety.e.f.qucoccurrat circumfcreuticmaiojis 
binc quide i puucto.b.indc vero in puncro.k.crirq^ cc conelario. 1 5 .tertif linca.b 
ck.contingcns circulum mirtoje":poftea vero quadrante.a.b.maiojis circuli oiui 
dc pcrcqualisinpuncto.I.fcuduooctrinam.zj.tcrtijtoefcincfrurfusarcum.a.l.g 
cqualia ad punctnm.m.cunq^ boc plurics fcccris ncc«ffario tandem oeuenies ad 
arai qui mino: erit arcu.s.b.fiterj bica.m.boc aute idcirco neccffarium eft qj cu^ 
fuerint oue quatitates ieqles fi a maioji cac ocmst ci 9 oim:diu.iteq 5 3 refiduo oi 
midiit poffibilc c boc toties ficri quoufq^ tade mio: mio je ca?2 relinqc queadmoo i 
pma.io.ocmoftratti c.cii igit fic oiuidedo ad arcu qntnlumcilq; mioje .a.b.fuerit 




vla; 




LIBER 




©enentu cuiiifmodi elt arcus bic.a.m.fumatur arcus.a.n.cqualisarcui .amt.on/ 
canturq^ ouc "inee.a.m.c.n.m.quia igitur arcus.a.k.eft cqualis arcui. a.b.quod 
cf. fecunda partc tcrtie tcrtij i quarta p:imi i. 2S. tcrtij mamfcftum e i quia arcus 
a.n.eftcqtialisarcui.a.m.critcjccomunifcientia arcns.n.k.cqualis arcui.m.b. 
crgo ouc linec.m.n.s.k.b.funt cquidiftantes ergo linea.m.n.non poccrit tange/ 
rc ctrcuui.e.f.qrc multo foitius ncqj linea.a .m.poreft ipfum tangcrc:G-Quonia5 
igitur conftat circulum.a.b.c.d.oiuifibilem cffe pcr arcus equalcs arctii.a.nuocp 
peras.tertij uTcottat itra ipfu circulu poffe cbo:dulas cqTc3 cbo:dule.a.ro.conn/ 
nuc coaptari circulum ipfum poligonic cbo:dautes.manifeftti cft itra circulu ma/ 
io:e poflc vnu poligoniu equilatcni cuius vnu latus c linca .a.m. infcrtbi i quia 
linea.a.m.nd contingit circulum mino:e p, cjc p:ima gte. t ?. tcrtij ct otfTmitione 
lincarum a ccntro circuli cqualitcr cqdtftantium q> infcriptu poligoniu nulio latc/ 
ru fuo? tangit circulu mino:e qo cft p:opofini.Cat quid oubitas ouas Uncas.m 
n.i k.b.cc cq*diftantes cu ftnt ouo arcus.n.k.t.m.b.equalcsibocaut incocuffaj 
veritatc fouitum cft g? oue linec circulu vnii no aut fc tnuice fecantcs: fi ejc circutn 
ferentia cqualcs arcus bincindc lincis ipfts inter fint erunt equidiltautes: ouc qui 
dem a ccntro.g.linea.g.p.ppendiculare ad linca.m.n.que fecct linei.b .k.i pun/ 
cto.q.2p:otrabelmcas.g.m.g.n.g.k.g.b.'zouobus3rcubu8-.n.k.c.m.b.fubtcn 
deouascboidas qucctiaoicanf.n.k.c.m.b.eruTq^ex.zs.rerrijbcccbo^dccqles 
nM.i.m.b.co q> arcus cquales i pcr fccuda pte tcrtieeiufdc tertij erit linea.n.p. 
equalis lince.m.p.cum igimr vterc^ ouoz? angnlo:um qui funt .a. d.p. ftt rcct 9 c% 
Oiffinitioncperpendicularisericejcquartapumiangulus.n.p.g.cqualis augnlo 
p.g.m.atvcroper.8.p:imiangulus.k.g.n.eequaIisauguIo.b."g.m.itaqjec6/ 
munem fcicntia quc e fi equalibus equalta addas tota crunt cqualia.crit angulus 
k.g.q.cqualisangulo.q.g.b.idcoq5perqu3rtap:imilinea.k.q crit cqualis lince 
q.b.quare p p:imi parte tertte tertij linca. g.q.crit pcrpcndicnlaris ad Imca.k.b. 
igitur ejc p:ima pte.2S.p:imi onc lince.n.m.f.k.b.funt cqnidiftantcs i boc eft qo 
onbitareconqucftus cs.Cboceniidcm aiiteroemoftrarceftpolTtbileoucafcni 
linca.n.b.erirq^ ejc vltima fcxri angulus.b.m.n.equalis angulo.n. b.k. co q> ar/ 
tns.b.m.eftcqualisarcui.n.k.ideoex.27.p:imilinca.m.n.crit cquidiftans liuce 
b.k.£onuerfam quoq3 fi libucrit conucrfo modo pwbabis.fi enim.Iinea.m.n.cft 
equidiftaus linec.b.k.crit arcus.n.k.cqualis arcui ,m.b.erunt cni cj: p:ima par/ 
te.2j.p:imi ouo anguli.b.m.n.?.n.b.k.equales.ideoq5 et vltima kpx ouo arcus 
n.K.t.m.b.eruntetiamcquales: 

1|bzOpofitio .14- 
^abns fperts Vnum centrum babentibus p:opofttis in/ 
tramaio:cnicaramfolidum multarmn baftum fuperfici/ 
em mino:is fpe:e minime taugentiu figuraliter coftituere 
iQuo conftituto fi in mino:i fpera liue in qttalibet alia fpe 
ilra fimile co:pus intelligtbiliter conftituatur erit p:opo:/ 
tio co:po:is multarum bafium intra maio:e fperam conftttuti adco: 

!)usmnitarumbauummtra minorem fperam velaliam conftitutam 
icnt »iametri maio:is fpere ad oiametrum mno:is vcl alterius fpere 
p:opo:tiotripltcata. 




■■■ 



HMH 



XII 



GSintp:opofiteoucfperc.9.b.c.d.c.c.f.vnum atq; idcm ccntramquodftt.g. 

babcntcs i fit maio: earum fpcra.a.b.c.d.mino: Vcro fpera.c.f. volumus autcm 

inrra maio:cm camm vnum co:pus multarum bafium conftitucrc :oc quib uci» 

intcndimus cp ipfc bafcs fint cqualcs aut fimilcs fcd qp nulla carum tangat fupcr 

ficicm minous fpcre.£um igitur boc volucrimus faccrc fccabimus fimul vtranq; 

p:opofirarum fperarum vna plana fupcrfkie pcr comune ccntrum earum tranfc/ 

nntceruntq; ejc oiffinitione fpere z oiiTinitione circuli comunes fcctioncs buius 

fecantisfuperficiei ?fuperficierumfperarump:opofita£ lincc contincntesctrcu/ 

los.fint ttaqj ouo ciraili.a.b.c.d.s.c.f .quojum ccntrum cft centnim fperc oc quo 

pjopofitum cft cp ipfum fit.g..Quadrabimu3 igif bos ouoa circulos ouabus oia 

metris fc fup:a coc ccntru eoru o:tbogonaliter fecantibus quc fint.a.c.-t.d.b.po/ 

ftea maiori circulo t>m p:ccepta p:cmilTe infcribemus Vnum poligonium equilate/ 

rum nullo fuo:um latcrum tangcns mino:cm ctrculum .£t futficiat exonpli caufa 

infcripfifle ouodecagonum cquilatcrum ita cp in quadrantc ipfius maious circu/ 

li qui eft .c.d .fint tria latcra buiu3 ouodccagoni quc fint cbo:de.d.b.b.k. iXc. 

quc cum fint equalcs crunr quoq; c% p:ima gtc.27.tcrtij arcus earum cqualcsroe/ 

binc a ouobus punctis. b.?.k. qne uiut etfrcmitates medic cbo:de p:oducenms 

ouasoiametrosqucfunt.b.m.i. k.l.i fuper ccntrum.g .erigcmuslmcam.g.n. 

perpendicularcm ad fupaficicm circuli.a.b.c.d.qua p:oduccmus quoufq; obuict 

fupcrnciei fpcrc maious fuper punctum.n.oeinde intdligain quatuo: ftiperfiaes 

fecantcs fperas p:opofitas:quarum vnaqueq; fecet cas fuper lincam.g.n.fcd p:i/ 

ma carum fupra Uneam.g.n.c oiametrum.d.b.fccuda fupcr lineam.g.u.c oiame 

trum.b.m.tcrtia vcro fuper lineam.g.n.? oiamctrum.k.l.qoarra autcm fuper li/ 

neam.g.n.s oiamctrtim.c.a.erunrq; cr oirTinitionibus fpere % circuli comunes fc 

ctiones barum fuperficierum % fupcrficict fpere maio us linec contincntcs circu / 

los % erut po:tiones infcripte vt inter punctu.n.t quatuo: puncta quc fut.d.b.k. 

c.quadrantcsbommcircuIominquiquadrantcsfunt.d.ii.b.n.t.k.n.T.c.n. boc 

3utemidco'cuenitcpomnesanguliquoscontinetlinca.g.n.cumvnaquaq5D5a/ 

metro:um p:otractarum in fupcrficic circuli.a.b.c.d.funt rccti c% oilTinitioiic li/ 

nee perpendicularis ad fuperficiem:rccti vero anguli m centro quarte ciraimfcrcn 

tic fubtcndanmr.quod e% vlxima fqcti cuidentcr apparet. £jc oitTimtionc autc cir 

culouim equalium manifeftum cft cp vn ufquifq; boy qtuoj cir culoy c cqualis civ 

culo.3.b.c.d.11am oiameter omnium ipfoy e oiameter fpcre maio:is. igit.g. i s . 

quinti qdrantcs eoui fuut cqualcs:quarequinq5 arc 9 qui luiit.d.n.b.n.k.n.c.n.i 

d.c.funt equales:i Vnoquoq^ ergo qruoi qdrantiu circuloj/ erectoy coaptenf ypo/ 

tbemifales cbo:dc quai; qlib, ftt eqlis cbo:de circuli ,pftrati q fiit latcra poltgoni) 

fibi infcripti i e vna eaz; cbojda.d.b.fintq; i pmo quidc.d.q.q.r.i.r.n.m fccudo 

vcro.b.f.f.t.t.t.n.intertioaute.k.u.u.x.^.X-n.-zinqiiartofint.c.o.o.p.c.p.u. 

« p:otrabanf co:aufta coiugctcs capita ypotbemifaliu cboidaj/ q fint.q.f.f.u.u.o 

«.r.t.t.cjc.p.vidcs igitur quartc parti fugioiis bcmifperi) inaious fpere quc qui/ 

dcm quarta pars c.d .n.c.tfcriptum ec coipus. j.bafium quarii trcs que cocuut in 

puncto.n.funt triaugule:cctcre aute funt quadrangulc.funrq; barum quadrangu 

larum fuperficicrumfpotbemifalta latera equalia.fcd non equidiftsntia.£o:aufti 

aute inter quofq; ouos circulos iutcrccpti funt equidiftantcs adinuice % cbo:de cir 

culi pioftrati fcdiionfuntadiuuiccmequales. bocautfcicsfipcrpeudiculares a 




LIBER 





coiauftoy ejctrcmitatib 9 ad fuperficie circuli iacetis oemiferis.ee quibus pftat cp 
ipfc cadcut fupcr oiamctros circuloy quos co:aufti ptinuat qo c% ocmoftratis in 
ij.n.facilcocp:cbcndcs.23crbigratia.Smtaouobustcnninisco:9u(ti.q.f.oc/' 
mifteouepcrpendiculares.q.y.c.f.^.cadentesinoiametris.d.b.s.b.m.s^prraba 
tur linee.q.g. f.y.^.erunrq^ cx quarta fejti ouo trianguli.q.y.d.-j.f.j.b.filfes qua/ 
re p:opo:tio ouarum perpendicularium.q.y.i.f .3-crtt ficut oua^ co:da^. q.d.c.f 
b.cunq^ fint co:de equalcs erunt etia « ppendiculares equales .3t ipfe funt equidi 
ftantcs ejc fe#a. i i.ergo c%. 5 j.p:imi co:auft 9 .q.f.eft equalis 1 cquidiftans linee.y 
yl quia c% fcoa p_te fctic fejcti linea.y.^.e equidiftans co:de.d.b.« io mino:.e.a. (e 
quitur cr.9.vndecimi ut co:auftus.q.f.fit etia cquidiftas co:dc .d.b.z mio: ca c% 
conceptione.Xum itaqj co:dc que funt latera poligonij infcripti in circulo taccnti 
z ipfc funt oes equales «nde.d.b.nd tangat fpera mino:c':nccelTccft ut nullu^ la/ 
tus barum bafium co:po:is infcripti fiue quadrangule fint fiuc trigone tagat can 
dcm minojcm fpcra rii oia bec larera fint ipfis co:dis equalia aut mino:a. Sim/ 
pliciter aute oico q> nulla ctia baru baftu oc quibus omnibus manifeftum cft cjc fe 
cunda ptc fcoe. 1 i.cp ipfc funt tote in fupcrficie vna poteft aliquo fui puncto con/ 
tingerc mino:cm fpcramcocpomnis lincarccta ouctafuper quclibetpunctum 
cuiufq^ carum equidiftantcr co:aufto mino: cft neceftario co:da p:oftrati circoli. 
Si igitur connetftatcs aliarum quartaru^ maio:is fperc ram fuperioris bcmifpe/ 
rij q*5 inferions ad eius fimilitudincm quadnlateris trilaterifq^ fupcrficicbus fub/- 
tejcantt;r: critq^ maio:i fpcre co:pus.72.bafium fuperficiem mino:isfpcre mini/ 
me tangcutium quemadmodu ,ppofiru fucrit infcriptu £>ico ifug cj> fi in alia qua 
libet fpcra fimile co:pus ftatuat erit #po:tio vnius ad altcy ficut oiamctri vnius 
fpcrc ad oiamctru alterius triplicata erunt cntm cjc.72.bafis vtriufq^ co:p.i8 bafes 
totidcm larcrata^ piramidu quay omnium verciccs erunt in ccntris ipfa^ fpcrap 
bas aute piramidcs pcrficics.fi 3 fingulis angulis infcripto^ co:poy que fut cp 
trcmiratesco:daru5 1 co:auftO£ lincas ad ccntra fperap p:oduxeris .ftude itaqj 
cc otffimtione filium co:po:z ,pbarc cuctas piramides vni 9 ee fites fuis relatinis 
piraitiidibus altcnus. Quo#batoerircx.s.buiu8,ppo:rio vniufcuiufq^ carum 
vni 9 ad fua relatiua alrerius ficut ,ppo:tio fcmidiamctroy fpera^ ipfarnm tripli/ 
cara.funt cni femidiametri fpcray latcra cuncray piramidum. St q: fcmidiame/ 
tro:um 1 oiametro:um clt ej.i j.quinti vna ,ppo:tio cc 1 j.enfdcm facilc conclu/ 
desp:opofitum. 

l£>:opofttio .15-. 
XlfoiiiumOuarumfperarumeftpzopoztio alterme adal/ 
teram tanqua fuc oiametri ad oiamet^ altcrius pjopoj/ 
tiotripltcata. 

G Sint ouc fpcrc.a.b.c.c.d.quarum oiametri fim.a. b.c.c.d .oico 
cp p:oponio carum eft ficut fuarum oiamctro^u, ^ipoitio triplicata 
£uius oemonftratio cft qm ueq, ad mino:e fpcra q5 fit fpera.cd.neq5 ad maio:e 
eftp:opo:tiofpcrc.a.b.ficutoiametri.3.b.adoiamcty.c.d.triplkara.£ftoquide 
^ipo:tiofpere.a.b.adfperaiii.e.f.ficutoiametn.3.b.fpcre.a.b.adoi9inetru.c.d. 
triplicata : ocmonftrabo itaq^ cp fpcra.c.f.non potcft clTc mino: ncq^ maio: qtn 
fpcra.cd.fi enim affirmct aduerfarius C3m elTe mino:cin imaginabo:cani inclu/ 
di a fpera.cd.tcirciidiici ab codcm ccntro i infcribam fpcrc.a.b. q6 ctia noiiiiuc 




XIII 



Tuc fpcrc oicaf .a.b.pftat ftaq3 c% fc6a ptc ptniffc ■e.n.quirt cp .pportio fperc.a.b. 
ad fpera .e.f.e ficut cojpjs mtta? bafiii qo* e.a.b.ad co:p 9 multay bafifr.qo e. c.d. 
Vtraq3cnicficutotamctcr.a.b.adoiamctru.c.d.triplicata:bccaiitocfpotbc.illa 
vcro cf. fc6a rjte pmiffctquat e pmutatim ,ppo:tio fpcrc .a.b.ad co:pus multarum 
bafium.a.b.e ficut fpera.e.f.ad coipus inultazjbafium.c.d. cu igif fpera.a. b.fit 
maio: co:po:e multas bafiu.a.b.crtt etia fpera.e.f.maio: co:po:c muitay bafium 
c.d.boc aiit eft impoffibilc.na ipfa eft pars ei°:n6 e* ergo fpera.e.f.cft miuo: fpc/ 
ra.c.d.5i aut otcat aducrfarius d elTc maio:e cofutabimus ^pfii boc modo: crit 
eniperc6ucrfap:opo:ttonaliratefpcra. e.f. ad fpera.a.b. ficut oiamctir.c.d.ad 
oiamctrum.a.b.triplicata.fititaqjeadcmfperc.c.d.adfpcram.g.b.critq^ct. 14: 
quinti fpera.g.b.miuo: fpcra.a.b.eo q? fpcra.c.d.poftta eft mino: fpera .e.f.qre 
;ppo:tio fperc.c.d.ad aliqna fpcra mino:e fpera.a.b.cft ficut oiametri .c. d.ad oi 
amctrnm.a.b.triplicata.atboceftimpoffbilcinamerbocfequifcpps firmaio: 
fuo toto ut ocmonftratu cft p:ius.itaqj fpera.c.f.uo eft maio: ncqj mino: q*5 fpe 
ra.c.d.igitur er.^.quinri concludc pwpofita conclufionc que imponit ftnem ltb:o 
traodecfmo. £r.plicit liber Duodecimus ^ncipit liber Xcrciufdcctmus. 
1|b20pofitio .1. 
'"Em omifa fueritlinea fcrjtn p2opo2tionem 
babentem mediu&uoqs ejctrema:limaio2t 
ponioni linca in longum addarur equalis 
Oimidioipuuelinee p2opo2tionaIiter oiut 
fe:quadratu lince ejc eis ouabus compolite 
quadrati medictatis emfde liuee oiuife quin 
tuplumelTenecelTceft. 

06itltnca.a.b.oiuifaipuncto.c l( putoocct.29.fc)C 
ti.ffitmaio: po:tioeius!inca.b. c.cui.b.c.oirectc 
adtungaf linea .b.d. que fit equalis medictati toti" 

ia-b.oicocpquadvattilinec.c.d.critquintuplumad 

quadratu lince.b.d.^uadrabo ent linea.b.d.t fit ciusquadratu.d.e.e circupona 
buic quadrato gnomone fc6m qnantitate Iinee.b.c.,ptracta oiainetro.f.b.g. fitqj 
circupofitus gnomo.e.g.d.eritq^ er.. u.fejcti fupcrftcies iude copqfita quc fit.b.k 
tanqj quadratii linee.c.d.oico igittir quadram.b.k.qiimtuplii clTe ad qdratu.d.e 
fit tgif .e.l.qnadratu circupofiti gnomonis ftbi que circuponatur alius gnomo ad 

quatitatelince.a.c.^tractaoiamctro.f.b.vfq^ad.m.fitqjbicgnomo.c.m.l.Tp^o 
trabanf lince.c.n.s.p.l.equidiftanrer (atertbus oppofttis fccantcs fc fupcr oiamc 
tru.f.m- m puncto.g.MRanifeftu cft ant er.22.fcrti q> compofitfi er. boc fccundo 
gnomoiiecquadrato.c.l.iipfuquadratnfit.a.q.eftquadratulince.a.b.quodex 
quarta fecundi neceffe cft effe quadruplii ad quadruplu.d e.co cp linca. b. d.e me 

dictaslinee.a.b.cuq5fitexpmaparte.i(s.fertifupficics.a.n.idcoq5p.43.pmifug 
ficies .m.l.equalisqdrato.c.l.^ueniteni.a.n.ideoq, s.m.l. qc.b.a.in. a.c.i.c.l. 
.pucnit ex.c.b.in fe 1 cum c% p:ima fejtti fit.a.l.oupla ad.l.d. idcoq^ cqualis. l.d. 
t.c.c. pariter acceptis cx.43 . p:imi crit er. bac comuni fcientia:fi cqualtb 9 equalia 
addastota ficutequaliarquadratum ,a.q. eqlegnomoni .e.g.d bicergognomo 
quadrupluseftadquadratum.d.e.queadmoduerat quadratu.a.q.itaq^totum 
quadtatum.b.k.cum ipfum conftet ey fimplo « quadtuplo ctit ex.comuni fcicntia 

P 






LIBER 



c|uiutuplu ad ide q6 c p:opofitu.3de aliter et quarta fc6i coftat cp quadratii lincc 
a.b.e quadruplii ad quadrstu Uuec.b.d.at pcr fcoam eiufdc q6 fit cc.a.b.in.b.c. 
cm.a.c.ccq«alequadrato.a.b.qi5aiitc]c.a.b.in.b.c.cquueciq6e):.b.d.bi3i.b. 
cq6qc p:ima fc6i manifcftn clr.cu.a.b.fit oupla ad.b.d.St vero qo et.a.b.in.3.' 
c.e c% prima gte. itf.ferti equalc quadrato.b.c.itaq3 p cocm fciam qo fit cr.b.d.bif 
in.b.c.s q6et.b.cin fe c cqualc quadrato.a.b.s ideo e quadruplii ad quadratum 
b.d.quarc fu^addito quadrato.b.d.erit totu aggregatii quintuplii vicklicct tllud 
qofitcx.b.d.bisin .b.c.cumqdrato .b.c ?qdrato.b.d. atquiaetquartafecun/ 
di boc totn cft cquale quadrato.c.d.conftat verum cffe[quod oininus. 

lfb20politio .2. 

[j§p5s|||ijl ^cuiltbet lineebipartite cuiusquadratum quadratial/ 
^^m^ tcrutriusfuaypo2tioitiJritqumtupluiitlongi5fibi linea 
3^S^3 addatur0oneceidcpo2tionireliqpo2tiocuaddita linea 
I ^wl *" tat MpkJ^ade ouptejclinea fcbm ,ppo2t.one babente 
jiaSsSygil medium ouoq^eytrema 0iHifaeritmaio2q5po2tio eius 
erit linea media.Cbcc e couerfa p:emi(Te ouplici quoq> modo (icut illa ocmo/ 
ftrabitur viaretrogradacadep:o:fus mancnteoifpone. vcrbigra. fit quadratu 
b.k.quintupluadquadratu.d.cilinca.a.b.ouplaadlinca.b.d.oico cj>liiie3.a. 
b.oiuifa e in pnncto.cfm ,ppo:tione babcutc mcdiii i ouo cvtrcma z maio: po:/ 
tto cius e linea mcdia vt c.cb.coftat auc ex-4-fc6i <y quadratii.a.q. quadiiiplum 
e ad quadratu.d.e.itaq5 gnomo.g.d.c.cqualis cquadrato.a .q.quocirca otio ftip 
plementa.l.d.c.c.c.piter accepta funt quautti gnoino.c.ni.t.atq, cade fupplcme/ 
ta paritcr acccpta funt cx p:ima fcxti quantii.a.l.idcoq^ quantu.c.q. feqnif cp.c.q 
fit equalts gnomoni .c.m.l.ocmpta igit ab vtroq^ fupficie.l.n.crit quadrarum.c.l 
equalc fnpcrficici.a.n.cum igit fiat fupficies.a.n.eca.b.tn.a.c. fit antem qtiadra 
tum.c.l.quadratiilincc.cb.eritctfcbatJtc. i<s.fcxtip:opo:tio.a.b.ad.b.c.ficut.b 
c3d.c3.ej: oiffinitione crgo lince fm p:opo:tione babentc mcdiu z ouo cjtrrcma 
oiuife pofita in principio fcjcti libri coclude .ppofitfi . 3tc alitcr cum quadratii.c d 
fitcvypotbcfiquintupluadquadi'3tu.b.d.quadratu vero.a .b.fttejc quarta fcoi 
quadrnplfi ad idcm.at quadratu.cd.fit cr eadem equale quadrato .cb. % quadro, 
to .b.d.t ei qo fit ct.b.ct.bis tn.cb.fequitur ut illud qo fit ex.b.d.bis in .cb. cum 
quadrato.cb.fit cqualc quadrato.a.b.fed ex.b.d.bis in.cb.tm c quantu qb ex.a 
b.in.b.ccocp.3.b.oupl3clrad.b.d.crgoquodfitet.a.b.in.b.c.cu5 quadraro.b 
c.cft equale quadrato.a.b.? q: ejc fcoa fc6i qo fit et.a.b.in.b.c? in.a.d.eft cqualc 
quadrsto.a.b.f cqnitur et comuni fcicntia ut quadrstum tinec.b.cfit equalc ci qd 
fit cr.s.b.in.a.cigitur cj: fecunda partc. i<J.fcj:ti z oiffinitione conftat .ppofttam. 
1^20pofttio .3. 
I ^Tm oiuifa fuerint Unea lcbm ,ppo2tione babentc medi» 
l I0uoe]ctremari:mino2ipo2tionitanq5 oimidium maio/ 
( ris birecte iungaturterit vtquadratum lineetndecompo 

IkxllPil ^ tc Q l "ntuplnm ftt quadrati qb cjc ipfa maiojis mcdietate 
Be^aj^il po2tionis oefcribit.C6it tinea.a.b.oiuifs in puucto.c fccun/ 
dnm p:opo:tione babentc mcdium z ono cxtrema .fitqi cius maioi ponio linca.c 
b.qne oiuidstur pcr equslis in.d.oico cp quadratumlince .a.d.eft quintuplum ad 
quadratu (incccd.oefcribatur enim quadratu.a.b.quod fit .a.c in quo .ptrabar 




XIII 



oiamctri.b.f.^Iince.g.c.c.p.b.itaii^.W.l.^-m.n.cqmdiftatitcrlarCTibogoppo/ 
fitis fecantcs fe muicc fug oiancty in ouobns punctis.p.i.cj.c ejrtra oiamefni iit 
Ouob 9 alijs locis .r •z.f.nunifcftii igif e cc.xi. fejcti vcl c% co::clario quartc fc6i:cp 
omncs fnperficies er.i(tcntes in quadrato.a.e.quas ciamctcr oiuidir per mcdium 
funtquadratc:quatuo:autcm fupcrficicsquefunt.a.r.m.p.p.b.-i.f.e.conftatej; 
4j.p:imi ? p:ima fcxri clTc adinuicc cqualcs.na ouc poftrcme.p.b.e. f.e.fuut ad/ 
inuicc equalcs c% p:ima fexti qiii i;if c\ pfiti fporbcli 1 oifftnitioc lincc f>m cp p/ 
ponif oiuife z p:ima pte. is.fcjii quadratu.cl.c cquale fugficici.a.g.idcoqj 1 guo 
moni.r.f.f.,pptcr id qo fupftcics.a .r.c cqualis fupcrficiei.p.b.^ qm c% qnarra fe/ 
cundi quadratu.cl.eft quadruplu ad quadratu.r.f.q6 e tancj^ quadratu lince.c.d 
fequitur ej: comuni fcicntia ep quadratfi.m .b.fit quintuplii qtiadrati ,r.f. conftat 
eni ej: gnomonc quadruplo z .r.f.fimplo.bo; afit cft pwpofitfi.^dcj alit c r cfi fit 
linca.b.c.oiuifa pcr cqualia in puncto.d.? addita cft ci linea.a.c.crit cctf.fccudi 
quod fit ejc .a.b.in.a.c. cum quadrato.c.d.interiacenti3 cquale qdrato.a.d.at qj 
quodfit ejt.3.b.in.a.c.cqu3lee quadrato.c.b.cr. p:ima &c. 15.fcrti-.boc autcm cft 
quadruplum ad quadratum .cd.manifefte P5 vcritas cius q6 oicif .£>otes quoq^ 
fi libet ctiam ouplici modo cr cofcqucte buius fuii anteccdcn3 cocludere p:oceffu 
retrogradu.fir cni cade oifpofitionc mancnte quadratii .in.b.quinruplu ad qua / 
draru.r.f.critqsgnomo.r.f.f.cqualcqnadrato.cl. ZUrfiq^cni cft quadrupluad 
quadratii.r.f.at q: fupficies.a.g.c cqualts gnomoni p:cdicto neceffe e vt fupficies 
cadefttcqualis quadrarop:cdicro:quarecj;fc6a etc.ie.fcj:tt. ? oiffinitione linea 
a.b.e oiuifa iu puncto.c.f m ,ppo:rtone babentc mcdium « ouo crrrcma:c inaio: 
po:tio cius c lmca.cd.3de alitcr cii fit er ypotbcfi quadratii lince.a.d .quinruplii 
ad quadratii Imec.c.d.t cr. .e.fc6i idc ipfu quadratum fit cqualc ci quod fit cca.b 
iu.a.c.ciimqiiadrato.c.d.fcquifvtidq6fitex.3.b.i.3.c.cuqu2drato.c.d.fitquiii 
tuplum ad tde" quadratu.cd.idcoq^ co ocmpto crit refiduii vidclicct q6 fit eca.b 
iu.a.c.quadruplii ad lpfum z q: ctia cr. quarta fcoi quadratum ftnec.cb.c quadru 
plum ad idc ncceffc e vt q6 fit er.a.b.in.a.cfit cquale quadrato.c.b.quarc itcrunt 
ev. fccunda ptc. le.fcjri z oiffmtione linca.a.b.e Oiuifa £.n p:opo:tione babetcm 
mcdi m 1 ouo cx-trcma iu puncto.c? maio: ciu3 poitio cft linca.c.b. 
Ijbjopoftrio .4. 
3JTc6m piepoitione babentc iuedtu * tmo extrema qne/ 
libetlinea fuerit oiuila eiq^ilongu oirectctanb^ niato* 
fecttoadijciat-.erittotalinea indecoporua Pm / ppo2tio/ 
nem babente mediu 1 ouo ejctreina oiuiia^ efie 1 erit eius 
maioz poztio Unea pjima. 
CSit linca.a.b.oiuifa qua fupponif ,ppo:tione in puncto.ci fit cius maio: poi 
tio.c.b.totiq5.a.b.adijciacoirectelinea.b.d.quefitequalis.cb.oicocptota.a.d; 
cadem p:opo:tione oiuifa eft in puncto.b.t maio: cius po:tio c linea .a.b .quc e 
linca p:ima.f ft eni cj; oiftmitione .a.b.ad.b.cficut.b.cad.ca.at c\t c% fcptima 
quinti .a.b.ad.b.d.ficut ad.b.cigitur ej; vndecima ciufde.a.b.ad.b.d. ficut. b.c. 
3d.ca.quarcperc6uerfamp:opo:tionatitatem.b.d.ad.b.a.ficut.9.cad.c.b.et 
comunctim.d.a.ad.a.b.ficut.a.b.ad.b.cfunqjfitejcfeptimaquintia. b.adb.c 
ficutad.b.d.crit;cj;vndccim3Ciufde.d.3.ad.3.b.ficut.a.b.ad.b.d.itaq5Cj;oift'ini 
ttonclinca.a.d.oiuifacftmpuncto.b.fccundu p:opo:tioftcm babcntcmcdium 

P2 








« 


V p 




S 


r 







c o b 



LIBER 



o a 

i ■ ■ < — 







i ouo crrrema « maio: po:tio ctos eft linca .a.b.qnod eft p:opofitum. fodc quo/ 
qjmodoficjcmatonpojtione cuiuflibctlmec fecundu pjcdicta jppo.tiouc oiuilc 
tanq5 rolno! po:tio octrabaturxrit ipfa maio: po:tio fcom eandc p:opo:tioucm 
oiuifa.critq5maiojpo!tiociuslincaoctracta.vcrbigratia.Sitlinca.a.b.ficut^)/ 
ponitur in puncto.c.oiuifa fitqs maio: po:tio.a.c.a qua oetrabaf . c.d .cqualis.c. 
b.oico cj\a.ce oiuifa:f>m p:opo:tione eandcm i puncto.d.? cp maio: po:tio et 9 e 
linca.d.c.cum eni fit ct oiffinitionc.b.a.ad. a.c. ficnt.a. c.ad.c. b.St cy fepnma 
quinti.a.c.ad.c.b.ficutad.c.d.critcyvndccimaciufdc.b.a.ad.a.c.ficut.a.c.adc 
d.idcoq^ pcr.i ?.qutnti:ficut .c.b.rcfiduii ad.d.a.refiduu.fcd ej: fcptima citifdcm 
c.b.ad.d.a.ficut.c.d.ad.d.a.itaq5.a.c.ad.c.d'ficut.c.d.3d.d.a.ctoifftnitt6ecr/ 
go coftat qo oirim 9 :nec igif ca qua aucto: .pponit additio ncc ca qua c% oppofito 
p!oponimus octractio quatucunqj vtraltbe: in pwlirum tendat a p:op:ietate oi/ 
uifionis tince piimitiue oifco:dat. 

1fc>:opo!itio .*. 
I ^fecfidu p:opo:tionebabente mediuitrzOuo cr.trcma 
| qaelibet linea faerit oiuifa qo er tota linca quodq^ cjc mi 
no:i po:tione p:oductt ambo qdrata piteracceputri/ 
plu funt eiusq6er.maio:epo:tionequadratu oeicribic. 
GSit Itnca.a.b.oiuifa per fcpe oscta pouionc in puncto.cfttxg ma 
iozpouiocius linca.c.b.oicocpquadrataouarumliucarum.a.b.c.c.a.paritcrac 
ccpta triplum funt ad quadratum linec .c.b.bcc enim ouo quadrata paritcr acce/ 
ptafuntcrfeptima fccundiquantumquadratum.cb.?ouplijm cius quodfttcv. 
a.b.in.a.c.itcmq^ quia quod fit cca.b.in.a.ccft equalc quadrato.cb.cx oilfiiti/ 
tione i p:ima parrc t<s.fcrti:manifcftum eft p:opofitum. 
1fb:opoutio .6. 
■Olbnis rationaUs linec iecundii p:opo:tionem babente 
mediu souoerrrcma 0iuifevtranq5po:tionem reiiduu 
elTeneceneert. 

GSit linca .a.b.f>m foluta p:opo:tioncm oiuifam iti puncto .c.ra/ 
tionalts.oicocpvtraq5 po:tio cius rcfiduu.Sitcnimaio: ei 9 po:/ 
tio.a.c.cui oirccte adijciatur.a.d.cqualis oimidio totius.a.b.critcrj etia .d.a .ra/ 
tionalis er.e. occimi ltb:i i oifnnitioncconftat autc cr p:ima buiu3 cp quadratn^ 
lince.d.c.qnintuplueadquadratulincc.d.a.isiflinea.d.c.cftcoicans lincc.d.a. 
in potentia et oiffiuitioncfcd non in longitudine er. vltima gtc.7.occimi quarc f> 
«ss.oecimi linca.a.ceft rcfiduum cum oue unce.cd.s.d.a.fint ambe ronales po/ 
tentialtter tm coicantcs.? quia itcrum fi ad lincam rattonalcm. a.b .adiungatur 
fuperficies equalis quadrato linec.a.c.que cft refiduum crtt latus cius fccundum 
linea.cb.er. p:ima gtcis.fcrti necclTe cft ct.9i.oecimi vt Iinca.c.b.ftt rcfiduu p:i 
mnm:quare conftat p:opoOtum.amplius aute ft Imec fic oiuife vt pjoponif ma/ 
ioi po!tio fucrit r6nalis:erir mino: rcfiduunuverbi gra.fit vt p:ius.a.b.oiitifa i.c 
frnoictampjopojtioncm smaiojpojtiociusquccft.a.cfitronalis quc oiuidaf 
pa eqnalia in.d.eritq^ ct. tcrtia buius quadratu.d.b.quintuplum ad quadramm 
d.c.3tq:.d.c.er6naIiscu5ipfafitoiniidiu.a.c.fcquifvtoucltncc.d.b.'t.d.c.ftnt 
ronales potentialitcr tm coicantcs quare ttt prius linea.c.b.cft rcftduum.ar vero 
fi linea ronalis in potentia tm fm pjopouioncm babentcm ntcdiii z ouo ertrcma 




^HHi 



XIII 

Dtotdaf adbuc ncccffe cft vt vtraq? po:tio cius fit refiduu.fit eni.a.b.tonalis i po 
tentia tm oiuifa ficut ^ponitur in puncto.cz fumaf atiqua ronaits in longitudic 
queftt .d.e.q ctis oiuidaf in.fim pdicta p:opo:tionc manifeftu eft igif c% fccuda 
i4.1ib:iqucfineadminiculo alicuiuseo^que fcquuturinconcuffa oemoitrationc 
robo:af cp .ppottio.a.b.ad.d.ceft ficut.a.c.ad.d.fa ficut.c.b.ad. f.c.£um ergo 
a.b.coicet cum.d.c.in potentia fcqmf cjc p:ima p_te. io.occimi cp.a.ccommunicct 
cu.d.f.ccb.cu.f.cin potentia.£t q: vtraq, ponio linccd.ce reftduum ut patet 
cc p:edictis fequif cx.oS.occimi vt vtraqj po:tio linee.a.b.fit etia refiduu fcd non 
dufdem fpeciei vt ibide ocmonftratu eft.Quare coftat cp ocs linee ronalts in lon 
gitudine vcl in poteu.tia tin fcom ,ppo:tioiie babcnte mcdiu i ouo cjctrema oiuife 
vtraq; po:tio e refiduu.£ t nota q> p:ima gs pntts oemonftrationis qua oemon / 
ftraf cp maio: pomo lince oiuife $ m ,ppo:tione babente mcdiu i ouo qctrema fit 
refiduu fi tota linea fit ronalis .pcedit e% fufficicntib" fiue tota linca ponat rona / 
lis in longitudiue fiue in potentia tm .5c6a vero ps qua ocmonftraf boc oe'mino 
ri po:tione cj> ipfa quoq^ fit reftduu fi tota e ronalis no ,pcedir cc fufftcientib 9 ni/ 
fi tota fit ronalis in longitudinc. lertia aut pars qua .pbatur cp mino: po:tio c re 
fiduum fufficicntcr p:occdjt fiue maio: pouio fit rationalis miongitudine fiue m 
potcutia tantum.ad concludcndum igitur oc maio:i po:tionc Imcc p:edicto mo / 
do oiuife cp ipfa fit refidtiu fulTicir poncre totam lineam oitiifam effe rationalcm 
in potentia ttn.fcd ad codudcndu quoq, boc oe mino:i po:tione mcdiante maio 
re fufficit ponere pouione maio:c".fifr ronalc in potcntia trii. fcd ad coiludcnduj 
boc oe mtno:i po:tione mediante uccelTe clt poncrc tota liuci elTe ronalcm i lon/ 
gitudinc aut Vtedu c fcca. t4.ltb:i qucadmodu oictum cft. 

Ijbjopofttio .7. 
[p^=rj|3f quis pentagonustres equos augulos babcrts fucrit 
nL^^' equtlatcrus equiangulus quoqs idc peiitagon'? ce ,pbac. 
;fe||fc^§j G5it pentagonu8.a.b.c.d.ccquilatcr°.fintq5 qmltbet tres ei 9 au/ 
P/^^l^ gulifiue cotttiue fiuc incotinucrfntnanf admuicc cquaics cfmt p:i' ? 
[w^^ffij incontinue fumpti Jintq^ angult.a.cd.illi trcs qui ponunf adtnuice 
cquales oico totu pcntagonii ce cquiangulu.bis angults fubtendanf cbo:de .b.c. 
b.d.i.e.c.i totus pentagonus oiuidaf in trigonu i quadrtlate^ cuius oue oiago 
nales fint d3o:dc ouoy p:orimoy equaliii angulojj fecantes fe intra quadril3teru 
ipfu in puncto.f.eritq; g quarta primibafis.b.cequalis baft.b.d.c angulus.a.e. 
b.cqualis angulo.cd.b.£unq5 g quinta pami angulus.b.c d.fit equalis angulo 
b.d.ceo gp ouo latera.b.ccb.d. fint equalia. erit etcoi fcia totalis angulus.c 
equalis totalt angulo.d.fimilitcr p:obabis totale angiilum. b. clTe equale angulo 
totali.ceft ent perquarta p:imi bafis.b.e.cqualis bafi.c.e.z angulus.a.b.e.equa 
lis angulo.d.ce.pcr quinta aut eiufdc fcj primi eft angulus.c.b.c equalis angu/ 
lo.c.cb.igif c% cbi fria totalis anguf.b.e cqualis totalt angulo.cStnt itaqj tres 
anguli.b, cd.cotinue fupti equalcs i fic quoq^ crit pentagonus equiangulusrerit 
cmmcx.4-p:imibafi3.b.d.cqualisbafi.cc.'janguIus.cd.b.3nguIo.d.c.C'zan/ 
gulus.b.d.cangulo.cc.d.quarc p. fcyta primi oue lince.cfa.f.d.erut equales c5 
ouo anguli trianguli.f.cd.qui funt ad bafim.cd.funt equalesagtf q. bac coi fcia 
crit linea.f.b.equalis linee.f.e.crat cnt tota.b.d.equalis toti.c.c.idcoqj pcr qutu/ 
ia p:imi erit angulus.f.b.c.equalis angulo. f.cb. fj eande aute c angulus.a.b.e. 

P? 




LIBER 





cquatis angnto.a.cb.itaq, pcr cocm fciam angulus.b.totclis cft cqualis angulo 
ctotali trcs eni partialcs anguti coponentes tnu funt equales tnbus ptialib' r co/ 
poi;entibus alium viwfquifq} fuo rclatiuo.2)f3anifcftu c tgitur q> trcs s iigiili.e.b 
cno cotinue fumpti tn p:opofito pcntagono funt equalcs.cu aut fic ocmoitratuj 
cft totum pcutagonu cffc cquiangutum vtrolibct ergo modo conftat p:opofitum. 

1Jb:opofitio .8. 
-Gknis trianguli eauilaten q& a latere fuoquadratu t>e/ 
fcribitur triplumeftquadrato oimidij oiametri circulia 
quotriaftgulus ipfecircufcribitur.CSit triangulus.a.b.c 
equilatcrus cui circufcnbatur.circuius .a.b.c.fnp:a centru.d.qucad 
modumoocct quintaqiarti Iib2up:otrabafincooiametcr.a.d.e 
Oicocrgo cp quadratu lincca.b.triplu cft ad quadra u fcmidiametri.a.d. oucanf 
cnioucliiiccb.d.cd.c.?arcui.b.cfubtendafcbo:da.b.e.eritq5cx octauap:imi 
angulus.b.a .d.cqualis angulo.c.a.d.quarc pcr vltima fcrti arcus.b.e.cft equalis 
arcui.e.c.£tq:cr.z7.tcttij trcsarcus.a.b.b.c.cc.a.funt adinuice equalcscocp 
eoy cbo:dc que funt latera trigoni fut cqualcs cy, fpotbcfi :crit arcus.b.c.fcxta ps 
circufercnticidcoq, cbo:da.b.c.erit latus cxagoni cquilatcri ipfi circulo infcripti. 
quare pcr co::ct'. ir .qrti unca.b.cc eqlis fcmidiamctro.a.d.D(3anifcftu e aute ejc 
p:ima partc. jo.tertij q> angulus.a.b.ccft rectus.ideoq, quadratum Jinec.a .c.e 
cqual- quadratis oua?2 lincay.a.b.c.b.c.piter acccptis ex pcnultima pmi. 3t vc/ 
ro quadratu.a.c.quadruplu ad quadratum.b.e.crquarta fcoi cum liuca.a. e.fit 
cupla.b.c.rclinquitur crgo quadratu.a.b.triptu effoadquadratum.b.ct idco ad 
quadratum.a.d.qtj cft p:opoficum.116 hteat aiit nos q> linca.b.c.quc e latus tri 
goni oiuidat fcmidiamcty.d.cpcr cqualia.ffto quidc punctiis oiuifionis.f.con/ 
ftatigitex quarta p:imi cp .b.f. cft cquatisf.c.ideoq^pcrprimampartemtertie 
tertij omncs anguli qui funt ad.f. funt rccti. quarc cx. pcnultima p:imi quadratu 
.b.d.ecqualequadratisouarnmliuearnin.d.f.i.f.b.quadratumvcro.b.c.cqualc 
quadratis ouarum lincarum que funt .b.f.t. f.c. £t q:.b.d.eft cqualis.b.cerunx 
er comuni fcicncia ouo quadrata ouarum liucarum.b.f.cf.d.piter accepta equa 
lia ouobus quadratis ouay lineay.b.f.cf.cpariter acccptis:ocmpto tgif utrinqj 
quadrato .b.f.erit cr coi fcia quadratum .f.d. rcfiduum equalequadraro.f.crc/ 
fiduo quarc f linca.f.d.lince f.e.er bac coi fcientia qua^ quadrata fut equalia eas 
lincas ce cqnalcs.fx boc itaq^ manifeftu c ep pcrpeudicularis oncta a ccutro circu 
li ad latus tttgoni equilateri fibi infcripti cqualis c oimidio lince oucce a cctro ciuf 
decirculiadipfiuscircufcrcntiam. i|b:opofitio .9. 

1 ^latus ejcagonicqiulatcn latufq? oecagoni equilatert 
! quos ambos vnns ideq? circulus circwfcribit fibt inuices 
j in logu oirectuq^ coiugant tota linea er; eis copofita fVt 
!,ppo:tionebabete meditKOuo ejctrema oiuifacritma/ 
j io:q5eius poniolatus ejragoni.GSitcircuius.a.b.ccuius 
tentrum .&.* oiamcter .a.d.c.fitq; arcus .c.b.quinta gsarcus fcmicirculi.a.b.c. 
cui fubtcndaf cbo:da.c.b.qua pftat clTe latus oecagoni equilatcri .ppofito circulo 
infcriptt adiungafq; lince cb.incotinuu 1 oirertu linca .b.c.quc ponatur ec cq/ 
lis lateri eragoni equilaceri pdtcto circulo infcripti oico tota linea.c. c.oiuifam ce 
in puncto.b.ftn .ppoaione babenti mediij 1 ouo cxtrema « maio:cj ci 9 poaione 




XIII 



oico cflclinca.b.c.quccft latuseragonlioucanf cni in centr onclinee.c.d.cb.d. 
eritq, angulus.c.equahs angulo .b.d.c.cr.f .p:inii #pter boc q? linea.c.b.c cqli3 
lincc.b.d.cytoixF.if.quartiansulusquoq^.d.b.c.cftequalisangulo.c.cx.j.pn 
nnrquarc cr: j2.p:imi angul^.a.d.b.crit ouplus ad angulit.d.b.ct q: p_ cadc an / 
gulus.d.b.c.c ouplus ad ansulu.c.fequit vt angulus.a.d.b.fit quadrupl 9 ad an/ 
gulu.c.£ft cni c-i coi fda qdruplii quicquid fucrlt oupliT oupli.cuq^ fit et idc" angu 
lus.a.d.b.quadruplus ad angulii.b.d.c.cr vltima fcjcti co cp arcus.a.b. e quadrti 
pltts ad arcu.b.c.ncccffc e cr coi fcia ut angulus.e.fit cqualis angulo.b.d.c.fi igif 
intdliganf ouo trianguli.d.e.c.totalis.i.b.d.c.ptialis cu angulus.e.totalis ftt eq 
lis angulo.b.d.c.partialis z angulus. c.fit cois vtriufqj ncccffe c cr. ?2.p2imi: vt 
ipft fint cquiangulirquarc pcr quarta ferti ^ponio ouoe later.c.c.c.c.d.cotincn 
tiu angulu .c.i totali triagnlo e ficut ©uor latcr. d.c.c .c.b.ptinetiij cude angulit 
i gtisli triangulo quia g ,ppo:tio.e.c.ad.c.d.e ficut ad.e.b.ct fcda pK.7.quinti.« 
d.c.3d. c.b.c ficut. c.b .ad cadc ct pma ptc eiufdcm.fcquit cr. n.quinti ut ftt p:o 
pojtio.c.c.ad.e.b.ftcut.c.b.ad.b.c.igituraoionecoclude^ppofitu linea. c.c.effc 
oiuif a frn p:opo:tionc babcre mediii z ono ertrcma z maio:c po:tione cius cc la/ 
tns cragoni q> opoituit nos ocmonftrarc.£6ucrfam quoqj ocmonftrare puenit 
qo facilc fict via retrograda:ea cni alTumit prolcmeus capitulo -9.p:imc oictiois 
niniagefti ad ocmonftrandii quantitate cbo:dar arcuil circuli. JDico itaq^ cp fi li/ 
iicaqudibctfmpwponionebabcntcmediiitouocxtrcma oiuidaf cuins circuli 
maio: po:tio fnerit 'atus cragoni:ciufdc mino: erit latus occagoni.at vcro cnius 
mino: erit tat 9 occagoni ciufde maio: crit latus cragoni.5it cni p:io:i oifpofitioe 
mancntc liuca.c.c. omifa in puncto .b.ftn p:cdicta p:opo:tione % maio: ci 9 po:tio 
fit.c.b.cicocpcuiufcuqiCirciililiiica.c.b.cftlat^cxagoniciufde clinea .b.c. latus 
occagoni:-: ciiiufcunqj circuii linea.b.c.cft latus oecagoni eiafde cft linca.c.b.lat* 
ctagoni.^ntelligo aiit boc oc cragonis z occagonis cquilatcris.fi eni fit.c. b.la/ 
tus cragoni circulo.a.b.c. infcripti-.crit p> co::el'. i j. quarti.c.b.cqualts.d.c.c quia 
;ppo:tio.c.c 3d.c.b.cftficut.c.b.ad.b.c.cjL7potbcficriter.7.qiiinti. c.c. ad.d.c. 
ftcut.d.c.ad.c.b.igitcr.is.fcrtiouotrianguli.c.d.c.t.d.c.b.funtequianguluanga 
!us crgo.e.cft cqualis angulo.b.d.c.ipfos eni latera .ppomonalia refpiciunt.ciiq} 
fit auguf.a.d.b.qdruplus ad aguiu.e.cr.jz.pmi bis affupta.? quita eiufde bis: 
fcquif vt etia ide angulus.a.d.b.fit qnadrupius ad sngulii.b. d.c. ideoqj et vltia 
fcrtiarcus.a.b.quadriipluseftadarcu.b.c.lincaigif.b.c.elatusoecagoni.a.b.c. 
iufcriptt.Qo fi linca.b.c.mcrit latue oecagonic rculi.a.b.c.erit.e.b. latus etago/ 
ni ciufde.fit cni.c.b.latus eragoni circu!i.f.critq5 er p:cdictis.b.c.latus occagoni 
ciufdc.intcLigahf igitur infcripti ce occagoni cquitatcri ouobus circulis.a.b.c.f.f 
quor omitia latcra criit cqualia Imec .b. c.z qui»ois figura equilatcra rirculo in / 
fcripta e cquiangula vt pjobatu cft m. ly.quarri lib:i fcquif vtrofq5 occagonoscffe 
cquiangulos.£tinq5 omncs anguli vni 9 piter acccpti fint cquales omnibus angu 
l;s altcrios paritcr acccptis ficut cuidentcr apparct er oemoiiftratis in . 32.p:imi: 
neccffc e cr bac coi fda quoniltbct cqliii oecimas aut quotaflibct gtcs eiufdc ocno 
tationis cc eqtjales ut vnus boy occagonoru fit cquiangulus alij. idcoq^ fitts cr 
Oionc filiuin fupftcic2-:7 q: fi ouc figure filcs ouobus ctrculis infaibanf :crit .ppo: 
tio ouo? relatiuoij latcr illar figurar ficat ouar oiametror illora^ circulo:um Vt 
apparct ct co:kI'.i s.fcrti lib» % p:ima . i2.cfi latcra occagonoK fifium infcripto:» 

P4 





LIBER 





Dudbus eirculis .a.b.c. tS. firit equalia fequitur ut oiametri eojum fint cqualcs. 
fdeoq^ ct fcmidiamctri ctiam cqualcs.funt aute^ femidiamctn « latus exagoni e> 
qualia cx cojxlario.occima i quiura fcxti.ctit ergo linea.c. b.latus cxagcni circu / 
ii.a.b.c.infcripti ficut ipla cft latus cxagoni circuli.f .fibi equalis:boc atitcm e qo 
ocmonftrarc voltiimus.£x bac aut nona bm 9 .i j.libti noucris cxoua ce occimain 
qnarti lib:i que ouu cqnaliii latci; .pponit trigonu ocferibcndu cuius vterq^ ouo/ 
rii aitguloy quos bafts obtinct ad tcrtiii ouplus etiftatttalis eni e vrerq^ rriangu 
loy.e.d.c.s.d.c.b.s fimpliciter 013 cuius ouo latera funt cqualia maioji pouioni 
aticuius linec otuife ftn p:opojttonc" babcnte mcdtii ouoq^ ettrema t tcrriii quod 
eft bafis cft cquale minojt pojtioni liuec ciufdc" vel cuitts ouo latcra ftit cqualia la 
tcriejagoniequilarcriaSicuicirciJloinfcriptiibaiisVero cequalis latcri occagoni 
equilateri eidc circulo infcripti g6 c" ypofitu Ijbzopoikio .10. 

Afonc latuepeiitasoni equilateri tanto potcntiue c late/ 
re epgoni eqtulateri quantu poreft latue oecagoni equi 
lateri li lint in eode circulo anibo infcripri. 
G6itctrcu!u8.a.b.c.cuiu3cent2/.d.ioiamctcr.a.d.c.iiifcribaturq5 
ci pcntqgonus cquilaterus qut fit.a.b.c.f.g.c a centro.d.,pn abattir 
perpcdicularis ad latus.a.b.quc pjoducatur vfcg qtto obuict circtifirentic in puu 
cto.b.fitqj.d.b.tpjoirabantoticcbojde.a.b.T.b.b.quccruntcqualesadinuicej 
cjc fcoa Etc.^.tcrtiJ •: quarta p:tmi.idcoq5 ctia ouo arcus.a.b.?.b.b. cqlco adiuui 
cem cx.27.tcrttj .£lt igirttr vtraq^ ouay cboidai/.a.b.T.b.b.larus occagoui cqui/ 
latcri ,ppofito circulo infcripti.oico itaq^ cp quadratu Itncc.a.b.quc cft latus pcn 
tagoni ecqualc ouobus quadratis ©uar Uncar.b.d.T.a.b.p.itcr acccptis quarum 
pjima cft eqlis latcri cxagoni cx co::cl'. 1 j. quarti:? fccunda c" latus occagoni p/ 
trabaturcnia ccntro.d.ppcndicularisadlinea.a.b.quecrt latus oecagom que 
^ducat vfq, ad circufcrc'ria:firq5.d.k:q fccct linca.a. b.q e latus pctagoni i pueto 
\.l .ptrabat liuca.b .1. pftat aut cx fcoa wc tcrtic rcrtij ?.4.pim i-n .rcrtij cp linea 
d.k.q cft ppcudiciilaris ad cbo:da.a.b .limul oiuidit p cqualia cbo:da 1 arcti ioqj 
arcns.a.k.cft cqualis arcui.k.b.quarc ex vltima fcvti angulus.a.d.l.c cqualis an 
gulo.l.d.b. idcoq^cxquarra pjimi bafis.a.l.bafi.l.b. igif ex quinta p2imi angul 9 
l.a.b.equalis cft angulo.l.b.a.cfiqj ctia fit cx eadc angulus.b.a.b.equalis aitgu/ 
lo.b.b.a.fcquitiirvtangutus.l.b.a.firequalisangulo.b.b.a.ergoci.32.pmiouo 
trianguli.b.a.b.c.a.b.l.funtcquianguli.clteniangulus.b.maioiiscqualisangu 
lo.b. minojis % agulus.a.pmunis eft vtriqj: itaqj p quartsi fcxti .ppojtio.b.a.ad 
a.b.eficut .a.b.ad.l.a.quarecxpjimap.tc.i<s.fciriq6pjoucnitcx.b.a. in.a .l.cft 
cqualequadrato liiicc.a.b.quc c" latus occagoni.cii fit autc fcmicircultis.a.e.c.cq 
lisfcmicirculo.a.f.e.carcus.a.C.arcut.a.f.critarcus.cc.rcfiduusequaltsarcui.f 
c.refiduo:quarcarcus .c.c.cft mcdictasarcus.c.f.idcoq^cqtialis arcut .s.b.s ou 
plus ad arcii.b.k.iqj arcus.c.b.e ouplusad arcum .b.b. crit cr.i j.c<uiiiii totus 
arcus.c.c.b.ouplus ad totfl arcu.b.b.k.tdcoq^ cx vltima fcxti angt Itis.c.d. b.eft 
cuplus adangulii.b.d.l.cuiiq^ctiaangulus.c.d.b.oupluslitadaiigiilti.b.a.d. 
ex.ji.s quinta pjimi.futtt er,i ouo latera.d.a.s.d.b.equalia crit angulus.b.d.l. 
equalisangulo.b.a.d.itaq5pcr.52.p:imicrittriangulus.b.d.[.cquiaiigulu8 tri/ 
angulo.b.a.d.fftcnimangulus.d.minojisequalisagulo.a.maiojis.caiigu^.b 
ecoisvtricgurgoperquartafetti^pojtio.a.b.ad.b.d.eficut.b.d.ad.l.b.quaic 




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XIII 

pcr p:imam partcm.is.fcrti quod pjoucntt ejc.a.b.ttt.b.l.cfl: cquale quadrato.d. 
b.at Vcro pjobarum eilr puus q> titudqo p:ouentt cc.a.b.m.l.a.e equale quadra/ 
ro.a.b.itaqsquodpjouciiitcx. a.b. m.a. l.fin.l.b.crrcqualcouobusquadratis 
ouaEliuearum.a.lxc.b.d.squiacrfcDafecundiqopjouenircr.a.b.in.l.a.siii.! 
b.cit cqualc quadrato Irncc.a.b.elt autcm linca.a.b.lat pentagoni equilatcri p/ 
pofito circnlo mfcripruliiica vero.a.b.c latus occagoui cqu-.lateri.? linca.b. d.cft 
er coiiclario. i j.quartt cqualis latcris eragoni eqmlarcri .ppofjto circulo infcripto 
tum ineoncufta ocmonftratiouc aftruitur bocquod oicitur. 
ISbzopoiitio .11. 
3f Ouob^ppiqtus agults pctagoni cquilatcri irra circulti 
oefcripti a ternunts uioz: tatczr oue recte lineefubtendan 
tur vtraqs aiterain lcom pjopozrioite babente incdiu ouo 
q5 ertrema fecabit maiozq^ iplius pojtio latcri tpfms pe/ 
tagoiucquatiscrir. 

Geitpentasonuscquilaicrus.a.b.c.d.c.infcriptuscirculocifdcmlittcrisfiijna/ 
to * ouobus cius .ppiuquis angulis qui funt.a. e.b.fubrcudanr oue rcctc lmcc.a 
c.-z.b.c. fccantcs fc inuicc iu puncto.f.oico itaqj vtranq^ baz? clTe oiuifa i puncto 
f. f>m .ppoitione babentc nicdiu ouoq, cctrcma:? <j> maio: po:tio vtriufq, e equa 
lis latcri pcntagoni.Mjanircftu cft cni ec.z7.tcrti) cy qutnqj arcus circuli penta/ 
gonu p:opofirii circufcnbcntis quoz? latcra ipfius pcntagoni funt cbo:de:funt ad 
tnuicem cquaies.ideoq^ ev vltima ferti quatuo: angi.li.a.c.b.a.b.c.b.a.c.cb.c.a 
funt admuicc cquales.llam arcus.a.b.a.c .i.b.c.funt adinuiccm cquales. cunqj 
ftt arcus .c.d.e.ouplus ad arcii.b.c.crit quoqj cr vltima fejrri angulus. c.a.e .ou/ 
plus ad aiigulfi .c.a.b.at vcro cr.jz.piinn angulus a.f.c.ouplus e ad angulu.f.a 
b.igiuir angulus .a.f.cc cqualis augub.f.a.e.quarc pcr fcrtam p:iini linea.a.e.e 
cqunlis lincc.f.e.funtaiit ouo :nangult.a.b.c.?.a. f.b. equianguli pcrea q oicta 
furit i p. jz. p:imi:cft eni angulus.c.maions cqualis angu!o.a.nuro:is t angu/ 
ttis .b.cois vtriqjugirrjquartafcvti^poKio .e.b.ad.b.a.ficut.b.a.ad.f.b.cuqj 
ftt.c.f.ccmalis.a.b.co cy ipfa ut pjo^atum eft equatis. a.c. fequiturer.7. qumti: 
vtfitp:opo:tio.b.c.ad.c.f.ftcut.c.f.3d.f.b.qnarcperoifrinitionelinca.c.b.eoi/ 
utfa fttt ,ppo:tionc babcnte mediu ouoqj crtrcma % eius maio: po:tio clt cqualis 
latcri ipfius pcntagoni.fi aiit boc c vcz: oe Imea.e.b.cnt qitoq; cr.7. quinti i. qui 
ta ciufdc i oiffinittone idc vez: oc linca.a.c.nam tora.b.c.cft equalis toti.a.c .cjc 
quarta p:imi i ponides pojrionib cc fcrta p:imi % coi fcia:po:tiocs eni.a.f.t.b. 
f.fuiit cqnalcs er ferta pumi.idcoqj.f.cr.f.c.rcfiduccrunt adinuicecqualcscrco 
ceptiouc vcl potcs fi Iibet z facilms oc Iiuca.a.c.ocmonftrare p:opofitum nego/ 
tiando circa ipfum vt p:ius circa lincam.c.b. 
____^ 1|b:opofitio ,2. 

^^^Ffjlf circult pcntagonu equilaterum circufcribcntis oiatne 
£ol*BsSg tros faerir rationalts etus latus pcntagoni ertt linea irra/ 
&wMrl ttoiialisealcilicetqne oiciturminoj.GSitpcntagon^cqui/ 
^^^^ latcr^.a.b.c.d.e.ifcript 9 circulo eifdc litteris afcripto c\azt.f.i oue 
s^^^aUoiamctn.b.g.c.a.b.fitqjvtracpbasoiamciroylinearonafilongi 
tudie: oico tunc cp lat^ petagoni iufcripti erit linca irroualis illa vidclj q oicit mt/ 
iio: :,ptrabat eni linca.a.c.q fecct oiamctz».b.g.in ptincto.k critq5 et vltima fertt 




LIBER 




t quarta pmi linea.a.c.oiuifa a oiamctro .b.g.ortbogouarr i p eqlia i pficto.k.qj 
cu fcmicirculus.b.a.g.fit cqlis fcmicirculo.b.e.g.i arc 9 .b.c.arcui. b. c.ficut pftat 
cr.27.tmijeritarcus.a.g.rcfidu 9 equalisarcui.c.g.refiduo:i6q5 er vltima fctti 
angulus.a.b.g.eqlis ctia angulo.c.b.g.cii itaqj ouo latcra.a.b.c.b.k.trianguli.a 
b. k.fint cqlia ouobus latcrib 9 .c.b.?.b.k.trianguli.c.b.k.c angulus.b .vnius an/ 
gulo.b.altcriusterit cjc quarta pmi bafis.8.k.cqlis bafi.k.c. i oes anguli qui funt 
ad.k.funt rccti cr p:ima pte tcrtic tertijroiamctcr aut.a.b.fccet latus petagoni.c 
d.in puncto.I.£ritq5 fifitcr linea.c.d. oiuifa a oiamctro.a .b. o:tbogonafr"Z per 
cqualia in puncto.l.cti cni fint ouo arcus.a.d.b.c.a.c.b.cqles i arcns.a.c.fit eq/ 
lis arcui.a.d.crunt ouo refidui femicirculoi? qui fttt.c.b.c.d.b. cqlcs quib 9 fi fub/ 
tcndantOuccbo:dcquefuin.c.b.c.d.b.ipfcquoq5er.2S.tcrtijeruntcqualescqj 
arcus'.a.c.e cqualis arcui.a.d.crif cr vltima fcrti angulus.c.b.l.cqlis angulo.d.b 
Udeoq^ per quarta p:imi bafis .c.l.eft cqualis baft.d.l .1 omncs anguli qui funt 
ad.l.rectierp:imap.tctcrtfc tcrtij.itaq^ ouotrianguli .a.c.l.t.a.f.k.futcqangu/ 
liex.52.pmi.£ftaiianguIus.l.maio:iscqlis 3ngulo.k.mino:iseo cp vtcrq; cfl 
rcctus 1 angnlus .a.c cois vtriq^iquare ct quarta fctti .ppouio.l.c.ad.c.a. c ficut 
k.f.ad.f.a. Sumangitcroiametro.b.g.ltnea.f.m.cqualisquartepanifcinidia/ 
tnctri eritq5 per equam p:opo:tionalitate p:opo:tio.c.l.ad quarta parte linee. a.c 
qiie fit.c.q.ficut.k.f.ad quartam parte Unec.f.a.quc eft.f.m. 1 q: 2. 1 j.quinti p/ 
po:tio.c.d.ad.c.k.cft ficut.c.l.ad.c.q.ficcni cft ouplum ad ouplum ftcut fintpluj 
sd fimplnmterit p. n.quinti.d.c.ad.c.k.ficut.k.f.ad.f.m.c coiuncti lince coftan/ 
tiscx.d.cz.c.k.ad.c.k.ficut.k.m.ad.m.f.ctopcirpumampartcm.ii.fcxti p:o/ 
po:tioqu3dratilincec6pofitec>-.d.c.i.c.k.adquadratu lincc. c.k. ficutquadrati 
Iince.k.m.adqnadratulinee.m.f.c6ftatautcexpmiffacp filinca. a. cbiuidatur 
Pm p:opo:tione babcnte medium ouoq^ crtrcma maio: po:tio ci 9 crit cqlis lincc 
d.c.igitIincaconftanscr.d.c.t.c.k.c6ponircx maio:i po:tione oiuifcfmp:o/ 
pouionebabcntc mcdiii ouoq^ ertrema cctmcdictate toti 9 linecficoimfc:ccni 
c.k.medict3s.a.c.itaq5pp:imaiftius. ij.libuquadratulincc compofitcct.d.c 
c.c.k.qtiintuplum quoq^ e ad quadratii lince.c.k.idcoq^ quadratum lincc. k. m. 
quintuplu quoq^ c adquadratu lince.m.f.cum fit boz? quadratoy 1 illo:um vna 
;ppouio e aut linca.b.m.quintupla ad linea.m.f.crat cni.m.f.quarta ps fanidia 
mctri p:opofiti circuIi:crgo quadratu liucc.k.m.ad quadratu lincc.m.f.cft ficut li 
ncc.b.m.adlincam.m.f.etquiacxfecunda ptc.is.ferti quadratii lincc. k.m.ad 
quadtatumlince.m.f.cftficutlincc.k.m.sdlineam.m.f.ouplicatstcrit ctvndcci 
ma quinti linca.b.m.ad lincam.m.f.ficut linca.k.m.ad liucam. m.f. ouplicata: 
igiturl(uca.k.m.cftmcdiolocop:opo:tioiialisintcrouaslincas.b .m.i. m .f.qo* 
ucconftat.6itaiim linca.n.p.mcdioloco.ppouioualisintcrcasfiipta ftn 00/ 
ctriua nonc fcrti critq, c% oiffinrtionc ,ppo:tiouis ouplicatc qttc pofita c i pncipio 
quiuti^)po:tio.b.m.ad.m.f.ficut.b.m.3d.ii.p.ouplicata:fq:.b.m.ad.u.p.ficut 
n.p.ad.m.f.critetiaex.n.quinti r ppo:tio.b.m.ad.m.f.ficut.n.p.ad.m.f. oupli/ 
cata igit et p:ima ptc. j.quinti ouc lince.k.m.c.n.p.funt eqlesuoq^ cr p:ima jjte 
7.quinti?erfco3Cjtceiufdclinea.k.m, emcdio locojjpouionalis intcr. b.m.ct 
tn.f.quarectco::cr.if.fcxtipjopo:tioquadrati lince.b .m.ad quadratumlince 
m.k.eficuteliiicc.b.m.adliiieam.m.f.tquialinea.b.m.e quintupla adliticain 
m.f.crit quadratum linccb.m.quintuplii ad quadratii tinecm.k.Unea aut.b.m. 






H__H_H__1 



Xllf 

eftronalis inlongirudine:crgopcr VTtimap.te.7.0cciimltuca .m.k. eftronalisiit 
potentia rm i qitiuca.b.m.e potcutio: linea.m.k.in quadrato lince ftbi incomcn 
furabtlis in lougitudinc vi in cotinno .pbabif crit linca.b.k.rcfiduii quarrii e% oif 
finirionc refiduiquarti.Q6autpjbbandualTumpfimusficpatet.fit immcrus r 
quintuplus ad numci/.f.fiiitq^.t.f.f.quaiitu.r.ac ffccfict.r.quinqj.f. vmT.r.quatu 
m:i fit iinea .b.m.porcntio: linea.m.k.in quadrato lincc.x.cii fgtf (it quadratum 
linee.b.m.ad quadratii lincc.m.k.ficut numcr 9 .r.ad nuriiejj.f.erit g cticrfa moj 
tionalirarc quadratu lincc.b.m.ad quadratu linec.jr.ficut numer 9 .r.ad numcr.r. 
quare pcr vltima ete.7.oeciim linca.x.e iiicomcnfurabilislincc.b.m.iu longirudi 
nc.no cft ergo oubiii quin.b.k.ftt reftduu quartu._3anifc(ra vcro c ejc. 34 .tcrtij: 
cp illud qo' fit cc.b.k.in.k.g.e equalc ci q6 ftt.a k.in.k.c.tdcoq^ ctia ipftT fdem clt 
eqnalequadrato.k.c.cocp.a.k.ccqualis.k.c. crgo quadrato. b.k. addito vrriqx 
ertt ejc penultima pjimi qb fit cy.b.k in (c 1 in.k.g.cquale quadrato .b.c. ct qj cjc 
pjima fecundi quoo fir c% .b.k.in fe i i.k.g.eft equalc ci qo fit ejc.b.k.in..g.b.crit 
Itnca.b.c.latus tetragontcii fupficici contcnti a ouabus linefe.g.b.t.k.b .1 quia li 
nea.g.b.croualis:linca vero.b.k.e rcfiduu quartu.s q: I.nca potensAi ftipcrficie 
linea ronali rcfiduoqj qttarto cotenta eft linca mino: vt conftat ex.sp.occimtlibu 
iieccffc eft linca.b.c.quc cft latus pcntagoni cqutlatcri .ppoftro circulo infcripti ee 
Jiiica mino:em qo crar ct piincipio oemonftrandii.boc crgo mo fcquif q lat 9 pcn 
tagom cqmlatcri circulo infcripti fit liuca minoj.fi oiamctcr drculi cui infcribatnr 
fucrit ronalis in longitndinc.at vcro fi oiamctcr circuli fucrit ronalis in porcntia 
tm.adbuc neceffe cft vt l ttus pcntagoni cqtiilatcri fibi infcripti ftt linca mioj. efto 
cni linea.a.roualis in potcntia rm fupia qua oefcribatur circulus ciqs ocfcripto \i 
fcnbaf pcntagonu3 cqutlatcrus cuius vnu latus fit. b.c. oicanfq5 pcntagonus ct 
circulus.a.oico qj linca.b.c c linea miiioj.5umatur cni aliqua linea ronalis i lon 
gitudinc quc fit.d.t fupcr ea itnectur circubs cui infcribaf pcutagonus cqutlater 9 
1 fit vnii latus ipfiuslmca.e.f oicaufqj pcntagonus 1 circulus.d.conftat igitur ejc 
bac.i2.$.c.f.cIiiieaniiuojcuoiaineter.d.fitr6ni!i3inlon;:itudiiie.Qmvcro > p/ 
pojtio pcntagoni.a.adpentagonu.d.e ftcut quadrati lincc.b.c.ad quadratum li/ 
nce.c.f.vtraq5 cni cex; I'c6a pte. 1 s.fcxti:(icut linee.b.c.ad lincj.c.f. ouplicata pcn 
tagoui aut.a.ad pentagoim .d.c ftcut qdrati.b.c.ad quadraru lincc.c.f.oiamcri i 
a .ad quadratii oiamctri.d.cx p:ima . iz.erir c?. 1 i.quinti quadratum lincc.c.b.ad 
quadratu Unce.c.f.ftcut quadratu oiamctri.a.ad quadrattl oiamctn.d. cuq^ qua 
drata oua? oiamctroj/.a. „d.finr coicantiarq: ambo fut ronalta cr yporbcfi crfit 
quoqj cxpiima ptc.io.occimi quadrata oua? Itncay.b.c.i.c.f. coicantia :crgo li/ 
nca.b.c.coicat i potctia cii liuca.c.f.f q: linca.c.f. c mino:: fcquif ct. loo.occimi- 

cp elia.b.c.fttlmeaminojqde.ppofitii.fiueergooiamctcralicuiuscirailifitra/ 
tionalt sinloii gitudiuc fiuc i potcria ttii nccclTc e vt latus pcntagoni cqutlatcri (i/ 
^biinfcripti fit linea miuo:. Ifctfopofttio .ij. 

3framide qtuoz baftu triagulariu 1 cqlatcrar ab aflictna 
tafperacirculcriptibiic fab?icareb*_rgo fpereoigme/ 
troeadlat _pfi?ptramidis ferqaltera ,ppo:tionepoten 
_ ttaliter baberc .pbaf.deit linea.a.b.oiamctcralTignarc fpcre 
quc oimdatur tu puncto.c.ita cp.a.c.fit oupla ad.b.c; linccf fupcr eam fcmicir/ 
culus.a.d,b.c pjoducatur linea.c.d.ojtbogonaliter fug Iin£a.a.b.c .pducaf linca 







LIBER 





b.d.«.d.a.pollc3fiatdrcalu8.f.g.b.fapcrccntru.c.co[usf£m(cIiamctafitcqna/ 
lis Iinee.'c.d.cui cr fc«5a quarti lib:i infcribaf triangulus equilatcrus qui fit. f.g.b. 
ad cui 9 angulos .ptrabanf a ccntro lince.c.f.e.g.e.b.odnde fup centj/.e.crigatnr 
Pm cp oocet. i2.oecimi vel vndccimi linca.ck.q ponaf equalis.a.c.ppcndicnlaris 
adfupcrficiecirculi.f.g.b.cocmittantapuncto.k.ypotbemife.k.f.k.g.k.b.crirq5 
copleta piramis quatuo: bafiu triangulariu i cqutlatera:/ qua oico effe ab alTigna 
ta fpera circufcripribilq % oico quadratum oiamctri .ppofitc fpcre fcrquialtey clTe 
ad quadratum lateris fabiicate piramidis .coftat eni er pnrna pte conclarij . s.fc/ 
jcri <j> linea.c.d.e medio loco .ppotfionalisintcr.a.c.c.c.b.quare er amcX. ir.ef/ 
dem quadratum linec.a.c.ad quadratu linee.c.d.e ficut.a.c.ad.c.b.crgo coiunctt 
quadratu.a.c.jquadratu.c.d.adcidratu.c.d.ficut.3.b.ad.b.c.idcoq5erpcnult. 
p:imiquadratu.3.d.adquadratu.d.c.ftcut.a.b.ad.b.c.cuergolinca.a.b.fittri/ 
plaad.b.c.eratent.a.c.ouplaadeacritquoqjquadratii.a.d.tripliiad qti3dratu 
d.c.e auteer .s. buiusquadratu .f.g.triplu adquadratu. cf.quarc cii erypotbcft 
d.c.fit cqualis .e.f.erit er coi fcia.s.d.cqualis.f.g.? q: cr oiffinitione linec pcrpe 
dicularis ad fuperficie linca.e.k.continct cii fingulis lincis.c. f.e.g. e.b. angulos 
rectos qua:/ quclibct e equalis lincc .c.d.% q: ipfa cade e equahs Iince.a.c .« angu 
lus.c. e rcctus :crit pcr quarta primi vnaqucq^ triii lineai/.k.f.k.g.k.b.equalis ii/ 
nce .3.d.onanifeftum cft igif fab:icatam piramide cfle quatuo: baftrl triangula/ 
riu eqlatera|2.3pfa 3ut ce circufcriptibile ab alTignata fpera ftc babcro:Itnee.e.k. 
iutelligatur adijci & m rcctirudine linea.c.l.equalis linee.c.b.vt tota k.l.fit equalis 
a.b.que e oiametcr affignate fpcrc:banc aute liuea inqua.e.l.imagincris cffc fub 
circulo.f.g.b.pcrpcndicularcm quoqj ad.ipfius fup/icicm cr prc inferio:i ficut cft 
c.k.er partc fupjori critq^ vnaqucq? triu liucay.c.f.e.g.e.b.i fimplr qlibct femidi 
ametri circuli.f.g.b.mcdio loco ,ppo:rion3!i8 intcr.k.c.c.e.l.qucadmodu e. d.c. 
inter.a.cz.c.b. nam bcc fiit cqualcs illis vnaquaq, fuc rclariuc.Si igif fup lincaj 
l.k.ocfcrlbaf fcmicircul 9 circuducarurq, quoufq, ad locu vndc moneri ccpcrat re/ 
deat crit ct oifftnitionc fpcra?z cqualiii fpcra ocfcripta motu btiius fcmicirculi cq 
lis fpcre affignate.funt cni fperc cqualcs quar funt cqualcs oiamctri qucadmo/ 
dum oe circulis in p:incipio tcrtij otctu cfcmtcirculu bunc vero necelTe cft tranfi/ 
repcrrriapuncta.f.g.b.qncfuntangulifolide piramidis fab:icare. mrautcoico 
cp fcmicirculus bic qui fug linca.k.l.fucrit ocfcripr 9 fi circuducaf quonfq^ ad looij 
redeat vndc moucri ccpar contingct ctrculii.f.g.b.fupcr omnia puncra ctrctifcrcn 
tic ipfius.Qd cr bac vctufta vcritate p:obatuv:fi Itnca rccta fupcr linea^ rccta per 
pendicularitcr ftctcrit que inter parrcs cius cui fupcrftat ucl circumftat mcdio lo/ 
co p:opo:tionalis ponatur.fucritq5 fupcr cam iincam cui pcrpcndtcularis fupflac 
femidrculus oefcript 9 circufcrcntia iplius g crrrcmttatcm linee n: tdio loco ,ppo:/ 
tionalis pofite ppendicularitcr ncceliario rraftbir.cum igitur cunctc femidiametri 
circuli.f.g.b.fint ppcdiclarcs ad linca.k.l.f mcdio loco .ppontoalcs i tcr ptcs ipi 9 
que funt.k.cs.cl.fcquif ut fcmicirculus oefcrtpt 9 fun.k.l.fi circiiducaf tranfcat p 
omnia puncta circufcrcntie.f.g.b.c per omnes folidos angulos piramidis fab:i/ 
cate.itaq^ 3 oirTmitione einsquodcftfiguram infcribi ftgurc piramis fabricara 
eft infcriptibilis illi fperc qua femicirculu3 fupcr lineam.k.I.lincat 9 inutuo fuo oe/ 
cribit:7quia bccfpcra ocfcriptacftalTiguatc fpcrcequalispoiffinirionecqualui 
fpcrayfcquif ercoifcientia vtbccpiramisfab:icatafit3b sflignats fpera circii/ 



■MHi 



XIII 



fcriptibtlfs q5 cft .ppofitu.roKdariu aut p? fic.fum cnij.a.b.fit tripla ad.b. c.% 
cucrfam p:opo:tio<ialitatc crit.a.b.fcxquialrera ad.a .c.idcoq3 cx fcoa gte co::cla 
rif.s.fc)cti^co:idario.ir.ctufde quadratulince.a.b.criretia fcjrquialrc^ adqua/ 
draru lince.a.d.-r qUiuca.a.d.cequalislarcri fab:icatepiraiiitdis.at vero.a.b.cft 
oiamcter fpcrcconftat vc^ ec qt> pcr co::clartu oicif .llc aut qucq*5 oc vctufta ve/ 
rttatc p:opoftta bcfitarc cotingat ca volum 9 boc mo oemoftratiouc ftrmare.Stt 
igif fup linca .a.b.lmea.c.d. ppcndtcularis q ponaf mcdio loco ppo:tionaIis m/ 
tcrp_tcslinee.3.b.qucfmr.a.c.c.c.b.itacpp:opo5tio.a.c.ad.c.d.ficur.c.d.ad.c.b 
£t fuper Ituca.a.b.ocfcrtbaf femicirculus.a.c.b.oico q> buius fcmicircult circufc/ 
rcnria traufibft pcr punctu.d.qm e extremitas ppendicularis.Smaurc aut fccabit 
linca.c.d.aut fuptranftbir ca tota ipfa trafiens 1 includens i nor, conringcns. fc/ 
cct crgo p2imo ca in puncto.c.t oucanf lincccb.c.ca:crirq; cxp:ima gtc.30.ter 
tij rotalis angulas.a.cb.rcctus.iraq; cxpjima gte co::d'.8.fexti ,ppo:tio eft.a.c. 
ad.c.e.fuut.c.c.ad.c.b.at vcro cx fccunda pte.s.quinti ^ppotfio.a.c.ad.c.e.c ma 
to: q5.a.c.ad.c.d.co cp.c.c.e minoj.qj.c.d.cii igif fit.c.cad.c.b.ficut.a.c.ad.c.e 
e.c.d.ad.c.b.ficut.a.c.ad.c.d.crit pcr. u.qutnti.cc.ad.c.b.maio: %»c. d. ad.c. 
b.idcocp per p:ima ptc. 1 o.quinti.cc.e maio: q^.d.c.ps vidclicct q'5 fuii toru^ c\6 
cft impoflibile.Tlo ergo fccabit circuferentia fcmicirculi Imea.c.d.GSup tranfeat 
igif z ^pducaf.c.d.vfq^ ad circufcrentia:fitq5 tota.c.c? p:otrabanf lincc.e, b.t.e 
a.fcquefq5 ut p:i 9 [inca.c.d.clTe maio:e q'5 ftt linca.c.cqo cft etia impoffibilcrcon 
ftat crgo .ppofitu.Siu- aut oicimus q> fi fucrit aliquis angul 9 rcctus cui bafis fub 
tcndaf fug qua fcmtcirailus linecf :ipfius circufcrcntia p angulu rcctiT tranftrc ne/ 
ceffe e.conucrfa vcro buius pponit p:ima p_s. 30.tcrtij.06 atit oicimus ftc conftat 
CSit cni anguf.a .b.c .rcctus cni fubtciidaf bafis.a.c; fup ea liiiccf fcmicircul 9 
eico cp ipftus circiifercntia tranfibit p punctu.b.in quo cocunt liucc contincntcs 
Bngulu rcctu ctiius ecmonftratio e cp neq^ tranfibit fup:a ncqi infra.fin autc rra/ 
feat:pmo ifra fitqj.a.c.c.-c ab angnlo.b.p:oducaf linea.b.d.pcrpcdicularis ad ba 
fim.a.c.que fccct circtifcrcntia femicirculi in puncro.c? p:otrabanf linccca.c.c 
c.eritq^ angul js.a.e.c.rcctus eje p:ima ptc.jo.tcrtij .at ipfe c maio: angulo. a.b.c 
per.21 .p:iini boc autc c impoilibile cx tertia pctitionc cu vtcrq, fit rcctus .bic qui 
de cx fpotbcfiullc vcro cx p:ima partc. 3 o.tcrtij .115 .ergo trafibit circiifcrcntia fc 
micirculi infra angulu.b.tranfcat itaq; (up:a 1 fit.a.f. c.,pducatur autc ppendicu 
laris .d.b .quoufq^ obuiet circufcrentie fcmicirculi.a.f.c.i puncto.f. 1 p:oducanf 
lince.f.a.f.c.critq5exp:imapane.3o.tcrtiiangulus.a.f.c.rcctus.cuq5etiaectc): 
ypotbcfi angulus.a.b.c.rectus fcquif impofiibilc pcr.2i.p:imi ficut in p:incipio. 
rclinquif crgo qt> oijrimus.boc arlt nccclTartii cft ad cognitionc co 2/ quc fequiitnr. 
Tfb:opqfitio .14. 
"36 alTignata fpera ctrcufcriptibUcni cubum conflttucre 
jeiulclemautcmfpere oiamctrum lateri ipft^cubipotcn/ 
1 tialiter trtplicem efle manifeftum crit. 
| Gafftgnate fperc oiamctrum ftt.a.b.fupcr qua lincctur fcmicircu/ 
j lus.a.d.b.oiuidaturq50iametcripuiKto.c.p:o:fus fccundumcon 
dtrionemp:emilTc Viddicctutlinca.a.t.fit oupla ad lineam .c. b. 1 p:oducatur 
c.d.pcrpcndicularisad.a.b.-tpwtrabantur.d.b.c.d.a.pofteafiatvnuqdratum 
cuius oia latera fiut equalia linccb.d.fitqj.e f.g.b.fup. cui 9 qruo: anglos criganf 








V 




f 


\ 


n n. 




\ 






LIBER 

it docet. 12. vndcdmi quatuoi lincc ppcdiculares ad fupficie ipfi 9 qdrati qy qiib^ 
poiiaturctiacqnaliJlincc.b.d.fintqj.ck.f.l.g.tn.b.n.cruntqjbcc quatuoigpcn 
dicularcs fiugulc fingulis cquidtftaittes cr fcxta vndecimi:? anguli quos cotincnt 
cii lateribus qnadrati rccti c% oiffiuitioiic lince ppedicularis ad fugfkic-.ocinde co 
iunganf extrcmttates iftay ppcndiculanu ptraccis lincis.k.l.l.m.m.n.n.k.critqj 
coplct 9 cub 9 ferfugficicb a qdrati8 c6tcimis.c6ltatemey.34.p^icpcituo:fupcr/ 
fidesipfumombieutcssip:efuntqua:poppofitalatcra funt quatuo: pcrpcndi/ 
culares fint omnes quadrate:oc bafi autc boc pofttu cft.at vcro oc fuppicma ei 9 
fitgficic qnc c.k.l.m.n.cp ipfa quoqj fit quadrata. coftat cx. 34-p:imi f. 10. vndeci 
mi.ideoqj cx quarta vndccimi manifcftu e fingula latcra ciufdc cubi ouab° ipfius 
oppofitis fuperficiebus o:tbogonaliter inliftcre.ZSc autc cubu bunc ab aflignata 
fpcra circufcriptibilcm ce oemonftrcmusau vna fuay fupficie^ ptrabaf oiagona 
lis.verbigratiainbaficiusfitqj.c.g.T.a.b.buius oiagonalis altcra extremirare 
;ptrabatur oiametcr cubi.c.m.eritq-, et pcnultima p:imi quadratu. c.g. ouplii ad 
quadratu .f.g.idcoq, i ad quadratii.g.m.eo cp.g.m.eequalis.f.g. fiit cni omnia 
latera cubi adiruice cqualia.c q: rurfus ty. penultima p:imi quadratu.e.m.c cqua 
lc quadrati3 ouay lineay.c.g.s.g.m.pprcr boc cp angulus.c.g.m.c rectus cx oif 
finitione lince pcrpcndicularis ad fuperficie:crit quadtatii.e.m. triplum ad qua/ 
dratu.m.g. conftat cni cx ouplo i fimplo.cunqs c% feciida £te co::cf .s. fexti i cc 
co::et\ir.dufdcqdratuquoq5.a.b.fittripliiadquadratu.b.d.coc|)Imca.a.b.tri 
pla e ad linca .b.c.fit autc.b.d.cqualis.g.fcquitur cy. coi fcia ut.e.m.q c oiamctcr 
cubi fit cqualis.a.b.quc e oiamcter fpcrc.itaq^ fi fup.c.m.liucef fcmicirc ulus cir/ 
cumducatqj quoufqj ad locu vnde fuit initiii motus rcdcat fpera ocfcripta :crit c% 
oiffinitione fpcra^ cqualiii cqualis fperc afiignarc.at vcro q: bic femicirculus tra 
fitu facict g punctii .g.eo cp angulus.c.g.m.c rect 9 eadeq^ ronc p ceteros finglos 
rectos angulos cubi qo cx autcccdcntc ante bac. 14- imediare pmiflb mamfcftfj e 
conftat coftitutii cubfi ab aiTiguata fpcra co q> a fua cquali circufcriptibilc clTc qo' 
ocmonftrare opo:tebat.co::ciarij vcro oemoftratio iu ifh" ocmoltratiois pccfta 

jlprcparuit. Ijbzopoiitio .if. 

I i02pus octo bafiu masulariu 1 cquilatcraru a fpcra ,p/ 
poftta circulcriptibilec6ponerc:critq5palactafde5lbere 
oiametjz latcri ipiiue co:pis oupliccm cfie potcntialttcr. 

IjGDiamctcr fpcre ppofttc fit.a.b.quc oiuidat g cqustha i puncto.c. 
« fug ea liticct fcmicirculus.a.d.b.t pducaf.c.d.gpendicularis.ad.a.b.s iungaf 
punct 9 .d.cu,a.? cu.b.ocfcribatqj vnu quadratu cuius fingula latera fint cqualia 
lince.b.d.fitqj quadratu.boc.e.f.g.b.in quo .ptrabanf oiamctri oue. c.g.c. f.b. 
fccantes fc inuicc itt punc to.k.pftat igif cx .^.piimi q> vtraq, iftay oiamctroy fit 
equalis linee.a.b .que c oiamcter fpcre cfi augulus .d.ftt rectus cx pma ptc.50.tcr 
tij 1 finguli quoq5 anguli.e.f.g.b.recti c% oione qdrati:?ftat rurlus cp c c dcin oue 
oiamctri.e.g.f.f.b.oiuidut fe innice p cqualia in puncto k.boc autc cx. ? .p:imi z 
;z.i fcyta dufde factle c elicere.crigaf uaq^ fup pnnctu.k.liuea.k.i.ppcndicularis 
ad fugficie qdrati q ponaf cqlis medictate oiamctri.e.g.l.f.b.i oemittaf ypotbe 
mtfe l.e.l.f.I.g.l.b. autq3 e% bis q poftta funt 1 pcnut pmi quoties opoituctit re/ 
pctita fingnle ba^ ypotbemifa^ cqlcs fibi inuice et equalcs laterib 9 qdrari. babes 
crgo piramidc quatuo: equilatera^ triangulariumq^ bafm fut> quadratu pftitnta. 




xin 



binc itaq^ fub ipfo quadrato fimile piramide boc mo appone linea.I. k.p:oducas 
gforaudo quadratum vfq; ad.m.ita cp.km.ejcfis fub quadrato fit cqualis .l.k. 
ejciftcnti fup:a:z ionge puuctu.m.cu fingults angulis cjdrati pdaccndo.4 .alias 
ypotbemifas quc funt.m.c.m.f.m.g.m.b.oequtbus quoq^ manifeftu c cc pcuuf. 
piimuqucadmodii oe alijs que funt ir» fugiou ptc q> ipfc fmt cquales ad iuuicc ct 
latcribus quadrati.£6pleuim 9 igitur co2pus.4.bafiu triaugulariit i equilaterani 
boc aut ab alfignata fpcra circufcriptttc ec fic babcto. coftat cni q> linca. I. m.cft 
cqualis oiamctro affignate fpcrema vtraq^ ea?2 c cqualis oiamctro quadrati.igit 
fi fuo.l.m.linecf femicircul 9 qui circuuoluaf quoufqj ad iocti fuu rcdeat:fpera qua 
motu fuo ocfcribet crit equalis aflignatc fperc vt c% oiffinitionc fpcra^ equalium 
colligif.bic vero femicirculus rranfibir g qnatuo: angulos quadrati i fimpfr p. oia 
puncta circufcrciuic circuli circufcribentis quadratutco q> femidiameter quadrati 
vtlinca.f.k.cpojtioncslince.l.m.quefunt.l.k.t.k.m.funtadinuiceequalcs. qre 
c% oiffinitione cius qo e figura vna alij ftgure infcnbi fabricatu cotpus infcriptibi 
le e fpere motu buius femicitculi ocfcripte.ita 35 % fpere alTignate cjc cocept.cu ipfe 
fiut adinuice equalcs c% oiff initionc.£o::el'.vero manifefte coftat:funt eni oue li/ 
nee d.b.«.d.a.equalesejc.4.p2imi:idcoq5quadratum.a.b.ouplu eft adquadra/ 
tum.b.d.ej: penuT.p:imi:latus auc fab:icati co2po2is e cquale liucc.b.d. vcruj e(l 
er goco22elari um. ^JOpofitio .\e. 

^j/£>2pu8Vtgmti bafiu triaiigulariu atq^cquilateray aoa/ 
ta fpera tuametru ronale babete circutcriptibiie fabaica/ 
re.erttq5palaIat^eiul'deco:po2i6ee linea irrationalem 
eam fc^que OiciturminoJ.GSitbicquoq^ oiamctcrafTignate 
fpcrc.a.b.q ponaf ce ronalis fiuc in longitudinc fiuc 111 potcntia tin 
* oiuidaf iu puncto.c.ita cp.a.c.fit quadrupla ad.c.b. clinecf fuper ca femicircu/ 
lus.a.d.b.^ducaf.c.d.ppendicularisad.a. b.c^prrabaf liuca.d.b. ocindeftn 
quantitatclincc.d.b.linccfcirculus.c.f.g.b.k.fupiaccntru.I.cui infcribafpeuta/ 
gonus equilatcrus cifde litteris anitotatus:ad cuiits angulos a cctro .1. oucanf li/ 
nce.l.e.l.f.l.g.l.b.l.k.rurfusiucodcmcirculoinfcribafoecagon 9 cqutlatcr 9 :oiui/ 
danf eni cuucti arcus quo^ cbo^de funt Urcra pcragoni p cquatta t a punctts me/ 
dijs ad extremitates cunctoy latey infcripti pcntagoni lincc rcctc oiriganf. itcqj 
fupcrfingulosangulospentagonicrigaturcatbcc 9 fm q> oocct.u.vndccimiquo 
rum quitibct ftt ctia cqualis linee.b.d.? cotiuucttf cj:trcmiratcs bos quinq^ catbc 
cos quinq5 C02auftis.crutq5 qc.s. vndccimi quinqj catbcci erccti adinuice equidt/ 
ftantes:cttq5 ipft fint eqlcs erut quoq^ c%. 3 3 .p2imi quinq^ co:anfti C02; extrcmtt» 
tcs iugcntes cqtcs latcrib 9 pentagoni.ocmitte igitur a fummitatibus fingulis fin / 
gulos catbccoe binas 1 binas ypotbemifas ad ouos circitftantcs angulos ifcnpti 
oecagoni z ba?2 occe ypotbemifas a quinq^ cjtrcmitatibus catbecos ad . j . pucta 
qne funt finguli anguli medij infcripti occagoni oefcenden; iii extrcmitates ptinua 
aliit pcntagonum rurfus ipfi circulo infcribcndo qui quoq^ crit equilaterus cjc.ij. 
tcrtij :cu boc ttaq^ feceris Vidcbjs te gfcciffc oece triaugulos quos latera funt occe 
ypotbemife 1 qutnq^ co;aufti ?.? -latera b 9 f«5i pcntagoni infcripti.foos ergo occe 
triangulos cqlatcros ee fic collige.ciT cni ta femidiametcr oefcripti circuh q, qlibct 
ercct02um catbcco:um fit equalis lince.b.d.ev fpotbefixrit cc co:2clario. 1 y .quarti 
quilibct catbeco:um equalis lateri cxagoni equilateri circulo cuius femidiametcr: 





LIBER 




cft cqoalis liiicc.b.d.infcripti.quia vcro ct pcnmYpjimi waqqj; to.ypotbemifajz 
tanto cft potentio: catbcco quaru pot latus oecagoni. at vero et. to.buius latus 
quoq^ pcntbagoni e tanto potentius eodc quatu pot ide latus oecagoni.erit ct co 
mtmifcicntia vnaqq5ba2zypotbcmifa£ cqualislateri pentagoni. Dccojauftis 
ailt iam patuit q> ipfi fint equalcs latcribus pentagoni.itaq^ cuncta latcra bo:um 
txce trianguloy aut funt latcra pentagoni equilatcri fcoa vtcc circulo infcripti aut 
illis cqualia funt igif cquilatcri trianguli.ampli 9 aut fug ccnty circuli qb e punctu 
l.erige aliu catbccti equate" p jio:ib 9 qui fit.l.m.eiufqj fup.io:e ertrcmitate quc e pfi 
ctus.m.iuge cu fingulis ettrcmitatib p:ioj2 p quinq^ co:auftos critqj et fetta vn 
dccimi bic ccntralis catbccus fingulis catbccozz angulariu equidiftans:i6q5 et. 3 j 
p:imi bi quinq, co:aufti erunt femidiametro circuli equalcs 1 et co::eL 1 j.quani 
qnilibct coj: taqua latus etagoni.ccntrali crgo catbeco er vtraq, gte adijciatur lt/ 
nca vna equalislateri occagoni:fup23 quidcadijciaf ci.m.n.oeo:fum atlt fnb cir/ 
culoadijriaffibiacciurocirculi.l.p.pofteaoemittanf apuncto.n.f.yporbcmtfe 
ad. j.fupcriojes angulos oece triauguloy qui funt iu circuitu.? a puncto.p.alic. S 
ad alios quinqj inferiojes crontq5 bce oece ypotbemifc equales adinnice laterib 
infcripti pentagoni er pcnul'.p:imi %, lo.buius qucadmodo oe alijs occe pji 9 oe' 
monftratu cft.babes ergo coipus.io.bafwm triangularium atq^ equilatera^ cui' 
cuncta latcra funt cqualia lateribus pentagoni.eins vero oiamctcr eft linca. n.p. 
bor aot.zo.triangolozj oece cofiftont m circnito fop:a circulu.quinq, aur cofur/ 
gunt furfom ad ponctom.n.cocurrentes.at qumq^ reliqoi oeo:font emcrgunt fiig 
punctfi .p.cocuntes.boc aute ycoccdrii co:pns a oata fpera circufcripttbile cc fic 
crit manifcftumrcti linea.I.m.fit equalis lateri cragoni e.m.n.latci i oecagoni cqui 
laterojz quos circnlus.c.f.g.circufcribit tota l.n.crit ct nona pjcfcntis lib:i oiuifa 
ftn .ppojtionem .b.m.e.d.cttra in puncto.m. <i maio: poitio eius erit linea.l.m. 
Diuidaturitaq^.l.m.pcrcqliain.q.critq^etcomunifcia.p.q.eqlis.q.n.na.p.l. 
pofita e equalis latcri occagoni queadmodti. m.it. quarc.q.n.e medictas.n.p.que 
admoduc.q.m.mcdictas.m.l.cocrgoqoadrato.n.q.fitcx.J.bui 9 quiiuuplu5ad 
quadratum.q.m.critqnoq^ ct.i j.quinti quadratii.p.n.quintiipUi adquadratum 
I.m.cft eni etquarta fcoi quadratum.p.m.quadruplu ad quadratfi.q.n.quadra/ 
tu qnoq^.l.m.qiiadruplu ad quadratuq.m.ct eadciquadruplu aute ad quadru/ 
plo e vt fimplum ad fimplii tefte. 1 j.quinti.at vcro quadratti.a.b.quintuplum eft 
ad qdratu.b.d.cr fctia pteco::cf .S. ferri:* et co::d. 17. ciufdr.c ctia.a.b.qumcn/ 
pla ad.b.c.eo q>.a .c.fuit ad cande quadrupla:q: crgo .1. m.e er ypotbcfi equalis 
b.d.crit et coi fcia.a.b.equalis.n.p.itaq^ fi wpjincam.n.p.fcmicirculus oefcnba 
tor qoi tandio q> loco p:imum rcpctat ctrcuuoluaf fpcra ipft 9 motu oefcripta erit 
a oiffinitioue fpcrarum equaliu cqualis fpcrc .ppofitc? qm lioca.l.m.c mcdio lo 
co ,ppo:tionalis inter.l.n.c.n.m.idcoq^ intcr.l.n.i.p.l.erit quoq, quelibet femi/ 
diamctcrcirculimcdioIoco r ppo:tionalistntcr.l.n.«.l.p.zcu.l.m. fit equalisfe/ 
midiamctro circuli.iraq^ femicirctilus fup.p.n.ocfctiptus tranfibit g oia pocta rir 
cuferentie cfrculi.e.f.g.ideoq^ 1 pet fingulos angulos folidi fab:icati in illa circo/ 
fcrentia cofiftcnrcs:? q: eade rone finguli co:at;fti cotinuantcs cxtrcmitates an/ 
gularinm catbcco^2:co cxtremitate ccntralis funt medio loco ,ppo-.tionalc8 intcr 
p.m.T.m.n.co cp qoittbct eoy c cqualis.l.m.fequif ut ide fcmicirculus trafcat ctiii 
pcr reliquos angulos figure ycoccdrc ftatutc .e igitur co:pus boc ifcrip tibilc fperc 



' 




XIII 

cuins Oiamctcr.p.n .idcoq^ « fperc cuius oismetcr.a.b.latus aut buius folidc fi/ 
gure oico cfic linca miuo:c.c6frat cni cp linca. b.d .e ronaiis in potcntia cu cius 
quadratu fit fubquincuplu ad quadratu lince.a.b.que poura e ronalis fiuc in lon 
gitudinc fiuc m potcntia triiataqj femidiamctcr atqj fcmidiamctri circuli.e. f.g.e 
ctia ronalis in porcntia.nam cius femidiamctcr c cqualis.b.d. igit ejc.u.buflat 9 
peragoni eqmlatcri buic circulo ifcripti e linea mino:.at vcro ficut i buius oemon 
ftrattonis pjocdTu patuit !3tus buius figurc cft quantu latus pentagoni:ergo la/ 
tus buius figure.2o.alcbaidaf e linca mino: qucadmodum p:oponitur. 
1£>JOpofttiO .17. 

/©Jpus buodecim baliiim pentagonoy equilatcra^atqj 
equtagulariu ab alfignata fpera circulcriptibile cottitue 
re.eritqj palalat 9 eiufc!e cojpojisirrationaleefle.idqb 
reliduu Oicit.C^iat cubus f>m cp oocct. i4.buius circufcripribile 
_ ab alTignata fpera:litq5 buius cubi ouc fuperficics.a.b.i.a.c.ima/ 
ginemur aut nunc cp.a.b.fit fup:cma fupcrficiescubi ■z.a.c. fit vna ejc Iatenb 9 .fit 
cj5 linca.a.d.comums iftis ouabus fupcrficicbus.oiuidanf itaqj in fuperficic.a.b 
ouo oppofita latera g equalia videlicct.d.b.c latus ci oppofitu:? puncta oiuifio/ 
nis cotinucnt p. linca.c.f.latus quoq^.a.d.s iflud q6 fibi opponit in fupficie.a.c. 
oiuidant per cqualia z pnncts oiuifiouis ptmuenf linca recta cuius mcdietas fit 
g.b.fitq3punccus.b.mediu8punct 9 ltnec.a.d.fiiniliterlinca.c.f.oiuidafpcqu8/ 
lia in .k.z p:otrabat.b.k.quaTibet igit triij liiieay.e.k.k.f.s.g.b.oimde $m p:o/ 
pouione.ba.mc.^.ou.cxt.in trib 9 puctis.l.m.q.fintq5 maiojcs pouiones ea;z.l. 
k.k.m.-z.g.q.quas manifeftu e cc eqles c_ totc lince oiuifc fiut cquales videl^ que 
libct ca? medietati lateris cubi.ocindc a ouobus puuctis.U.m.erigc pcrpcndicu 
larcs vc oocct. u.vndecimi ad furjficie.a.b.qua? vcraq^ ponas equalc hnee .k.l. 
lintq^.l.ij.^.m.p.fimiliterapuncto.q.erigepcrpcudicularitcr.q.r.adfupcrficiej 
a.c.quaponaseqle.g.q.^ptrabeitaq^lincas.a.l.a.n.a.m.a.p.d.m.d.p.d.l.d.n 
a.r.a.q.d.r.d.q.Dttanlfeftu eft igitur ej: qumta buius cp oue Tmcc.k.e.s.c. I.po/ 
tentialitcr funt tnplu ad linea.k.l.ideoqj etia ad linea.l.n.ai.k.U.I. n.fint eqlcs 
aivcro.lv.c.ccqualis.e.a.igitouclincc.a.CT.e.l.fuiitpotcntiatripluadlinca.l. 
u.quare e* pcuut.pjimi.a.l.e potcntia tripla ad.l. n.idcoqj pcr candc.a. n.epo/ 
tcntiaquadruplaad.l.n.Xuq^oislincafit potcntia quadruplaad mcdictatcfui 
fcquif c% coi fcia cp.a.n.fit oupla in longitudinc ad.I.n. i q:.l.m.oup!a cft ad.l.k 
at.k.U.l.n.funt equalcs:erit.a.n.equalis.l.m.funt cni cay oimidia cqualia .£ t 
qjcx.^.p:imi.l.m.ccquaIis.n.p.erit.a.n.cqualis.n.p.eodcmodo l pbabi3 tres 
imcas.p.d.d.r.c.r.a.clTe cqualcs hbi inuice z ouabus pjcdictis .babem 9 itaq5 qc 
l.iis quiijq^ lincis pentagonij equilatcjj qui e.a.n.p.d.r.fcd fojtaffc oiccs tpfu no 
efie pcntsgonu qj no ncc fo:fan e totus in fupficie vna.qb ciTet uccclTarm ad boc 
vt clTct pcutagonus .Qt> ergo fit tot 9 in fupficie vna fic babeto:p:odeat cquide5 a 
puncto.k.linea.k.f.perpcudicularisadfupficie.a.b.quefit equalis. l.k. eritcfl ob 
boc cquahs vtriqj ouay.l.n.T.m.p.cuq^ ipfa fit cqmdiftas vtriq^ cay cx fejcta vn 
dccimi: idcoq, cu ambsb 9 in eadc fupficic ejc oioue linea?: equidiftantiu necclTc e 
vt punct 9 .f.fit in liuea.n.p.c q> oiuidatea p equalia:,ptrabanf igif oue linee.r.b. 
z.b.f .funt itaq5 ouo trianguli.k.f.b.s.q.r.b.fug ^nu angulu Videlicct.k.b.q.co/ 
lfitutifep:opo:tio.k.b.ad.q.r.ficut.k.f.ad.q.b.uavt.g.b.ad.q.r.fic.k.b.3d.q 

ci 




LIBER 




r.ejCTvAututfe vt .r.q.ad.q.b.fK.k.f.ad.q.b.ejfcade.fcd.g.b.ad.q.r. vt.q.r.ad 
q.b.eoq'.q.r.cltcquali8.g.q.crgoE.5o.fe)ctiliuca.r.b.f.clincaviia.£)uarecj:fe 
ciida vudccimi tot" pcntagonus oc quo oifputam" c in fugftcic Vna. 3pfu quoq> 
oico(^cequiaugulu.cucni.c.ls.fitoiuifaf'm ( ppo:tionebabcntcmediuouoq5ejc 
trctna T.k.tn.fit cqualis maio:i po:tioni cius:crit quoq^ c;c.4.pnti3 tota.c.m. oi 
oifa frn .ppo^ione babcnte mcditi ouoq, e#rema:maio: quoq, po:tio cius linca 
c.k.ioq^per.f.ouelincc.e.m.c.m.b.ioqjoue.c.m.i.m.p.na.m.p.ceqiialis.m. 
k.futpotctiatripluadlitiea.c.k.ioq^tadlinca.a.e.na.a.c.eeqlis.e.k.itaq^trcs 
lince.a.c-c.m.c.m.p.funtpotcntiaquadrupluadlincj.a. e.£onftataute'pcrpe 
nulttmaprimi bis affumpta cj> linca.a. p.c potcntia cqualis tribus lineis.a.e.c .e. 
m.-l.m.p.itaq^.a.p.cpotentiaquadruplaadlinea.a.c.latusv-crocubicufitoo/ 
plfiadlitiea.a.c.eftporcntiaquoq^quadruplu adipfaet .4.fc6i:igif ej: coifcicn/ 
tia.a.p.eft lateri cubi cqua!is.£iiq5.a.d.fit vnii c% latenbus cubi erit. a.p. cqua/ 
lis.a.d.ideoqj cjc.s. p:imi angulus.a.r.d.c cqtialis augulo.a.n.p.£odc modo ,p/ 
babis angulii.d.n.p.cffe cquale angulo.d.r.a.q: .pbabis liuca.d.n.cffe potcntia 
liter quadrup!ii ad mcdictate latcris cubi.cu igif ejc bis pcntagonus fit cqutlatcr 9 
tlbabcat trcs angulos cqualcs ipfc erit cquiangnlus c% fepttma ptitis lib:i. 6i ita 
q> bac via roncq^ cofiti z fup. vniiqoq^ rcliquo? latcy cubi pcntagonu equilatcruj 
cequi3nguliifab:iccmuspficietfolidu . ii.fup.ficicbuspentagoniscquilateris ct 
cquiangnlis conrcntu .cub 9 eni babet. 12. latera. Keltquti aut e ocmonftrarc fclidu 
boc cflc a oata fpera circufcriptibilc:,ptrabanf igif a linca.f.k.oue fupficics fecau 
tcs cubu qua? vna fecct ipfii fupcr linea.b.k.c alia fug linea.c.f.entq, ex.40.vn/ 
daimi vt cois fcctio bay oua^ fnpficie? fecet oiamety cubi 1 fccetur viceucrfa ab 
jpfa oiametro pcr equalia.fit crgo cois fectio cay vfq^ ad oiametrii cubi linca.k.o 
ita cp.o.fit ccnttu cubi z oucanf linec.o.a.o.n.o.p.o.d.o.r. conftat aut cp vtraq^ 
ouaylineay.o.a.c.o.d.eftfcmidiametcrcubi.idcoq^cquales.d.c.linca.aute.o.k 
coftat cx.4o.vndccimi <$ ipfa e equalis.e.k.vidcltcer mcdietati latcris cubi. £t q: 
k.f.eft equalis.k.m.crit.o.f.oiuifa in puncto.k.fm p:opo:tionc babcnte mcdifi 
otioq, cjctrcnta z maio: po:tio cferit linca.o.k.q e cqltf.c.k.itaq; p . j.b q criit buc 
lincc.o.f.t.f.k.ioq^.o.f.c.f.p.cocp .f.p. adquosbccocmfatioii evrcdif.ecqlis 
k.f.triplii i potctia ad linca.o.k .z 16 ad medietatclatcri3 cnbi qrcp pcnul.pmi. 
linea.o.p.e potetia tripla ad medictate latcriscubi.£r co::cl'.aiic. i4.b" coftat cp 
fcmidiamctcr fpere tripla eft in potentia ad mcdietate latcris cubi qucm ctrcufcri 
bit cadcm fpcra.itaq5.o.p.eft quanta femidiameter fpcrc circumfcribcntis cubu^ 
p:opofitum.£adcm rationc cnuctc linee oucte a puucto.o. ad angulos fingulos 
pentagonorum omnium fupcrlatcra cubi oefcripromm adfingulos angulos 
inq5 qui p:op:ij funt pcntagonis 116 aut cocs cis z fupficiebus cubi fc^ p:op:ij q/ 
lesfuntinpcntagonoftatutotrcsanguli.np.r.oeillis aut lineis qucveniuura 
puncto.o.ad angulos fingulos pcntagonoy qni funt cocs pentagonis z fupficic/ 
bus cubi qualcs funt in pentagouo piiti ouo anguli.a.s.d.coftat cp ipfc fut cqua/ 
lcs femidiamciro fpere circufcribeutis cubutipfc eni fuut oiametri cubi ex.40.vn/ 
dccimi.at vcro femidiameter cubi c tanq^ fcmidiamctcr fpcrc ipfu circufcribcntis 
qucadmodii e% tocinationc. i4.apparcr igif oes lincc ouctc a puncto.o.ad fmgu/ 
los angulos ouodcccdri funt equales adinuicc z fcmidiamctro fpcrc fcmicirculus 
itaq3 fupcr rota oiamctrfi fpcrc vel cnbi lincatus.fi circiiducaf trafibit pcr omncs 



HHH 



XIII 

ggulos cl 9 quare p. oirrmitione ipfii cft ab afTignata fpera circufcripribilc.oico irc? 
q> latus buius figurc c linca irroualis ifta videlicet que rcfiduu oicitur fi oiamctcr 
fperc ipfu circufcribentis fuerit ronatis in longitudine vcl to potcntia. cu cni oia/ 
metcr fpere fit ejc. 1 4-buius tripla in potcntia ad latus cubi erit latus cubi rariona 
le in potentia fi oiametcr fpere fuerit ronalis in longitndine vcl in potentia. £or» 
ftat autem c%. i i.q> linca. r.p.oiuidit lineam.a .d.que cft latus cubi f?m p:opoj/ 
ttone babente mcdiu ouoq> extrema % ep pouio ei 9 maio2 cqualis cft latcri pcnta/ 
goni * qj maioj poJtio ci 9 e refiduii cc fcjcra buius manifcftu cft latus figure ouo 
cedron effe rcfidun q6 oemoftrare voluimus. §ab:icata ftit igitur p. i j .z quatuoj 
eam feqnentes quinq, co:po:a equilatcra atq, cquiangula quo? vnuq6q5 « circu/ 
fcriptibilc ab affignata fpera.Sunt aiit bcc folida :p:imu qutdc qtuo: bafiu tria/ 
gularinm:? oicitur tctracedron.Secudu cft k% bafiii quadrata? z oicitur cnbus (i 
ue qcacedron.Iertiu octo bafiii triangulariu:? oicir octocedron.Ouartu autem e 
folidu ycocedron z eft viginti bafium triangularifi..Quinrii vcro e%. 1 2.bafib 9 peij 
tagonisc6fiftit:oiciturq5 ouodcccdron.bec autequinqj folida regularia oicuntur 
qmipfaeqagula fut atqj cqlatcra z a fpcra atqjabinuicecircufcriptibilia.plura 
vero bis quiq^ cqlatera qfirttc eqagula elTc c impofTibile. 2Id coftitutione" cuMi 
bct anguli folidi neccffe cft ad minus tres fujrficiales angnlos cocurrcre. £jc ouo/ 
bus eni foli3 fuperficialibus ncquit folidus augulus coplcri:q: ergo trcs anguli ca 
iuflibct cyagoni equilateri z cquianguli funt equales qtuo: angulis rcctis.at vcro 
eptagoni z cuiuflibct pluriii late? figure equilatere atqj cquiangulc tres anguli fut 
maiojes quatuo: angulis rcctis queadmodii ej:. j i.p:imi euidenter clicit: omnis 
autc" angulus folidus quatuo: reccis angulis mino: e" tcftc.z i .vndecimi impoffibi 
Icefttrcs angulos exagoniatq^eptagonuffimpliciter omnisplurilatcrefigure 
cquilatcre tame arqj equiangulc folidu angulum conftitucre.io nulla folida figura 
equilatera atqj equiangula pot ex fugf.cicbus exagonalibus aut pluriu latqz con/ 
ftitui.Si eui tres anguli ejcagoni equilateri atq^ cquiauguli quemq^ folidu angu/ 
. lum ejccedtit quatu02 % plurcs multo fo:tius cunde cj:ccdtit:trc3 aiit angulos per» 
tagoni equilatert atqj equianguli minojes effc quatuo: rectis angulis.manifcftfi 
e i quatuo: ec maio:es:quare ejc tribus angulis pentagoni cquilateri atq; equian 
guli polTibilc eft folidu anguln conftitui.ej: quatuo: aute aut cc pluribus impoffi / 
bile.idcoqj vnfi ountajat folidum ex pcntagonis equilateris atq^ cquiangulisc5 
ftitutii eft illud Videlicet q6 ouodccedron oictt tn quo anguli pentagonoj; tcrni et 
terni folidos angulos pficiunt.£adem quoqj cft ro in quadrtlatcris figuris cqui/ 
latcris « equiangulis quc in pentagonis:ois enim quadrilatera ftgura fi equilatc/ 
ra equiangulaqj fuerit ipfa crit qdrata a oifTmitione.Tla omncs ci 9 anguli erunt 
recti per. 52.p:imi.£jc tribus igit angulis talis fuperficialis figurc poffibile cft foli 
dum angulum coftituitej: quatuoj aiit aut ej: plurib 9 impofftbile eftr^ptcr qo' ejc 
talib figufis fuperficialib 9 que ctl drilatcrc ipfc fut eqlatere atq5 cquiangule vnicS 
folidii q6 cubfi oicimus:fabjicatfi e triangulo? aiit equilatcro2; fej: anguli fut eq/ 
Icsquatuoj rcctiscx- 32-p:imi:paucio:e3ergo mino:es«plurcsmaio:cs:igttej: 
fc)c augulis taliu trigono:; aut c-t pluribus impoffibile e angulum fdidum fieriiei: 
quinq5 ct ej; quatuoj i c% tribus polTibile.£um itaq^ tres anguli trigoni cquilate/ 
f i efficinnt angulum folidu^iperficitnr cj; f riangulis eqlatcris cojpus quatuo: ba/ 
fium triangularium atq^ equtlatcrum.£um vcro quatuoj confurgunt co:pus octo 

q 2 





LTBER 

baftum enod octoccdrou trijcimus.at vero fi quincg rriangulorum cquilatcroHtm 
tmguli foUdum angulum cotincant ftct co:pus rcoccdron viginti bafi m triangu/ 
tariu * cquilatcra:j2..Quare crgo tot i talia fuut fohda rcgularia % quare pkira bis 
rtonfwtniaumeft. TJbJOpofttio .iS. 

fl&tcra qiunqi coipoium pjemiflcmim ab eade. 5 » fpera cir 
' cumlcriptibiuumcuiusfperefolabiametros nobis^po 
ftta fiierit per ipiam piopofttam oiametrum inuenire. 
GSit.a.b.oiameter alicuius fpcrc nobis propolita.ct qua iubcmur 
_ larera qiiinq, prcmiffoy co:poi/ diccrcDiuldam 9 igif banc ( o:ame/ 
rrum in.c.ita qj.a.c.ftt oupla ad.cb.spcr equalia inA.z lineemuB fug eam femi 
circulum.a.f.b.ad cuius circufcrentia protrabanf ouc liuee pcrpeudicularcs ad U 
nea.a.b.qucfint.c.c.«.d.f.iiungam 9 .e.cu.a.ccn.b.'i.f.cu.b.2)l3anifcftucrgoc 
t% ocmonftrationc. 1 5 .cp.a.c.c latus figute quatuo: baf iuin triangulanii z cquila 
rera? c cjc ocmoftrationc. 14. qj.c.b. c lat 9 abv.z er. oemoftrationc. \s .cp.f.b.cft 
latus figure octo bafium triangulariu z cqutlateraz2:prodcat itaq, a puncto.a .lt/ 
nea.a.g.perpcndicularisad.a.b.sequauscidc.a.b.'?: iungat.g. cum. d.fuq, .b. 
punrtus in quo .g.d.fccat circufcrcntu fcmicirculi <i oucaf . b.k. pcrpcndicularis 
ad.a.b.i quta.g.a.eft oupla ad.a d.crit ct quarta fexti.b.k.oupla ad.k.d. t>unt 
ehimouotriaguli.g.a.d.i.b.k.d.cqanguUecjzpMnicocpangul^a.maioKse 
equalis angulo.k.miuo:is:naq5 vterq, rectus 1 anjutus.d.c coi3 vtriq>:igitur cx 
quarta fcoi.b.k.eft potcntia quadrupla ad.k.d.ergo ct pcnut'.p:imi.b.d. eft po/ 
tentia qmncupla ad.k.d.cuqj.d.b.fit equalls.b.d.eft cni.d.centru fcmicircult crit 
quoq- v d.b.potenti9 quincupla ad.k.d.St vcro cu tota.a.b.ftt oupla ad tota.b.d 
qncadmodu.a.c.octracta cx p:ima.a.b.eoupla ad.cb.oetracta ex fccunda.b.d. 
erirq^ c%. 19. quinti.b.c. rcfidua p:imc:onpla ad.cd.reudua fecundciidcoqs tota 
b.d.cft tripla ad.d.c.igitur qdratu.b.d.cft nonecupln ad quadratii.d.cz q: ipfii 
erat quincuplu tm ad quadraium.k.d.erit et fcca gtc oecime quuui.quadratu.d. 
c.minus qdrato.k.d.ideoq5.d.c.mino:.k.d.fit fj.d.m.cqualis.k.d.t .pdcat.m.i» 
vfq^adcircufcrcntiaquefitperpcndicularisad.a.b.ttungaf.n.cu.b.iuigsf.d.k 
1 d.m. fut eqles erfit er. oiffinitione ci 9 q6 c aliqs lineas a centro cqdift are out lin 
ee.b.k.«.m.n. eqluerotftantesaccntro.tdcoqjcqlcs adinuicecj: fcoaparrc.ij. 
tcrtij 1 ct fcoa pK tcrtic eiufdem.itaq^.m.n.c cqualts.m.k.nam.b.k.erat cqualis 
ci.atqj.a.b.oupla cft ad.b.d.i.k.m.oupla eft ad.d.k.c quadratum.b.d. quin/ 
cuplu adquadratu .d.K.erit cjc. 1 y.quinti quadratu.a.b.fitr qaincDplii adqdratS 
k.m.ecniquadratuoupUadquadratu oupltficut quadratu fimpliadqdratum 
fimpti.£ v ocmoftratione cni . 1 (s.manifeftu e q> oiametcr fperc c potctialitcr quicu 
pla ta ad lat 9 etagoni circuli ftgure.2o.bafiu 8.k.m.e eqlis latcn etagom circuli fi 
gurc.20. bafiu na oiametcr fpcrc q c.a.b.c poretialitcr quicupla ta ad lat 9 ctagoni 
circuli illt 9 figurc q^.ad.k.m.Kurf 9 q, et ocmoftrationeciufde manifcftu e cp ota 
meter fpcre coftat ct latere eragoni 1 ouplict latcn occagoni circuli ftgure.20. ba 
fin cu crgo.k.m.fit tanqjla^cyagoni.at vcro.a.k.fit cqlis.m.b.na ipfa fut rcfi/ 
dua eqhii rxptis eqlib 9 erit.m.b.taq) lat 9 oecagoni-.q: igif .m.n.e taqs bt° cjcago 
ni.natpfaeft cquali&k.m.critcipcnuf.pnmit.io.bu^.n.b.tancijlat^petago 
m fignrc circiiIi.2o.bafut z q: er ocincftrattone. i«s.apparct cp lat 9 pentagoni circu 
(i fisurc zo.bafiu e lat 9 ciufde figurc.2o.bafiu.conftat linca.n.b.cc lat 9 ifti 9 fi£urc 



H 



XIIII 

£>iuidaf (taq5.cb.quc c lat 9 cubi ab affignata fpera circiifcriptibilis fcn ,ppo:tio 
ne babcnte mediu onoq, cxtrema i puncto.p.fitq^ inato:pojtio eius.p.b.conftat 
igif ejc ocmoftrarionc pmilTc cp.p.b. e lat 9 figure.i2.bafium .^nucnta crgo fut la 
tera-f - p2eniiflb£ co:pox2 cr oiamctro fpcrc nobis «ppofita.e eni latus. a.c .pira/ 
midis.4. bafiii.cb.latus cubi.f.b.latus octocedri. at vcro. n.b. latus fcoccdri:It/ 
nca aiit.p.b.latus ouodecedri.Que autc bozj latezj fiut maio:a alijs fic babctur. 
conftat aii cp.a.cc maio:.f.b.na arcus.a.e.eft maio: arcu. f.b.itcqj. f.b.e maio: 
e.b.^.c.b.maio:q5.n.b.atvero.n.b.oicoetiaefTemaio:eq5.p.b.cumcnifit.3.c. 
oupla ad.cb.crit ejc quarta fcbi quadratu.a.cquadruplu ad quadratu.cb. pftat 
aute ejc rcda £te co::elarij. s.fcjcti 1 cc co::elario. i7.eiufde cp quadratu.a.b.tripluj 
eadquadratum.b.c.fcdg.2i.fertiquadratu.a.b.adquadratu.b.e.eficutquadr8 
tum.b.c.ad quadratu.cb.ejc eo <$ ,ppo:cio.a.b.ad.b.ce ficut.b.e.ad. b.c. ejc fe/ 
cunda p_tcco::clarij.8.fej:ti.itaq5 p_, 1 i.quinti quadratu.b.e.triplu eft ad quadra/ 
tum.cb.c q: quadratu.a.cquadrupui elt ad ide quadratu vt oftenfum e: crit cjc 
p:ima ptc lo.quinti quadratum.a.c.minus quadrato.b.cideoq^ linca.a.cmaioi 
c liuea.b.e.i6q5.3.m.muIto maio:.b.cmaiufeftu Vcro ex.9.buius cjj fi linea.a.m 
oiulfa fuerit fon ,ppo:tione babentc tnediu oiioq^ cjtrema crit maio: po:tio ciu3 
linea.k.m.que e cqualis.m.n.St vcro cu.b.coiuidif fon eande p:opo:tioncm vi 
dclicet babentc mcdium onoq^ extrema maio: eius pouio e linea. p.b. cum itaqj 
tota.a.m.fit maio: tota.b.cerit.m.n.que eft equalif maio:i pomoni.a.m.maioi 
q5 .p.b.q cft maio: po:tio b.cboc aute manifeftii cft cx fcda. n.libn quc fine aujci 
lio alicuius eay q fequutur firma oemoftratiouc folidaf :ergo p . 1 9-pmi a fo:tio:i 
n.b.maio: e q^.p.b. .Quare p^ latcra boz> .j.co^poypmilToz? fcrc co o:dine quo 
co:po:a fcmuicc fcquunf fe inuice occedercin cubo cni outaxat 1 octoccdro babet 
bic inftaniias.na lat; s octocedri cyccdit laius cubi qjuis cubus antccedat octoce 
dru.£ubu aut p:cmittunt idcirco octoccdro :quu cade oiuifionc oiametri affig/ 
natc fperc latuspiramidis .4. bafes triangulas babentis % latus cubi inuenif .eft 
igif .a.clatus piramidis maius lateribus ccreroz? co:pozr.poft ipfu aut c'.f.b .lat 9 
octocedri matus fequcntiu cojpoz: latcribus Icrtio o:dine fcquif i magiiitudice. 
b.latus cubi.Quarto vcro loco cft.n.b.latus fcocedron.2)|3iiumii autein eft om/ 
nium.p.b.latus ouodcccdron vcl ouodcccdn. G£jcplicit libcr lcrciufdecimus 
3ncipitliberD«imufquartu8. Ijbjopofuio .1. 

.QCmis perpeudicnlaris 3 centro circuh ou 
cta ad latus pentagoni intra circulu ipfu oe 
fcriptt oimidio lateris oecagoni atq.ii oimi/ 
dio lateris ejragoni intra ctrculu euride oe/ 
fcrtpto? ambobus Oimidijs in longu otre/ 
ctuqj coiunctts equalis ee <pbaf . patet igif 
q> ppendicutarts oucta a cetro circuli ad la/ 
' tuspentagoni eequalisppcdtculanoucte 
a ceittro ad latus tnanguli oimidioq 5 ; late/ 
ris Oecagoni intra eudc arculu oelcnpti c i 
reciecdiunctiS.GSitlinca.a.b.latuspcntagori 




cquilateri infcrpti circnlo cui , centz?.c.« oucaf a ccntro.crjpcndicularis ad lincaj 
a.b. que p. fcdam p.tem tertie tcrtij oiuidct ipfa p. equalia % arcu cius ctia p equaha 

«1 i 



LIBER 




ejcquarra p:imi f.jr.tertij fitq^ bccppctidicularislinca.c.d.fccans.a.b. in pucto 
c.i arcii a 9 in pmtcto.d.eft igif vt oirim 9 litiea.a.c .cqlis lince.e.b.c arc".a.d.ar 
cui.d.b.ptrabafq^ liuca.d.b.oc qua coftat q> ipfa eft lat 9 oecagoni cquilatcri $/ 
pofito circolo infcripti cii ipfa fubtcdaf mcdtetati quinti totius circufcrcntic: oieo 
itaq^ q> linca.c.c.c cqualis mcdictati lincc.c.d.l mcdictati linee. d.b. in longum 
oirecrumqs coiunctis £6plcatur quidcm oiamctcr.d.c.fitqj.d.c.g.i fit.e.f.cqua / 
Iis.e.d.c^trabaf.b.f.critq5ex.4.pjimi.b-f.ccilis.b.d.i6q5pcr.j.pjimi angul* 
b.d.f.crit equalis angulo.b.f.d.coftar aiit ct vltima fcrti cp angulus.g.c.b. qua f 
drnpluse ad angulu.b.c.d.co q> orcus.g.b.quadrupl 9 c ad arcu.b.d.at vcro an/ 
Suliis.g.c.b.p.5a.pjimioupI 9 cadanguIu.b.d.c.naipfecewrinfccu8 otiob 9 qui 
iuht.b.d.c.i.d.b.c.at ipfi funt ccjlcs cr. j. p:imi:igitur angulus.b.d.c.onplus eft 
adagulu .b.c.d:qre igulttsquoq^.b.f.d.oupluscadagulu .b.c f.fcdangul 9 .b.f 
d.e equalis ouob 9 intrinfccis q funt.b.c.f.t.c.b.f.g.32.pmi.itaq5 ouo aguli.b.c.f 
*.c.b.f.futcqlcs:i5q5p .tf.pjimi .c f.ceqlis.b.f. ioq^ctia.c.f.ccqlis.b.d.na.b.d 
-7 b.f. fut eqlcs admtiicerqrc oimidiu.c.d.cu oimidio.b.d.cft quantu oimidiu.c.d 
cii oimidio.c.f.at vcro oimidiu.c.d.cu oimidio.cf.equatum oimidiu.c. f.bis cfi 
oimidio.f.diOimidtu aut. .c.f.bis c quatum.c.f.t oimidiu^.f.d.c qntu.e.f.itaqj.c 
cxtt qnantfi oimidiu .c.d.cu oinudlo.c.b.s.d.b.qo e ,ppofitu.£ojjef.aut fic con 
ftat manifcftu e cni cx.s. tredecimi libii cp ppcdicularis oucta a cctro circuti ad la/ 
tus triangnli fibi infcripti e equalis oimidio lince oucte a centro ad citcufcrcmiam 
boc quidc ibi Oemoftratum e i quafi cojjcf.coclufu.ctim igif c% bac pjima ifti 9 . 14 
libji pateat qp ppcndicularis oucta a ccntro circuli ad latus pcntagoni fit cqualis 
oimidio linee oucte a centro ad circufcrcntta % oimidio latcris oecagoni: feqnitur 
q> pcrpcndicularis oucta a centro circuli ad latus pcntagoni fit equalis ppcndicu 
lart ouctc a cemro ad totus triangulitoimtdioq^ latcris occagoni intra cuude' cir/ 
culum ocfcripri:? boc cft qo ejc cotjef.ppomf .Tlunc ergo crplicandu cft quod ait. 
3rifte 9 .in libro ititiilato £rpofito fcfc s .cotpor nec no 1 appoloni 9 in 00110 fccfi 
do:in ppoitioiialitatcfigure. a.bafiu adfigur5.2o.bafiu oicesicp^poitio ftirjfi 
cier figurc babcntis. i2.bafesadfupcrficics figurc babcntis.20. bafo.e taq'5 py 
po:tioco:po:is.i2.bafiuinadcoipus.2o.bafiu:lincaient ouctaa ceiicro circuli 
pentagoni figurc . u.bafium ouodeccdri ad circufcrcntis cius c quaft linca .pdies 
a ccutro circuli trianguli figure.2o.bafium ycoccdri ad circuferentici eius.bcc funt 
ipft 9 magni appollomj vcrba 3utelligcda aut fiit oc figura. 12.-: figura.2o.bafiuj 
ab vna cadeqj fpera circufcriptibilium.£ft cni ppo:tio co:ois ouodcccdri ad coj 
pus ycocedron cum ambo vna eadcq^ fpera circiifcribit ficut ,ppo:tio omnium fu 
jjficier ouodecedri giter acccptar ad oes fupficies ycoccdri pariter acccptas que/ 
sdroodu SppoUoni 9 pmiffor vcrbor pttia ptc c6mcmo:at:q6 1 oecima buius. 14 
ltb:i folida oemoftrationc ftabilitur.? e circuius circufcribcns pcntagonu ouodcce 
dricqualis circulocircumfcribcntitrigonumfcocedri cum ouodcccdron 1 ycoce/ 
dron eadem fpera circumfcribit queadmodum ipfc appollonius fccunda pte p:e/ 
mifforum verborum c6memo:at:quodetiam in quinta buius l,b:i ocmonftratio 
nc firmatunpjcmittcnda funr igitur antecedeuria ad tantorum virorum elcquia 
ntconculTa vcritate cojrobojanda. 



Ifcjopofirio .2. 



XIIII 




^icquid accidit vni linee biaife fecudu ^pojttone babe 
tem medium i ouo e;ctrema omni linee IU'tter oiuife p:o/ 
baturaccidcre?c. 

C9it vrraq^ oua?; linea£.a.b.c.d.e.oiuifa ftn .ppojtione babcntc 
mediu Ouoq^ ejttrema.becquidem i.c.illa vcroin.f.fintq5maio:cs 
po:tiones:buius quide.3.c.illi 9 aut.d.f.oico itaqj cp ambay ad fui maio:cs po:/ 
tioncs cft vna ^pouio.itcmq; amba? ad fui mino:cs po:tioncs eft ,ppo:tio vna 
ad quoqj maio^ poitioi w ad minoies vna . z econtrario i pcrmutatim % coiuncri 
1 oifiunctim 1 eucrfim.llibil cni aliud cft quicquid vni eas accidit. ide quoq? alij 
acctdere.coftat eni vf. oifTinitione linee f>m ,ppo:r,one babcntc mcdiii ouoqj cxtrc 
ma oiuifc zc% pnmapte. is.fexti:cj>illud quod fit cx.a. b.in. b.c. eft cqualc qua/ 
drato.a.c.eodeq^ modo quod fit cjc.d.c.in.c.f.eft cqualequadrato.d.f.ideoq^ $/ 
poitio ems qtSfit cx.a.b.in.b.c.ad quadratu.a.c.e ficut eius qo fit cx.d.e. in.e.f. 
ad quadratii.d.f.vtraq^ eni e .ppoitio equalitatis:igit quadruplii ci 9 q6 fit cx.a. 
b.in.b.c.ad quadratu.a.c.ficut quadruplu eius quod fit cx.d.e.in.e.f.ad quadra 
tum.d.f.qo' ex. i j.quinti:? pcrmutata z equa ppoitionalitate manifemi cft quarc 

coniunctimquadrupluciusquodfitcx.a.b.in.b.c.cumquadrato.a.c.adqaadra 
tum, a.c. ficut quadruplti cius qt> fit ex.d.c.in.e.f.cu quadraio.d.f.ad quadratu. 
d.f.admugaf autem r>m rccritudinc ad linea.a.b. vna !inea quc fit equalis. b.c.q 
oicatur.b.g.«3d.d.e.3diungaturequ3lis.c.f.queoicat.c.b.23nanifeftueftigitur 
cx octaua fccundi libii cp quadruplum cius quod fit er.a.b.in.b.g.cum quadrato 
a.c.eft cqusle quadrato linec.a.g.st vero fimiliter quadruplum eiusquod ftt cx.d 
e.in.c.b. cum quadrato.d.f.eft cqtialc quadrato.d.b.at vcro ex comuni fcieutia 
quadrupluciusquod fitex.a.b.in.b.c.equumcft quadruplo eiusquodfit.ex.a.b 
in.b.g.eo g>.b.c.?.b.g.funt cquales.fimititcr quoq^ quadruplii cius quod fit cx.d 
e.in.e.f.equum eft quadruplo eius q6 fit cy.d e.i.e.b.co cp.e.f.f.e.b.fuc etia cq/ 
lesagirur cx p:ima partc fcptime quinti z c% vndccima quiuti ciufde quadratum 
a.g.adquadratum.a.c.ficutqu3dr3tum.d.b.adquadr3tum.d.f.Ouarec)cfcda 
pte.2i.fcxti p:opo«io lince .a.g.adlinea.a.c.e ficut lincc.d. b ad linea.d.f.t con 

iunctim.a.g.c.3.c.ad.a.c.ficut."d.b.«.d.f.ad.d.f.atvcro.a.g.cum.a.c.fuiittan/ 
q50upIum.a.b.T,d.b.cum.d.f.tanqu3moupluni.d.e.quarcoupl3.a.b. ad.a.c. 
ficutoup!um.d.c.3d.d.f.cpcrmutatimoup!um.3.b.adDuplu5.d.c.ficut.a.c.ad 
d.f„fed ouplum .a.b.ad ouplum .d.c.ficur.a.b.ad .d.c .ejc. 1 ?. quinti: igitur.a.b. 
ad.d.e.ficut.a.c.ad.d.f.itaci5 pcrmutatiin % cuerfim % conuerfim 1 oifiunctim ct 
coniunctim:qb opoitcbat oftcndere. 

Ifccopofitio .5. 
3fuifolateree;cagonifmp:opo:tione babcntc mcdium 
ouoqi ejctrema maio: eius po:tio erit latue occagoni ctr 
cumfcripti a circulo ipfum ejcagonum circumfcribente. 
GSit linea .a.b.latus qcagoni alicui 9 circuli 1 oiuifa fecudu ,ppo:ti 
onem babcntcm mcdiu ouoq^ cxtrema i puncto.c.fitq^ maio: po:/ 
tio eius.b.c. oico g> cumfcunq^ circuli.a.b.cft latus exsgoni eiufdcm.b.c. crit la/ 
tus occagoni.adiungstur cuim 3d lineam .B.b.linea.b.d. que fit latus occagoni 
illius circuli cuius .a.b.cft latusexagoni:critq5cxnona. ij.ltuea.a.d.oiuifa fccun 
dump:opo:tionem babentcm mcdimnouoq^cxtrcmg. z inaio: pojtio ciuserit 

q 4 




o 




LIBER 

Imea.a.b.cum tgitnr vtraqj ouarumlineanQ.a.b.c.a.d.fit oiuifa ftn ,ppo:tione 
babaitcm mcdium ouoqj cjctrcma:igit erit per p:emiff3 amba^ ipfa? ad fui ma/ 
io:es po:tioncs vua .ppoitio.itaqj.d.a.ad.s.b.quc eft cius inaio: pouto ficut.a. 
b.ad.b.c. que eft etia cius maio: pojtio fcd.d.a.ad.a.b.ficut.a.b.ad.b.d.cx oifii 
nitione lince oiuifc ftn p:opo:tioncm babcntem medium onoqj ejctrcma « maio: 
pot:io cius agitur ejc vndecima quintt.a . b.ad.b.d. ficut.a .b.ad. b.c .quarc pcr 
(ecund3ptcm.9.quinti.b.d.?.b.c.funtequalcs.cumergo.b.d.fitlatus oecagoni 
erit quoq-, ejc coi fcia.b.clatus oecagoui.ZSclaliter ad linca.a .b. adiungat.b.d. 
equalis.b.ccritq} qc.4.tredccimi tota.a.d.oiuifa ftn ,ppo:tione babcnte mcdiuj 
00005 ertrema c maio: po:tio ei 9 linea.a.b.itaq} per couerfa.o.trcdccimi qua co/ 
tinae poit ipfa oemoftrauimus cuius circuli Itnea.a.b.eft tatus qcagoni eiufde^ li 
nea.b.d.ideoqj linca.b.c.fibi equalis e latus oecagoni. poffumus ire? idcj alia 
viafi libet oemonftrate.5it eni.e.f.equalis.a.b.quc etia oiuidat" i.g.ftn ^ponio 
ne babe tc mediu ouoq5 ejctrema % fit maio: ponio ei 9 linea.f .g.pftat igif q. pmif 
faqj queadmoo^a.b.eeqlis.c.f.fic.a.c.eeqlis.c.g.^.c.b.eqlis.g.f.cuqjfucrit.b 
d.adiucta ad.a.b.lat 9 occagoni ilii 9 circuli cut 9 .a .b.e lat 9 ejcagoni crit ficur p:ius 
oictn c ejc.9.trcdccimi tota.a.d.oiuifa bm ,ppo:tionc babentc mcdiii ouocg cjctre 
ma«maio:ci 9 po:tiocritlinea.a.b.it8q5EpmiiTa.8:b ad.b.d.ficut.f.g.adg.e. 
qre g pma parte. i j.fexti qo fit cca.b.in.g.c.equu cft ct quod fit cx.b.d.in.f.g.cu 
cj3.a.b.fitcquali8.c.f.tcritq6fu;ex.e.f.iii.g.e.equueeiq6fitcx.b.d.in.f.g.Scd 
qnod fit cjc.e.f.in.g.e.cquii cft quadrato.f.g.ex oiffmitione lince oiuife P m ,ppo:/ 
tione babentem medium ouoqj evtrenia i c;c p:ima pK. i<s.fcxti:igit q6 fit cx.b.d. 
in.f.g.eft equale quadrato.f.g.ideoq^ ejc p:ima fejcti linea.b. d.e cqualis.f.g.c q: 
f.g.ecquatis.c.b.eritquoqj.c.b.cqualis.b.d.tlatusoecagoniqoopouebat ofte 
dere. 

IJbzopofitio .4. 




iEadratu lateris peiitagoni intra circulum oefcripti qua 
dratumquelirteequeilliuspentagoni angnlo fubtendit 
ambo bcc quadrata pariter accepta quadrati medietatts 
oiamctri eiuldem circuli quincupium elTe pzottuncio. 
CSit tn circulo.a.b.c.cuius centrii.d.infcriptus vnus pcntagonus 
equilatcriis cttius vnu latus fit.a.b.t p:otrabaf oiameter.c.d.e. oiuidcns lineam 
a.b.tciusgrcu percqualia. £ftigitur arcus.a.e.mcdictasquintcptisctrcufercn 
tie illius circuli quare arcus.a.ce ouc quinte totius circiifercntie: p:otrabanf ita/ 
qj ouc lincc. a.e.c .a.c. eritq^. a.e.latus occagoni equilatcri co q> eius arcus cft 
mcdictas quintc ptis circunifercutie.linca vero.a.c.crit quc fubtcndif vut cjc an / 
gulis pcntagoni p:cdicti:co <j> arcus.a.c.cft ouc quiutc partis circumferenttc cir/ 
culi:oicoitaq5 cpquadrata ouarumlincarum.a.b.c.a.cpariter acccpta quincu/ 
ptum liint ad quadratum liucc.d.e.cft cnim cr quarta fccundi quadratum lince.c 
c.quadruplum ad quadratum lincc.d.e.£um autcm angulus. c.a.c. ftt rectus ct 
p:ima partc^o.tcrtij.eruiitq^ cjc pcnultima p:inii quadrata 01132; lincarum.c.a.t 
a.e.quadriiplum ad quadiatum.d.c.igiturquadrata trium lincarum.ca.^.a.cz 
d.e.quiucuplnm funt adquadratuinlincc.d.c.c quia ejc occima rrcdcci;iiilib:i q/ 
dratum.a.b.eft equalc quadratis ouarum liuearum.a x.i. d.c. fcquitur vt qua/ 




I^HB 



xmi 

drata ouartim linearum.9.b.«.c.a.fint quittcuplum ad quadratum.d.e. quod eft 
p:opofitnm. 

Giibamfeithimeltcrgocpquadrammlateriss cabi atq? quadratutn 
tateris figurc ouodccim baftum cum cubuni i figura ©nodecim baltu 
cadem Ipera circiiifcribit ambo quadrata pariter accepta quirtaiplum 
furtt quadrati mcdietatis oiametri circuli qui ctrcumfcribit perttago/ 
num eiufdem figure ouodccim bafmm. 

G3ftud co::elariu vcre manifcftum eft:conftat cnim ct demonftratione. i7.trcde 
cimi lib:i cp latns cubi fubtcnditur angulo pentagont Ouodcccdri cum cubu z . o 
' deccdron vna eademqj fpera circufcribitutaqj p, banc quartam fine o bice conftat 
co::elarium.«. 




1fc»opofitio .*. 

/£ntagorms figure ©uodecim balium triangulus q^ figu/ 
re vtginti baftum quos eade fpera circumfcribit Mo eo/ 
dernq^ circulo circumfcriburttur. 
G6it fpera cuius oiametCT.a.b.circufcribcns ouas folidos figuras 
vidclicct ouodeccdron euius Vnus erouodecim pentagonis fit. cct 
fcoccdron cuius vnus ejt. lo.triangulis fit.d.pentagono aut.c? trigono.d.fuper 
ono centra.d.c.c.circumfcribanf ouo circuli buic qde .f.c.er.i 4-qrti illi vcro.f.d. 
cir.f.ciufdcroicoitaqj cpbiouocirculi fpera:?; ^pofitay quorumaltercircufcri/ 
bit pcntagonu.c.alter vero trigonum.d.funt equales.eignentur enim ouo latcra 
peiuagoni.c.vnfi e;c fuis angulis cotinentia litteris. c. f.c.f .g.? p:otrabanf linea 
c.g.que fubrcndat angnlum.f.? fcmidiamctcr circuli que fit.c.f. vnuqoq^ cc lateri 
bus trigoni.d.figncf littcris.k.b.i p:otrabatur fcmidiametcr fui circuli que fit.d. 
fc.oebinc fumaflinca.l.m.adquafitlinca.a.b.quccoiamcterfpercalTignatequi 
cupla i potcntia:q quide.l.m.oiuidaf i.n.ftn p:opo:tioncbabentcm mcdiii ouo/ 
q5 cxtrcma firqj maio: po:tio eius linca.l.n.i fcomquatitatc totius.l.m. lincctur 
circuus.p.q.itaqjfcmidiamctcrcirculi.p.q.fitcqualislince.l.m.critq^excoHela 
rio.if.quanilinca.l.m.tanqjlatusexagonicqnilatcricirculo.p.q.iufcripri. ioq5 
pcr tertiam buius linca.l.n.erit tanq^ latns occagoni cquilatcri ctde circulo infcri 
pti:igiturc>:.ii.quartiinfcribafpentagonusequi!ateruscirculo.p.q.cuiusvnum 
latus fit.p.q.critq^ ccio.rredecimilibri qnadratu.p.q.equale quadratis ouarum 
lincarum.l.in.t.l.u.paritcr acccptis.conftat autem er oemonftratione. i<s.tredc/ 
rimicp.b.fc.cfteqtialis.p.q.ergoquadratum.b. k.eft equalc quadratisouarum 
lincay.l.m.t.l.n.pircracccptis.atveroecoemoftrattoc.ir.ttcdecimi.manifcftii 
e cp.c.g.e latus cubi ab cade fpera circufcripribilis:qrc p co::ci'.i 4.trcdccimi.a.b. 
q eoiamcterfpcrcpotcuttalitcretriplaad.e.g.q elatuscubi.fi aut.e.g.oiuidatur 
ftn ,ppo:tioue bfuem mcditt ouoq, «rtrema p, cx oemonftratioe. 1 7.trcdecimi q> 
e.f.e tanq'5 maio: po:tio cius:igitur ejc fccunda bui 9 .e.g.ad.l.m.ficut.e.f.ad. l.n. 
nam vt tota ad totam fic maio: ponio ad maio:cm.itaq5 pcr.2 1 .fcxti quadratum 
c.g.adqnadratum.I.m.ficutquadratum.c.f.adquadratu.l.n.qrep.ij.quintiq/ 
drata ouarum linearum.c.g.c.c.f.paritcr acccpta ad quadrata ouarum linearum 
l.m.«.l,n.fjitcr acccpta ficut quadratii.e.g.ad quadratu.1. m. ergo g. t y.quintitct 





LIBER 








£ mutata ;ppojtionalitate5 i rqtia triptum oiionim quadratoium ouarum lincar 
c.g.^.e.f.fjiteracccpto^adcidrataouarnmlincarum.l.m.c.l.n.pariteraccepta 
ftcut triplii quadrati. c.g.ad quadratu .l.m.triplu aut. e.g.quadrati cft taq~5 qua/ 
dratu.a.b.eccojjet\i 4.tredeami:atquadratfi.a.b.epcrppotbcfim quincuplu ad 
quadratu.t.m.ergo triplii quadrati.c.g.quincuplum quoq; e quadrati.l.m.quarc 
etia triplum quadratoy ouaj; tincap.e.g.i.e.f.gita acccpto? e quincuplii ad qua 
drata ouai2 lineaz;.l.ni.?.l.n.p.iter accepta:? qi ,pbatu c q> quadratfi.b. k.e equa 
le quadratis ouaiz linca^.l.m.t.l.n.piter acceptis.fequif cccoi fcia vt triplii qua/ 
drato^.e.g.^.e.f.fit quincuplfi ad quadratfi.b.k.coftat aiit cc. s.trcdccimi cp qui 
cuplum quadrati. b.rt.eft quindecuplum ad quadratu.d. k.nam fimplum eit tri/ 
plum.ftc^quarta bufcoltat cp triplii quadratoy.e.g.f.e. f.eft quincuplii qua/ 
drati.c.f. uam fimplu cft quincuplu.itaq^ quindecuplu quadrati.c.f.c cqlc quindc 
cuploquadrati.d.k.ideoq5per.ij.quintiquadratii.c.f.cftequalc quadrato. d.k. 
quare ctia linca.c.f.e equalis linee.d.k.crgo c% oiffiuitione circulos cqualifi circu/ 
!u6 circfifaibens pcntagonum.c.eequalis circulo circumfcribenti trigonu .d.quod 
crat ex piincipio ocmonftradum. nam femidiamctri boium circuloium funt cqua 
lesvidclicet.cf.c.d.k. 1|b:opofitio .6. 

<2fadratu quoqsqb efttriangulu al' trigincuplu tetrago/ 
ni qui fub perpendiculari ouctaacentrocireuli circiifcri 
bentis pentagonu ftgure Ouodecim bafium ad latus peu/ 
tagoni atq^fublatere ipft^pentagoni cotinetur omnib? 
fuperficieb^cojpous onodecim baiiu^pariter acceptis 
effe equale ev. necefiitate conuincitur. 

G5it pentagonus.a.vna er. u.bafibus figure ouodecedii % vnu cr eius latcrib 9 
fit.b.c.fibiq5 et. i4.quarti circufcribaf circutus fupia centir.a.? £>trabanf lince.a. 
b.c.acc.a.d. gpcndicularis ad.b.c.oko crgo cp trigincuptu cius qo fit er a.d.in 
b.c.eft equalc omnibus fugficiebu3 ouodcccdri piter acccptis.conftat eni penta/ 
gonfi.a.eeoiuifibile in quinq^ triangulos cquales triaugulo.a.b.c.cx .S.pmi.ita/ 
0,5 omncs. i2.pentagoni ouodcccdri cum oes fint cquales z fifcs pentagono. a. oi 
uifibiles funt m.eo.triangutos quozjquifq^ p .s.pitmt e cqualis triangtilo.a.b.c. 
QX> aute fit ex.a.d.in.b.c.cft ouplum g.4i.pmi:ad triangulu.a.b.c.ergo trigincu 
ptum eius q6 fit et.a.d.in.b.cc feragincuplum ad rriangulti.a.b.cna vt fimplfi 
ad ftmplum fic ouplum ad oup!um.£um itaq^ omnes ouodecedri fuperficics pa/ 
ritcr accepte fint etia fetagincuplu ad triangulu.a.b.cfcquif vt trigincuplu e& q6 
fit er.a.d.in.b.cfit cqualc omnibus fuperficicbus ouodcccdri piter acceptis:qtf i 
pjopofitum. 1^>2opofttio .7. 

^adratuquoq^qoefttriangulu al' tngincuplum tetra/ 
goni qui fub ppendiculari oucta a centro circuli ad lat? fi 
bi infcnpti trianguli figure viginti baliu atq.5 fub ipfo la/ 
teretriangulicontineturequale cft omnibusfuperficie/ 
I bus figure Viginti bafiu ptter acceptis.G £fto cni bic trigo/ 
nus.e.vna cr.2o.bafibus figure fcocedri i vnfi er cis laterib 9 fit .f .g. fibtqj er.f . 
quarti circumfcribaf circulus fupcr centy.e.« ^ptrabanf lince.e.f.e.g.i.e. b.ppcn- 
dicularis ad.f.g. oico igif q? trigicuplfi ef qo" fit cjc.e.b.i.f.g.c cqle oib°fupficicb 9 
f cocedri gitcr acceptis.pftat eni trigonu.cce oiutfibile i trcs trigonos quo? qnilj 




^MilHB 



XIIII 

per octauapmi eequalis trigono.e.f.g itaq; oes.2o.trigoni ycocedripjrcr aceepri 
cum cuncti fint equa!es fimilcs trigono.e.fut tancfe fejcagincuptum trigoni.e .f .g. 
cq:per. i^.pmi qo" fit ejc.c.b.in.f.g.eft buplu rrigoni.c.f.g.ioq; trigtncuplu bui" 
cft equalcfcj:33iucuploilli 9 :fcquifuttrigincuplu.e.b.in.c.f.fitequa!coibu3fi!f>/ 
ficiebus ycoccdri piter acccptis qri erat oemoftradu.G ODanifefru igitttr e q? 
po:oo:tio fuperficieru figurc ouodecim baftu in attqna fpera ptente 
ad fupficice figure viginti baftum in eade Ibera coclufe:e tanq 5 ,ppoz 
tio tetragoni conteuti fub latere pentagont ipftus figure buodcd ba/ 
ftu i fub perpendicalari oucta a cewro fai circuli ad iplii latus pcnta 
goni:ad tetragonu contentu fub latere tnanguli ipfms figure viginti 
baftu i perpcndiculan oacta a centro fnt circuli ad ipfii latas triangu 
li co:po:is viginti alcbatdaf .C£>d pcr illnd conct'. pcludif ve^ effe ftue (i/ 
gura. i2.bafiu i figura.2o.b3fiu fint ab cade fpera circufcnptibilcs vt,pponif:fiue 
etia fucrint circiiJcriptibilcs a oinerfis fpcris: ^ponit aute ,put bcc figure fin t cir/ 
cnfcriptibites ab cade Ipera qm boc modo valet i fufficit ad ( ppofitu.£i 9 crgo co 
niunis Vcritas fic p;.coftat eni ejc.tf.bm* q> trigincuplti.a .d.in.b.c.equu e oibus 
fuperficiebus ouodccedri pitcr acccptis cuius pentagonus.a.cft vna cx- ii/u^fict 
ebus z c% bac .7. oftat fifr cp trigincuplu.e.b.in.f.g.cquu e oibus fup/icieb 9 pcoce 
dri piter acceptis cuius trigonus.e.eft vna ejc.2o.bafibus fiuc itlud ouodcccdrori 
* iftud ycocedron eadc fpcra circuftribat fiuc oiucrfe.itaq; ;ppo:rio trigicupli. a.d 
in.b.c.ad omnes fup/icies iltins ouodccedri gitcr acccptas c ficut trigincupli.c.b. 
in .f.g . ad omnes fupficics ycoccdri pitcr acceptas: vtrobiq; eni eft ,pp02tio cquali 
tatistquarc pcrmutatim trigincuplti.a.d.in.b.c.ad rrigincuplthe. b.in .f.g. ficut 
omnes fnperficics illt 9 ouodccedri ad omnes fuperficies buius ycocedri 1 per. 1 $ . 
quinti trigiiicup!i ad trigiucuptu c ficut fimpli ad fimplu. £ouftat igif p. 1 i.qniuti 
cp ,ppo:tio omniii fugficicr illius onodcccclri ad ocs fup/icics buius ycocedri c ci'' 
quod fit cx.a.cLiu.b.c.ad id t\6 fit cx.c.b .in.f.g.z boc e qo ejc cozjelario ,ppomf. 
lfi>:opoutio .8. 
"iRopoJtto cunctarii fuperficiqr co:po:is Ouodecim ba/ 
fium pitcr acceptay m ciictas lupficies co:pis viginti ba 
ftameitcracceptas qucabvna Ipera abocirculcribimr; 
efttanqi .pponiolarcriscubi quecircufcHbiteadefpe/ 
ra ad latus trianguli ipfius co:po:is Viginti baftum . 
C23tabbnius.s.ocm6ftrati6islib2i i4.,pceffu ambiguiras ois abfccdatiiftud 
p:cfcirc opo:tct..Q6 fi aliq linca ftn ,ppo:tione babcnte mcdiii ouoq; evticma fu/ 
erit oiuifa 1 c% mcdictate eius tanq; oimidiii fue maio:is po:tionisoctral:af :ipfa 
quoq; mcdictas^m .ppojtioue babcntc mcdiu ouoq; extrcma oinifa ctit 1 ei 9 ma 
to: pomo i tanq'5 oimidiii maioiis lue ouplc.vcrbi gra fit.a.b.oiuifa ftn ^>po«io 
ne babcnte mcdiii ouoq3 octrcrha in.c.i maioi cins poaio fit.a.c? fit.d.e.tanqj 
oimidiii.a.b.i.d.f.taq; oimidiu.a.c.oico ergo cp.d.c.oiuifa c i.f Jm ^>po:tioan 
bfitem mcdiuj ouoq; cytrcma % maio: poitio d 9 c.d.f.pftat eui ct. 1 y.qnti cp pf 
po:tio.a.b.ad.3.c.e ficut.d.e.ad.d.f.vj oupluj ad ouplu; taq; fimplil ad fimplii 
qre pmutati.a.b.aditl.e.ficut.a.c.ad.d.f.igif p. i9.qnti.c.b.ad.f .e. ficut.a.b. ad 
d.c.eitaq^.c.b.onplaad.f.e.ficenic.a.b.ad.d.e.cuigiftota.e.b.fitonptaadto/ 
ta.d.e.c fijfc gtes.a.b.ad figrasicjtes.d.e.qre ex. 1 j.qnri 1. 1 i.xilde * oionc lince 




LIBER 




oiuifc ftn pponiocm biitcm mcdiii ouocvj ertrcma crit tinca.d.c.oiuifa i .f.quead 
modii (ppomt .Vluc igtc ocmoftrationi ci-qb ,ppofitu e ififiauV.Sd cufeveplii ut 
a.b.c.cirailW 1 ceuty.d.circufcribcs pcutagonu ouodcccdri % tngoriu vcoccdn q 
ambo tntcr cade fpcra citcufaibit t pcludit.ua ct. * .bui 9 mamfcftu c g> idc circul"' 
buius pentagonii i illi 9 trigonu arcufcribit.fit aiit linca.a.b.latus pcutagoni •» li 
nca.a.c.frigem.fitcp linca.b.tanq, tatus cubi ab cade fpcra circiifcnpti: oico ita/ 
qj ap ,ppo:tto omniu fupficiey ouodeccdrt ^itcr acccpta^ ad oee fu£f icics ycoccdri 
pitcr acccptas e ficut linca.b.ad linea.a.c. ,pducaf quidc a ccntro.d.ppcndicfaris 
ad.a.b.quc tranfcat vfq3 ad ctrcufcrcntia fecans.a.b.in puncto.c.f arcfi ct 9 1 pttn 
cto.f.banc autc ppcndicularc pftat oiuidcrcf> equalia ta linca.a.b. q*5 cius arcum 
cbo:da quidc.a.b.e fcoam ptftertie tertif:arcu vcro ci 9 p_ quat ta pmi i.rrxati) .i 
igif arcus.f.a occima ps circufcreutie.fubtcndat itaqj ftbi cboida.a.f.q ct it latus 
occagom cquilateri riufde circuli.erit igit cjc .9.trcdccimi tinca conftans cjc.d.f.f.a 
oiutfa f>m ,ppo:ttoite babente mcdiu ouoq^ ejctrema.c maio: po:tio eius crit luica 
d.f.St vcro cjcpnma buius.d.c.e cqualis oimidio.d.f.oimidioq^.f.a.i tongii oi/ 
rectuq^ coiuuctis.Sit igif .d.g.ppendlcularis ad.a.c.crttqj cr co::elario.s. tredc/ 
£imi.g.d.tanq"5 oimidiu.d.f.itaq^ fia linea.d.e.q cft tanq'5 oimidiu.d.f.a.cii.d.f 
s.f.a.fit linea vna: octrabafqs eqlis.d.g.q i tanq'5 oimidiu .d.f.crit p iilud qo au 
teboc ( pbatuctiuc«.d.c.oiuifar5m 1 ppoKioncbaberite mcdtti ouoq^ ejctrcmaet 
maio: pouio erit tanq^.g.d.ejc ocmoitrationeaut. ir.tredccimi coirat cp fi linea 
b.q c latus cubi oiuidafqj fim ,ppo:iione babete mcdui ouoq^ cjctrcma maio: po: 
tio dus erir tsnq*5.a.b.q c tatus pcntagoni figure. a.bafiu. itaq> pet fcbam bui 9 
.ppoitio.b.ad.a.b.eft ficut.d.c.ad.g.d.quare p p:ima pte.i y.icni: q6 ,pucnit cjc 
b.in.g.d.cqufi e ei qo fu ex.a.b.in.d.cEjc co::clano aut p:cmiffe mamfcftum cft 
cp ,ppo:tio omniu fupficiqz ouodeccdri cuius latus.a.b.riiter acccptay ad ocs fu 
perftcies ^coccdti cuius latus.a.c. paritcr acccptas e ficut eius qt> fit ejca.b.in.d.e 
adiltudqb fit cjc.a.c.in.g.d.igtf ejc pama ptc.7.quinti ?.i i.ciufde ,ppo;tio ci 9 qo 
yuenit cc.b.iu.g.d.ad illud qb .puenit ej.a.ciu.g.d.e ficut oinniu fupcrncicru^ 
illi 9 ©uodccedri ad oes buius ycocedri.at Vcro cius qo ,pucnit ejc.b.in.g.d.ad illo 
qo ,puenit ex.a.c.in.g.d.c p« p:imam (exti ficut.b.ad.a.citaqj p. 1 i.quinti p:o/ 
poMio omniu fupficicy iltius ouodcccdri ad ocs buius y cocedri c ficut .b.ad.a.c. 
quod e ^tpofitu.boc ipfu alitcr pwbare potcrim 9 .ft ad ipfu buius antecedcns nc 
tcffarium pmtfcrim 9 quod cft.C©i ctrculo cuiUbet pentagonus eqmlate 
rus inlcribatur rectangulil <p lub trodrante oiamcrri tpiius circuli et 
fub oextante iplins linee angulu iplius pentagoni lubtendentis con/ 
tinetur eide pentagono equu ec ejc neceilitate opo:tet.ODi3aio:cs , nor 
ftri vniiqdq5 iittegy in . a.ptcs cqles intcllectu 1 rone oiuiferut.oefqj cas fif.boc e 
iptn totu/aftem vocaucruut.vndecim Vcro ea^aoixeriit oeunce.occe aut pexrantc3. 
noue oodrante.octo vero Wffe.at fcptmu fcptttccm... . / . ,■ ...(q; iit felffc -qufq^ 
qulcttncc.qtuo: tricnte.trts aiit qdrate.ouas vero fejcratc. vna aiit appcllaucrut 
vncia/cafq5 p o:dine talib" oeftgnaucre figurislq fepilTime Tuenutt i anttcjs libns 

1 #* & & % 9 

. 3»- Dcunjc . Dejrtans • Dodrans - £« Septunj: - 

$ V? K V 1- f 

■ Qcmi» ■ Qmnamj; ■ Xriens ■ Quadras - Sqctans - 23ncia - 



^■1 






xim 

C Uncia qnoqj qu5 Ouodecima gtc affis fo:c oixim'' i alfas rurl 9 . 1 2.fr3tti6c9. S5 
alia via oiuifcrSt.na medictate vncie oirerut femivncta.tcrtia vcro ouelil.quarto" 
ficitiai.fexti fexcula.octaua oragma.ouodccima femilTicIam.occimaoctaua trcmif' 
fem.vigefima quarta fcrupuki.quadrageftma octaua obulii. feptuagefinu fecuda 
biiTiliqua .nonagefimi fcxta cerace.ZJltima vcro q e centcfim3 quadragcfima qr 
ta ps ipius vncic filiqua nomiuauerut.bis au 1. 1 2.fractionibus Vucic poftcrio:es 
adiunjcac calcu.fft aut calcusccnrefima nonagefima fccia ps V!tcie:cufadditio/ 
Bis ca fuit vt vfqg ad minima extrcmti oiatelTcron z oiapentc fimpbouia^ tonor: 
fcmitonomqj tntcruallts oiftinctajz bac fracrionii oenoiatio cofcederct vlcotende 
ret i ipfas omucs t»m ojdinc tahbus annotaucrc figurte. 

i> I \\) )" 9 4 O f * j C|; ri "H'9 

• Semiucia -Duclta -SiduS. Sextula • Drasma-5£miflVcla .Iremiffts- 

S9 14 *-T- 43 f\ fz ~Z. 96 ty> (44 ^L- >9i 

• Scrupnlus • Obolus - Sifftliqua • £eraces • Stltqiia . £alcus • 
C£ius crgo qbcicif:fcnf e:q> fiinaliquocirculopentagon^ecilatcrisinfcribaf 
illud qo fit c% trtb 9 qrris oiametri circult i quinq, fejctas lincc fubtedctis vmi er an 
gtilis tnfcripti pcntagoni cqlc e pentagono.vcrbi gri.Sir circfs.a.b.c. fup cety.d 
eiqj cx- 1 1 -qrti infcribaf pentagon 9 cquitatcr 9 cui" ouo latera vnu ex fuis angulis 
ptinctia fint.a.b.t.b.c.t angro.b.fubtendaf linca.a.c. i .ptrabaf oiamctcr.b.d.e 
fecas hnca.a.c.gecjlia in puncto.g. fitq3.d.f.mcdtctas.d.c .?.g. b.oupla ad.b.c. 
tritcp.b.f.oodras oiamctri:ecni tres qrtc ipft" «.a.b.crit ocxta3 vd fcrtas.a.c.e 
«ni.j.fextc cius:,prrabaf aiit ltnea.a.d:oico cp tllud qo pucnit cx.b.f.in.a.b.c c/ 
qle pctagono infaipto circulo.cu cni.a.g. fit ppcndicularis ad.b.d.crirex.41 .pmi 
1 tllud qd.pucuit cx.b.d.in.a.g.ouptu e ad trianguui.a.b.d.ioqj qo ,pucmt cx.b. 
f in.s.g.trtpli» crit ad cundej tnangulu 1 qo* pucnit cx.b.f.in.b.g.ouplu zcy.b. 
f.in tota.a.b.quincuplu .cu itaqj rotus pentagon 9 quintupl 9 fit ad cttdc trianglm 
coftat q> tftudqo ftt cjc.b.f.in.a.b.e cqlc pcntagono 1 tliud crat oem6ftradu..Qd 
igif ex pucipio .ppofitti c nunc alta via ficut pmtfim 9 oemoftrem 9 . fint itaq^ circ» 
lo cut 9 ccnty.b.tufcriptt pcntagon 9 ftgiirc. a.bafui t trigon 9 fignrc. lo.bafiuj qs 
cadcm fpcra circiifcribit.£ortftat cni cr.5 .but 9 q> btii 9 ouodeccdri pcntagon 9 1 il 
lius ycocedri trigon 9 ab code ctrculo circiiduccnf.fitqj pcntagon".a.b.c.d.c. % tri 
gonus.a.f.g.tangu^o.a.pcntagonifubtcndaflmca.b.c.qct ocmoftratione.ir. 
tredecimi crit lat 9 cubi que eade fpera c6diidit:,ptrabaf itaq^ o.amctcr.a.b .k.fe/ 
caus ojtbogonalitcr 1 p cqualia vtraq, ouair (tucair.b.cz.f.g.bac c\dc i puncto.l 
ill j vao in pijcto.m.oico g cp ^pouto oiuj fupftcic^ ouodcccdri ad oes ycoccdri 
quoy pciiragon" % trigouus ^pofito ciraito ftut infcripri c ftcut Itncc.b. e.quc cft 
latus cubi ab eadc fpcra concluft ad lineam.f.g.que cft larus trigoni jcocedri. con 
ftat cnim cc couclario octauc trcdccimi q? linca.b.m.e oiintdiij lincc.a .b. ioq^.a. 
ni.erit oodrans oianictri.a.lc.c cni eius trcs quartc. ftt crgo. l.n.oupla ad. n.e. 
crtrq? .b.n.ocxfans.b.e.cftcniquitaci^fexrc.itaq^pcr pmiiTuaiis qopwucnit 
ex.a.m.in.b.u.crit cquale pcntagono.a.b.c.d.e.qo aure puenit ex.a. m.in.m.f.e 
cqualc triangulo.a.f.g. igtf ex p:ima fexti ^pojtio pauagoni ad trigonu cft ficnt 
b.n.ad.m.f. quarc ouo occuplt illius pentagoni ad vigincuplu iftiu.; rrigoni ftnt 
ouodccuplilmcc.b.n.advigincuplum lince.m.f.qbex.ij.quintii equa p:opoj/ 
tionalitate manifcftum cft ouodecuplum aute.b.n.e tanqj cccuplu:u . b.c.na. 12. 





LIBER 





oextates cocquat.jc.affcs boc cft.i;.tota:vigincuplu vcro.rh.f e" tanq^ tecupui.f.g 
nam.f.g . eft oupla ad.m.f.igif ouo occupli iftius pentagoni ad vigincuplu iftius 
trigoni eft ficut occupli.b.e.ad oeaiplij.f.g.cq: ouodccuplu illi 9 pcntagoni c ocs 
fuperficica ouodcccdri.' vigiiicuplft autc buius trigoni cft omnes fugficics ycocedri 
i quia pcr. if .quiuti oecupli.b.e.ad occuplu.f.g.ficut.b.c.fimple ad.f.g.fimplam 
erit pcr. i i.quinti .ppomo omniii fnpcrficicy ouodccedri paritcr accepta£ ad ocs 
fupcrficies ycocedri pariter acccptas ficut.b.e.ad.f.g.£t boc e quod opoit uit nos 
oemonltrare. Hb2opolitio .9. 

1 3Ta»ra qlibet linea lcDrti ,ppo2tionc babetc mcdifi Ouoq^ 
! qctrem a erit ,ppo2tio littcc potctis utp:a tora linca ci^q, 
! ntaio2e poJtione adlincapotetcfnpjatotaciuiclcqinu/ 
wo2cpo2tionc tacJ5 ,ppo2ttcMateris cubiadlat^triaguli 
! co:gis vtginti baiiu vna cii cttbo ipfo i eade fpcra ptenti. 
CSitlinea.a.b.oiuifafcbmpjopojttoncbabciuemcdiu ouoqj extrema cmaio: 
po:tio eius fit linea.a.c? fupcr centy.a.ftu quantitate lincc.a.b. ocfcnbaf circul 9 
d.b.e.eiq^ infcribaf cr.. 1 i.quarti pcntagonuscquilaterus cuius vnu latns fir. d.e. 
cet: fecundaeiufdem triangutuscquilaterus cuius vnumlarusfit. d.f.cvniei: 
augulis pentagoni qui fit.d.fubtcndatur linca.c.g.jConftat igit ex- j. bui 9 cp fpc/ 
ra circufcrtbcns ouodcccdron cuius pentagoni latus eft.d.c .circufcnbit ftfycoce/ 
droncuiustriangulilatuse.d.f.^ejc ocmoftrattone. i7.trcdccimi maiufcftum c 
cp eadem fpera circumfcnbit cubum cuiuslatus eft.e.g.fumaf ergo linea.b.pote's 
fuper totam.a.b.? eius maioiem poitionem .a.c.c fumaf .k.potcns fupcr totam 
a.b.z mino:e eius poitioncm .b.c.oico itaqj cp ,ppo:tio.e.g.ad.d.f. boc e latcris 
cubi ad latus trianguli ycocedri vna cu ipfo cubo ab ipfa fpcra contcnti:c ficut.b. 
ad.k.Coftat qdeqb ei;co:iclario. ij.qrti cp.a.b.c tancj^ lat 9 eragont equilateri cir 
culo.b.d.c.infcripti:igif ex tcrtia buius.a.c.cft tacft larus occagoni ciufde circuli 
itaq; pcr. 10. 1 3.d.c.potcns e fupcr tota.a.b.c eius maio:e poitione.a.c.quarc.d. 
c.eft cqualis.b.na quadratum vtriufq^ earum tantu eft quantii quadrata ouay li 
neaj;.a.b.t.a.c.pitcr acccpts: P5 aute c% octaua. 1 j.cp.d.f.cft tripla potcmialitcr 
ad.3.b.3t vcro ei;. j. eiufde patct cp.k.quoq5 tripla cft potcntialitcr ad.a .c. crgo 
cxfecundapartc.2i.fcxti^)poitio.d.f.ad.a.b.eficut.k.ad.a.c.quarcpmutati.d. 
f.ad.k.ficut.s.b.ad.a.c? quia ejc ocmonftratione. i>.rredccimi manifcftu c q> fi 
e.g.oiuidaf f>m .ppoitione babetc mediii ouoq^ c^trcma maio: po:tio eius crit ta 
q'5 .d.c.critt3fc6ambuius^po«io .c.g.ad.d.e.ficut.a.b.ad.a.c. qrep.n.quinri 
erttqnoq5.e.g.ad.d.e.ficut.d.f.ad.k.ipmutatim.c.g.ad.d.f.ficut.d.c.ad.k. £t 
q:pcrp:imap_tc.7. quinti.d.e.ad.k.ficut.b.ad.k.cocp.d.e.t.b.funtcqualcserit 
per. 1 i.quinti.e.g.ad.d.f.ficut.b.ad, k.qo' cft p:opofitii. 116 folu aut cft ,ppo:tio 
e.g.latcris cubi ad.d.f.btus trianguli ycoccdri ficut.b.ad.k. imo fimplidtcr ficut 
quarumlibet ouarum lincarum vnius ad altcra:quarum altcra potcft fug tota qua 
libctlineam oiuifamf-mpioportioncmbabcntcmmedium onoq^ c>trcma 1 fug 
eius maioicm po:tiofic:altcra vero fupcr totam i eius minoicm po:rionc.na ftn/ 
gulajj lincarum taliii e px>po:tio vna: verbi gratia.manear p:io:cs vpotbcfcs cir/ 
a lineas.a.b.b.f.k. i fumatur quoq^ quclibct alia linca q fit.l.m. cuufa fm p:o/ 
poitione babe'tem medtum ouoq, extrema in.n.i po:tio maio: fit.l.n.fitq; linca. 
p. potensfupertotam.l.m. «eius maiotcm poitioncm.I.n. 'jlinca.q.fitpotcns 



■H^H 



XIIII 

fupcr totam.t.in.c cius minoiepojttonc.m.n.oico crgo q> ppoitio.p.sd.q.cft fi 
ciit.b.ad.k.c6ftatciuo:fc6abui 9 (j7.ba.ad.a.c.cficut.l.iH.3d.!.ii.crgogp:iiam 
gtc.2i.fcxtiquadrati.b.a.adquadratri.a.c.cfi''utqdrati.m.I.adquadratij.n.l. 
quatcconiunaimqtiadrati.b.adquadratu.a.c.fkutquadrati.p.3dquadratu.l.ii 
^pcrmutatimquadrati.b.adquadratu.p.ficutquadrati.a.c.adquadratum.l.n. 
,£ode argumctationis gcncrc fequit q> .ppoitio quadrati.k.ad quadratii.q .cft fi 
Ci1tqt1adrati.cb.3dquadr3tu.11 m.tqjctfcoa buiusejcpiimaptc.zi.fexti qua/ 
dratu.a.c.adquadratij.l.n.ficutquadratu.c.b.adquadratu.m.n.critex.ii.quiti 
quadratu.b.ad quadratti.p.ficut quadratu.k.ad qtiadratii.q.quare p fcoam gte 
2i.fcxti.b.ad.p.ficut.k.ad.q.£tEmut3tim.bad.k.ficut.p.ad.q.q6cratoemoii/ 
ftrandu.? nc quifq'5 oubitationis locus ea quc oemoftrada reftaut obfufcct :pie/ 
mittcndaadbucarbitramur qucda quibusfcquctiafirmo ocmoftratiois robo:e 
iucocuffapcrmancant. 

CSt aliqua plana fuperficies fperam quiilibet fecet cois oifferentia 
plane fuperficiet fccautis 1 curue fuperficiei fpere erit circumferentia 
contincnscirculum. 

G5it igitaliqua plaua furjficies fecans fpcram 1 fit linca.a.b.cois fectio fupficici 
fecantis z fupficiei fpcre.oico cp linca.a.b.eft circufereutia circuli.aut eni centrum 
fpere cft in plana fugftcie fecantc.aut cxtra. Q6 fi fuerit in ca ponat vbicunqs ?ti 
gcrit z fit.cQuia crgo tota linea.a.b.c in fugficie fpcre z qj omncs lincc ouctc 3 
centro fpere ad ipfius circufercntia funt cquales queadmodit conftat cj: eifftnitio 
ne fpere.fcquitur vt omncs linee ouctc 3 puncto.c.ad linca.a.b.fint cquales.e igic 
c% oirVinitionc circuli fupcrficics qua continct liuca.a.b.circulus z eius ceiity e .c. 
vidclicct ide q> ccntz; fpcre.fi aiit centru fpcrc roerircrtra fupcrficic fecantc: poua 
tur crgo vbilibct q6 fit.d.a quo ftn oocrrina . 1 1 .vndccimi oucaf linea.d.cpcrpen/ 
dicularis ad fupficic fccante z .ptrabanf ab codc ccutro.d.ouc lincc rcctc quocuqj 
coiitinsatadl.nca.a.b.qucfint.d.a.c.d.b.tiungat.c.cu.a.icii.b.eruntqjoueli 
ncc.d.a.?.d.b equalcs co cp ipfe fuut a ccntro fperc ad fupcrfkiem cuis:ei:oiffi/ 
nitionc autc lince perpendicularis ad fnpcrficic.manifcftii eft ct> auguli.d.c.a.cd 
cb.fiit rccti-.idcoqj c]t penuf.piimi 1 ifta coi fcia:quc equalibns fut cqualia itcr fe 
funt cqualiaterunt quadrata ouayliucay.c.d.-J.c.a.paritcr acccpta cqualia qua/ 
dratisouaElincaf.d.c.T.c.b.pariteracccpttsioemptoitaq^vtrinqiquadrato.d 
c.crit quadratu.c.a.cquale q'drato.c b.qnarc z liuea .c.a.lincc.c.b. _£odc argume 
tationis gcncrc ncccfle eft omneslincas ouctas a puncto .c.ad Imca.a.b.ce eqlcs 
crgo cjc oiffinitionc circuli fnp.ficies qua continct Imea.a.b.cft circtil" c ci 9 centruj 
clt.c.quod cft piopofitum. 

CiEicbocitiiqiniamfeftumeftcpcumfuperficicsfccat fperani fupcr 
centran cius fccto: ^ueniens tn fuperrtcie fpere cft linea continens 
ctrculum cuiuscentrum eftcentrum IpercXum autem fuperficicsfe 
catfperamnonfnpcr centrumetus fccto: quoqipioucuicnsifuper 
ftctc fpere cft linea contmes circulu cuius centy e punctus ille in quo. 
iucidit ppendiculans oncta a centro fpere ad fuperficiem fecantcm. 
Camplitis anrcm oico cp 

GSi in fpcra aliqua fiierint circult equales ppendiculares Oucte a ce 
trofpere jdfupficiesillojunicirculoium crunt adinuicem equales. 




LIBER 





GSinr i fpcra cuius ccnt^ .a.fignati ouo circuli.b.c.c.equales ad quozz fup/icies 
^trabanf a ccutro fperc vidclicet a puncto.a.perpendiculares ftn cp oocet.i i.vn 
dccimi:adbut)cquide.a.b.3dil!uautc.a.c.oicoqjouelinee.9.b.'Z.a.c.futequa/ 
les:,ptrabai»f eni a punctis.b.t.cfingule lincc rccte ad circufercntias iUo£ circu / 
lox? ,put libucrit:iu boc quidcm.b.d.in illo ant.c.e.z iungaf .a.cu.d.c cum.e. erit 
q5 cjc oiffinitiouc lince fup:a fuperficic ppcndiculariter ftantis vtriq5 ouo2j angu. 
los.a -b.d.a.c.c.rectus.at vero cjc fcoa gtc pmifli co::elarij. DOanifcftu e cp ono 
puncta.b.t.c.fuiitccntracircnlo^.b.c.idcoqjouelince.b.d. i.cc. funt femidia/ 
mctri eo£:qui circuli cu ponanf cquaks fcquif ct oiffwitione cqualii» circulo? bas 
femidiamctros clTc cqualcs:? quia oue lincc.a.d.c.a.e.funt cqualcs q: funt ouctc 
a centro fperc ad eiu3 fupficiercrunt er penut'.p:imi oue ppcndicularcs.a.b.i.a.c 
cqualcs qo opo:tcbat ocmonftrare.Tlunc igitnr ad p:opofitum rcdeamus. 
1(b20pofitio .10. 
1Ivopo2tio C02p02is ouodecedri ad co2p ? ycocedrt q am 
bo vnaeadcqi fperaicluditieftftcutoniuiu fnperftcieru 
eius piter acceptaiz ad ocs fupficies tllius piter acceptas 
Oboc eft q6 fuperius poft oemonftratione p:ime buius auctowa 
te ariftei <i apolloni j c6mcmo:auimus cui 9 ocmonftratio ejc bis q / 
p:cmifla funt euidenter elicif .£ % quiuta quide buius manifeliu e" q> circuli quo:uj 
altercircufcribit pentagonnouodcccdri:rcliqu 9 Verotrigonu ycoccdri quc ambo 
co:po:a fpcravna cobcrcctfuntadinuiccm equalcsataq^eruntpcrpcndicularcs 
a centro fpcrc ad fupcrficics onmium circulo^ circufcribentium pentagonos bu/ 
ins ouodeced:i 1 trigonos illi 9 ycocedri i coy centra cadcn tcs adinuiccm cqualcs 
ficut cji p:cniiffis manifeftu e nam omnes bi circuli tcfie .y .buius ficut oictS c cq/ 
lcs funt fibi adiuuicc piramidcs: igitur quai; funt bafcs pcutagoni ouodcccdri co 
ni aute cay funt cent? fpcre atq^ piramides quaz: bafes fut trigoni ycocedri: i co 
ni eay fimilitcr ccntrn fpcre funr eque altc cunctay quide ptramidu altitudinc mc 
furant vel oetcrminant a conis ad bafes ppcudicularcs C3dentcs:piramides autc 
eque altas fuis bafibus .ppottionalcs efle oponet queadmodum in.c. ouodccimi 
p:obatu efhitaq^ p:opo:tio piramidis cuius bafis pcntagonus ouodcccdri ad pt 
ramidc cuius bafis trigoni ycoccdri c ficut iftius pentagoni ad bunc trigonu.ioq^ 
pcr.24.quinti ,ppo:tio ouodccupli illius piramidis cuius bafis pcntagonus ouo 
dccedri ad piramidc cuius bafis trigouus ycoccdri (icnt ouodccupli illius pcntago 
ni ad bunc trigonu .bce aiit. impiramidce quaz? funt bafes. u.pentagoni ouodc/ 
ccdri funt tanq'5 totu co:pus ipfius ouodcccdn.at. u.pcntagoni tanq^ ocs fupcr 
ficics cius:itaq5 ,ppo:tio co:pous ouodcccdri ad piramide cuius bafis cft trigo/ 
nu3 ycocedn c ficut ,ppo:rio omniu fueficiqz.ouodcccdri ad trigonu «occdri.qua 
re rurfus ejc. 24.qumti ,ppo:tio co:po:is ouodeccdri ad rigiiicuplii illius pirami/ 
dis ciiius bafis cft trigonus yccccdri e ficut omniu fupficiei> ouodcccdri ad vigiu 
cuplti trigoni ycocedri.cii igif vigiucuplu buius piramidis lit tauq, totu co:p 9 yco 
cedriadvigincuplii iftius trigoni ranq^ omncs fupcrfictcs ipfi 9 ycoccdri crit ^>/ 
po:tio co:po:is ouodecedri ad co:pus ycocedri quc ambo vna cadeq^ fpcra cou/ 
dudit ficut ,ppo:tio omnui fupficicx: co:pis ouodecedri pitcr acccptas ad omncs 
fupcrficice co:po:is ycoccdri pitcr acccptas.boc aut cft pxdictor pbilofopbonnn 
oe p:opo:tioiie bor ouor co:pox: fciitcntia fij:a folidaqj ceinoftrancc robo:ata. 



^^^■■■^■^■K 



XIIII 

cui qtioq? adijciendii eft boc.nam cnm ppoitto latcris cubi ad latus trianguli cos 
poris ycoccdri vna cu ipfo cnbo ab cade fpera coclnfi fit ficut ,ppo:tio omniu fup. / 
fictcy co:po:is ouodeccdri gitcr acccptay ad omncs fupcrficies ipftus ycocedri m 
eadem fpera coclufi ficut er.8. buius oemonftratu efhcrit ex-i i.quinti p:opo:tio 
coiporis ouodccedri ad co:pus ycoccdri que ambo fpera vna circuuoluit tacJ5 p/ 
po:tio latcris cubi cidcq; fpcre infcriptibilis ad latus ipfius trigoni ycoccdri .3m 
plius aut qi oiuifa qualibet linea fm p:opo«ionc .babcntc mediu ouocrj extrema 
eft p:opo:tio lince potcntis fuper tota ? cius tnaioie po:tione ad linea potente fu 
pcr tota 1 eius mino:e poitione ficut lateris cubi alicuijfpere infcripti ad latus tri/ 
goni coipoits ycocedri ab eade fpera circuducti ficut cr.9. buius ocmonftratum e 
erit etta e%- 1 1 .quinti vt oiuifa qualibet linea frn ppo «ionc babcnte mcdiu ouoqj 
ejctrema fit ppo«io linee potentis fupcr tota ? eius maio:e pojtionc ad linea po/ 
tcnte fupcr tota ? eius minoje po«ione veluti ppo:tio co:po:ts onodcccdri ad C02 
pus ycocedrt que ambo vna atqj eade fpera circufcribit.£r oictis igif manifeftum 
eft cj> ,ppo«to latcris cubi alicui fpere infcripti ad latus trigoni ycoccdri ab eadcm 
fpcra circufcripti .itcmqj .ppoitio cuncta? fuperficiqz ouodccedri ad cunctas fup 
ficics ycocedri que ambo fup cadc fpcra circufcribit.£t rurfus ppoitto linee poten 
ttsfiiperqualibetlmeaoiuifafm!p:opo«ionebabcnte mediu ouoq; c^trcmact 
fupcr cius maioie pojtionc ad linea potente fupcr eahde ? ftipcr cius minore poz/ 
tionc a.tqj itcp ppo«io co:po:is ouodcccdri ad co:pus ycocedri quc ambo vna ea 
demqj fpera cobercct cft p:opo:tto vna.DBirabilis itaq; cft potctttia linee ftn p/ 
poitione babcute mediu ouoq, etfrema oiuife:cui cu plurima pbolofopbjtiu ad/ 
miratione oigna coucniat boc pncipiu vcl pcipun er. (upcrioy pitcipio^ inuaria/ 
bili ^cedtt natura vt ta oiuerfa folida tu magnitudinc tum bafiti uumcro t» etiaj 
figura irronali quadam fimpbonia rouabihtcr conciltet. £Juippe oemonftratum 
cft ep piopo«io ouodecedri co:po:is ad ycoccdron co:pus q ambo fpcra vna co/ 
ambir cft quafi ppo:tio lince potentis fup qualtbet linca frn ptcfata p:opo«ione 
oinifa 1 fupcr cius maioic partem ad qualibet liuea potcntc (uper candcm ? eius 
mino:e gtem.quonia Vero oe tribus ceteris co:po:ib 9 regulanbus no babem 9 ali 
quidoictnftndeam 9 oetpfi3aliquidoiccre. "]{bJOpofttio .11. 

1 TRomtn triangulo equilaterofiabvnoanguio:umeius 
I perpendicularis ad balim oucatur latns eiulclem triangn 
li ad ipla ppedtculare poteiitiafr fcjcquitertm ec puentet . 
j GSit eni triangulus equtlaterus.a.b.c.oucafq; ab angulo.a, linca 
j a.d. gpendicularis ad bafim: oico cp. a.b. e potcntialr fcvqiiitcrtiu 
ad.a.d.funt quide ejfcj; pmi ouo anguli.b.s.c.eqles 1 quia anguli ad.d.funt recti 
crit g.ze.pmi Imca.b.c.oiuifap equalia in pucto.d.itaq5 cf. quarta fcoi quadratu 
b.c.qdruplu ad qdratu.b.d.ioq; ctia qdratu.a.b.qdruplu c ad qdratii. b.d. £(t 
eni triangul 9 cquilater qre p pcnut'.p:imi qdrata oii3?2 Uneay.a.d.c.b.d.paritcr 
accepta quadruplu fut ad qdratfi.b.d.itaqj qdratu.a. d. tripitl c ad qdratu. b.d. 
coftatergo ppofitu. ^:opolitio .12. 

Xlbms trigonus eqtnlaterus cuius e lattis ronale fupfici / 
cs medtalis ec ,pb3t.C.5it vt p:ius triangulus.a . b.c.cquilarc/ 
rus ? fit Utus eius .a.b.ronale fiue i longitndtne fiuc i potentia tm 
oico itaqj g> ipfc triagulus c fup.ficies medialis: oucaf cni gpcdicu/ 

r 






LIBER 



-• 




laris.a.d.ab angulo.a.ad bafim-.critq^ ejc p:cmiffa ct qc.d.oecimi z oione fupcr/ 
ficici ronalis quadratii lince.a.d.ronalc i Iinea.a.d.r6nali6 in potentta:ipfa autc 
ejc vltima partc.oecimi mediautc pjcmiffa crit incomenfurabilis lincc.a.b.ideo/ 
qj i linea .b.d.quc eft tanq*5 eius oimidiu.funt itaq, oue lincc.a.d.f.b.d.ronales 
potcntialiter tantu coicantes.igif cjc. i9.oecimi fup/icies vnius eazj in alteram eft 
mcdialis.cunq, fuperficies vnius carum in altcra fit equalis trigono.a.b.c. pftat 
verucffequodotximus. IfbJOpoftCio .13. 

asjjtlncte fupftcies vtriuflibet &uoyfolidoj:quo:ujaltcrul 

M eft ptrarms quatuoz balium triangularinm i equilaterazr 

^ reliquumveroeftcojpus octo banum mangularium et 

iMajj§||H equilatera^pariter accepte:fi Oiametcr ipcrceaciraim 
fc^Sg^l fcrtbentisronalis racritcomponutfuperftcie mcdialem. 





Cllam fi oiametet fpere altey ouo^z p:opofitoy cojpo:um circfffcribcntis fucrit 
ronalis fiue in longitudine fiue in poten tia tm :erit c% co::clario. i j.tredecimi lib:i 
latus piramidis ronalc in potcntia ? ct co::dario. i ^.eiufdcm latus quoqj co:po / 
ris octo bafium ronaie in potentia.quarc per p:cmilTam trianguli qui funt bafcs 
vtriuflib) co:pjs erut fupfictes mediales.? q: trianguli vtriuflibj cor fibi adinuicc 
funt cqualestcrunt ccii.oecimi omncs fup/icies vtriuflib^ coy paritcr acccpte co/ 
poncntes fnperficie medialem qucadmodff ,pponitur.tt. 
•)(b2opoutio .14. 
si 3f tctracedron 1 octoccdron vna eademq5 fpera circum / 
'I tcribat erit Vna ejc baftbns tetracedri fejrquitertia ad vna 
, ej:baiibusoctocedri:oc6autbafesoctocedripiter acce/ 
ptas ad omes bafes tetraccdri pariter accepta^ fejrquial / 
I! tera ,ppo2tione babcrc nccc(k eft. 
C5it aliqua fpera aiius oiamctcr.a.circufcribcns piramidem cui 9 hf.b.i octo/ 
cedron cuius latus .c.oico itaqj cp triangulus equilater 9 cuius latus.b. fcxquiter/ 
tius e ad triangulfi cquilatey cuius latus.c? q> furjficics qua pponut octo triau/ 
$uli cquilateri cuiufq5 quozz e latus.c.fcxquialrcra c ad fupfic cm qua componunt 
quatuo: trianguli equilateri cuiufqj quor eft Iatu3.b.c6ftat eqi c% co::d'. 1 j.trcdc/ 
rimi cp quadratu.a.ad quadratfi.b.ficut.<?.ad.4.igif ecouerfo quadratfi.b.ad q/ 
dratu.a.fkHt.4. ad.6.£? co::clario vcro. 1 y.eiuldc manifcflfi cft q> quadratum.a. 
ad quadratii.c.ficut.ff.ad.3 .itaqj pcr cqua ,ppo:tionaltt8te quadratu .b. ad qua/ 
dratu.c.ficut.4..ad.;.quadratuaut.b.adquadratu.c.eficuttrigonuscquilatcrus 
euius latus.b.ad rrigonfi cquilatcrfi cuius latus.c.Utrobiqj eni cft ficut.b .ad.c. 
,ppo:tio ouplicata c% fecuuda pte. iS.fcjcti:igirur trigonus cquilaterus cuius latus 
b.ad trigonii cquilatcr cui 9 lat 9 .c.ficut.4.ad. j.quarc coftat p:ima ps ^pofiti. £ y. 
quo euidcntcr elicit fcoaterit eni g pucrfa ^ppoMionalitate trigon 9 equilaterus cui 9 
latus . c.ad trigonu cquilatcr cuius latus.b.ficut tria ad quatuo:. ioqj oauplum 
trigoni cglatcri cui 9 lat 9 .c.ad qdruplu trigoni eqlateri cui 9 lat 9 .b.cft.ficut octuplff 
ternarij ad qdruplu qtcrnarij . boc aut licut.24.ad. 1 6.1 q: octuplumtrigoni eqla/ 
teri cui 9 lat 9 .c*e omes bafes octoccdri cui 9 Iat 9 .c. 1 qdruplu trigoni eqlateri cui 9 
lat° .b.e oes bafes piramidis cui 9 lat 9 .b.« q: ^>poitio.24,ad. \6-c~ fcxqqaltera fcq 
tur vt fupTicies qua coponunt ocs bafcs octoccdri cui 9 Iat".c.ad fupficie qua copo 
nut oes bafes piramidcs cui 9 tat 9 .b.fexqaltera ficut Oirim 9 i ;p pouione refpiciat. 



XIIII 




1|b*opolitio .iy. 
^ramidc quatuoz bafiumtriangulariu arqiCqlateraru 
tntra fpera qualibet collocata 11 a quolibet aiiguloy eius 
per centrum Ipere recta linea ad bafim Oucatur in centra 
circulibaftmcircufcrtbentis camcadereatq^cidem bati 
perpendiculariter inftftere neceffario comp:6batur. 
GSit piramis ,a:b.c.d .4. bafinm triangulariu atq; cqlatera? irttra fpcra aliqua 
cuiiiB ccntru fit f.collocata s cfi quilibet quatuo: angulo? iftius piramidis poflit 
efTe conus eius at qlibj qruo: triangulo? bafis 3maginemur nfic cius folidu 5gu 
tum.a.effe confi 1 triangulfi .b.c.d.imaginemur clTc bafim atq; buic bafi intclliga 
muscircfifcriptfi effecirculfi.b.c.d.oebincapuncto.a.que imaginati fumusco/ 
num piramidis oucamus ad bafim.b.c.d.linca recta tranfeunte pcr punctfi.f.qui 
eftcentmfperecircufcribentispiramideocquaoifputamus loccurrat bec liuca 
fupcrficiei .b.c.d. qua imaginati fumus bafe piramidis fup punctii .c. oico igit cp 
punctu.e.e cetru circuli .b.c-d.i cp linea.a.f .e.e perpcndicularis ad fupficic.b.e.d 
p:oducam cnim lincas.f.b.f.c.f.d.s q: quatuo: puncta.a.b.c.d.funt in faperficie 
fperc cuius ccntp.f .^ppter boc cp illa fpcram pofitii cft circumfcribcre banc pirami 
dem crunt omnes quatuo:linee.f.a.f.b.f.c.f.d.adinuicem equates funt enim ouc 
te a eentro fpere ad eius fupcrficiem:ergo q: ouo latera.a.f.c.f .b.trianguli. a.f.b 
funt equalia ouobus lateribus.a.f.c.f.e.trianguli.a.f.c? bafis.a.b. bafi.a. e.na 
pitamis pofita eft cquilatera:erit c% octaua p:imi angulus.a. f.b. cqualts angulo 
a.f.c.ideoqj p.i j.primi agul 9 quoqj.b.f.e.crit cqlis agulo.c.f.c.£ode modo ;pba 
bis angulfi .d.f.e,effc cqualc angulo.e.f.e.ncceffc eft cni ejc octaua p:imi ut angti 
lus.a.f.e.fit equalis angulo.a.f .d.quarc g.i j .p:imi angulus quoqj.c.f.e.erit eq/ 
lis anguto .d.f.e.funt igitur tres anguli.b.f.e.c.f.e.d.f.e.adinuice cqualcs.p:otra 
eti3 igif lineis.c.b.e.c.?x.d.fcquif c? quarta p:imi bis affumpta eas cffc adinui/ 
cem equales.idcoqj per.9. tertij punctus.e.e ccntrfi circuli.b .c.d. % q: perpcndicu 
laris oucta a ccntro fpere ad fuperficie cuiuflibet circuii eam fecantis cadit fug ccn 
trfi eiufdc circuli ficut cy. bis que pmilTa (ut vidclic3 cjc bis q oecima bui° immedi/ 
atc pccdunt oidicifti couincif linea.a.f.e.ee ppediculare ad fupficicm circuli.a.b.c. 
qucadmodfi yponif .Sin afit erfit eiufdc circult ouo cetra qt> natura tanq; ipofli 
bilee)tbo::uit. 1fb:opofitio .\6. 

i^lidumoctobauu triangulariu atq^equilateray qoab 
aliquafpera circufcribitur oiuifibileeft inouas pirami 
des eque altas qua? altitudo equalis e femidiametro fpc 
retbafts autc vtriufqj quadratfj qr3 eft fub Onplu quadra/ 
to OiamCtri fpere.GJEfto co:pus octo bafifi triangularium atq^ 
cquilatera^ cuius fcjc anguli fint.a.b.c.d.e.f.circfifcripta a fpera cuins ccnrrnm.g 
conftat itaqs cp fc* puncta .a.b.e.d.e.f.funt in fupcrficie fpere cuius ccntrum.g. 
fi igif centru.g.iungatur cii quolibet bo£ fejc puncto^: erfit oue linee ifigcntcs ipffi 
eis admuice cqualcs cfi ipfe fint a centro fpere ad fuperliicie:cfi aiit ejc corel'. ij.trc 
decimi fit oiamct er fpere potentialiter oupla ad lat" bui 9 co:gis crit ejc qua rta fcei 
latus buius co:po:is potcntialiter ouplfi ad femtdiamctp fpere.quadrarfi crgo.e. 
f. ouplfi eadquadratfi.c.g.ioq^eqleouobusquadratis ouaylinear.c.g.i.g.f. 
itaq; p penut'.p:imi angulus .c.g.f ,e rectus.eadem rone quifqj triaiigulo^.f.g.d. 

r 2 










LIBER 

d.g.c.«.e.5.c,e(lrc« 9 quarcp.i4.pmi«.t.g.d.c.f.g.c.clmea«'iia:igifcxfc£ia.ii 
«jninqj pimcta.cf.d.e.g.funt in fup.ficie vna.POanifcftu e aut ct qtiinra p:imi:? 

32.ciufde cp quihbct quatuo2 ansulo^.c.e.d.f.e rcctus:isit cx oiffinitionc quadra 
ti fupficics.c.c.d.f.c quadrata.i q: latus ciu3 e latus .ppofiti co:po:is.conftat ejc 
co::c!ario . i j. tredccimi iftud quadratu cffe fubduplu qdrato oiamcrri fpcre. co/ 
fili quoqj rocinationc pftat vtraqj ouap lincai/.a.g.-z.g.b.cii qlibct tjtuo: liucay 
cg.f.g.d.g.e.g.contincre angulu rcctuiioq, ex.4.vndccimi vtraqj czy ce pcrperi 
dicularc ad fupcrficicccd.f.? ambas fc5.a.g.c-g.b.p. i4.pmi componerc lineaj 
vna:oiuifuin c igif ppofitu co:pus in piramide.a.cf.d.e.cuius bafis quadratu.c 
cd.f.quod cft fubduplu qnadrato oiamctri fperc z ctia altitudo Imce.a .g.que eft 
femidiameter fpcre « in piramidcb.c.f .d.ccuius bafis eft p:edictu quadratum z 
«ius altitudo liuca.g.b;quod cft fcmidiametcr fperc? boc e q6 opouebat ondct e 

l[b:opofitio .\r. 

Iframide quatuo: bafium triangulariu atqj equilatera^ 
fpera aliqua circufcribeutc erit p:opo:tio terragoni qui 
fub linca potentialiter fub fejrquitertia ad oodranri late/ 
ris ipfius piramidis i fub linea fupcr quinq?fJtiente vicc 
limasfeptimas ciufde oodrantis cotinetur ad quadratum 
Oiametri fpcre ficut co:po:is ipfius piramidis ad co:pus octo baiiu 
triangulariij atq5 equilatera^ qneambo eadem fpera circuducantur 
C6it fpcra cuius oiametcr.a.b.t ccntru.b.circufcnbcns piramidcm quatuo: ba/ 
fium triangulariu atq, cquilarcrajca.cd.? co:pus octo bafiu triangularium atc^ 
cqmlateraz/qo fit.c.fitq, linca.l.m.potetialiter fub fcyquitcrtia ad oodrantcm li/ 
nce.a.c.quc e latus piramidis z linea.n.m.cotineat oodrantc p:edictu z ei 9 quin 
q> viccfimaffeptimas fitq^.p.quadratu oiamctri.a.b.oico iraq^ q> j.ipo:tio pira/ 
midis.a.cd.adoctoccdron.ccficutfupfkici.l.m.in.m.n.adquadr3tu.p. imagi 
nemur cni folidu augulu.a. cffc conu piramidis z bafi^ piramidis cums vnu lat 9 
eft.d.cfecare oiamctrn fpere in puncto.f.critqj qucadmodu ex rocinatioc i j.trc 
decimi manifeftu ca.f.oupla ad.f.b.cunq, eria.a.b.fit oupta ad. b.b. crft cx.iV 
quinti.b.f.onpl3ad.b.f.i6q5.a.f.quadrupIaad.f.b.imaginemurigiffupernciem 
fccantem piramidca.cd.fuper centrfi fperc cquidiftanter bafi ipfius. fitqj linea 
g.k.cois fectio buius fupficici % triaguli.a.c.d.critqj ex. i?.vndccimi .ppouio.ca 
ad.a.g.ficut.f.a.ad.a.b.igif.ca.ad.a.g.ficut.4.ad. j.fic cni cft ex cucrfa p:opo:/ 
tionalitatcf.3.ad.3.b.conftat etia ex fcoa ptc-2g.p:imi ci<5.viideeimi z- lo.eiuf/ 
dcm z p:ima pte fcoc fexti z oiffinitione fnmliu fupficie:; z fimiliu co:po? ep pi/ 
ramis.a.g.k.c fil'ispiramidi.a.c.d.ideoq5 ecs.ouodccimi ,ppo:tio, r piramidi8.a 
cd.adpiramide.3.g.k.eftficut,.ca.3d.3.g.triplicata quarcficuulad.j.triplica 
ta.conftat autem cx fecunda octaui cp ,ppo:tio quatuo: ad tres triplicata eft ftcut 
C4.ad.27.it3q5 p:opo:lio piramidis.s.c.d.ad piramidca.g.k. eft ficut.e4.ad.27 
fiat ergo triangulus equilaterns.q.r.f.ex linca cquali.a.g.qua coftat ec oodranre 
iinec.a.c.?p:oducatur liuea.q.t.perpendicularis ad. r.f. critq^ cx.i i.buius linca 
q.t.potcntialitcrfubfcjrquitcrtisadlincam.q.r.ideoq^cqualis.l.m.adijciafquo/ 
j)5 Iinee.r.f .linea.f.cita cp p2opo:tio.r.x. sd.r.s. fit ficut.(S4.ad-27.oimdaturq5 






XIIII 

f.3C.per«jusU3in.v.Vtfit.r.'v.j2.ocpartibugilfeocquibus.r.f.e(t.2r.aut.r.)C. 
tf4.eritq5.r.n.cqualts.m.n.£t oucantur lince.q.u.i.q.jccritqj ejc p:ima fcjcti p:o/ 
pojtio trianguli.q.r.)c.ad triangulum.q.r.f.ftcut .tf4-ad .27.cunq} per eande trian 
gulus.q.r.jc.fit ouplus ad tnangulu.q.r.u.ar ejc44.p:imi q6 fit ec.q.t.iu.r.u.ou/ 
plum quoq, fit ad triangulu.q.r.u.cnt qo fit et.q.t.in.r.u.? ipffi e equalc fuperfi 
ciei.l.u.eqle triangulo.q.r.jc.qre ^ppojtio fup.rtcici.l.n .ad triangulu .q.r.f.e ficut 
rt4.ad.z7.ioq5 ficut piramidis.a.c.d.adpirmiade a.g.k.manifeftu e aut et. ij.b 9 
<}> linca.a.f.e gpedicularis ad bafi^ piramidis.a.c.d.ideoq^ g.19 .vndecimi linea 
B.b.eft etia perpcndicularis ad bafim piramidis. a.g.b. igif altitudo. a.g. k.pi/ 
ramidis cft fcmidiametcr fpercoiuidaf itaq^ octocedron. e. queadmodu .pponif 
pKmiffa:erit itaq^ vtraq^ oua? piramidu in quas ipfu .c.oiuidif eq alta piramidi 
a.g.k.nam fingulay altitudo eft fcmidiamcter fperc.cn igitur oes lateratc pirami 
dcs equc alte fuis baftbus funt .pponionales vt iu .e.ouodccimi Ocmoftratum eft 
erit pioponio piramidis.a.g.k.ad vtroqj ca?z in quas oiuidtf octocedron.e. ficut 
bafis cius ad bafcs caytqrc per.*4.quinti #po2tio piramidis.a.g.k.ad totu octo 
cedron.e.cft ficut fue bafis qua coftat effe equalem triangulo.q.r.f.ad bafcs am/ 
barum piramidu in quas oiuidif .c.pariter acceptas quas conftat cffc eqlcs qua/ 
drato oiametri fpere pcr p:emiffam vtdelicet.p.qm crgo .ppoitio piramidis.a.c. 
d.adpir3midcm.a.g.k.eltftcutttigonivclretr3goni.l.n.adtrigonu.q.r.f.vidcli 
<et.e4.ad.27.? piramidis.a.g.k.ad octocedrou.e.ficut trigoni.q.r.f.ad quadra/ 
tum.p.erit per equa p:opo:tionalitate,ppoitio piramidis.a.c.d.ad octoccdron.e 
ficut tctragoni.l.n.act quadratnm.p.? boc erat oemonftrandum. 
GjejcpzemilTis igiriir manifeftnm eft q> pcrpendicul3risv>eniensa 
centro fpere piramidc quatuoz bafiu 3 triangutariu atq5 equilateray 
ctrcumfcribcntis ad qualtbet bafim iplius piramidis equalis efl lej:te 
partioiametrifpere. 

CCum cnim cuucti trianguli piramidem ambienres fint fites 1 eqnales erut quo 
qj circuli ipfos circufcrtbcntes equales.ideoq^ gpcndiculares a ccntro fpcre ad cof 
dem circulos in eoy cetra crut etia eqlestppcndiculares aute cadentcs ad circfos 
funt gpendwulares ad bafcs piramidts itaq; perpendiculares ad bafes funt ad/ 
tnuice equalcs.linca aut.b.f .cft gpedicularis ad bafim piramtdts.a.c.d.qua.b.f 
q: conftst ejc p:edictis effe fejcta parte oiametri.a.b.reliuquitur crgo effe veruj q6 
per co::ef.concluditur.3de5 alitcr ocmonftrare contingit fi p:ius boc anteccdcna 
fucrit ftabili ratione firmatum. 

G^nomnitriangulo equilaterolineaoefcendensabwo angulom 
eius oitbogonaUterfup:abaltmtripla eftad perpendicnlare quea 
centroctrculttrigonumtpfucirculcribcntisadquodlibet latus eius 
pzotrabitnr. 

GSit cnim triangnlus.a.b.c.equilaterus fitq^.d.centrum circuli ipfum circumfcri 
bentis a quo oucantur linee ad fingulos angulos quas manifeftum eft elTc equa/ 
lcs cum fint a centro circuli ad circumferenti3tn.5int euim tria puncta. a.b.c. in 
circumfcrentia circuli ipfum trigonum circumfcribentis.p:orrabatur autem. a.d. 
in continuum i oirectum quoufq^ obuiet lateri.b.c.fupcr punctnm.c. conftat igi/ 
tnr cc octaua p:imi <p angulus.a.d.b.eft cqualts angulo.a.d.c.ideoq^ c%- \ 1 -pm j 






LIBER 

aiigulus.b.d.c.eccjualis aftgulo.cd.e.quarc pcr qnarta pjimi.b.c.e cquaKs.c.f. 
i anguli qui funt ad.c.rccti:itaq5.d.e.pcrpendicularis c ad.b.c vcnicns a centro 
circuli circufcribcntis trigonum .a.b.ct.a.e. perpendicularis eft etia ad.b.c.vcni 
cns ab vno angulo^z p:edicti trigoni:oico ergo cp.a.e.triplj cft ad.cd.coftat cni 
cp tctragonus qui fit ex.d.e.in.e.b.equalis eft trigono.b.d.c.tetragon 9 quoq> qui 
fit et.a.e.iii.cb.cqualis e trigono.a.b.c.at quia trigonus.a.b.c.triplus e ad tri/ 
gonu.d.b.c.critq, tctragonus qui fit cy.a.c.in.e.b.triplus ad eum qui fit ct.d.c: 
in.e.b.cum igif et p:ima ferti fit .ppouio tetragoni.a.ciit .c.b.ad tetragonuil.e 
in.e.b.ficut.a.c.ad.e.d.crica.c.triplaad.c.d.qucadmodiip:oponitur. 
G TRecefic cft ergo vt perpendicularig cadens ab aliquo angulo ali/ 
cuiuetrigonicquilaterifuperlatusoppofitum tranfeat per centruin 
circuli trigonum ipfum circumfcribentia. 

CTlunc itaqj q6 p:omifimus abfoluamus ad boc afit tmaginemur piramfde qu* 
tuoibafiumtriangulariuatq^equilatcra^cuiusvna ct quatuo: bafibus ciusfit 
trigonus .a.b.ccircumfcripta cfle a fpcra cuius ccntrum.d.? p:otrabatur linca.d 
e.ppcitdicularisadfupcrficictrianguli.a.b.cqua conftat caderein ccnrru circalt 
oictu trigonii circufcribentis.oico igitur line3.d.e.efle fc^ta p.tc oiametri fperc $>/ 
pofita piramidc circufcribcntis:p:oduca cni linea.d.c.i tincam.cf.pcrpcndicula: 
rem ad linta .a.b.qua.c.f. et p:orimo «melario coftat tranfircpcr punctu.e.? cjc 
p:cmilTo anrccedentc tripla eflc ad.c.f . £onftat autem c% quarta fccundi q> fcdm 
q> quadratii oramctri fperc cuius ccntru.d.cft. jcc quadratfi fcmidiamctri .d.c 
9.ct co::cr.aut . i j -trcdecimi eft quadratum.b.c.24. , zp. ' ubuius quadratfi.c.f.i s. 
i pcr p:emi(Tum anteccdcns quadratum.ccs.q: igitur ct pcnur.p:imi quadfatS 
d.c.e equalc quadratis ouay lineay.d.e.i.e.c.e atit quadratfi.d.c.9. z quadratuj, 
c.e .8.,put quadratu oiamctri fpcre cft. jtf.relinquitur quadratu.d.c. vnum p:out 
quadratfi oiamctri fpcrc c. 50. itaq, linca.c.d.cft vnii ,put oiamcter fpere cft.e.qt» 
opo:tcbatp:ob3re.£odcm©emonftrationisgcnereocmoiiftrabitnobiscp femC 
diamctcr fpcrc circumfcnbentis co:p" .s.bafium ttiangulariii atq, equilatcrarutti 
tripla c in potcntia ad perpcndiculare a ccntro fpcrc circfifcribcntis ipfii ad quati 
bet fuarum bafium ocfcendenrccoftat quide queadmodfi oictum c p:i 9 q> cfi oec* 
bales buius co:po:is fint cqualcs -z fifcs crunt circnli ipfas circfifcibentcs cqualcs- 
ideoq? pcrpcndiculares a centro fpcrc i ipfo? circuloy centra cadcntes erunt ad/ 
inuice cquales.cunq; perpendiculares ad circulos bafium fint quoq; perpendicu/ 
lares ad bafes fcquftur vt pcrpcndicularcs a centro fpere ad fingulas bafcs adin/ 
uicc funt cquatcs.Si crgo qo" oicimus oe perpendicutari ad vna f 1:9:5: bafiii p:obc 
bctunrclinquetur Verfi ce q6 pwponir.Sit itaq? ut p:ius triangulus.a.b.c.Viia q: 
bafibus octoccdri circfifcripti a fpera cuius ccntrfi .d.i cctcra quoqj fiant vt p:ius 
cfi igirur c% co::cf. 1 $;tredccimi oiametcr fpcre fit potentialitcr oupla ad lat 9 octo/ 
cedri.fcquirnr vt latus octocedri fit potcntialitcr ouplii ad fcmidiamct^ fpercio/ 
cp cum quadratu linccb.ceft . u.crit quadratii linecd.cque e fcmidiamcter fpe 
tc.ts.cj:. 1 i.aute buius cum quadratfi.b.cc- 12.quadratu.cf.c9.ft ejc p:cmi(To ati 
tecedentc quadratum.ce.eft.4.itaq5 cii qdratfi.d.cquc cft fcmidiamitcr fpcrc eft 
.<s.quadratum.c.ccft-4-«quia ejpenultima p:imiquadratum.d..ccft cqnalc 
quadratis ouar lincarfi .cc.«.cd. fcquitur ut quadratu .c.d.fit ouo ,put quadra 
rum.d.ccft .6. conftat crgo qo" ofrimus. 

Kbjopofitio .18. 



IIM 




XV 

<^plum quadratiquodejrtMamctro fberccubnmcircu/ 
fcribcntis oelcribitur equucoiimib^fuperficicbusipfi/ 
uscubi pariteracceptisiperpcndicularis quoquequea 
ceutro fpere ad qualibct ej: lupcrficicb 9 cubi ,pduat me/ 
„ dietati latcris cubiciuldc cqUscc^iieceiTitatecduincu; 
CDI3anifcltu c eni c% condario. u.trcdccimi q> oiamctcr fpcrc cubum includeua 
triplaeftinporentia adlatuscubi.cum igiturquadratumoiametri fpcrc triplu 
fit ad quadratum Uteris cubi i ita triplum:ouplu quadrati oiamctri fpcrc cquuin 
fit fexcuplo quadrato latcris cubi.Sunt autc oes fupcrfkics cubi fcjc quadrata que 
cf. latere cubi iu fc pjoducuitmr.itaq, ouplum quadrati oiamctri fpcrc cqimm eft 
omnibus fuperficicbus cubi.£onftat igitur pjima gs:fcoam autcm partem cjms. 
c.i9.?-4o.vndecimilib2ifacilcp:obab!s. 

G£jc bis ergo cuemre necefle cft vt eje medictate latcris cubi t bifle 
quadrati pjoductiejrDiametrofpereipfucubu abicntiscubifolidi/ 
tas ,pducatur.G£):plicit liber occimufquartus 3mipit libcr r>ecimufquintus. 

Ilbzopofitio .1. 
TRtra piopolitum cubum cojpns babcns 
qtiatuo: bales triangulas cqualium lateruj 
Oeftgnare.C6it cubus cuius bafis eft quadratu; 
a.b.c.d.fuprcma vcrocinsfupficiesquadraru .e.f. 
g .b. 3pmm aut bac artc fabiicarc conucnict qdra/ 
to bafis frn qnalib> liuca e%.4^.pi\mi ocfcripto fug 
fingulos angulos cius c*. a.Vndecimi catbecus frn 
menfura latcris ipfius qnadrati crigatur quos ejr.tf. 
vndecimi conftat effe cquidiftaiites..Quiq5 ergo eo 
rum bini i bini co:aufto cis impofiro equidiftantcr 
latcri quadrati continucnr.Xonftat igitur cffc copo 
fitum cubuma quatuoi ci° latcralcs fugficics funt quadrate cjc. 55- P J 'mi * #»J4< 
riufdcm 1 ©iffinitionc qnadrati:oe fup:cma aute fupcrficie.manifeftum eft quoqj 
q> ipfa c quadrata c%. lo.imo .24.Viidccimi 1 bac coi fcia que equalib 9 funt cqua/ 
lia fibi quoq, fut cqualia:? ex cifYinitione quadrati.Si itaq? buic cubo libcat co:/ 
pus quatuo: bafium triangulariii 1 cquilatcray infcribcre:in bafi 1 in ci 9 fugficic 
fupicmapiotrabanturoucoiametriquayvna cottnuct ouas cjctremitatesinfi/ 
mas ouox; catbccoi? 1 ali3 cotinuct fupjcmas aliop ouo£ quas aio intclligcs effe 
fl.c.i.b.f.ocbinc a ouobus punctis.b.t.f.terminantibus oiamctrum fupftcici fu/ 
p:eme ocmittcypotbcmifaliter binasibinasoiamctrosq quoilatcralcsfupcr/ 
ficics oiuidant quas imaginabcris cffc ab.b.quidcm .a.b.T.b.c.at vcro.ab.f.f.a 
c.f.cbas aut oiamctros in bac plana figura #trabcre cotempfi nc multitudo li/ 
ncazz cdfundcrct intcllcctu.fi igit figura bac ut opo:tct actu vcl aio copleucris vi/ 
dcbis cf fejc oiagonalibus lincis kj: fupcrftcics ipfius cubi oiuidcntibus pirami/ 
dem quatuoj bafiwn triangnlarium elTe pcrfcctam q*5 cubo p2opofito cy. otffinitio 
ne conftat effc uifcriptain-.buius autcm piramidis bafcs eqmlatcras cffe conftat 
eo cj> c% quarta pjimi omnes ifte fe<c oiagonales funt adinuiccm cquales. 
l£rtopofitio .2. 

t 4^3 






LIBER 





IRtraoatum co:pus babeiis quatuo:bafes triangulae 
atqs equilateras co:pus octo balium triangularium cqua 
^ lium laterum oiftinguere. 

| GSi itra piramide quatuojbafiu triangulariu « equilatcray octocc 
J dron libcat infcribcrc piius coucnit piramide ipfaj fabjicare q rone 
certa boc modo coponitur.Statuaf fcom cuiufitbct lincc quarttatc trigonus cqui/ 
laterus qui fit.a.b.c.cui circufcribaf circulus fupja ccnty.d.t cjxat.d.c. ppcndicu 
laris ad fupficiem ipftus trigoni qc. i %• vndccimnque ponaf oupla ciTe in porcncia 
ad femidiamet^ cif culi circufcribcntis trigonu.a.b.c.i a puncto.c.cadat trcs jpo 
tbemife fupcr tria puncta.a.b.c.£ft itaqj coplcta piramis qttatuo2 bafiu trilate/ 
ra^ i equilareraj: .prrabanf eiii.d.a.d.b.d.c.cti igtf anguli quos cotinet linea.e.d 
cum fingulis (ineis.d.a.d.b.d.c.fint recti cf. oirTinitionc pcrpcndicularis ad fug / 
ficie.cumqs quadratii linec.e.d.fit c% ypotbcfi ouplii ad quadratum fcmidiamctri 
circuli.a.b.c.er it cjc pcuultima primi quadrarii Vmufcuiufq> triu ypotbcmifarium 
lineay.e.a.e.b.e.c.triplum ad quadratii fcmidiamctri ctrculi.a.b.c. fcd c% octaua 
trcdecimi quadratum quoq^ culufq, trio latey trianguli.a.b.c.triplum e ad qua/ 
dratu fcmidiametri ciufdc circuli:igit oia latera ftatutc ptramidis funt aduiutcein 
equalia quarc ipfa eft cquilateray bafui.£um itaqj fibi octoccdton in.ludcre Vo/ 
luerim oiuidcmus vnuqoq, fcjc latcp eius in ouo media cquaiia i coiiuuabimus 
mcdiu punctu cuinfq5 latcris cu mcdijs punctis cunctoy reliquoy larcs cii qutbus 
ipfu coittinct i anguUi fupcrficiale. vabi gratia oiuida latcra.bafis in punctis.f.g 
b.% y-potbemifas cadentes ab.e.i puctis.lU.m.i ptinuabo piSctu.f.cu ptlcto.g.t 
cu.h.t in.k.i cu.l.puctuqj.m.cii cifde.g.b.k.l.i.g.cu.b.i cu.l.t.k.cu cifdcb.?.l 
£ac itaq^ pcrfcctii cft cojpus octo bafiu triangulariii bis ouodecim lincis mcdia 
puncta latcrum fabjicatc piramidis iungentibus c6tcntum:bas atit octo bafcs ej; 
quarta pjimi quotiens opoJtct rcpctita cquilatcra eiTe manifcftti cfhipfum quoq> 
cojpus ftatutcpiramidi ef oiffinitione mfcnptum quemadmodum iulTicramus 
efTiccrc. 

*]{b:opoiitio .j. 
Vltm cubum antgnatumfiguramoctobafiumtriangula 
rium equaliumlaterumconftitucrecubo intendimuein/ 
fcribereoctocedron. 

CQualitcr aut cubti coponere opojtcat i pjima bui 9 futTiacntcr oi 
§yctu cft.igitur fabjicato cubo piramis quatuoj bafift triangularium 
1 cqualium latcr in eo cc pjima buius oefignef.ac intra ipfam piramidcm ejcpje/ 
tuilTa octoccdron oiftiguatur.quo facto Itmul etia factu crit quod Voluitnus. £011 
ftat cnim cc ranocinationc pjime latcra cuncta ipfius infcriptc piramidis cffc oia 
gonos bafuim cubi 1 ejc rocinatione pjcmiffe liquct cunctos angulos octocedri in 
bac piramidc oiftiucti efle in latcribus ipfi 9 piramidis:quarc mamfeftfi e omnia 
angularia puncta bui" octoccdri elTe i bafib 9 affignati cubi.igif cjc oione babcm 9 
^pofitnm.aiitcr tdcm centris cunctaru5 bafiu cubt qucadmodu i uona quartt fit 
reptts a cetro fupjeme fupficiei ci 9 ad cetra quatuoj latcralui fupcrficiey quatuo: 
fpotbemifas oemittc 1 3 cctro infime 1 ad cariidcm lateraliu fupcrficierum cctra 
quatuojalias ypotbcmifas cleua ccntra quoq^ quatuoj laeraliu quatuoj rcctis 
linets cotuiua ita videlicct q> ccntra carum taiufi quc fcinuiccm fccaut continuos 




XV 




Ucrbi gfa.iungas centj; anteriop cu centrooextrc <z'cu cetro fimTtre:cent£ quo/ 
q5 vltimc iunges cu eifde.boc cni cu ccntro oertrc i cu centro finiftrc. babcs itaqs 
cojpus octo bafiu triangulariti bis. uTineis que ccntra fupficie}: cubi coplcxu con 
tinuant.6i igttur bas bafcs equtlatcras clTe fbarc vcluerisra cctris baftum cubi 
ad cuncta ipfius latera gpendiculares .ptrabe qtias neceff ariii e oia latcra ipfius 
aibipcqualiaoiuidcrc cjc fcoa ptctcrtietertij:quodplanue fivnicuiqjbaftucu/ 
bi circulu circufcripferis atqj io binas % binas fupcr idcm punctu in lateribus ba/ 
fiu cubi coftat cocurrcre eafqj ex fc6a pte. 1 5 .tertij patet adinuicc ee equales % equi 
dtftantes lateribus cubi q. fcda pte.2G.pjimi.ioq5 etia fingulas effe equalcs oimi/ 
dio lateris cubi.igif q.. 1 o.vndecimi manifeftu eft btnas z binas cay fup tde latus 
cubi in medio eius puncto cocurrentes rectu angulu conttncrerco cp omncs fuper 
ficics cubi funt quadratcQuare igitur ille. 1 2.linec centra fup/iciqz cubi cotinuan / 
tcs 1 anguli quos bee linee fupcr media puncta latcru cubi cocurrcntcs bine i btne 
cotinent fubtcndutur ipfc erunt ejc quarta pjimi vT ctia fi matus cx pcnultima pji 
mi adinuice cqualc3:crgo eft in .ppofito cubo ocfignatu cojpus octo baftii trian / 
5ulariu % equtlatcray.qb opoitcbat facere.cc . 

1£>:opofitio .4. 
iRtra oatum coipus octo baftutn triangulariu atq^ equi 
laterarum cubum figurare. 

CTlonoubitesqnincojp 9 octobafiu triagulariu atqj equtlatera^ 
ccrto oogmatc fab:icabis boc modo qualibct recta linea fuper altqo 
& planu furfu oubogonaliter erccta ca g equaiia oiuide 1 a puncto ei" 
medio ouas lineas bincinde gpcndiculares extrabc quc coponant linca vna cruut 
qj bee oue tinee feinuice fecaiues vidclicct pnma quc fupcr pofitii planu e ojtbo/ 
gonalitcr erccta s alia que ipfa fug cius tnediu punctu ojtbogonalitcr fccat i cade" 
fupficicfitefuntp.p:imagtefcbevndccimi.ad fuperficicm igitur in quaipfefire 
fuut fuper cocm punctu fectionis earum qucadmodu. 1 z.oocer vndccimi pcrpcn/ 
dicularcm erigere qua factas candi* fnpficic in vtraqj ptem penctrareit ponc cun 
cta.fcx pojtionesbay triumlinearumapuucto inquo feinuice fecaut equales. 
ficeni quelibct quaubctgeqlia «ojtbogonalttcr oiuidct.ua cpcumfinttresqqj 
oue caj; falutifcrc crucis vencrandu fignu ad augulos recros cotinebut a fupjcmo 
igitur erccte linee fup, pofitu planu puncto quatuoj fpotbcmifas ad extremitatcs 
ouazj lincax> ipfa fccatium ocmitte-.oeinde ab iiiftmo eiufde crccte pucto:qtuoj alt 
asypotbemifasadeafdeouayfccantiulineai-cxtrcinttatescleuaipoftreinoquo/ 
qj baru ypotbcmifai; ejrtremitatcs quatuoj rcctis liucis quadratum cotmentibus 
c6tiuua.£ru t cnim bcc ouodectm lincc vidclicct qtuo j f potbcmifc 3 fupmo pun / 
cto erectc ppcndicularis oefccdetes:quatuoj quc poftrcme ab cius infimo puncto 
furfu eleuate 1 reliquc quatuoj linec bay ypotbcmifa? extremitates coiitinuantcs 
cx peitut.piimi fine tunctionis puncto pluries repctita adinuiccm eqlcs :qrc con/ 
ftat cojpus ab cifdc terminatii octo bafibus triangularib 9 equilatertfq, contincri 
Siigitur buiccojponcubuminfcribere oelcctatcentraocto triaugulojum ipfum 
ambicntium inucnire cjc quinta quarti labo:3.caq> repcrta. izTtncis rcctis bac lc/ 
gc cotinua vt ccuty cuiufqj boy trianguloy cu cetro cuiufqj triu ad ipfi 9 latera tcr 
minatoj; g recta linea copnlcf.no c aut b 9 rci idoncu f iguram i plauo ocpingerc. 
idcoqj reftat vt quod oicitur mcnte cocipias ipfuqi fi placct actu x ope conpleas 



LIBER 



Vidcbis eni. i j. lincis boy trianguloi: centra pofita !egc coiinuanres cubii conti/ 
nere quc rcftat vt cquiliteris rcctanguhfqj ftiperfuicbus ocmonftres eflfe conclu 
fum.iio cni crit cubus nifi omncs cius fupficies fint quadrate.ouciro crgo a quo/ 
libet angulo trigono? fuperficiqj octoccdri perpcndicularem ad latus i u angulo 
oppofitti.bas autc gpediculares ex.i i, qrtedccime coftat ee adinuicc cqlcs z oiui 
dcrc latera quibus gpendicularirer infiltunt pcr equalia.idcoq^ biuas z bmas fng 
idem punctu latcris cui fuperftaur conucnire:cafdcq5 coftar c% bis quci.17.quar 
tidccimi oemonftrata funt tranftre pcr ccntra triangulo^ .idcoqj p_ cxrremitatca 
latcrii inclufi co:po:is tranfire ac eay po:tiones qtie intra centra trigono£ 1 late/ 
ra ipfoy intercipiunf c% bis etia in cadc ocmonftrara funr conftat elTc cquaies ati 
gulos quoq^ ab bi3 ppcdicularib 9 binis 1 binis coefitib 9 c6tetos cjc.8.p:imi patet 
effe equaks.£t qnia bcc perpcndicularcs fueq^ po:tioncs intcr cciura 1 tatcra irt 
tcrceptc cofdcm angulos ambiunticrunr quoq^ auguli quos lince a ccutris rrigo/ 
no? ad latera pcrpcndicularitcr cadcnrcs binc 1 binc coriucr adinuicc cqualcs. cf / 
q$ latera illius co:po:is oc quo oifpuramus bos augulds fubrcndunt. fcquirur rjc 
quarra pjimi frequenter fumpta co:pus inclufu clTe cqmlatcy at quoqj rectaitsutS 
p:otrabanf eni oiagoni in fingulis fuperftcicb bos oiagonos c% quarta pmi oes 
adiuuicem equalcs ee conuinces mediantibus angulis a ouabus pcrpcndiculan/ 
bus per ipfay oiagonoy cjrtrcmitatcs tranfcuntibus contentis fi p:ius bos angu 
los ex.8.p:imi equalcs fibi inuice effe p:obaueris.cii igitur oiamctcr tctragonaru 
bafium co:po:is buius fint adinuicem equales:Iatera quoq$ earunde baftii cqu3 
lia effe ncceffe eft cjr.s. p:imi multotiens repctira ipfas rcrragonas bafcs cc cqui/ 
angulas.a tq, c%. ja.p:imi oes anguli cuiufq, ca^ funt cqualcs quatuo: rcctis. fe/ 
quitur cas effe rcctangul38:itaq5 cx oifftnitionc quadtati ipfc funt quadratc :igif 
infcriptum co:pus manifefrum cit elTc cubum ficut iiitcndimus- 

IfbJOpoJitio .j. 
Iframidcm qnatuo: baiittm triansularitimarqjcqmlate 
rarum afiigiiatoco:pojiocto baiiu triangularian» quo/ 
q$ atq5 cqmlatcrarum infcribcrc. 
GaiTignato co:po:i octo bafifi infcribc f>m p:cccpta p:cmiffc cubil 
cuboq^ infcripto infcribc. Vt oocct p:ima piramidc buftjlis .pponif 
cum igitur buius piramidis anguli fint ctia anguli cubi queadmodu c% ocmoflra/^ 
tionc p:ime manifcftum c.cu^ctiautcmal!guIicubifu^tcxp:cmilTcinfupflcicb , 
afftgnati octoccdri:erunt quoq$ cuncti anguli piramidis buius in fuperficieb" co:/ 
pohs octo bafium «5 eam iubemur infcribere:quarc cx oiffiniticnc mantfefium e 
nosfcciffequodqueritur. 1(b:opoIitio .e. 

I IRtra oatu co:pus vigmti baftii 1 cqualtu latq: co:pus 
I ouodccim bafiu petagonaliu eqtittl latey atqi equahum 
|anguIoyfigurarrcoponcrc.G£o:p 9 .2o.bafiu n'o ooccm 9 bic 
■ fab:icarc quonia c%. 1 e.trcdecimi qua coucnit arrc boc fieri fa tis cui 
I dcns cft co igitur ut tbi oocef copofito.fi fibi co:p". iz.bafiil pctago 
najz atq$ equ;lateray includcre oclecrat bac via p:occdcndum c.lFwinfcftum cni ' 
eftiio.triaiigulos.eo.fupcrficialesangulosbfc.fq^ad pfiitutione Tiiiufcutufq, 
folidi aguli co:pis ycocedri quia$ fupficiatcs conucniu t ficut c% oemfarioiic. i<s. tre 
dccimi colligitur.conftat illud co:p 9 ouodcci folidis angulis copleri.iucims igtf ut 





XV 



in antc pjemifla c cntris cunctoru trianguloru totu ycoecdron tmninantifi ea. 3 o„ 
rcctis lineis corinua ita qp cuiufq^ ccnty cauris omniu circuiacentiu cii quibus co 
municat in laterc per rectas liueas iungas.cu ergo boc feccris videbis cjc illis. 30. 
lineis ouodecim pcntagonte conftitui. iz.angulte folidis oati ycoccdri:oppofitos 
bos itaq> pauagonos queadmodu in antcp:cmi(Ta fccifti oe bafibus cubi equila 
tcros elfc pwbabis.Tlcceffe eft cni vt c uo:ulibct tnanguloy ouoy idcntlatus ba 
bentium ccntra codcm fpatio oiftant.reftat crgo vt cos ctia cquiaugulos cffc filo 
gifes.ynanifcftu cft aure cx r6cinatioue.«s.trcdccimi ostum co:pus vigiuti ba/ 
fium ab eadc fpera cuius oiamctcr cft tanqj oiamctcr bui 9 co:pis vidclicet lineas 
que ouos cius augulos oppofitos cotinuat elTc circufcriptibile .6i igif bec oiame 
ter per mediu feccf punctus fectionis erit centru fpcre ipfuin circufcribenris ab eo. 
itaqj ad fuperficies cuncto^ pentagonoy perpcndicularcs cx- 1 1 - vndccimi oucto 
* a puncto in quo fingutis pentagonte obuiauerint ad fingulos coy angulos rc/ 
ctas lineas oirigito.ocinde centru fpere cum fingulis angulis ipfos pentagouo^ 
continuato:agc crgo eos ,pba cc equi angulos boc modo. £um eni omnes circuli 
circumfcribentcs trigonos ycoccdri funt cqualcs erunt omnes perpendicularcs a 
centro fpere ad ipfos venicntcs % in eoy cctra cadentcs cquales:omnes ergo tinee 
3 centro fpcre ad angulos cuiuflibct pcntagoni vcnientcs funt equales. nam an/ 
guli pentagono? funt cetra circulo:um trigonos ipfos fcocedri circumfcribentiuj 
cr ypotbcfi igitur cr pcimltima p nmi codem argumentationis gcnerc quo fupius 
in. i^-filogifauimus fecto:c pjoucnieme in fuperficic fpcre cum aliqua plana fuper 
ficies fpera fccat 116 fupcr ccntru cius effc circuferentia cotinentc circulumcceffe e 
quinq, liucas vcnientcs a concurfu pcrpcndicularitcr oucte a ccntro fpcre ad fug 
ficies omnium pcnragono^ ad quinq> angulos cuiufq, pentagoni effc adinuiccm 
cqualcs.itaq? ommb 9 bis ouodccim pctagonisecirculus circufcriptibilis.cu igif 
ipfi fint eqlatcri couincif eos elTc etia equiangulos qo opotfeoat ofkndcrc. 

"JjbJopofitio .?. 
TPltra oatu cozpus ouodecim bafium pentagonay cqui/ 
latcrarum atq5 cqutangularu cozpus visinti balium tri/ 
angularium atq? equtlatcrarum fabzicare; - • 
CQualiter co:pus ouodccim bafium pctagono^ cquilatera^ atcp 
equiangulay coponerc opo:tcat ct. i7.trcdccimi rcquirc.Scd quali/ 
tcrco:pus viginti bafium tnangularium «equilaterarumfibiconucniat infcribi 
bic addifcc fuorom pcntagonoy ceutris vt tn. 14-quani fit repcrtis ca adinuiccm 
jo.lincis bac lege continua vt vniufcuiufq5 paitagoni ccntrum centro cuiufq^ pe/ 
tagoni fccum in latcrc coicantis iungatur ita vidclicct cp vniufcuiufq^ pcntagqni 
centrum ceutris quinqj pcntagouorom tcrminantiii vel circmacciinum contincf. 
cuin igitur boc fcceris obuient tibi viginti trianguli ab bis. 3 o.lincis ccntra pcn / 
tagonowm continuantibu3 contenti.eruntqs bi viginti trianguli viginti folidis 
gulangulis ipfius ouodcccdri oppofiti amplecrcntes cojpus viginti bafium trian 
flrium quas cqutl Jtcras ee oemonftrabimns 1 erut. u.folidi anguli b uius cojgis 
2o.bafiu in cctris. u.pentagonojum co:pus oati ouodccedri tcrminautiuin:bos 
itaq5.2o.triangulos cquilateros cefic p:oba.a cetris pcntajonos oucito gpedicu 
lares ad lataa criitcg oes p.pediculares equales binas ergo 1 bin as [pwbabis cr 




LIBER 



cctaua p:uni cquos anguios continerc'? quia linee continuantes centra pentago 
no:um bis angutis a binis i binis perpcndicularibns contentis fubtcndunf :cum 
onmes perpendicularcs fint equales:erunt ei qnarta p!imi omnes lincc continu / 
antes centra pentagonomm cquales: quod cft p:opofitu: perpendicularcs aure 
binas t binas equales angulos continerc % omnes eas adtnuicem effe equales fie 
tolligc.£t qninta piimi i .i<j.eiufdcm conflar fingulas carum oiuidcre latera pe/ 
tagonojnm fiiper que cadunt per cqualia :cafq; effe adinuice equales ouctis lineis 
a ccntris pentagono:nm ad fingulos angulos eorum:quare binc ibinc fuper ide$ 
tatuscadcntcsineodemipriuslaterispuncto coibunt eocp vrraq; oiutdir lllud 
latus ouobns pentagonis a quoium centris vcniunt comune pj equalia :bas igitur 
gpendiculares binas i binas vfqjad angulos quibus comune latus in quo cccun t 
oppofitum perccntra pcntbagonor pwduciro i cifdem agulis ouas lincas fub/ 
tendito quas ci oemonftratione. 17-tredecimi manifeftum eft elTc tanq; latus cu / 
bi ab eadem fpera cum p:opofito ouodeccdro [circumfcriptibili. tdeoq; patet eas 
effe cquales co cp omnia latera cubi fint cqualia.cafdcq; liquet cv nona Vndccimi 
effe cqnidiftantes ^ppter boc cj> ambe equidiftant comuni latcre in quo binc ibi/ 
ne perpendtculares coucniunt.at vero ipfas eafde conftat ei bis pcrpendicnlari/ 
bus per cqualia oiuidi.itaq; per.5 $.p:imt cuncte linee contiuuantes puncta i qui 
bns bine 1 bine perpendicnlarcs fupcr bas liucas quas tanq; cubi latcra fo:c eiti 
mnscocurrnntfnntadinuice equalcs.Tlamomnesfunttanq; iatuscubi. igifet 
octaua p:inii anguli contenti a binis 1 binis perpendicularibus iunt equalcs:qua 
re pcr qoartam ciufdcm linec quoq; continuantes ccntra pentagouo:um funt fibi 
inuicemcquales:infcriptumergoe p:opofito ©uodecedro co:pusvigiuti bafium 
triangnlarium 1 cqualium latetum ficut iuffi cramus 
1(b:opofttio .8. 
p /0lido Ouodecim bgfmm pentagonarum arojcquilatera 

ru pzopofito tntra ipfu cubum Oiftinguere. 

C£um ouodecedron fuper cubi latera fab:iccf ut conftat ct. i7-tre/ 

I^S^y^! dccimi minimum eo fab:icato fibi conucnit cubtt infcribi.nam cum 
afire S ra l il cuodccim funt pentagoni fi vnftuiufcp eor vni angulo ,put cubi ft 
gnramvicJebiserigerecbo:damvnamfnbtenderiset eis ouodecim cbo:disfei 
equliateras rectangulafcp fuperficies cubi 1 co:pus amplectcntes pcrficics £qui/ 
(atcrasquidemcaseffeconftat ei qnarta p:imi:tectangulas autcm eodcm ar/ 
gumcntationis generc quoidfettabutusbafes ouodecedri oato «ocedro in/ 
fc ripti oemonftranimus effe equiangulastconftat qu/dcm ei oecimafeptima trc/ 
decimi p:opofitum ouodeccdron fpcre effe infcriptibilcrg a ccntro:illius fpcre ad 
omncs bas quadrilateras fuperficies perpendiculares : ut oocet vndccima vnde/ 
cimi pjotrabc 1 a puncto concurfus ad fing. los angulos illarum quadrilareraru 
fupcrficier rectas tineas oirige.3c eofdem angulos quadrilatcrar fupcrficierum 
cum centro fpcre iunge:eruntqj bee linee ccntr fpere cu augulis quadnlarcrarum 
fuperficierum con tinuantcs femidiametri fpcre oc quar quadratis quia oetnpto 
quadrato perpcndicularis rcmanet er penultima p:imi quadrata linear continn / 
antiu pnnctum cocurfusperpendicnlariucum angulisquadrilatcrar fupficiernm 
neceffeeltomnibusbis quadritarcris fup.ncicbnfcirculos dTecircumfcriptibiles 




BH 



XV 

iocj5 neccffe e eas efle equiaugulas cum fint equilatere.£t q: et. j2.p jimi anguli cu 
iufqj cax: parircr accepti fuut cqualcs quatuo: rectis angulis.fcquitur eas cc recta 
golas nibil ergo occft infcripto co:po:i oe ratione cubi. 

Ifbzopofitio .9. 
1 Slto buodecedro fibi ©emum octocedron tncludere. 
1 CCompofiro ouodeccdro ut in. \t 1 tcij occitnifcjc latcra fuarunt 
f upficicru ca viddicct que catbccos fup (e% lincas oppofita I atera fu 
perficierum cubiper cqualiafecanreserectistanq^cojumcojaufti 
!i iungunt pcr cqualia oiuidcicaq, bina 1 bina adinuice compofita co 
linua per tres lineas qui feinuicem fupcr medium punctum oiamctri cubi ex^s- 
vndecimi per cqualia fccabuntieruntqj vt quoq; oue ea? trium feinuicem quoq^ 
ad angulos rcccos oiuidant.Si igitur barum trium linearum extrcmttatcs per. 12 
lincas rcctas continuaucris peruchict tibi co:pus octo bafto) triaugtilariu 1 cqui 
latcrarum % quarta p*mi vcl fi mai 9 ejc penultima piinii :qo opo:tebat oftcndcrc. 

H lfb:opofitio .10. 





31 IRrraafltgnatnm ouodecedronpiramidemquatuo:bafi 
I um triangulartum atq^ equilaterarum adbuc reflat oiflin 
| guere. 

| Gaffignato ouodcccdro infcribc cubiim ejc octaua buius cuboq^ p» 
| ramidem cjc p:ima.ctim tgitur angu!i piramtdis finr in angulis cubi 
W patct ejc rocinatione p:i:nc % angult cubi in angulis ouodeccdri cjc rocinationc 
octaua:crunt quoq^ augult piramidis in angulis ouodccedri.itaqj coftat quod to 
lumus. 

1(b:opofirio .ti. 
TfvOpoliro Ycoccdroineo cubum ftgurare. 
Gycoccdro infcribi ouodcccdron ejc fe#a ac ouodecedro cubum c% 
octauaiconftat aute cjc ocmonftrationc fcjcte cp omnes anguli qno/ 
decedri cadunt fupcr ccntrum bafium ycocedri 1 anguli cubi funt int 
angulis ouodeccdruitaqj angult cubi funt i centris bafium ycocedri 
babcmus ergop:opofitum. 

1|b:oporitio .ix. 
[i/Cocedron oatum piramidem qnatuo: baiium triangula/ 
! rium atqj equilateray ftbt poftulat infcribi 
, G Si in oato pcocedro ey. p:emiffa cubum infcrtpferis cuboq^ cy p/ 
J ma piramidem incluferis quin poftulationi ycocedri faciffeccris 
I! bcfitandum noncrit.Scireautem opojtctquoocumfintquinque 
rcgularia coiporaoequorutnmuruaabinuicem infcriproe inboc.ij.lib20 0ctcr/ 
mincf fi vniiqoqj cox> quilib^ cctrox? ect infcriptibiIc.2o.co:ude infcriptocs acci/ 
derct Ouippe qui!5 coy quinq^ cent cetcra qtuo: infcriptibilia.ioq, q tcr quiq5 in / 
fcriptocs qo" c.2o.neceffario .pueniret.at vero piramidi folu octocedron pucnics 
eft infcrtbi. Tlon cnim ftt t in piramide bafes aut anguli aut latera in qutb" angu / 
li cubi aut ycocedri aut ctiam ouodecedri poffint ejctrema ipfi 9 piramidis ptingere 





LIBER 

jCubum quoq3 foli" piramidis i octocedri vt octocedron folius piramidis et cubi 
reccptioni funt apraqualitcr eni in co:um aStcrutro. i2.angulos ycocedri.aut.2o. 
angulos ouodecedri.ita vt finguli in cov fingulis cadant collocabis:ycoccdron au 
le cu Cctera couenientt ambitione poflit coplecti foli 9 ycocedri nequit efle recepta/ 
culum.nam octocedri fer. anguli fcmidiamctrali feinuice bini? bini oppofitione 
refptciunt linecq; eos continuantes fcfe per equalia oubogonalitcr oiuidunt.itaq; 
illud glofu (iguu adcuius intuitu coflernanf ocmones fub rcctis agulis tripltcatu 
reddant.bos itaq; triangulos neq; bafes neq; anguli neq; latera fcocedri poflunc 
fub.fuo fitu reciperc ncq; eni in eo reperics fci bafes aut fc;c angulos aut fcjc lare/ 
ra bac oiametrali o:tbogonaliq; oppone fe c6rinentes:ouodecedron aute nulli ce 
teroy fue ambitionis oenegauit bofpiciu imo cunctoy receptato: criftir.vnde no 
incoucnienter ouodecedri figura antiqui platonis oifcipuli afcribere vcl afcr ipfcre 
celo queadmodu piramidis fojira igni eo cjj furfum fub piramidali figura euoler. 
ac octocedri acri.Quippc ficut aer ignem motus puitatc fequitur fic octoccdri fot 
ma piramidis.foima ad motu babilitate comittaf .Uiginti vero bafium fignram 
atq; oictauerun t.na cum ipfa baftum pluralitate ptus cetcris drculec in fpera flu / 
entis rei motni magis q; fcandentis conucnire Vifa eft.£ubon Vcre figura quida; 
oedere rerre.quid eni in figuris maioji ad motu violentia indiget quam tbcflera. 
3c in elementis quid fijcius conftantiufq; rcpcrif terra.fi igi tur cxao.infcnptioni 
bus. 1 .quas piramis no fubftinet binafq; a quibus natura cubi 1 octoccdri alie/ 
naeft.Kurfuiq; vnacuiirepugnatycoccdrifigura reieccriserutrcliquetm. i2.m/ 
fcriptiones piramidis qnidem fola cubi Vcro octoccdriquc binc: ycoccdrt autcm 
tres ouodccedri autem quatuo: oe quibus omnibus vt arbitro: fufficicntcr aliau 
oifputatumeft. libiopolitio .ij. 

toa^ja 3f,bJicatoquoutequmq;regularin5 co:po£fibifperam 
S |!§|||j mfcribere. 

M Ii|s5fl G£jctertiodecimoIib:oftaq;inanifeflueftVni5q6q;qnq;boJucoj 
b ffi| porum cfl"efpcreinfaiptibile.nucitaq;c6ftabitviceucrfafperavni 
3 cuiq; ipfoy e(Tc infcriptibile.a circufcribentis eni fpere centro ad ba 



fes vnincrfas cuiuflibet eo:um pcrpcndiculares ercanr quas intra ccntra circulo^ 
bafes ipfas cit cumfcribcn titim caderc neccffe cft.cumq; omnes circuli cas circum 
fcribentcs fint equalcs cruntq; bcc pcrpcndiculares cqualcs.itaq; fi f>m quantita/ 
tem vnius eatum circulum fuper centrum circumfcribcntis fpcre oefcripferis ciuf/ 
q;fcmicirculumquoufq; adlocumvndemouericeperitredeat circudureris quia 
ipfumpercrtrcmiratcs cnncta^pcrpendiculariumneceflceft traufire ronuinccs 
ercojjdario.ij.tertij fperamiftiusfemicirculimotu oefcriptam vniucrfas bafcs 
a(Tignatico:po:i3in concurfibus perpendicularium contingerc. Iloncnimplus 
poteft fpera oe bafibus co:po:is cotingcrc qua circuductus femicirculus oii mo/ 
ucbatur con tingit: quarc aiVginato cojpo.n conftat nos fpcram qucmadmodu p/ 
pofitum erat infcripfilTe. 

COpus dementoju euclidis mcgarcnfis in geometria arte 3n id quoq; £ampa/ 
ni pJpicacilTimi £6mentationes f iniut. £rbardns ratdolt auguft enfis impjeffoi 
folertiffjmus. Venetijs impjelTit. Snno falmis.Prc.cccc.lrrrij. Octauis. £alefi. 
3"«- lectoj. 23ale. 



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